Расчет параметров зубьев для изготовления овальных шестерен Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 621.833.4

РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ ЗУБЬЕВ ДЛЯ ИЗГОТОВЛЕНИЯ ОВАЛЬНЫХ ШЕСТЕРЕН

© 2010 г. С.О. Киреев, Ю.В. Ершов, Н.А. Падалко

Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт)

South-Russian State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute)

Рассмотрены особенности процесса нарезания овальных зубчатых шестерен. Приведены расчетные зависимости для определения параметров таких шестерен и предложена методика их расчета, на основе которой разработаны программы на языках Delphi и AutoLisp. Описаны преимущества полученных методики и программ расчета овальных зубчатых шестерен, а также приведены результаты их применения на практике в технологическом приспособлении.

Ключевые слова: центроида; овал; овальная зубчатая шестерня; эксцентриситет.

They are considered particularity of the process fabrication oval tooth wheels. The accounting dependencies are brought for determination parameters such tooth wheels and is offered methods of their calculation, on base which is designed program on languages Delphi and AutoLisp. The described advantage of the got methods and programs of the calculation oval tooth wheels, as well as broughted results of their using in technological adjustment in practice.

Keywords: the centroid; oval; oval tooth wheels; eccentricity.

Овальные зубчатые шестерни получили преимущественное применение в счетчиках жидкости [1]. В них давлением жидкости приводятся во вращение две одинаковые шестерни, отсекая при каждом обороте определенный объем жидкости. Ввиду обратимости гидромашин перспективным является использование их в насосах. Однако широкому распространению овальных колес, как и других некруглых колес, препятствует сложность их изготовления. Дело в том, что при нарезании методом обкатки должны быть обеспечены нелинейные зависимости между движениями инструмента и колеса, что приводит к специализации зуборезного станка, к сложности проведения опытных, вариантных работ. Однако в настоящее время, когда широко используются координатные станки, например электроэрозионные, изготовить опытные образцы некруглых колес, в том числе и овальных, нетрудно. Необходимо лишь рассчитать координаты точек, образующих профили зубьев, причем с максимально высокой точностью, что также не проблема в настоящее время. Задача сводится к созданию алгоритма расчета, именно этому вопросу - разработке алгоритма расчета координат зубьев овального колеса -посвящена данная статья.

После определения параметров центроиды овального колеса, методика расчета которых приведена в работе [2], определяется число зубьев колеса. На полученной овальной центроиде надо расположить равномерно г зубьев с шагом пт. Полная длина овала определяется по формуле [3]

V - 8aeE

,2 4e2 где k ---

1 + 3e

k -

2e

h

; E0 - полный эллипти-

+ 3e

ческий интеграл 2-го рода, Е0 = \0'2 ^1~kk2S\xn2'Уdу . При равномерном расположении г зубьев птг = Sn.

Отсюда X = = 8ае Е0, при этом г должно быть %т птк

целым числом.

Кроме того, необходимо соблюсти условие симметрии овала, которое запишем в таком виде:

г _ _

— = с ± 0,5, где с - целое число.

В программе расчета задаемся величинами е, т, а, находим г, принимаем его ближайшее целое и уточняем а при заданных е и т.

Далее находим положение зубьев на овальной центроиде. Принимаем исходное положение - ось впадины на большой оси овала (рис. 1).

Рис. 1. Зубья на центроиде

Положение точек А0, Аь А2, ... будем характеризовать величиной параметра у. Используем метод последовательных приближений. На полном овале у изменяется, как видно из табл. 1 [2], от 0,5п до - 3,5п, т.е. диапазон изменения 4п, поэтому для первого приближения у задаемся средним шагом dp = 4п / г. В точке А0 у = п / 2, в точке А1, т.е. для 1-го зуба, у = = п / 2 - 0,5 dp, в точке А2, для 2-го зуба, у = п / 2 -- 1,5 dp, для п-го зуба, у = п / 2 - (п - 0,5) dp.

Для этих приближенных значений у находим длины дуг овала от точки А0 по формуле

5 = 0,5о/ 1 + 3е2(Е0 - Ег) ,

где Е' = Ю^' лД—к^^п^уdу - текущие значения эллиптического интеграла. В программе расчета создан соответствующий цикл.

Но величины Si пока приближенные. Точные их значения должны быть равны дуговым расстояниям 11 = 0,5 пт, 12 = 1,5 пт, 13 =2,5 пт, ... , 1п = (п - 0,5) пт.

Программой проводится проверка |/г- - ^ | <55,

где 5S - задаваемая точность, принимаемая равной 1 • 10-5 мм. Если условие не выполняется, то величина у корректируется поправкой 5у. Для ее определения

находится производная

—=ae^-k2^2

Зу k

sin у .

Принимая AS = dS, = 3у получаем поправку

Зу = -

k AS

ае-^Г-"к^Шп2 у

Таким путем получаем набор значений у, соответствующих осям симметрии зубьев. И далее для каждой точки А, находим полярный угол 9, радиус-вектор г и координаты точек х, у по выражениям, представленным в работе [2].

По известным формулам дифференциальной геометрии [4] также для каждой точки А находим угол д между радиус-вектором г и касательной t к овалу

г

ц = аг^(-),

дг /

где AS = li - Si.

радиус кривизны овала R =

(х'2 + y 2)3/2

У "х ' - y X "

а = X - У(X'2 + У 2) ;

координаты центра кривизны

Cy = y + х' (х'2 + У 2) y ' y "х ' - y X"

У "х ' - y 'х "

Использованные в последних формулах производные определяются следующим образом:

3x 3y

X = — = r' sinQ + r cosQ ; y' = — = r' cosQ- r sinQ;

33 3Q

32 x

x" = —- = r"sin Q + 2r' cos Q- r sin Q ;

3Q2

32 y

y" = ^ = r"cosQ-2r'sinQ-rcosQ .

3Q2

Для удобства составления программы при нахождении производных Г, г"" были приняты обозначения

Г = //g, f= а (1 - е2), g = 1 - е сов29.

Тогда производные принимают следующий вид:

Зг _ З f_ fg ,

З 2r

2 fg"

r ^гч ^гч ( ) О ; Г 1 О

З9 З9 g g

З92

g

fg". ,2

g

З 2r

где g' = — = 2евш29 ; г" = —т = 4есов29 .

59 д92

Далее используется метод приведенного колеса [5]. В каждой точке А, располагаем делительную окружность приведенного круглого колеса с центром С (рис. 2),с координатами Сх, Су, с радиусом R, и приведенным числом зубьев гп = 2 R / т.

Хотя гп не будет целым числом, для дальнейшего расчета это не имеет значения, так как используется только дуга делительной окружности.

Для такого приведенного колеса в локальной системе координат Хс, Yc рассчитываются координаты точек одного зуба, ось симметрии которого совпадает с направлением радиуса кривизны R. В результате имеем два одномерных массива координат хс, ус (в расчете принимали 60 точек на зубе). Определив угол поворота локальной системы координат относительно главной (ХОУ) а = д + 9 - л /2, с помощью формул преобразования координат получаем координаты зуба в основной системе координат овального колеса XОY:

У '

- Cx + xccos а - yc sin а, Cy+ xc sin а+yc cos а.

По приведенному алгоритму составлена программа расчета в системе Delphi. Входными данными программы являются величины a, m, e, выходными -координаты 60 точек на зубьях овального колеса, из них по 10 точек на переходной кривой, остальные на эвольвентной части. По координатам строится на дисплее графическое изображение колеса с зубьями (рис. 2). Для обеспечения бокового зазора в передаче вводится коэффициент смещения исходного контура приведенного колеса.

О X

Рис. 2. Метод приведенного колеса: 1 - овальная центроида; 2 - приведенное колесо

x

Описанная методика расчета была проверена и успешно осуществлена при изготовлении овальной передачи с параметрами m = 3 мм, z = 34, e = 0,035 мм. Передача применялась в одном из технологических приспособлений [6]. Колеса были изготовлены на электроэрозионном станке с ЧПУ.

Разработана также программа на языке AutoLisp с использованием полученных в Delphi координат для изображения колеса в системе AutoCAD и преобразованием координат в формат, пригодный для непосредственного ввода в систему управления станка, что позволяет нарезать зубья без бумажного чертежа.

Поступила в редакцию

Литература

1. Киясбейли А.Ш. Лифшиц Л.М. Счетчики и расходомеры жидкости с овальными шестернями. М., 1982. 144 с.

2. Киреев С.О., Ершов Ю.В., Падалко Н.А. Определение параметров центроид овальных колес // Изв. вузов Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2009. № 5. С. 34 - 36.

3. Литвин Ф.Л. Некруглые зубчатые колеса. М.; Л., 1956.

4. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М., 1973. 831 с.

5. Киреев С.О. Падалко Н.А. Численное определение координат контура эвольвентного зуба // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки 2000. № 3. С. 34 - 36.

6. Зубодолбежный станок для некруглых зубчатых колес : патент 87614 СРР, РЖ ТМ, 1987 №8, 3А 390 П.

5 октября 2009 г.

Киреев Сергей Олегович - д-р техн. наук, профессор, кафедра «Основы конструирования машин», ЮжноРоссийский государственный технический университет. Тел. 25-54-12.

Ершов Юрий Васильевич - канд. техн. наук, старший преподаватель, кафедра «Основы конструирования машин», Южно-Российский государственный технический университет. Тел. 25-54-12.

Падалко Николай Александрович - аспирант, кафедра «Основы конструирования машин», ЮжноРоссийский государственный технический университет. Тел. 25-54-12.

Kireev Sergey Olegovich - Doctor of Technical Sciences, professor, department «Basis of designing of machines», South-Russia State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute). Ph. 25-54-12.

Ershov Jury Vasilevich - Candidate of Technical Sciences, senior lector, department «Basis of designing of machines», South-Russia State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute). Ph. 25-54-12.

Padalko Nicolai Alexandrovich - post-graduate student, department «Basis of designing of machines», South-Russia State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute). Ph. 25-54-12._