Расчет собственных частот и форм колебаний трубопроводов с помощью программного комплекса Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.64

РАСЧЕТ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ И ФОРМ КОЛЕБАНИЙ ТРУБОПРОВОДОВ С ПОМОЩЬЮ ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА

© 1999 А.Б. Прокофьев

Институт акустики машин, г. Самара

Разработан программный комплекс для расчета собственных форм и частот колебаний трубопроводных систем. Приведена математическая модель, положенная в основу разработанного программного комплекса. Выполнено экспериментальное определение собственных частот трубопровода на двух упругих опорах с консольным концом и их сравнение с результатами расчета.

Одной из задач в решении проблемы снижения виброакустических нагрузок в гидромеханических системах энергетических установок различного назначения является задача определения собственных форм и частот колебаний трубопроводов. Ее решение позволяет определять возможность возникновения механических резонансных колебаний, места реализации максимальных значений вибропараметров, а также, в частности, является основой для расчета виброакусти-ческой активности трубопроводной системы под действием пульсирующего потока рабочей среды.

Во многих работах [1, 2, 3, 4] даются приближенные методы определения собственных частот и форм колебаний трубопроводов. Основным недостатком подобных методов, приводящим порой к значительным количественным погрешностям расчета, являются упрощения, принимаемые при учете краевых условий (геометрических и динамических условий, налагающих ограничения на свободу перемещения концов трубопровода, а также на изгибающий момент и поперечную силу). Основные варианты способов закрепления трубопроводов, рассматриваемые в этих работах, следующие:

1) свободный конец трубопровода;

2) жесткая заделка конца трубопровода;

3) конец трубопровода закреплен шарниром.

Во всех этих работах при расчете не учитывается жесткость (или податливость) опор крепления трубопровода. Это связано, по-видимому, с необходимостью проведения сложных и громоздких вычислений, реализация

которых без применения вычислительной техники практически невозможна.

В данной работе предпринимается попытка расчета собственных форм и частот колебаний трубопровода с учетом жесткости его опор при помощи современной вычислительной техники (персональных компьютеров) и программных средств, специально разработанных для этой цели. Методика расчета базируется на методе Крылова. Определение собственных форм и частот колебаний трубопровода осуществляется интегрированием исходного дифференциального уравнения свободных поперечных колебаний прямого стержня [5]. Форма главного колебания (собственная форма), устанавливающая закон распределения максимальных (амплитудных) отклонений точек оси трубопровода от равновесного расположения, описывается общим интегралом:

у(х)=ЛБ(кх) +В Т(кх)+Си(кх) +Б У(кх), (1) где у(х) - отклонения точек оси трубопровода от равновесного расположения;

Л,В>С>0 - произвольные постоянные, подобранные так, чтобы для функции у(х) выполнялись краевые условия, т.е. условия закрепления концов трубопровода;

Б(кх),Т(кх),и(кх),¥(кх) - функции Крылова;

S (кх ) = 1 (еккх + сов кх ),

Т (кх ) = 1 (вккх + він кх ),

кх = (кх - сон кх ),

V (кх ) = 1 (вккх - він кх ),

Таблица 1.Краевые условия

Краевое условие Обозначение Аналитическое выражение

Конец трубопровода свободен ? у” = 0 ут = 0

Жесткая заделка конца трубопровода 1 * у = 0 у' = 0

Шарнирное закрепление конца трубопровода * £ У = 0 у” = 0

Закрепление конца трубопровода в упругой опоре. 1 ? у" = 0 Е1у"' = су

К

- собственная круговая частота; шт - погонная масса трубопровода; шж - погонная масса рабочей жидкости, содержащейся в трубопроводе;

Е - модуль упругости;

I - момент инерции поперечного сечения трубопровода.

Краевые условия выражаются соотношениями, представленными в таблице 1.

Одним из преимуществ использования функций Крылова и записи формы главного колебания в виде (1) является то, что можно сразу написать выражение общего интеграла, удовлетворяющего условиям на конце х = 0 и содержащего только две постоянные, которые определяются из условий на другом конце х = I (здесь I - длина трубопровода).

В случае наличия промежуточной опоры выражение (1) для записи формы главного колебания несколько модифицируется. Можно показать [5], что в этом случае собственная форма записывается в виде:

Рис. 1. Трубопровод с жесткой заделкой по концам и упругой промежуточной опорой

у(х) = Л8 (кх)+ВТ (кх)+

+ Си (кх)+БУ (кх) при 0 < х < I у(х) = Л8 (кх)+ВТ (кх)+

+ Си [кх)+БУ (кх) +

+ 7^7 У (к (х - Іі)) при 1Х < х < 1г +12 к Ы

Значение величин и 12 определяется из рассмотрения рис.1.

На рис.2 представлена классификация, охватывающая все возможные варианты крепления трубопровода на двух и трех опорах (в классификации не рассматривается случай шарнирного закрепления, так как случай идеального шарнира на практике не встречается, а лишь является упрощением опоры, обладающей высокой поперечной жесткостью и некоторой угловой жесткостью). Предлагаемая классификация положена в основу разработанного программного комплекса по расчету собственных частот и форм колебаний трубопровода. Алгоритм расчетной части программы продемонстрируем на двух примерах:

1) трубопровод на двух упруго закрепленных относительно поперечных перемещений концах;

2) трубопровод с жестко закрепленными концами и промежуточной упруго закрепленной опорой.

Краевые условия в этом случае:

^ (0 ) = 1,' т (0) = 0, и (0) = 0, V (0) = 0.

(2)

Отсюда С=0.

Тогда общий интеграл (1), удовлетворяющий для рассматриваемого случая краевому условию у"(в) = 0, имеет вид:

y(x)=AS(kx)+BT(kx)+DV(kx) (3). Из второго краевого условия при x=0, получаем:

k3EI(AT(0)+BU(0)+DS(0))=c1(AS(0)+BT(0)+DV(0)),

или с учетом (2)

к3ЕЮ = с1А,

откуда

к3Е1

А =

Рис. 2. Классификация схем

/(0)=/(/) = 0,

Е1у-(0)=С1У(0 ),

Е1у-(1) = сгу(1).

Подставим краевое условие у”(0) = 0 в выражение (1). При этом необходимо дважды продифференцировать функции Крылова. Выражения последовательных производных по x от функций S(kx),T(kx),U(kx),V(kx) до третьего порядка включительно приведены в таблице 2. Получим:

AU(0)+BV(0)+CS(0)+DT(0) = 0 Значения функций Крылова при x=0 имеют значения:

Тогда общий интеграл (1), удовлетворяющий условиям на конце x = 0, имеет вид:

) = BT (kx ) + D

кЕ1

Условия при x=l выражаются уравнени-

ями:

г к3 Е1

БУ(к!) + В ----------и(к!) + Т(к!)

V С1

Б (к3 Е1и (к!) - с2Т (к!))+

кЕ (к3Е1Т(к!) - с2 £ {к!))

= 0,

+ В

+ к3 ЕК (к!) - с2У (к!)

= 0.

(4)

Исключив В и Б, придем к уравнению частот, которое представим следующим об-

Таблица 2. Производные

Первая производная Вторая производная Третья производная

5(кх) кУ(кх) к2и(кх) кТ(кх)

Т(кх) кБ(кх) к2У(кх) ки(кх)

и(кх) кТ(кх) к28(кх) к У(кх)

У(кх) ки(кх) к2Т(кх) кБ(кх)

Таблица 3. Уравнения частот и форм главных колебаний

Уравнение частот Формы главных колебаний

1 и2 (кі) - Т (кі У (кі) = 0 У(х ) = и(кх ) Т(к1}у (кх )

; Мх) и (кх) и (к1 ] )

\ Б2 (кі) - Т (кі У (кі) = 0 -У( х) = и (кх) ^ (к/ (кх)

ллЛлл \к3ЕІ$к і) - еу(кі)$кі) - [к3ЕІр(кі) - еДк^ТІкі)=0 Я х) = и(кх ) т )К(кх )

Л х) = (кх ) - Щ + Т (кі)] + V (кх) " кЗЕІи {кі)+ е

1 е е

лллллл ллАлл V(кі(к3ЕІТ(кі)- с2Б(кі))+ к3ЕІБ(кі)- с.V(кі)| - (к3Еіи(кі)-- с2Т(кі)І^к-ЕІи(кі) + Т(кі)| = 0 Ух) = ^ ) - Т|) + Т (кі)] + V (кх ) [ ЄЕІи {кі)+ _ еі

разом:

А(к!) = V (к!

к3 ЕІ

(к3 ЕІТ {к!) - с2 £ (к1))+

+ к3 ЕІБ (к!) - сV (к!)

- (к3Еіи(к!) - с2Т (к! ))• ( к^ЕІ и (к!)+Т (к!)

с

= 0.

Вычисление корней уравнения частот ведется численными методами. Для определения ориентировочных данных о расположении собственных частот системы можно пользоваться известными теоремами Рэлея [6].

а.) Если функция Рэлея растет вследствие прибавления к максимальной потенциальной энергии г квадратов вида

Хк (Л ) - (Чк111 + ••• + ЧюгК У (к=1,2,...,г)

без изменения кинетической энергии, то частоты данной системы и частоты измененной щк связаны неравенствами:

щ <щ (к=1,2,...п), Щ <Щ+Г (к=1,2,..ф-г).

б.) Если функция Рэлея убывает вследствие прибавления к максимальной кинети-

ческой энергии г квадратов вида

Хк (Л ) - (чк111 + + Чкпк )2

(к=1,2,...,г), то частоты и®к исходной системы и частоты щк измененной удовлетворяют неравенствам:

щ <щ (к=1,2,...п), щ_ <щ (к=г+1,...п).

Т аким образом, из уравнения частот определяются значения к. (1=1,2,3,...), которые связаны со значениями собственных частот выражениями

I Е1

тш + т„„ . (5)

= к.

Из первого уравнения системы (4) нетрудно определить, что

В =

V (кі)

к ЕІ

и (кі) + Т (кі)

Л

Б

Подставляя А и В, выраженные через Б, в общий интеграл (3), получим следующую форму главного колебания (здесь и в дальнейшем постоянные множители опущены):

к ЕІ

и(кі)+Т(кі) + фх)

Из изложенной выше методики наибо-

с

лее трудоемкая часть расчетов состоит в определении корней уравнения частот. Практически реализация этой части без применения вычислительной техники не представляется возможной. В таблице 3 приведены уравнения частот и форм главных колебаний для рассмотренных в классификации случаев закрепления трубопровода в двух опорах.

2) Краевые условия в этом случае (см. рис.1)

у(0) = у'(0) = у(1г +12) = у'(11 +12) = 0 Е1у"'(11) = су(11)

Подставим краевое условие у(0) = 0 в выражение (1). Получим

Л8(0) + ВТ(0) + Си(0) + БУ(0) = 0

Откуда с учетом (2) ^=0. Тогда общий интеграл (1), удовлетворяющий для рассматриваемого случая краевому условию у(0)=0, имеет вид:

у(х) = ВТ(кх) + Си(кх) + БУ (кх)

при 0 < х < 11

П

у(х)=ВТ(кх)+СЦкх)+БУ(кх)+—-—У(к(х-11))

к3Е1

при 11 < х < 11 +12

Из второго краевого условия при х=0, получаем:

у"( 0 ) = к2 [ВУ(0 ) + С8( 0 ) + БТ( 0 )] = 0

или с учетом (2) С=0. Тогда общий интеграл (1), удовлетворяющий условиям на конце х=0, имеет вид:

у(х ) = ВТ(кх ) + БУ (кх )

при 0 < х < 11

П

у(х) = ВТ(кх) + БУ(кх) + ^^У(к(х -11))

к Е1

при 11 < х < 11 +12

С учетом краевых условий при х = 11 +12 получаем следующую систему уравнений:

К

Єи(к(і1 +12)) + DV(k(l1 +12)) + ЄТ(к(і1 + і2)) + Би(к(і1 + і2)) +

к ЕІ К к3ЕІ

V(kl2) = 0

и(кі2) = 0

(6)

К этим уравнениям, содержащим три неизвестных С, Б, К, нужно добавить еще

одно уравнение, именно, уравнение, получающееся из краевого условия на промежуточной опоре:

к^ЕЦСЦЦ)+ББ(к1г ))=е(Си(к11)+БЦЦ ))

(7)

Из (6) и (7) после небольших преобразований получим уравнение частот системы:

ЩЩ + У) У(к(1: +12)) У(к12)

Т(к(11 +12)) и(к(11 + і2)) и(к[2)

к3БІУ(кІІ)-си(кІІ) кЕЩкЦ)-сУ(к11) 0

= 0

или

а1 Ьі й1

а2 ь2 ^2 = 0

аз Ь й3

Л =

где

а1 = и(к(11 +12))

а2 = Т(к(11 +12))

а3 = к3Е1У(к11) - си(к11)

Ь, = У (к(1г +12))

Ь2 = и(к(11 +12))

Ь3 = к3ЕШ(к11) - сУ (к11) а, = У(к12)

й2 = и(к12)

аз = 0

Раскрывая определитель, найдем:

А = й1(а2Ь3 - а3Ь2) - й2(а1Ь3 - а3Ь1) = 0

Определив корни уравнения частот к. , по уравнению (5) нетрудно определить значения собственных частот системы. Из уравнений (6) и (7) выразим переменные С и К через Б. Получим:

С = еУ(к11) - к3Е1Б(к11) Б к3Е1У(к11) - си(к11)

сУ (к!,) - к3 Е№ (к!,)

Я к3 ЕІ

1

ПК)

к3ЕIV(к!1) - си(к!1)

X и (к(/і + !2)) + V(к(/і + !2))

Б

Теперь мы можем записать уравнение форм главных колебаний:

Таблица 4. Уравнения частот и форм главных колебаний

1 Л = й— (а2Ь а— = и(к(1І +12)), а 2 = Т (к(і— +12) Ь2 = и(к(їІ + ї2)), Ь3 = к3ЕІ Д*)=-—и( а3 _у(х) = - — и(кх)+V (кх) - — а3 й— - а3Ь2 ) - й ), а3 = к^ ^) - cV( кх)+V (кх) ' Ь —3-аІ + ЬІ < (з (аіЬ3 - а3ЬІ) ЧІУ(кіІ) - си{кіІ), ЬІ = V(к(іІ +12)), кіі), й— = У(ккі2), й2 = и(кі2) при0 < х < і— V(к(х -1—)) при і— < х < і — +12

2 Л = йІ (а2Ьз (і = ф(іі +12)), (2 = V(к (і— + і2) Ь2 = Б(к(і, +12)), Ь3 = к3ЕІ Ух) = - ^и(і а3 _у(х) = -Ь!- и(кх) + v(kx)—— (з й2 - (зЬ ) - й а3 = к31 S(кіІ) - сУ( сх) + V(кх) ьз І а2 + аІ аз (аіЬ3 - а3ЬІ) Пу{кіІ)- си(кіі), Ь— = Т(к(і— + і2)), кіі), й— = Т(кі2), й2 = Б(кі2) при0 < х < і— V (к(х -11)) при і1 < х < і— +12

3 Л = йІ (а2Ь3 (і = 5(к(іі +12)), а2 = к3ЕІУ(кі—) -Ь = и(к(1і +12)), Ь2 = к3ЕІ^(кіІ) -йі = Т(кі2), У(х) = - ^и(і а2 _у(х) = - Ь- и(кх) + v(kx) —— а2 йІ - а3Ь2)+й ■сМкії), -сГ(кіі), й3 = к3ЕІ8 їх)+V(кх) Ь2 Ь Ч а і + Ьі , (2 (аі-2 - а2ЬІ ) а3 = к3ЕІу(к(і, +12)) - с2и(к(і— +12)), - = к3ЕІ^<к(і1 + і2)) - с^(к(і— + і2)), (кі2) - с^(кі2) при0 < х < і— у(к(х - і—)) при і— < х < і— + і2

4 Л = йІ (а2Ьз (і = V(к(іі +12)), (2 = и Ьі = к^и(к(іІ +12))+Т(к(іі сі (к3ЕГ Ч Ь3 = Т(кіІ)+Б(кІг) к3ЕІ с2 V сі У .У(х) = 3Т (кх) + а3 у(х) = - Т(кх)+ —- £(кх)+ v(^ аз Сі -(з-2 )- й2 (аі-з -(з-і ) к(іі +12)), а3 = к3Еіи(кіі) - с2Т(кіІ), + і2 )), -2 =—Т(к(і, +12))+Б(к (іі +12)) сі ( к ЕІБ{кІІ)+^кі, )1, йі = Т(кі2), й2 = б(М2 ) V Сі У Еі £(кх)+v(kx) при 0 < х < і, сі їх)—— 1 Ь, - (Ьз- ^(к(х -1,)) приі, < х < і, +12 йі V аз У

5 Л = йІ (а2Ь3 аі = v(к(іі +12)), а2 = к3Еіи(кі Ьі =—и(к(іі +12))+Т(к(іі+12)), сі і 6 т~'2 т2 Ґ Ьз = Т (к(іі +12)) +\і - Сз сі V сі й3 = к = 2 Т(кх) + а2 у(х) = - Ь’2 Т (кх)+ к— 5(кх)+ v(^ а2 сі - а3Ь2)+йз (аі-2 - а2-і) ) - с2Т{кІІ), а3 = к3Еіи(к(і— +12)) - с2Т{кІІ), Ь2 = кЕ 1 Т(кі—)+(І с2^\к3ЕІ^(кіІ) с^(кі;) с— V с— У ч к3ЕІ^(к(іІ + і2)) - с^(к(і, + і2)), й— = Т(кі2), У ЕІ5(кі2) - с V(кі2), ЕІ ^(кх)+v(kx) при0 < х < і— сі їх)-— Ь— -(Ьь- v(kl(x-і—)) приі— < х < і— + і2 йІ V а2 )

Коды АЦП

Рис. З. Примеры экранных страниц программного комплекса

У =

cV(klj) - k3EIS(klt) k3EIV(klj) - cU(klJ

при О й x й l1

U(kx) + V(kx)

cV(klj) - k3EIS(kl1)

11

k3EIV(klj) - cU(klj)

У = , , ^rrU(kx)+V(kx)-

V(k(x -1,)) V(kl2)

cV(kl1) - k3EIS(k1) k3EIV(kl1) - cU(kl1)

U(k(lj + l2))+V(k(l1 +12))

I 1-580 мм I 2-208мм

«а-----------в»+*0------2------------вч

при < х < +12

В таблице 4 приведены уравнения частот и форм главных колебаний для всех, рассмотренных в классификации, случаев трубопроводов на трех опорах.

Описанные выше алгоритмы реализованы в программном комплексе, ориентированном на персональные компьютеры типа ІВМ РС и операционную систему ’Мпёо,№8 95 или '^пёо’№8 98. Программный код выполнен на языке С++ с применением интегрированной среды Вог1апё С++ВиШег.

На рис. 3 представлены окно ввода исходных данных и окно вывода результатов расчета. Имеется возможность вывода результатов расчета в файл данных.

Для проверки достоверности принятых расчетных моделей и работоспособности

Рис. 4. Схема исследуемого трубопровода

Рис. З. Осциллограмма собственных колебаний трубопровода

программного комплекса наряду с машинным экспериментом был проведен эксперимент на реальном трубопроводе, схема которого представлена на рис. 4.

Экспериментальное исследование собственных частот трубопроводной системы осуществлялось методом простукивания /3/. Основными достоинствами этого известного метода применительно к трубопроводам является высокая производительность, оперативность и несложность применяемой аппаратуры. Он позволяет производить измерения непосредственно на собранной системе, с учетом всех особенностей монтажа, в том числе и с учетом реальных жёсткостей опор трубопровода. На рис. 5. представлена осциллограмма виброускорения, на которой явно видны затухающие колебания. В качестве датчика вибрации применялся преобразователь пьезоэлектрический виброизмери-тельный ДН-4М1 (масса этого датчика 13 г). Сигнал с датчика подавался в измеритель шума и вибраций типа ВШВ-003-М2. Аналоговый сигнал с измерителя шума и вибраций далее поступал в аналого-цифровой преобразователь L-264 фирмы L-card, г. Москва (точность АЦП- 12 бит). Цифровой сигнал с выхода АЦП с помощью программы Gemis Oscilloscope записывался на жесткий диск компьютера. Далее проводился спектральный анализ записанного сигнала.

В таблице 5 приведены экспериментальные и расчетные собственные частоты рассматриваемой трубопроводной системы. Же-

Таблица 5. Экспериментальные и расчётные собственные частоты

Номер собственной частоты Экспериментальное значение, Гц Расчетное значение, Гц Погрешность расчета, %

Первая 166,8 166,8 0

Вторая 307,5 314,3 2,2

Третья 702,5 657,2 6,4

сткости опор, необходимые для расчетов, определялись как экспериментальным, так и расчетным путем (различие в результатах составило 0,7%) и составляли

с = 0.777 ■ 106И/м .

Из таблицы видна хорошая сходимость экспериментальных и расчетных значений, по крайней мере, для трех первых собственных частот. Как и следовало ожидать, погрешность определения собственной частоты расчет с увеличением номера этой частоты.

Приведенные данные позволяют судить об адекватности математической модели и возможности использования разработанного программного комплекса для решения задач определения собственных форм и частот колебаний трубопроводных систем.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Старцев Н. И. Трубопроводы газотурбин-

CALCULATIONS OF PIPELINES’ NATURAL FREQUENCIES AND VIBRATION FORMS ON THE BASE OF SOFTWARE APPLICATION

© 1999 A.B. Prokofiev

Institute of Machines Acoustics, Samara

Software tools for calculation of natural frequencies and vibrations forms of pipeline systems is developed. Mathematical models, which form the basis of the software, are presented. Experimental determination of pipeline natural frequencies for two elastic piers, which have cantilever end, is carried out. The obtained data are compared with calculation results.

ных двигателей. М.: Машиностроение, 1976-272 с.

2. Кондратов Н. С. О параметрических колебаниях трубопроводов // Вибрационная прочность и надежность авиационных двигателей. Куйбышев: КуАИ, 1965.- С. 173-182.

3. Сидоренко М. К. Определение собственных частот колебаний трубопроводов методом простукивания // Вибрационная прочность и надежность авиационных двигателей. Куйбышев: КуАИ, 1965. - С. 135-142.

4. Гладких П.А., Хачатурян С.А. Вибрации в трубопроводах и методы их устранения. М.: Машгиз, 1959. - 243 с.

5. Бабаков И.М. Теория колебаний. М.: Наука, 1965 - 559 с.

6. Гантмахер Ф.Р., Крейн М.Г. Осцилляци-онные матрицы и ядра и малые колебания механических систем. М.: Гостехиз-дат, 1950 - 143 с.