К расчету течения вблизи раструба Текст научной статьи по специальности «Физика»

В. Н. Посохин, Р. Г. Сафиуллин

К РАСЧЕТУ ТЕЧЕНИЯ ВБЛИЗИ РАСТРУБА

Ключевые слова: сток-раструб, идеальная жидкость, отрывные зоны, конформные отображения.

В рамках теории струй идеальной жидкости рассчитаны характеристики течения вблизи щелевого стока-раструба, в частности определена геометрия отрывных зон на входе в раструб. Решение получено с помощью метода конформных отображений.

Keywords: sink-funnel, an ideal fluid, tear-off zone, conformal mapping.

On the bases of theory of ideal fluid jets the flow characteristics near the sink-funnel are calculated, in particular - the geometry of the tear-off zones, which formed at the entrance to the sink-funnel. The solution is obtained by the method of conformal mappings.

Введение

Рассматривается течение вблизи щелевого стока-раструба (рис. 1). Расход удаляемого воздуха L, средняя скорость на входе в раструб vP = L/2 (В + lsin р); средняя скорость в трубе -vо = L/ 2Б. В зависимости от длины раструба l может реализоваться схема течения рис. 1, а -«длинный» раструб с двумя отрывными зонами или схема рис. 1, б - «короткий» раструб с одной отрывной зоной.

Рис. 1 - Расчетные схемы течения: а -раструб», б - «короткий раструб»

«длинныи

Для «короткого» раструба ранее было получено решение, описывающее поле скорости и очертания отрывной зоны [1, 2]. В этой статье приводятся результаты решения для «длинного» раструба. Анализ проведен в рамках обычных предположений теории течений идеальной жидкости со свободными поверхностями, ограничивающими зоны отрыва [3]. То есть полагается, что жидкость в этих зонах неподвижна, скорости на свободных границах постоянны (V1 на первой по ходу воздуха границе и V2 - на второй). Вне отрывной зоны жидкость идеальна. Течение потенциальное.

Результаты расчетов

Вводится в рассмотрение функция Жуковского

, 1 dW 1 = 1п----— ,

V 2 dz

где W = ф + /у комплексный потенциал течения; ф и у - соответственно, потенциал и функция тока; z = х + /у комплексная координата в физической плоскости.

В плоскостях W и і область течения представляет собой многоугольники, которые можно конформно отобразить на верхнюю полуплоскость ^. В результате получаем параметрические выражения:

- для сопряженной комплексной скорости

dW

= Vx - IVy = v

dz Л y

для комплексной координаты

• e

x(Q).

dz

dQ

L

ex¡

p\-i(Cñ .

IV

2

(1)

(2)

где

x() = k]

(t - n)t - m)dt

(t - h)t-l)(t+1) - e)t - d)

+ ln— + I't + p)

функция, отображающая область течения в плоскости переменной Жуковского на верхнюю полуплоскость ^ Ї - переменная интегрирования.

В последнем выражении п, т, Ь, е d, к -параметры конформного отображения, которые определяются с помощью теории вычетов. Без подробных выводов приведем систему уравнений для определения параметров

(n - h)(h - m)

K =

_L= .................. .

Kn ^(h + l)h - e)h - d )h (1 - h)

у/2(1- e)(l - d)(1 - h).

(1 - n X"l - m) ’

dt

R= K] (t - n Xt - m) .

P i,/(t + 1)e-1)d-1) (t-h)t-1);

(3)

(4)

(5)

2

пї-=-к 1

dt

J(t+\Xï-eXdd—Щ (t - - іХ

(6)

Итак, имеется четыре уравнения и пять параметров отображения. Вспомним, что неизвестными параметрами задачи являются также скорости V1 и V2 . Недостающие соотношения находятся из заданной геометрии течения.

Длина раструба -

dt =

,-Ке і(( X

dt

1 -12

Координата точки Е -

I е

-1 є/п р =----ит 1

™ 2 0

Координата точки Н -

ехР[-1( Х

t2 -1

і е

-1 соє р =-----------Яе 1

ЛV 2 "

exp[-1(t Х t2 -1

(7)

(8)

(9)

Полуширина трубы -

_Р

в = -^ Г1л е -х1(1)

1 р 1 —+ -

2 л 1 - Л

+ 1'(1)

(10)

и(1)=|

В последнем выражении р

1

Уравнения (1) -г- (10) позволяют рассчитать поле скорости и очертания свободных линий тока. Опуская здесь сложности, связанные с определением функций (1)^(3) на отдельных участках границы течения приведем некоторые результаты расчетов.

На рис. 2 приведены очертания первой по ходу воздуха границы отрывной зоны для раструбов с р = 0,3л, / = I / В = 2,143 (рис. 2, а) и р = 0,5л, I = 2,483 (рис. 2, б). Видно, что размеры вихревой зоны весьма значительны. Как показывают расчеты, ее протяженность, для всех значений р не намного меньше длины раструба.

На рис. 3 приведены результаты расчетов координаты у 1, ограничивающей «эффективную ширину» раструба не занятую зоной завихрений. При значении р и 0,35л функция имеет максимум, то есть при р и 60 ° относительная ширина вихревой зоны на входе в раструб минимальна.

Рисунок 4 дает представление о неравномерности всасывания по «эффективной ширине» раструба. Здесь по оси ординат отложена

безразмерная скорость в центре раструба - = vц • 2У1

v ц =

I

Рис. 2 - Форма первой свободной линии тока: а -при угле раскрытия раструба р=0.3л и относительной длине I = I / В = 2,143 ; б - при р = 0,5л и / = 2,48

£ — <\

2

02

0,3

0.4

Р_

л

Рис. 3 - Зависимость координаты У1,

ограничивающей «эффективную ширину»

раструба от угла раскрытия р / л

Рис. 4 -Зависимость скорости в центре раструба от угла раскрытия р / л

Видно, что для разных I кривые имеют минимумы при значениях р / л, лежащих в

интервале 0.22^0.32. Во всех случаях скорость в центре раструба больше среднерасходной по «эффективной ширине» раструба. Это означает, что профиль скорости на входе в раструб существенно

неравномерен. Неравномерность всасывания уменьшается с уменьшением длины раструба.

Литература

1. Посохин В.Н. К расчету течения вблизи всасывающей щели с раструбом./ Посохин В.Н., Гуревич И.Л. // Изв.

Вузов. Технология текстильной промышленности, 1981, № 3. - С. 84-86.

2. Посохин В.Н. Расчет скоростей подтекания к щелевому стоку-раструбу./ В.Н. Посохин, Р.Г. Сафиуллин// Вестник Казан. технол. ун-та. - 2011. - Т. 14, № 22. - С. 41-46.

Гуревич М.И. Теория струй идеальной жидкости. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука, 1979. - 536 с.

© В. Н. Посохин - д-р техн. наук, проф., зав. каф. теплогазоснабжения и вентиляции Казанского ГАСУ; Р. Г. Сафиуллин -канд. техн. наук, доц. той же кафедры, 8аГш11т_ппа1@таД.га.