Расчет скоростей подтекания к щелевому стоку-раструбу

Сафиуллин Р. Г.; Посохин В. Н.

УДК 697.921.42

Р. Г. Сафиуллин, В. Н. Посохин РАСЧЕТ СКОРОСТЕЙ ПОДТЕКАНИЯ К ЩЕЛЕВОМУ СТОКУ-РАСТРУБУ

Ключевые слова: сток-раструб, осевая скорость, идеальная жидкость, потенциальное течение, конформные

отображения.

Рассчитывается осевая скорость в потоке вблизи щелевого стока-раструба. Решение получено в рамках теории потенциальных течений идеальной жидкости со свободными поверхностями.

Keywords: sink-funnel, axial velocity, the ideal fluid, potential flow, conformal mapping.

The axial velocity in the flow near the slit-flow funnel is calculated. The solution is obtained in the framework of the theory ofpotential flows of an ideal fluid with free surfaces.

Аэродинамическое совершенство входных и выходных элементов является важным критерием оценки энергоэффективности контактных устройств с увеличенной пропускной способностью для тепломассообменных процессов [1].

Рассматривается течение вблизи всасывающего плоского раструба, симметричная половина которого показана на рис. 1, а. Расход удаляемого воздуха L, средняя скорость в отводящей трубе vср = L/2B .

Ранее в статье [1] определены очертания первой по ходу воздуха отрывной зоны, образующейся при срыве потока с острой кромки - точка С (рис. 1, а).

Решение получено в рамках теории потенциальных течений идеальной жидкости со свободными поверхностями. То есть полагается, что жидкость в зоне отрыва неподвижна,

модули скорости на свободных границах СМБ и ЕЕ постоянны (соответственно v 1 и v2). Вводится в рассмотрение функция Жуковского

, 1 dW . |v| .

X = In--------= In—-10 = u + io (1)

v2 dz v2 v '

|v| .

где u = ln~, ю = -0, W = Ф + lV - комплексный потенциал течения; Ф и V - соответственно

потенциал и функция тока; v = vx - ivy - сопряженная комплексная скорость; М и ® - модуль и аргумент комплексной скорости.

На рис. 1 приведены области течения в физической плоскости z = x +|y; плоскостях W = ф + |V и X = u + 1ю, а также в параметрической полуплоскости С = ^ + |Л .

Конформные отображения областей друг на друга определены с помощью формулы Кристоффеля-Шварца. В результате получены следующие связи

^ = v2 • ex(c) ; (2)

dW = L

dC = 2 -1)

dz = ^ exp[-x(C)]

dC ^v2 С2 -1

C e-X(c)

(3)

(4)

I c e-x(C)

ft) =-------fr^dt + l(B + Isinp) ; (5)

^v2 0 (t -1)

z

где х(с)=к?-—()' пХ) тХ) у ч +,п—+'(,1+р) (6)

пч I (I - и) -1)()+1)1 - е) - а)) v2 ' р; ''

I - переменная интегрирования; е, д, т, Ь, п, К - параметры отображений которые определяются с помощью теории вычетов и из заданной геометрии раструба. Соответствующие выражения для параметров отображений приведены в [2].

Рис. 1 - Области течения в плоскостях: а — физической; б — комплексного потенциала; в -переменной Жуковского; г - параметрической полуплоскости

Здесь мы сосредоточимся на определении осевой скорости, то есть скорости на отрезке

А¥.

В точке О в центре раструба ф = 0, х = Хо. Из формулы (3) следует, что точке О в плоскости £ соответствует бесконечно удаленная точка £ = £, = ± да . Необходимо определить х о = х( = да). Из (6) следует, что

-1

х о =Х(оо) = -К | f ( )л (7)

—да

где

f (1 )=

( - пХі - т)

(1 - П) -1) ‘(1 +1)1 - еХеї -1) ■

Для произвольных точек на оси течения, где |5| > 1 имеем

ад

х(5)=хо - к/1 ())), 1 <5

Х(0 = Хо -к|1 ())а1, -ад<5<-1.

-ад

Из равенств (5), (7), (8), (9) следует, что

х(£) = х о —— I ехр|- К

лу2 ^ I

2 £

£

I f (1 )с -| f (1 )с11

С£

£2 -1

1 < £ < да ;

(8)

(9)

(10)

і 5 і -да с,

х(£) = х о +---------I ехр|- К I f()С‘ +| f()С‘

ЛУ2 -да I -1 -да

С£

£2 -1

- да < £ < -1. (11)

Обозначим экспоненты в (10), (11) соответственно, О1 (5) и о 2 (5) и покажем, что

найдем

1 ат

- 01 (5) = О 2 (5). Действительно, сделав замену т = -, а) = —^

) т

1 чТУ Т

£

1 чТУ Т

£

Таким образом, - О1 (5) = О 2 (5) = О(5).

Аналогично рассуждая, можно показать, что

5о() ^=-Н ^

Тогда искомое соответствие осевых точек в плоскостях 7 и ? при 15 > 1 определится из

соотношения

Осталось определить координату х0 :

х о =■

—Ре| е-х(‘ )-^.

^ о 12 -1

(12)

(13)

Из выражения (13) видно, что к точке х о = С (ад) мы двигаемся по мнимой полуоси, где ? = ^. Это позволяет избежать сложностей, связанных с наличием особенностей в подынтегральных выражениях при интегрировании по действительной оси 5 .

Представим уравнение (6) в виде

? () - п)() - т) а)

х(£)=х(о)+К о ( „V-1)^(1+1)1 - е)1 - с), =х(0)+и(£),

(14)

где х(о) = Іп— + ( + р).

У2

При 1 = І^ из (12) имеем

£

да

х о =—^е| е-х(л) 1Щ- = -^| ехр[е(- х (■ л))] ^ 1п[ ит (- х(1л))]т—V. (15)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

л^2 о 1 + л2 ^2 о 1+л2

Найдем значение Ке|(?) и 1т(?) на мнимой полуоси, где

|(л) = КК'Л- п)л- т) а(л)

Л (л- и)л-1) V I л(л + 1)л - е)л - а)

Представим комплексные сомножители в тригонометрической форме

( )= кл (п2 + т2 )л2 + п2)______________1____________

о (л2 + 2 +1) д/л(л2 + 1)(л2 + е2 )л2 + а2)

X ехр

агесов

д/л2 + п2

Л Г

+ агесов

У

т

- агесов

—агесов 2

л/л2 + и2 а

V

Л Г

- агесов

л/л2 + т2

У

V

л/лг+1г

к

4

л/л2 + а2

1 е

—агесов

2 у 7л2 +22У

л/л2 +1,

л

= 1Кл К (л)ехр[ (л)]с1л ,

ал =

где К1 (л) - действительный множитель, стоящий перед экспонентой; К (л) - действительное выражение в квадратных скобках под знаком экспоненты.

Таким образом, имеем

л

(16)

(17)

(18)

о

л

х 0

Подставляя полученные результаты в (15), находим окончательный вид формулы для

ал

х0 =

■ ад

о 1

+л

2

(19)

Равенства (12), (19) определяют соответствие точек на оси течения в плоскостях 2 и ?. Из уравнения (12) следует

п

и

1

V 2

V х = о(5),

> 1

(20)

Напомним, что

о(5) = - ехр] к

Л1 () )а) -Л 1 () )а)

Равенства (10), (11), (19), (20) определяют скорость на отрезке ЛЕ, где |5| > 1. Результаты расчетов для раструбов с разными углами раскрытия р/к и длиной I = 1/В приведены на рис. 2 и 3.

Рис. 2 - Изменение осевой скорости вблизи раструбов разной длины при постоянном угле раскрытия р/к=0,25

Рис. 3 - Изменение осевой скорости вблизи раструба постоянной длины I = 0.5 при разных углах раскрытия

Можно сделать вывод, что падение осевых скоростей не сильно зависит от длины раструба. Существенное влияние заметно лишь на малых удалениях и, в частности, в центре раструба, где скорость vo может служить показателем неравномерности всасывания в приемном отверстии раструба.

На рис. 4 приведены графики зависимости vo = vo|vср = 70(р/л, /). Видно, что каждой

длине раструба соответствует некоторое значение Р/л, при котором v0 минимальна. При Р ^ 0.5 все кривые стремятся к значению 0 = 1.02 , характерному для щелевого отверстия в безграничной стене. Значения Р/л, соответствующие минимумам 0, лежат в пределах

0.25-0.35 (в « 45-60°).

Ч,

1,в

1,4

1.0

0.1 0,2 0.3 0.4 ^

__________________________________________________________________я____________________________

Рис. 4 - Графики функции 70 = 70 (р/л, I)

Полученные результаты могут быть использованы при конструировании входных участков разных технологических аппаратов.

Литература

1. Макушева О. С. Контактные устройства с увеличенной пропускной способностью для тепломассообменных процессов / О.С. Макушева, А.В. Дмитриев, А.Н. Николаев // Вестник Казан. технол. ун-та. - 2010. - № 10. - С. 648-650.

2. Посохин В.Н. О форме отрывных зон на входе в раструб/ В.Н. Посохин, Н.Б. Салимов, Р.Г. Сафиуллин // Известия вузов. Проблемы энергетики. - 2003. - № 3-4. - С. 39-47.

Расчет скоростей подтекания к щелевому стоку-раструбу Текст научной статьи по специальности «Физика»

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Сафиуллин Р. Г., Посохин В. Н.

Похожие темы научных работ по физике , автор научной работы — Сафиуллин Р. Г., Посохин В. Н.

Текст научной работы на тему «Расчет скоростей подтекания к щелевому стоку-раструбу»