Расчет пролетных строений при введении фиктивной заделки в плоскости установки крайнего главного несущего элемента Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 624.21.092

РАСЧЕТ ПРОЛЕТНЫХ СТРОЕНИЙ ПРИ ВВЕДЕНИИ ФИКТИВНОЙ ЗАДЕЛКИ В ПЛОСКОСТИ УСТАНОВКИ КРАЙНЕГО ГЛАВНОГО НЕСУЩЕГО ЭЛЕМЕНТА

В.П. Кожушко, доцент, к.т.н., ХНАДУ

Аннотация. Приведен метод определения распределительной способности пролетных строений автодорожных мостов при введении фиктивной заделки в плоскости левого крайнего несущего элемента. Метод расчета базируется на более ранних разработках автора.

Ключевые слова: единичные перемещения, линии влияния усилий, матрица левой части системы уравнений, матрица свободных членов, полоса на винклеровском основании, прогиб главного несущего элемента, система уравнений, угол поворота фиктивной заделки, фиктивное защемление.

Введение

В работах [1-3] приведен метод расчета пролетных строений, в котором для выявления распределительной способности поперек строения вырезается полоса, которая рассматривается как полоса на винклеровском основании.

Анализ публикаций

Для определения ординат линий влияния усилий на главные несущие элементы пролетного строения (на балки, арки, рамы и т.д.) применен смешанный метод строительной механики, для чего вводилась фиктивная заделка (на левом краю рассматриваемой в поперечном направлении полосы). Задача сводилась к решению системы уравнений

X +s¡2X 2 +...+KXn + «M + у0 = д!,;

■ 81, х, +д'п2 Х2 +... + Ь'тХп + ап Ф0 + у' = А'пр; (1) X + х 2 +... + Хп = 1;

а1 Х1 + а2Х2 + ... + апХп = а,

где 8к - увеличенные в 1/ А раз единичные перемещения полосы в точке г, определяемые с учетом прогибов А главного несущего элемента пролетного строения (балки, арки, рамы и т.д.); Ар -

увеличенные в 1/ А раз перемещения полосы в I -й точке от единичной внешней распределенной нагрузки q = 1, которая при определении ординат линии влияния усилий ставится над тем главным элементом пролетного строения, для которого

строится линия влияния усилий; аг - расстояние по горизонтали от фиктивного защемления до г -го главного элемента пролетного строения; Ф0 - увеличенный в 1/ А раз угол поворота полосы в месте фиктивного защемления; у' - увеличенный в 1/ А раз прогиб полосы в месте фиктивного защемления; А - прогиб главного несущего элемента пролетного строения от единичной распределенной нагрузки q = 1 в том сечении по длине пролетного строения, в котором вырезается поперечная полоса.

Значения г и к меняются в пределах от 1 до п через единицу, где п - количество главных несущих элементов пролетного строения в поперечном направлении.

Действительные значения углов поворота ф0 и прогибов у0 полосы в месте установки фиктивного защемления следует определять по следующим формулам:

Фо = АФ0 , (2)

Уо = АУо . (3)

Для регулярных пролетных строений (т.е. когда главные несущие элементы имеют одинаковую жесткость и установлены в поперечном направлении пролетного строения на одинаковых расстояниях й) вместо истинных расстояний а1 от фиктивного защемления до главных несущих элементов удобно в системе уравнений (1) использовать относительные расстояния а1 / й. В первых

и уравнениях системы (1) умножим и разделим коэффициенты а1 при ф0 на величину ё. Напомним, что, кроме того, левая и правая части этих уравнений умножены на 1/ А. Тогда получим

ё А ё

где увеличенный угол фиктивной заделки

Фоё Фо = — А

(4)

а1 / ё - относительное расстояние от фиктивного защемления до / -й балки.

Тогда вместо коэффициентов а1, а2...аи при ф0 будут стоять коэффициенты 0,5; 1,5... (и - 0,5) при условии, что фиктивная заделка будет установлена левее левого крайнего главного несущего элемента на расстоянии ё /2.

Разделив левую и правую части последнего уравнения системы (1) на величину ё, также получим при Х1 и свободном члене относительные расстояния, равные 0,5; 1,5. (и - 0,5).

Задача по построению линий влияния усилий на главные элементы не усложняется и для нерегулярной системы. Если расстояния между главными несущими элементами неодинаковы, а жесткости их одинаковы, то это учитывается коэффициентами а при ф0 (т.е. расстояниями от фиктивной заделки до / -го главного несущего элемента пролетного строения). При введении относительных расстояний следует какое-либо расстояние между главными элементами взять за основное. Обозначим это расстояние ё0. Тогда относительное расстояние от фиктивной заделки до главных несущих элементов будет иметь вид а 1 / ё0. Таким образом, решение системы (1) не усложняется, т.к. количество уравнений, большинство коэффициентов при неизвестных и свободные члены определяются по тем же самым формулам [1 - 3]. При определении же угла поворота ф0 в формулу (4) следует внести изменения,

подставив в формулу вместо ё расстояние ё0 .

При разных расстояниях между главными несущими элементами ё1 и разных жесткостях главных несущих элементов Е1тл каждое из и первых уравнений следует умножить на величину 1/ А,, где А, - прогиб I -го главного элемента от единичной распределенной нагрузки q = 1 в том сечении, в котором вырезается поперек пролетного

строения полоса, рассматриваемая как полоса на винклеровском основании.

При изменении жесткости вырезанной полосы по ее длине изменяется в перемещениях 5Л и свободных членах Ар только перемещения этой полосы м>Л [1-3], т.е. в этих случаях остается решение той же системы уравнений с тем же количеством неизвестных.

Так как после решения системы уравнений (1) будет получено увеличенное значения угла поворота фиктивной заделки ф0 , то истинное значение

угла поворота ф0 следует определять по формуле

Ф0 =

ф0-а ё

(5)

Например, если в разрезном пролетном строении вырезать полосу в поперечном направлении в середине пролета, имеющего длину 1, прогиб главного несущего элемента (в данном случае главной балки на двух опорах) от единичной распределенной нагрузки q = 1 будет равен

А = -

514

384Е/

Угол поворота фиктивной заделки, если его определять по формуле (2), будет равен

Ф0 =

514

14

384Е/„ "Ф° 76,8Е/,

"Ф0 =

а прогиб полосы в месте установки фиктивной заделки

У0 =

14

76,8Е/,

-• У0.

Если увеличенный угол поворота ф0 получен при введении в систему уравнений (1) относительных расстояний а1 / ё, то

Ф0 =

14

76,8ёЕ/

■•Ф0.

Цель и постановка задачи

При определении ординат линий влияния усилий в ряде пролетных строений фиктивную заделку приходится ставить в плоскости левого главного несущего элемента (см. рис. 1). Посмотрим, как реализуется решение задачи в этом случае.

Реализация задачи

В системе уравнений (1) расстояние а1 = 0, единичные перемещения 8'к = =0 и свободный член в первом уравнении системы (1)

Д1 р = Д11 = 0. Тогда матрица левой части системы уравнений (1) будет иметь следующий вид:

3

а 4

а 5

а 6

а 7

7

а 8

8

а 9

9

Х1| х2| Х3| Х4| хм Хб| Х71 Х8| Х91

I I I I I I I I I

Рис. 1. Основная схема полосы

(6)

(1 0 0 ... 0 0 1 0 822 52э... 52п а 1

0 812 5Пз-.. 5;„ ап 1

111 ... 1 0 0

^0 а2 а3 ... ап 0 0

а матрица свободных членов при расположении свободных членов в правой части уравнений от действия единичной силы Р = 1, расположенной под к -м главным неупругим элементом, такой вид:

(0 ^

(7)

При введении относительных расстояний а1 / ё для регулярной системы матрицы примут следующий вид:

матрица левой части системы уравнений

(1 0 0 ... 0 0 1 0 522 52з... 52п

1 1

0 5'п2 5Пз... 5'пп (п -1) 1 111 ... 1 0 0 0 1 2 ... (п -1) 0 0

матрица свободных членов

(0 ^

(9)

ч а1 / ё

Допустим, требуется определить ординаты линии влияния усилий на первую балку, т.е определить X при загружении первой балки единичной внешней нагрузкой р = 1. Тогда матрица свободных членов (9) будет такой:

( 0 ^ 0

0 1

V0/

При построении линии влияния усилий на 9-ю балку матрица (8) останется прежней, а матрица (9) свободных членов примет вид

(0 ^ Д2

Рассмотрим первое уравнение системы (1) при введении фиктивного защемления над левым главным несущим элементом (см. рис. 1). Из (8) и (9) видно, что коэффициенты не равны нулю только при Х1 и у0. Свободный член Д1р = Д1Ь тоже равен нулю. Таким образом

или

X, + У0 = 0 (10)

Ус ="Х.. (11)

Подставим значения у0 = -Х1 в первые п уравнений. Получим систему уравнений, имеющую на одно неизвестное меньше. Матрица (6) и (7) будет рангом ниже:

матрица левой части системы уравнении

Г-1 8м 82з-- 8L

-1 д'п2 8!з- 8пп an 111 ... 1 0

0 a2 a3 ... an 0

Таблица 1 Значения X, ф'п и y'n при различных положениях фиктивного защемления

Линии влияния Ординаты линий влияния X по балкам ф0 У'

1 2 3

Фиктивное значение на левой консоли

0,8437 0,3125 -0,1562 0,5469 -1,1172

я2 0,3125 0,3750 0,3125 -0,0937 -0,2656

Фиктивное защемление в плоскости первой балки

0,8437 0,3125 -0,1562 -0,5469 -0,8437

R2 0,3125 0,3750 0,3125 -0,0937 -0,3125

матрица свободных членов

ГД

^ 2k

(13)

При введении относительных расстояний а1 / ё для регулярной системы матрицы (12) и (13) примут следующий вид:

матрица левой части системы уравнений

Г-1 522 82з... 82n 1

-1 8П2 8П3... 8Пп (n-1)

111 ... 1 0 v0 1 2 ... (n -1) 0

(14)

матрица свободных членов

ГД ^

^ 2k

V a /d у

(15)

При изменении положения фиктивного замещения ординаты линий влияния усилий х1 не меняются. Не меняется значение угла поворота ф0, т.к. при расположении единичной силы р = 1 над главными несущими элементами консольная часть полосы не изгибается (если фиктивное замещение расположено слева от пролетного строения на расстоянии ё /2 от левого главного несущего эле-

мента), а только поворачивается. Изменится лишь прогиб у0 в точке постановки фиктивной заделки.

Проверим это положение на примере разрезного балочного пролетного строения, имеющего три главные балки в поперечном направлении при показателе а [1-3], равном 0,1. Данные расчета при введении фиктивного защемления на левой консоли пролетного строения и при расположении фиктивного защемления в плоскости левой (первой) главной балки приведены в табл. 1.

Выводы

Таким образом, для построения линий влияния усилий на главный несущий элемент пролетного строения при введении фиктивного защемления в плоскости левого главного несущего элемента можно пользоваться таблицами или номограммами, приведенными в работах [4-6], в которых ординаты даны для балочных пролетных строений, имеющих в поперечном направлении от трех до семи главных балок, или пользоваться таблицами автора, составленными для пролетных строений, имеющих от трех до двадцати главных несущих элементов в поперечном направлении.

Литература

1. Кожушко В.П. Расчет пролетных строений ба-

лочных мостов разрезной системы // Сопротивление материалов и теория сооружений. -1980. - Вып. 36. - К.: Будiвельник. - С. 118122.

2. Кожушко В.П. До розрахунку балочно-

консольних прогшних будов на тимчасове на-вантаження // Автомоб. дороги 1 дор. буд-во. -1985. - Вип. 37. - К.: Будiвельник. - С. 56-60.

3. Кожушко В.П. Расчет неразрезных балочных

мостов регулярной и нерегулярной систем на временную нагрузку // Известия вузов. Стр-во и архитектура. - 1985. - № 5.- С.118-122.

4. Поливанов Н.И. Проектирование и расчет же-

лезобетонных и металлических автодорожных мостов. - М.: Транспорт, 1970. -516 с.

5. Российский В.А., Назаренко Б.П., Словин-

ский Н.А. Примеры проектировки сборных железобетонных мостов: 2-е изд. - М.: Высш. шк., 1970. - 520 с.

6. Лившиц Я.Д., Онищенко М.М., Шкуратов-

ский А. А. Примеры расчета железобетонных мостов. - К.: Вища шк., 1986. - 263 с.

Рецензент: Э.Д. Чихладзе, профессор, д.т.н., ХНАДУ.

Статья поступила в редакцию 12 января 2005 г.