Расчет осесимметричного потока в сопловом венце турбинной ступени нетрадиционной формы Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

ТЕПЛОЭНЕРГЕТИКА

УДК 629.7.1

РАСЧЕТ ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ПОТОКА В СОПЛОВОМ ВЕНЦЕ ТУРБИННОЙ СТУПЕНИ НЕТРАДИЦИОННОЙ ФОРМЫ

Б.И. Мамаев *, Ю.И. Митюшкин **

*НТЦ им. А. Люльки ОАО «Сатурн», **Санкт-Петербургский государственный морской технический университет

Для расчета потока в сопловом венце турбины с наклонными или криволинейными в тангенциальном направлении лопатками предлагается метод, основанный на решении полной системы дифференциальных уравнений невязкой сжимаемой жидкости и неоднородного дифференциального уравнения типа Риккати, которое сводится к интегральному.

В газогенераторах современных энергетических и транспортных газотурбинных двигателей применяются осевые турбинные ступени (ОТС) с нетрадиционной формой проточной части - с нелинейными меридианными очертаниями проточной части и с тангенциально наклоненными сопловыми лопатками (ТНСЛ), имеющими прямолинейные или криволинейные образующие скелетной поверхности (см. рисунок). Телесность ТНСЛ определяется необходимостью их охлаждения и "обратной" закруткой потока по высоте проточной части. Конструкция пера рабочей лопатки также зависит от способа ее конвективного воздушного охлаждения и необходимости повышения вибрационной прочности применением радиальной скелетной поверхности [1].

В настоящей работе предлагается метод расчета двумерного потока невязкой сжимаемой жидкости в кольцевой сопловой решетке ОТС. Геометрия лопаточных поверхностей и форма проточной части кольцевых сопловой и рабочей решеток известны.

Для определения параметров потока (осевой составляющей скорости С, давления Р и плотности р в кольцевой сопловой решетке), а также окружной составляющей ускорения потока ¥и от воздействия лопаток [2] используется система определяющих параметров [3]:

д 1п Сг д 1п Сг д 1п Р д 1п Р д 1п р д 1п р ¥и

дг ’ дг ’ дг ’ дг ' дг ’ дг с 2

Система координат цилиндрическая: г - аппликата, г - радиальное и и = г-0

- окружное направления (0- угловая координата).

Система исходных уравнений [2] - это три уравнения количества движения

/ д Л д

осесимметричного I — = 0 и стационарного (— = 0; т - время) потока невязкой ^д0 ) дт

сжимаемой жидкости (в форме Эйлера в проекциях на радиальное, окружное и

осевое направления), уравнение энергии в градиентной форме —; уравнение

дг

неразрывности осесимметричного потока в кольцевой сопловой решетке, учитывающее телесность лопаток, и уравнение рабочего процесса [4] в

© Б.И. Мамаев, Ю.И. Митюшкин Проблемы энергетики, 2006, № 7-8

градиентных формах — и — = — + ). Последнее уравнение служит

дг —г дг дг

замыкающей связью [5] шести дифференциальных уравнений.

б)

Рис. Схемы ступеней и основные обозначения: а) ступень с меридианным поджатием проточной части и наклонными лопатками в сопловом аппарате: ГС - горловое сечение соплового венца; ГР - горловое сечение рабочего венца; МЛТ - меридианная линия тока; гк, гп - корневой и периферийный радиусы; 8к, 8„- корневой и периферийный углы наклона; б) ступень с меридианным раскрытием проточной части и саблевидными лопатками в сопловом аппарате; ук , уп - углы коничности концевых стенок по корню и периферии

П1Г

д 1п Cz

дг

+ П2І

д 1п С7

дг

+ П3І

д 1п Р

дг

+ П4І

д 1п Р

дг

д 1пр д 1пр

+ П5І ^Т" + Пбі^Т- + П7І

дг

дг

С2 V Сг

= фп-

Коэффициенты влияния Пи , Пи , • • • Пи и свободные члены Фп приведены в таблице.

Таблица

Матрица коэффициентов Пи и свободных членов Фп исходных уравнений

Определитель системы исходных уравнений

А =

П11 П12 П13 П14 П15 П16 П17

Л21 Л22 Л23 Л24 Л25 Л26 Л27

= {ка )/а (а ка ),

Л61 Л62Л63 Л64 Л65 Л66 Л67 Л71 Л72 Л73 Л74 Л75 Л76 Л77

2 2 — I С

где 1а = 1 + а+ tg у ; ка = —ат; М = .----------

М 2 укЯГ

число Маха, скорость потока

С = Сг + Сг + Си ; а ее составляющие: радиальная Сг = Сг 1^у и окружная Си = С1 с1§а.

При числах М ф 1 определитель системы дифференциальных уравнений А Ф 0 и решения системы исходных уравнений имеют вид:

д 1п у 1

дг А

д 1п у' д 1п у и = — • А д 1п у '

г д д г А Vд г)

где y = Cz, P, p и

v c2 ,

К z J

Свободные члены исходных дифференциальных уравнений:

A =

ictg2a-^4 + f tgy;

r dz J

B = f ctgat

+ - (tgY- ctga)

dz r

fz

f =jL^ =________1_______L

C2 (k - 1)M2 dz

AS

тр

Ср

где Ср =--------изобарная теплоемкость газа и к=к(Т) - показатель адиабаты без

у к -1

трения, зависящий от температуры газа, а /ъ - осевая составляющая ускорения потока от воздействия трения о лопаточную поверхность [4];

G = -

tgY + StgY + d ln x r дr dz

Nt

где коэффициент стеснения потока телом пера сопловой лопатки х = 1------, N-

2пг

число сопловых лопаток и ї =і(г,і) - окружная протяженность соплового профиля в цилиндрическом сечении ТНСЛ;

D д — = — ln

k дr

i-k

* А 1

І° (Ро) k

г \

д AS

+

дr Cp

V p J

где і = і0 -

E =

1

Cl

#охл и

ґл * л ді

їохл

тепло, отданное газом при охлаждении ТНСЛ;

Sr

. ^ д ctga ^ д tgy

+ I ctga —— + tgy

3r

дr

Л S d и S = — I AS I

z d V cp J

где AS = ASmp + ASQM - изменение энтропии газа в сопловом венце из-за влияния

трения и охлаждения.

Связь поточного угла а и конструктивного угла ак (угол между касательной к скелетной линии профиля на его выходной кромке и фронтом решетки в цилиндрическом сечении лопаточного венца) [2]:

ctga = ctgaR + tgy- tg6.

Радиальные распределения осевой составляющей скорости Cz, статического давления Р и плотности р газового потока в поперечном сечении z = const

u

л

б

кольцевой сопловой решетки ОТС находятся решением дифференциальных уравнений первого порядка:

д 1пС, = д(С,2 ) = Ге (в

dr 2 dr

1 (DЛ ka 1 Г/

7-1E-\т т~^+1—7= К-A(1+ctga'ctgaK)-

l a [ V k У k -1 l a - ka

-B(tg8-tgy-ctgaK) + /(tgy+tg8-ctga) + ka(^A+Btg8- — + G (tgy+tg8-ctga)

d ln P

k

dr ka(la - ka)

{ A(1 + ctga ■ ctgaK - ka) + B [(1 - ka )tg8 - tgy • ctgaK ]+

(— 1

+ ka — + G - /

V k У

(tgy+tg8 ■ ctga )J

d ln p _ 1

dr k

d ln P

\ dr у

D

где ka _

k-1

2

2L -1 c2 la

V cz У

Изменение осевой составляющей скорости Cz газового потока вдоль оси z (при r = const) в кольцевой сопловой решетке

d ln Cz 1

dz l a

1

(la - ka)

Atgy + / - ka

r — \

— + G v k у

(1 + ctga • ctgaR.) +

+

B [(tg8 - tgy • ctga к )tgy +1 a ctga к ] )-

A + Btg8 - E +

' D'' ka

V k > k -1

Kgy,

d ln Cz d ln Cz d ln Cz

а вдоль поверхности тока------------_---------I--------tgy.

dz dz

dr

Окружная составляющая ускорения от воздействия сопловых лопаток на поток в кольцевой сопловой решетке определяется зависимостью

1

где _ 1 где / _ 2

2 l „ - ka

* '

2 i

1-

— ( —

A tgy + / - ka \ k + G

ctga - B(1 + tg2 у - ka) ^,

dz

Cp

V " У

Расчетная форма зависимости для определения изменения осевой составляющей скорости газового потока С, = С, (г) в поперечном (например,

и

k

и

«горловом», см. рисунок) сечении кольцевой сопловой решетки ОТС имеет вид неоднородного дифференциального уравнения первого порядка типа Риккати [6]

А Ф[ г; (/ а С2,)

= /2(г)( I а С,2)2 +/1(г)( I а С,2) + /о(г),

в котором • С, = С - скорость потока,

ф[ г; (I а С,2) ] = / (/ а С,2)

/1(г) = 21

4(к -1) Б д 1п I * 1

к +1 2 * (I а С,2) - I

к дг

—0^ + • ^а )

I /«

- Г Л - '

й а н 3

й, ср

_ V ) _ .

М к Б 1 д 1п I 1 / в ч

--—- •~г + 1—1 —д— + 1_(+• ^а )

/ а к -1 к к -1 дг / а

- / N - '

й а н Ъ <

й, СР

- V ) . „

и

/2(г) = <

к +1

2(к -1)

+ -

2 N

М 1

(к -1)/а 1 а

г \

А.8 тр

Ср

— К Б + ^ + й 1п X ^

где М = ( I---------------+--------+-----------+----------

\1 кг дг й,

+

ctg а

-+-

д, дг

и N = ^ - (1 + С^а• С^ак )

tgY

(5^а ctgа

tg/ + •

tg5

^2 ^ ctg а д tgy д tgy

+ ^- tgy

г

д,

дг

+

+

V д ^а д ctgа ctgа ^ - tgб • ctgак )1 —— + ~д^~ ^+—— ^ 1|.

Решение неоднородного дифференциального уравнения первого порядка типа Риккати представим полиномом, а именно:

/(|- ф[г;(/ а С,2) ]] =ф[г;(/ а С,2)]

(/ а С2) ]+ const =

= ^2 (г) • (/ а С,2)2 + А (г) • (/а С,2) + Ло(г ), в котором функциональные коэффициенты ^2(г), ^1(г) и Ао(г) определяются из условий:

а^2(г)

дг

= /2(г);

2

г

dA1(r) . 2 A l д(laCZ ) f l ■ + 2 A2(r)------------ ------= fi (r);

dr

dr

dA0(r) . A ( ) д(laCz ) f ( )

■ + Ai(r)----- -= fо (r).

dr

dr

Тогда радиальное распределение осевой составляющей скорости газового потока Cz = Cz (r; z = const) в поперечном сечении z = const кольцевой сопловой решётки ОТС определяется решением интегрального уравнения [7]

(l a C2)

4( k -1)

•-1 (laCz )cp

k + 1 2 *

---------(laC2 )cp - icp

4(k -1) a z p cp

= A2( r ) ■ (l a Cz2)2 + A1( r) ■ (l a Cz2) + Ao( r), в котором

r

A2(r ) = Jf2(r) ■dr;

rcp

A1( r ) = J f1( r ) ■dr - 2 J A2( r )

cp

r

cp

d (l a Cz2) dr

dr

A0(r ) = J f0(r) ■ dr - J A1(r)

cp

а производная

cp

d (l a Cz2) 5 r

d (l a C2) dr

dr,

предварительно задаётся зависимостью

д (I а С,2) _ _ г

---------= 2т2г + тх , где г =-----, индекс «ср» относится к среднему радиусу и

дг гср

коэффициенты тх и т2 определяются из аппроксимации результатов

2

предшествующего расчёта /аС, = С (г) в итерационном процессе решения

зависимостью 1аС^ = т2 (г )2 + т{г + т§ = С2.

Расчёт радиального распределения осевой составляющей скорости газового потока в поперечном горловом сечении кольцевой сопловой решётки ОТС (вдоль радиуса гг) ведётся последовательными приближениями при использовании задаваемого для всей проточной части уравнения г=г(,; гг) семейства меридианных линий тока (МЛТ) - радиальных сечений осесимметричных поверхностей тока. Это уравнение определяет угол у - наклона МЛТ к оси г

tgy =

da

dz

величину

д tgy

и кривизну

д tgy

дг д,

В первом приближении уравнение семейства МЛТ определяется конфигурацией ограничивающих поверхностей проточной части ОТС и

r

и

положением средней поверхности тока на входе в кольцевую сопловую решётку (roCp; уocp), на выходе из рабочей решётки (r2cp; у2cp) и в горловом

сечении сопловой решётки (rfCp; yгcp). По результатам расчёта радиального распределения скорости потока в горловом сечении кольцевой сопловой решётки Сг = Сzyjla г первого приближения из уравнения расхода уточняется значение радиуса r^p на средней поверхности тока и корректируется уравнение семейства

МЛТ, которое используется при расчете Сг = Cj.(r) в горловом сечении кольцевой сопловой решетки второго приближения. Компьютерные технологии позволяют вести итерационный процесс решения интегрально-дифференциального

уравнения до требуемой точности. Тангенциальный наклон скелетной поверхности сопловой лопатки, т.е. угол 5 = 5(r; z = const), и ее телесность X = x(r; z = const) в горловом сечении кольцевой сопловой решетки едины для всех приближений, как и закрутка aj, = aj,(r; z = const) скелетной поверхности пера сопловой лопатки. При ТНСЛ угол наклона МЛТ в горловом сечении уг можно ориентировочно задать упрощенной зависимостью, полученной в работе [8] из условия максимума удельного расхода газа в горловом сечении кольцевой сопловой решетки ОТС:

tg5 ■ ctga,,

tg/г = ----,

1 + tg25

Уравнение семейства МЛТ в проточной части ОТС можно задать тригонометрическим либо степенным рядом, коэффициенты которого определяются принятыми граничными условиями.

Выводы

Решением полной системы дифференциальных уравнений невязкой сжимаемой жидкости получены дифференциальные уравнения 1-го порядка, определяющие изменения параметров осесимметричного стационарного потока в радиальном и осевом направлениях внутри соплового венца турбины с профилированными меридиальными обводами проточной части и наклонными или криволинейными в тангенциальном направлении лопатками.

Радиальное распределение скорости потока в поперечном сечении соплового венца определяется неоднородным дифференциальным уравнением типа Риккати, которое решается путем сведения к интегральному.

Summary

It is proposed a method for calculating the flow through turbine row with vane having an inclination or bow shape in tangential direction. The method is based on solution of complete system of differential equations for inviscid compressible flow and inhomogeneous equation of Riccati type reduced to integral one.

Литература

1. Митюшкин Ю. И., Яковлев В. П., Руденко А. И. Исследование влияния градиента реактивности на динамическую прочность рабочих лопаток осевой

турбины: Сб. научн. трудов «Аэроупругость турбомашин» АН УССР - ИПП.-Киев: Наукова думка, 1980. - С. 197-204.

2. Степанов Г. Ю. Гидродинамика решеток турбомашин. - М.: Физматгиз,

1961.

3. Седов Л. И. Механика сплошной среды. Т.1. - М.: Наука, 1976.

4. Подвидз Г. Л. Расчет стационарного осесимметричного течения в осевой газовой турбине. - М: Труды ЦИАМ, 1971. - № 412.

5. Мизес Р. Математическая теория течений сжимаемой жидкости. - М.: ИИЛ, 1961.

6. Эльсгольс Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. - М.: Наука, 1969.

7. Трикоми Ф. Интегральные уравнения. - М.: ИИЛ, 1960.

8. Топунов А. М., Погодин Ю. М., Шуповаленко К. В. Применение принципа максимума расхода для расчета течения за сопловыми аппаратами с тангенциальным наклоном лопаток: Труды ЛКИ - Совершенствование методов преобразования энергии в СЭУ. - 1987. - С.107-113.

Поступила 19.04.2006