CC BY
40
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ
Том XXVI
1995
№ 1-2
УДК 629.7.015.4.023.8
РАСЧЕТ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ УСИЛИЙ ПО РЯДАМ МНОГОСРЕЗНЫХ СОЕДИНЕНИЙ С УЧЕТОМ ДЕФОРМАЦИЙ ИЗГИБА СОЕДИНЯЕМЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
А. В. Панков
Предложена методика расчета распределения усилий по рядам точечных связей многосрезных поперечных стыков с учетом их изгиба. Приводится проверка точности методики и ряд расчетов напряженного состояния поперечных стыков.
Вопрос о напряженном состоянии (НС) соединений, в сечениях которых появляются напряжения изгиба, обусловленные наличием эксцентриситета в сечении или условиями нагружения, давно интересовал исследователей в связи с возможным влиянием этих напряжений на прочность. Однако до недавнего времени практически не рассматривался вопрос о влиянии изгиба соединений на распределение усилий по точечным связям (болты, заклепки, точечная сварка и т. п.).
В настоящей статье рассматривается задача о расчете распределения усилий по рядам точечных связей поперечного многосрезного соединения с учетом деформаций изгиба соединяемых элементов (СЭ). Расчетная схема соединения приведена на рис. 1 (на нем / — номер ряда крепежа, 1 ^ / й Ы; у — номер СЭ, 1 £ у £ Н). Соединяемые элементы представляют собой пластины прямоугольного сечения, площадь которых может ступенчато изменяться в одной точке пролета (в дальнейшем она будет называться особой точкой пролета). В особой точке пролета возможен «излом» центральной линии пластины с эксцентриситетом как показано на рис. 1. Соединение нагружается следующей комбинацией сил и моментов (см. рис. 1):
1) на краях действуют растягивающие силы Р^0 и Р^, причем:
я
Н
7=1
/=1
ст Г
тгрг
|||||
//
в
.т.
I
-і£ Ї1_
и| II
' 11111 І+7
Л
■Прг
N
І+1
771/ 77ІІ 771 і+ї
Рис. 1. Расчетная схема соединения
л
771 ж
2) в особой точке /-го пролета действуют сосредоточенные перерезывающие силы / и изгибающие моменты /я,.
В каждой особой точке пролета могут быть заданы перемещения и первая производная от перемещения упругой линии соединения. Перемещение и его первая производная на правом краю соединения равны нулю.
Неизвестными выбираются усилия в у'-м СЭ на /-м пролете (/-й пролет расположен между связями / и / + 1).
Для решения поставленной задачи вводятся следующие допущения и предположения:
1. Взаимное смещение соединяемых элементов относительно друг друга в районе /-го ряда точечных связей определяется согласно методу, предложенному в работе*:
-У/ • Р(
(1)
Ду = (Д1 /; Д2,/; • • •; Л/у—1,/ ) ~ вектор смещений, где Ду — смещение
у'-го СЭ относительно у + 1-го; — матрица податливости;
Pбi =(Рб1,1>Рб2,1'>~ '>рбН-у)Т- вектор нагрузок; нагрузка, пе-
редаваемая /-й связью в сечении между у'-м и у + 1-м СЭ.
2. Соединяемые элементы рассматриваются как брусья, работающие на растяжение — изгиб. Изменение длины средней линии бруса, вызванное его растяжением, вычисляется с помощью формулы
^Л/,7 — С_/' Р‘
(2)
где
. кі,і г
Е: ; 1
СІХ
Еу^о Н]^і(х) ■ В] і(х) ’
с;>/ — коэффициент податливости СЭ; — модуль упругости СЭ на /-м пролете; /, — длина /-го пролета; (х), (х) — функции изме-
* См.: Панков А. В. Методика расчета зависимости «нагрузка — смещение» болтов и заклепок в многосрезных соединениях // Ученые записки ЦАГИ.— 1990. Т. 21, № 3.
нения толщины и ширины; Kjti — коэффициент, учитывающий неоднородность поля напряжений в СЭ, вызванных наличием отверстий под связи, а также другие факторы, влияющие на податливость СЭ.
Жесткость на изгиб СЭ равна:
ejj • jj,i • kj,i;
здесь Ej i', Jj i — модуль упругости и момент инерции сечения j-TO СЭ, для прямоугольного сечения
" 12 ’
где bjj и hjj — ширина и толщина сечения; kjj — коэффициент, равный 1 для бруса и 1/(1 - v2jtt) для пластины. Реальное значение Kjti зависит от отношения bjj / hj>t и лежит в границах: 1 ^ kjj <, 1/(1 - v2^/); vи — коэффициент Пуассона j-го СЭ.
3. Напряжения в соединяемых элементах и связях не превышают предела пропорциональности.
4. Трение между соединяемыми элементами не учитывается.
5. Соединяемые элементы деформируются совместно, т. е. на каждом пролете перемещения их упругих линий совпадают. В ряде экспериментальных работ было показано, что сделанное предположение является точным по крайней мере в районе установки связей.
6. Передача силы Pq через точечную связь с одного СЭ на другой приводит к возникновению изгибающего момента, равного ifc ■ Л^р, где Кр — расстояние между упругими линиями соединяемых элементов. Положительные направления действия перерезывающих сил и изгибающих моментов, принятые в данной работе, приводятся на рис. 1.
При изгибе соединяемого элемента под действием положительного изгибающего момента (см. рис. 1) его верхние волокна будут сжиматься, а нижние растягиваться. В результате соприкасающиеся поверхности смежных СЭ будут перемещаться друг относительно друга даже при отсутствии растягивающих соединение нагрузок. Взаимное смещение нижнего волокна СЭ у-го и верхнего волокна j + 1-го СЭ на пролете / легко определить, зная уравнение перемещений упругой линии соединения:
^изгу',/ = ~^сру,» ' У/ (0) + (ЛСр jj — hcрyy+i) • У/ iai) + Леру,/+1 • Уг ifi)>
у,!(0) — перемещение упругой линии СЭ.
Для определения неизвестных усилий в соединяемых элементах запишем N -1 уравнения совместных деформаций и одно уравнение равновесия сил на /-м пролете:
- SiEPi_j + (С/ + SfE + StE) • Pt - S{EPUi + Л,- = P0. (3)
<$ — матрица податливости, согласно (1) расширенная до размера Н на Н добавлением нулевых столбца и строки;
Д' = > ^*2,1 > ••• ^) >
Р0 = (0,0...Рсг)7’; '
с1,1 с2,г О о О О
0 с2,г о 1 0 0
с,= : : • у
0 0 ••• СН-1,/ ~сн,1
, 1 1 ... 1 1 )
коэффициенты податливости СЭ согласно (2);
О О О гН
1 1 0 ... 0
Е = >
,1 1 1 ... 1,
А» _ (Дизг!,/ > •••» ^ИЗГЯ-1,/> 0)'
Как уже было сказано выше, для определения вектора взаимных перемещений СЭ необходимо знать уравнение перемещений упругой линии соединения. Сделанные ранее допущения и предположения позволяют рассматривать соединение как сплошную переменного сечения балку, работающую на растяжение — изгиб. Жесткость балки на пролете /, согласно предположению 5, будет равна сумме жесткостей каждого СЭ. Используя классическую теорию изгиба балок, получаем:
У?(х) = 4,1 ^(к,11 х) + а2,1 сЬ(к?х) -
МЛ 0) /7(0)
+ уо;
У?(*) = Аи
к?
Т^сЬ(£л щ)бЬ (ЛгТ1 (х - а,)) +§И (£;л щ)с\у (к? (х - а,))
+А2,1
1к!
^*Ь(к? Щ) вИ (к? (х - а,)) + сЬ (^ а,) сЬ (к?(х - щ))
+~^ (вЬ(к^(х- а,)) -к?(х- а,)) + -^-(сЬ (к?(х - щ)) -1) -
М;(0) /5(0)
* + Уо>
(4)
У{ (х) — уравнение перемещения упругой линии /-го пролета; лип — индексы, обозначающие левую и правую части пролета; Уо — перемещение левого края соединения.
^(0) = 2>* + І£л Я,—*
к=0 к=0 .$=к
/-1 Н
(ЄМ + (ЛМ+1 ~ ЛУ,*) / 2) +
*=1 у'=1
і Н-1
+І Е
*=1 у=1
а.л-і)
.5=1 .
/-1
*/(0)=£Л;
*сру',*
£=0
^сру,А: — Лу+1,1 + ^у',ік /2 Лу'+1,А: / 2 +
»-1
+]£(*/> -е/+і,г); г=1
= ао ~ 0>
к] к — толщина 7-го СЭ в районе установки &-го ряда связей.
Неизвестные константы А\ Ь А^і определяются из условия выполнения равенства перемещений и первых производных от перемещений на краях пролета:
У?М) = У?+1(0), (у?У(іі) = іу?+1У(.0)
(5)
и из условии закрепления соединения в пространстве как жесткого тела: •
(6)
В случае если в особой точке /-го пролета заданы перемещение у? или его первая производная (у?)', в этой точке появится неизвестная
перерезывающая сила / или изгибающий момент /и,-. Для определения последних двух силовых факторов необходимо к составленным ранее уравнениям (5) и (6) добавить уравнения
У*1 (0) = у,и и (у?)'(0) = (у?У.
(7)
Таким образом, с помощью полученной системы уравнений (4)—(7) можно определить уравнение перемещений упругой линии соединения, а уравнения (3)—(7) образуют полную линейную систему уравнений для определения как НДС, так и параметров деформированного состояния многосрезного соединения, работающего в условиях изгиба.
СЭ © “ О %
М8
2,0
Рис. 2. Чертеж экспериментального образца
-2,0
в„/е0
10 20 Р.кН
С целью Проверки правильности Рис- 3- Сравнение расчета с экспе-
слелянны* ттпелттпттпжений и тпч- Риментом напряжения на внеш-сделанных предположении И ТОЧ них сторона накладок
ности предложенной расчетной методики автором было проведено исследование напряженного состояния двухрядного симметричного соединения двух полос встык с помощью двух накладок разной толщины (рис. 2). Материал полос и накладок — АК4-1чТ, модуль упругости Е — 70,6 ГПа, коэффициент Пуассона 0,35. Соединение осуществлялось с помощью двух стальных шпилек диаметром 8 мм. Модуль упругости шпилек 200 ГПа, модуль Пуассона 0,28. Размеры СЭ и расположение компонентов соединения указаны на рис. 2. На внешних сторонах накладок было наклеено по три тензодатчика.
В табл. 1 и на рис. 3 приводятся напряжения, полученные тензо-метрированием стэ и расчетом при разной общей силе на стык Р (напряжения в МПа, силы в кН). Индексом «в» обозначены напряжения в верхних волокнах более тонкой верхней накладки, индексом «н» — напряжения в нижних волокнах нижней накладки, сто — отношение силы на стык к суммарной площади накладок.
Результаты расчета и эксперимента имеют близкие значения, причем отличие между ними уменьшается с ростом нагрузки, что объяс-
Т аблица 1
Р, Эксперимент Расчет СТэ/ср-1,%
кН Оэ огэ /оо °р °р /°о
5 в -31,0 -2,48 -32,5 -2,60 4,8
н 66,2 5,30 62,5 5,00 5,9
10 в -57,2 -2,29 -61,6 -2,46 7,7
н 122 4,88 121 4,84 0,8
15 в -83,5 -2,23 -87,6 -2,34 4,9
н 176 4,69 175 4,67 0,6
20 в -108 -2,16 -111 -2,22 2,8
н 228 4,56 226 4,52 0,9
25 в -128 -2,05 -132 -2,11 3,1
н 281 4,50 274 4,38 2,6
30 в -147 -1,96 -151 -2,00 2,7
н 317 4,23 • 320 4,27 0,9
няется уменьшением относительной ошибки эксперимента при увеличении абсолютного значения измеряемой величины. Эксцентриситет сечения соединения привел к нелинейной зависимости напряженного состояния от уровня общей силы на стык. Подобный тип нелинейности обычно называют геометрической нелинейностью.
Доля нагрузки, приходящаяся на верхнюю накладку, также зависит от общей силы на стык. Эта зависимость, полученная с помощью предложенного метода, показана на рис. 4. На нем же крестиками отмечены значения, полученные расчетом с использованием экспериментальных значений напряжений. Большое отличие результатов объясняется тем, что определитель системы уравнений при расчете НС с использованием данных тензометрии при близких жесткостях СЭ имеет малую величину, что приводит к значительному влиянию погрешности экспериментальных напряжений на величину получаемых из них сил. Например, при Р = 5 кН изменение напряжений на верхних поверхностях накладок на 1% приводит к изменению нагрузки на 18%.
Ранее неоднократно сталкивались с проблемой невозможности с приемлемой точностью определить распределение усилий по связям соединений с изгибом по данным тензометрирования. Разработанный метод расчета распределения усилий по связям позволяет с достаточной точностью определять НДС подобных соединений. При этом напряжения, полученные с помощью тензометрирования, могут быть использованы для проверки правильности выбора расчетной схемы соединения, уточнения граничных условий и т. п.
Несмотря на отличие доли нагрузки, передаваемой на верхнюю накладку (см. рис. 4) в абсолютных значениях, все они лежат в отрицательной области, т. е. при действии на соединение общей растягивающей нагрузки в верхней накладке действует сжимающее среднее напряжение. В то же время расчет без учета влияния деформаций изгиба на напряженное состояние соединения показывает, что в верхней накладке должно действовать растягивающее усилие, которое составляет 22,1% от ..Рассчитанные при таком распределении относительные напряжения на верхней и нижней накладках в районе установки тензодатчиков равны 8,54 и 14,9 для верхней и нижней накладок соответственно, что значительно отличается от экспериментальных значений. Расчет с учетом деформаций изгиба, в котором накладки рассматриваются как монолитные, также приводит к относительным напряжениям, значительно отличающимся от экспериментальных значений (-4,79 и 6,79 для верхней и нижней накладок соответственно).
Рис. 4. Сравнение расчета с экспериментом. Усилие в верхней накладке
? 2 3 е $ # В качестве иллюстрации
ЭД=±=±иЬ±=±^ влияния на распределения
11 I I ■ усилий по рядам связей гео-
метрической нелинейности на рис. 5 приводятся результаты расчета распределения усилий по рядам панелей; в долях 6т общей силы на соединение Р прф разрнх значениях силы Р{ и пунктирной линией результаты расчета без учета деформаций изгиба. Панель представляет собой соединение двух дюралевых листов встык с помощью накладки. Расчет показал, что при нагрузках на соединение менее 10 Н третий ряд воспринимает почти вдвое Рис. 5. Результаты расчета распределения усилий бблыпую относительную на-
по рядам болтов в соединении панелей грузку, чем ТОТ же ряд при
нагрузке 100 кН, причем при последней нагрузке распределение усилий по радам практически совпадает с распределением, полученным расчетом без учета деформаций изгиба.
Оценка долговечности отверстий панелей, проведенная с помощью методики, разработанной в ЦАГИ В. Н. Стебеневым, показала наименьшую долговечность 220 блоков нагружения по третьему ряду отверстий со стороны более толстого листа. В эксперименте разрушение наблюдалось по этому же ряду отверстий после 320 блоков. Расчет без учета деформаций изгиба показал наименьшую долговечность по крайнему, шестому ряду отверстий 500 блоков, а расчетная долговечность для третьего ряда превысила 1000 блоков.
На рис. 6 изображено соединение, напряженное состояние которого было рассчитано с помощью:
1) метода сил без учета изгиба;
2) метода сил с учетом изгиба;
3) метода конечного элемента с учетом контактного взаимодействия соединяемых элементов друг с другом и их изгиба (метод разработан и реализован в ЦАГИ В. В. Нижегородовым).
40 , 40 ¥0 40
>1". *|* *1 Срез /
1П1 гГЬ гП1 гГЬ - гП1 гП1
Л&1 у у у о Ц-иЧиЙг
12 3 Срез 2
Рис. 6. Чертеж образца на двух накладках
Модуль упругости соединяемых элементов 100 ГПа, коэффициент Пуассона 0,25, толщина центрального и верхнего СЭ 10 мм, нижнего СЭ 5 мм, ширина 40 мм. Соединение осуществляется с помощью стальных болтов с модулем упругости 200 ГПа, коэффициентом Пуассона 0,28 и диаметром 10 мм. Шаг болтов 40 мм. В табл. 2 приводится распределение усилий по крайним (слева) болтам соединения для Рст ~ 1Н (расчет МКЭ не учитывает геометрическую нелинейность).
Таблица 2
р Метод сил с учетом Метод сил без учета
я изгиба изгиба
Д Номер среза
1 2 1 2 1 2
1 0,178 0,200 0,182 0,205 0,230 0,166
2 0,126 0,154 0,124 0,147 0,161 0,112
3 0,156 0,180 0,155 0,188 0,174 0,155
Таким образом, данные, полученные расчетом МКЭ и предложенным (в обоих случаях с учетом изгиба), отличаются друг от друга незначительно. Неучет деформаций изгиба соединяемых элементов приводит к значительным отличиям в нагрузках на болты. Следует также отметить, что изгиб соединяемых элементов приводит к передаче большей части нагрузки на стык через более тонкую накладку, например, в центральной части стыка на накладку, вдвое меньшей толщины, пришлось 54% общей силы на стык.
Анализ результатов экспериментальных и расчетных данных показал, что изгиб может приводить к резкому увеличению неравномерности распределения усилий по рядам точечных связей соединений. При этом наибольшая неравномерность наблюдается на начальном этапе нагружения, а с ростом нагрузки она уменьшается. При оценке долговечности соединений, в сечениях которых могут появляться напряжения изгиба, необходимо учитывать их влияние на распределение.
Рукопись поступила 16/УІІ1992 г.
