Расчет ротора насоса методом конечных элементов Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

- © М.А. Викулов, Н.П. Овчинников, 2014

УДК 621.671

М.А. Викулов, Н.П. Овчинников

РАСЧЕТ РОТОРА НАСОСА МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Рассмотрен принцип разбиения ротора насоса конечным числом элементов. Ключевые слова: ротор, балка, узловые перемещения, матрица.

Современные компьютеры позволяют проводить инженерный анализ машин и механизмов, имеющих сложную геометрическую конфигурацию, при помощи численных методов, а именно методом конечных элементов.

На рисунке представлена балка на опорах - упрощенная модель ротора насоса типа «Д», разбитая конечным числом элементов п, соединенных друг с другом в узлах, для каждого которого составляется общее уравнение матричного метода, представляющее собой закон Гука в обобщенном виде [1]:

Р = к • я (1)

где Р - вектор сил; к - матрица жесткости, мм; я - вектор перемещений.

Данные уравнения для каждого отдельного элемента балки (1...п) объединяются в общую систему уравнений, решение которой дает вектор узловых перемещений системы (я).

Очевидно, узловые перемещения системы играют ключевую роль в определении внутренних усилий, напряжений, собственных частот и др.

Для расчета вышеуказанных параметров нам необходимо знать следующие компоненты [1]:

• Плотность металла р;

• Модуль упругости Е (модуль Юнга);

• Вес модели С;

• Длина участка 1 балки;

• Площадь поперечного сечения Р (для круглого сечения Р = тсг2);

• Геометрический момент инерции 3 (для круглого сечения 3 = п04/32).

С учетом того, что балка представляет собой совокупность отдельных элементов, соединенных друг с другом узлами, то... Площади сечений балки Р равны:

Р = Р + Р ... Р

т

т„

т

■"1 "'2 а длины 1 ее участков:

1 = 1 + 1 ... 1

т

где т

т

т

т и т

1 ... 1

т

(2)

(3)

- площади

и длины конечных элементов балки.

Таким образом, массу представленной балки можно рассмотреть как:

Принципиальная схема ротора насоса типа «Д»: L - длина балки; 11.1П - длины участков балки; Р1, Р2...РП - площади поперечных сечений участков; 1...п - число элементов; С - вес модели (балки); т - элемент

m* = (p • F • l )... + (p • F • l ).

mi mi mi mn mn mn (4)

Каждый отдельный элемент системы m должен быть достаточно простым, чтобы имелась возможность легко определить перемещения и усилия в любой части элемента по заданным перемещениям его узлов.

В качестве конечного элемента возьмем наиболее простой тип элемента -балочный (Beam), состоящий из трех узлов и имеющий шесть узловых перемещений (степеней свободы).

Взаимосвязь перемещений узлов конечного элемента и усилиями в них задается с помощью матрицы жесткости элемента [2]:

k(m) =

k1111 k1211 k1311 ■ k1N

k2111 k2211 k2311 k2N

k3111 k3211 k3311 k3N

ni

*n2

n3 k

*nN

kN1 kN 2 kN 3 kNN

(5)

где п - число элементов; N - число уравнений системы (п ■ ц).

Под к понимается усилие, действующее на узел т элемента по направлению 1 от единичного перемещения узла этого же элемента по направлению ] при условии, что перемещения всех остальных степеней свободы равны нулю [3].

Общая система уравнений (1.1) имеет следующий вид: ' } ^

ku k12 k13 • • k1N " V P1

k21 k22 k23 • k2N Я2 P2

k31 k32 k33 • k3N • Я3 = P3

kn1 kn2 kn3 ••• knN Qn Pn

kN1 kN 2 kN 3 kNN _ Qn. Pn,

где i - столбец матрицы; j - строка матрицы; 1... 3 - узлы в балочном элементе (Beam).

В случае, когда q. = 0 (опора находится в неподвижном состоянии), необходимо выполнить следующую операцию. Например, q2 = 0. Тогда:

ku 0 k13 • • k1N ' Q1

0 1 0 • . 0 0 0

k31 0 k33 • k3N • Q3 > = • P3

kn1 0 kn3 • ■ knN Qn Pn

kN1 0 kN 3 kNN _ Qn, Pn

(7)

В выражении (6) значения к (или ЕР/1...12Е3/13) в строках) и столбцах ¡, содержащие я2, заменяют нулями, а диагональный член (в нашем случае к22) единицей. Сила Р2 тоже приравнивается к нулю соответственно. В выражении (7) перемещения опоры я2 равняются нулю, т.е. граничные условия соблюдены [2, 3].

Представим, что балка (рисунок) была разбита на 210 элементов. Исходя из вышеприведенного анализа, рассматриваемая деталь в матричной форме принимает следующий вид:

k(1) ] [0] .. ■ [0] " ' K} {pa,} -

[0] [k<2)] ■ [0] Г} . =. {P(2)}

[0] [0] ■■ ■ [ k(210) ] >(210)} {p(210)}

(8)

Приведенная математическая модель в матричном в виде соответствует принципиальной схеме ротора насоса (рисунок), тем самым доказывая, что метод конечных элементов является основным инструментом при проведении инженерного анализа машин и механизмов, имеющих сложную геометрию.

1. Макаров Е.Г. Инженерные расчеты в Mathcad. Учебный курс. - СПб.: Питер, 2005. - 448 с.

2. Замрий А.А. Проектирование и расчет методом конечных элементов трехмерных

_ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

конструкций в среде АРМ Б1шс1:иге3О. - М.: Изд-во АПМ, 2006. - 288 с.

3. Нори Д., Сегерлинд Л. Введение в методы конечных элементов. - М.: Мир, 1979. - 155 с. ЕПЭ

КОРОТКО ОБ АВТОРАХ_

Викулов Михаил Александрович - профессор, зав. кафедрой, e-mail: [email protected], Овчинников Николай Петрович - ассистент кафедры, e-mail: [email protected], Северо-Восточный федеральный университет им. М.К. Аммосова.

UDC 621.671

CALCULATION OF THE PUMP ROTOR BY THE FINITE ELEMENT

Vikulov M.A., Professor, Head of Chair, e-mail: [email protected], Ovchinnikov N.P., Assistant of Chair, e-mail: [email protected], Ammosov North-East Federal University.

This article discusses the principle of decomposition of the pump rotor finite element. Key words: rotor, beam, nodal displacements, matrix.

REFERENCES

1. Makarov E.G. Inzhenernye raschety v Mathcad. Uchebnyi kurs (Engineering calculations in Mathcad. Training course), Saint-Petersburg, Piter, 2005, 448 p.

2. Zamrii A.A. Proektirovanie i raschet metodom konechnykh elementov trekhmernykh konstruktsii v srede APM Structure3D (3D structure planning and calculation by the finite element method in APMStructure3D environment), Moscow, Izd-vo ApM, 2006, 288 p.

3. Nori D., Segerlind L. Vvedenie v metody konechnykh elementov (Introduction in the finite element method), Moscow, Mir, 1979, 155 p.