Математические модели оптимального потока в турбинах транспортных двигателей Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 629.7.01

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОПТИМАЛЬНОГО ПОТОКА В ТУРБИНАХ ТРАНСПОРТНЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ

Ю.И. МИТЮШКИН*, Н.А. ПЕТРОВ*, Б.И. МАМАЕВ**, И.Е. АЛЕКСАХИН**

Государственный морской технический университет ООО «Сименс»

Для проектирования транспортных двигателей разработаны, на основе методов вариационного исчисления, способы оптимальной организации потока в элементах турбинных ступеней, обеспечивающие наибольшую интегральную эффективность при заданном расходе газа.

Ключевые слова: вариационное исчисление, ступень турбины, решётка, КПД, угол выхода.

Транспортные (авиационные, морские и наземные) ГТД содержат турбины для привода компрессоров и вентиляторов и силовые турбины. Эти турбины должны иметь наибольшую интегральную эффективность при заданном расходе газа. Оптимальное проектирование таких турбин - есть задача вариационного исчисления [1], которое позволяет быстро отыскать лучший и часто нестандартный вариант облопачивания ступеней. Решение этой задачи требует

совершенствования математической модели эффективности различных ступеней,

*

определяемой углами а1 и в2 выхода газа из сопловой и рабочей решёток при

ИгГ] I-

принятом значении скоростной характеристики х^ =-, где =у2Нs ; шу -

частота вращения; - располагаемый теплоперепад ступени.

1. Коэффициент полезного действия и реактивность ступени заданной геометрии

Мощностной КПД и реактивность ру элементарной ступени заданной

геометрии, когда считаются известными радиусы Г1 и Г2 на входе в рабочую

решетку и на выходе из нее, высоты сопловой и рабочей решеток А ^ и А ^2 (рис. 1)

и углы выхода газового потока из них а1 и в2, определяются [2] из системы

уравнений момента количества движения [3], расхода газа через сопловую и рабочую решетки, политропного процесса расширения газа в рабочей решетке, связи показателей политропы и адиабаты без трения [4] и энергии для относительного движения газа в рабочей решетке.

Мощностной КПД элементарной турбинной ступени заданной геометрии

Н ' _

Пи =-=Т = 2[ Ф*ЬМа (1 - КУ1 - РТ - (м*Ь )2

Нх

© Ю.И. Митюшкин, Н.А. Петров, Б.И. Мамаев, И.Е. Алексахин Проблемы энергетики, 2010, № 11-12

Рис. 1. Схема осевой турбинной ступени: МЛТ - меридианная линия тока

/ \ N

В выражении (1) Hu = шт \?\C\u - ^C2u ) = —~ - работа газа на поверхности

G

ток^ C2u = W2u + = C2zctga2, W2u = W2гctgP2, в2 = п-в2 и a2 - углы выхода газа из рабочей решетки, отсчитываемые от направления её перемещения до векторов W2 и C2 - скоростей выхода газа из решетки в относительном и абсолютном движении; Ciu = Cizctgai, C^z и W2z = C2z - осевые составляющие

' 1-*Л

скорости потока; Н8 = CрТц

1-пТС

и Птс =

степень понижения

-2

r2

давления газа в ступени; д = —- диагональность поверхности тока. Величина

r1

К = дА CtiP2 = д = rWuL

' * Г » /"1

ctga1 С1и г1С1и

где А:

С

С

2z - pF(1 + m.

охл.в тут

F=h д

h Ah1 m h =-, m.

G„

ДА

охл.в = охлв - относительный расход охлаждающего сопловые

GT

™ Gут

лопатки воздуха, выпускаемого в проточную часть, тут =

GT

- относительная

утечка газа через радиальный зазор. Связь плотности и давления потока в

1 - - м Л

рабочей решётке p = — = Р2

1

Р2

=1+РТ

k-1

п

ТС

-1

и N ■

k -1

у2 I, так

2 и (пр -1)

как КПД рабочей решетки ш = , >—-- [4]; ф им - коэффициенты

-1) пр

скорости в сопловой и рабочей решетках, зависящие от углов а1 и р2, а также © Проблемы энергетики, 2010, № 11-12

п

приведенной скорости выхода потока из решётки. Реактивность ступени

к-1

РТ =

Ш V р2 7

-1

к-1 ПТС - 1

с!еа1 , . 2 2

; Ма =—1=^-, /а = 1 + а1 + tg У1, У1 и у2 - углы наклона

ЛТа

меридианной линии тока к оси вращения ротора.

Реактивность ступени заданной геометрии определяется функционалом

л/1-РТ = В ~ФХЪМа ),

(2)

ф А

V ^ у

' 11

зависящим от трёх параметров: а1, в2и х^. Здесь В =

В = (фх^ )2 + [1 + (н*1* )2 ]в и /р = 1 + ctg2в 2 + tg2 у 2.

Таким образом, КПД есть функционал, зависящий от углов а 1 и в 2 и величины Х1х.

Скорость газа на выходе из сопловой решетки

- С I-

С1 = — = фд/1 - РТ .

Сs

(3)

Скорость на выходе из рабочей решетки определяется из уравнения расхода

— Ж -Ж2 = —2 = ЛСи

2 Сх ^

Кинетическая энергия потока на выходе из ступени

С2 =

'С

С

= Ж22 +(мхЬ )2 + 2(мх1х )М р^2,

(4)

(5)

где Ш\

в

^в2

Угол входа потока в рабочую решетку

в1 = агсй^

ctgаl -

х1s

С17

(6)

и угол выхода газа из ступени а2 = arcctg

ctgв2 + ^

где осевые составляющие скорости:

в

а

- С

С

11

п

С,

С в Таг

— Ж-

Ж2: =

2:

Ж-

2

КПД по параметрам торможения

П

Пи

Ни

и —л *

1 - С22 Н*

(8) (9)

(10)

гДе Ни = и1[С1и - д(Ж2и + ди1)], Я* = Срт0

*

1 - ПТС

Я

С 2

* Ро

в - "V и ПТС = —

2 Р*

2. Оптимальное проектирование ступеней многоступенчатой турбины Эффективность последней ступени многоступенчатой турбины оценивается

интегральным мощностным КПД пи = —

1 Г1 нар

- Г Пи

^ йШ1 ^

Vйг; у

йт1, а эффективность

всех предшествующих ступеней, именуемых промежуточными, оценивается

г; нар

~ * 1 с *

интегральным КПД по параметрам торможения пи = — I Пи

Ш;

^ йШ1 ^

Vйг; у

йЧ [5].

При заданном расходе газа ш; через сопловую (; = 1) и рабочую (; = 2) решетки оптимальное проектирование последней ступени силовой турбины должно обеспечить наибольшее значение пи. Эта задача может быть решена как изопериметрическая задача вариационного исчисления (ИЗВИ) [1], которую назовем математической моделью А и которая позволяет определить оптимальные радиальные изменения углов выхода потока из решёток а1 = а(г1) и

в 2 = в* Г ).

Функционал цели

'I нар

/ Л

dш

~ Г dШi г

Ш;Пи = I Пи - ^; =|

V <*г1 у

имеет максимальное значение при изопериметрическом условии [1]

(13)

Ш;

'I нар

/■ \ dш

V ^ У

dr;

Gdr;

(14)

Экстремали ^ = ctgal = а(г;-) и у2 = с^ёв2 = в (г2), т. е. оптимальная закрутка потока на выходе из сопловой и рабочей решеток последней ступени,

г

шн

г

; вн

ь

г

; вн

г

; вн

определяются табулярно, т. е. для каждой поверхности тока гц - /1 - Т2 , решением системы дифференциальных уравнений Эйлера ИЗВИ:

дщ йц

+ X

а,в

дв; й

8У1

йг;

за1

V у

(15)

в которой функционалы и не содержат производных у1 = . Расчетный вид системы уравнений Эйлера в ИЗВИ

Фа,в = Фа,в + Ха,в

д

где Ф(

^и

дctg(аl;в2)

8

1п

йтл

1,2

йг\ 2

V у

= о,

а,в =-— + Пи" *

дctg(аl;в 2) дctg(аl;в 2)

1п

йт1

1,2

йТл

1,2

(15')

Множители Лагранжа Ха и Хв определяются из системы уравнений Эйлера

по параметрам на средней поверхности тока либо на привтулочной поверхности

тока [5]. Для каждой трубки тока ( гц - /1 - /2) по ожидаемым значениям

*

оптимальных углов а1 и в2 вычисляются коэффициенты скорости ф и у. После

*

определения значений а^р{ и р2^ коэффициенты скорости уточняются и

повторяется определение оптимальной закрутки потока в обеих решётках.

Оптимальное проектирование промежуточной ступени должно обеспечить

~ *

наибольшее значение интегрального КПД пи при заданном расходе газа т;. Эта задача решается как ИЗВИ, и обозначим ее как математическую модель В. Функционал цели

г;

I нар

~* Г * йт; е *

т Пи = I Пи — йг; = 1

V йгI у

(16)

имеет максимальное значение при изопериметрическом условии (14).

Экстремали у1 = ctgal = а(/1) и у2 = ^в2 = в (/2 ) определяются решением системы дифференциальных уравнений Эйлера ИЗВИ [1]

й

8У; йЦ

V у

+ X

а,в

дУ; йг;

*

V Оп у

= о,

(17)

расчетный вид которой

Фа,в = Фа,в + Пи

дС 22

дctg(al; в2)

+(1 - с2 )ха,

д

дctg(al;в2)

1п

йт-\

1,2

йгл 2

V у

0

Ь

г

I вн

о

4 Чи ^

где Пи-=у, а фа,р =

1 — С 2

^Пи

д

* + Пи-—1п

де1е(а1;Р2) дйе^^)

dm\

1,2

&1 2

V У

Множители Лагранжа 1а и определяются из уравнений системы (17) по

параметрам на средней поверхности тока [6].

Результаты численной реализации математических моделей А и В оптимального проектирования ступеней многоступенчатой турбины транспортного ГТД выполнены при единых параметрах на средней поверхности тока и показаны на рис. 2. В качестве исходной ступени использована турбина компрессора низкого давления двухроторного генератора газа существующего авиационного ГТД, спроектированная с учётом известных рекомендаций [5, 7].

Рис. 2. Изменение по радиусу параметров оптимальных турбинных ступеней газогенератора ВРД по математическим моделям А и В

В табл. 1 дано сопоставление параметров исходной ступени и турбинной ступени по математической модели В. Видно, что законы закрутки обеих ступеней отличны от классических: изменение реактивности р^ по высоте проточной

части требует применения саблевидных сопловых лопаток в исходной турбинной ступени и тангенциального наклона сопловых лопаток вогнутостью к оси вращения ротора турбины в ступени по модели В [8]. Из табл. 1 видно также, что необходима спрямляющая решетка на выходе из ступени либо специальное профилирование сопловой решетки последующей ступени [5].

Таблица 1

Сравнение параметров исходной турбинной ступени газогенератора и ступени с оптимальной закруткой сопловых и рабочих лопаток по модели В

Параметр Поверхность тока

Относительный радиус, Ц 1,2635 1,1705 1,0775 0,9845

Скоростная характеристика, х^ 0,5135 0,4757 0,4379 0,4001

_ Г модель В ^ Параметры ступени - V модель в у

Относительный радиус, /2 1,3075 1,3170 1,1975 1,2060 1,0841 1,0950 0,9842 0.9840

Угол выхода потока а1, ° 19,0 20,2 20,6 19,9 22,4 18,7 24,7 16,0

Угол выхода потока в2 , ° 22,6 27,2 28,4 26,9 29,3 25,9 28,8 22,4

Угол входа потока в1, ° 54,2 51,4 46,5 47,0 46,9 39,3 50,1 31,1

Угол выхода потока из ступени а2, ° 67,8 79,4 73,2 70,4 65,7 61,5 57,2 51,1

Реактивность, рт 0,4442 0,3616 0,3468 0,3640 0,3730 0,3485 0,4598 0,3300

* КПД по параметрам торможения, ци 0,8889 0,8889 0,8889 0,8894 0,8742 0,8815 0,8311 0,8531

Относительная работа на поверхности тока, Ни/Ниср 1,0356 1,0106 1,0076 1,0031 0,9617 0,9903 0,8830 0,9634

Относительная кинетическая энергия потока на выходе из ступени, С2? 0,0820 0,0939 0,1068 0,1012 0,1331 0,1047 0,1628 0,1000

Мощностной КПД, 1\и 0,8160 0,8054 0,7940 0,7994 0,7578 0,7892 0,6958 0,7678

3. Оптимальная турбина газогенератора транспортного двигателя.

Турбинная ступень газогенератора ГТД (или промежуточная ступень

турбины вентилятора ВРД) должна обеспечить требуемую мощность Ми при

~ *

наибольшем значении КПД по параметрам торможения пи. Её оптимальное проектирование есть изопериметрическая задача вариационного исчисления [1], которую назовём математической моделью С.

Функционал цели (16) должен иметь максимальное значение при выполнении изопериметрического условия - заданной мощности турбинной ступени:

'; нар

Пи = т;Ни | Ни

V йг; у

Ь

йг; = HScp / ПиН&

V йг; у

г;

; нар

йЦ = ^р 10;йТ; , (18)

г

г

I вн

I вн

где Н

- На н

. Экстремали а1 = а(т) и Р2 = в (т2) и определяются решением

Аер

системы дифференциальных уравнений Эйлера ИЗВИ

д^;

й

ЗУ; ОТ;

д^;

« Л

дУ

+ X

а,в

; У

дО; О

дУ; йТ;

дО;

дУ

расчетный вид которой

Фа

Фа,в=—[1+(1—с 2 Н а ха,в

Пи

; У

1

= 0,

(19)

дС 2

+

(1—с 2) ч

ЗНа дт2

ОТ

1,2

(1 — С2 ) дйе(а1;р2) -1—1

ййе(а1;Р 2)

ОТ

1,2

= 0

(19')

и которая учитывает возможное изменение располагаемого теплоперепада н а по высоте проточной части, т.е. Н а = Н (Т2 ).

— 4 —4

Множители Лагранжа Ха и Хр определяются из уравнения (19') по

параметрам на средней поверхности тока ступени турбины [6]. Производные

*

ййеа! ОйеР 2 ,

-- и -— могут быть исключены из уравнения (19') предварительным

йт1 йг2

заданием искомых зависимостей ctgаl = а(Т1) и еtgР2 = Р (Т2). Тогда система

дифференциальных уравнений сводится к системе алгебраических уравнений.

В табл. 2 даны результаты численной реализации математической модели О оптимального проектирования ступени турбины газогенератора и ее сопоставление с моделью В. Ступень по модели О, как и ступень по модели В, имеет практически постоянную по высоте проточной части реактивность р у, что обеспечивается тангенциальным наклоном сопловых лопаток. Изменение по высоте проточной части угла а2 в ступени по модели О также свидетельствует о необходимости применения спрямляющей решетки профилей.

Таблица 2

Оптимальная закрутка лопаток ступени газогенератора ВРД

+

+

Параметр Поверхность тока

Относительный радиус, Т 1,2635 1,1705 1,0775 0,9845

Относительный радиус, Т2 1,3170 1,2060 1,0950 0,9840

Скоростная характеристика, х^ 0,5135 0,4757 0,4379 0,4001

/ \ ^ модель В Оптимальные параметры - V модель О у

Угол выхода потока а1, ° 20,2 18,7 19,9 19,8 18,7 18,0 16,0 12,5

Угол выхода потока Р2 , ° 27,2 24,5 26,9 26,5 25,5 25,0 22,4 17,4

Угол входа потока в1, ° 51,4 49,8 47,0 46,0 39,3 35,7 31,1 25,1

Угол выхода потока а2, ° 79,4 74,9 70,4 69,8 61,5 61,1 51.1 42.2

Реактивность, рт 0,3616 0,384 0,364 0,368 0,349 0,341 0,330 0,342

Мощностной КПД, 0,8055 0,8183 0,7994 0,8004 0,7892 0,8021 0,7678 0,7947

* КПД по параметрам торможения, ци 0,8889 0,8908 0,8894 0,8895 0,8815 0,8848 0,8531 0,8643

Относительная работа на поверхности ток^ Ни/Ниср 1,0106 1,0292 1,0031 1,0068 0,9903 1,0040 0,9634 0,9996

Относительная кинетическая энергия потока на выходе из ступени, С2 0,0939 0,0814 0,1012 0,1001 0,1047 0,0974 0,1000 0,0805

Мощностной КПД, 1\и 0,8055 0,8183 0,7994 0,8004 0,7892 0,8021 0,7678 0,7947

Выводы

В работе приведены новые математические модели эффективности элементарной турбинной ступени с произвольной геометрией проточной части и условно заданными углами выхода потока из сопловой и рабочей решеток, при которых значение термодинамической реактивности ступени вычисляется по новой предлагаемой зависимости.

На основе методов вариационного исчисления разработаны новые математические модели табулярного (т.е. для каждой элементарной турбинной ступени) определения оптимальной закрутки и кинематики потока на выходе из сопловой и рабочей решеток турбинных ступеней генератора газа, турбины вентилятора и силовой турбины транспортных ГТД.

Все изложенное предназначено для использования в компьютерных технологиях оптимального проектирования турбин ГТД.

Summary

The gas-dynamic method for designing optimal vehicle propulsion turbines was developed on the basis of calculus of variations to obtain the greatest integral efficiency at the specified gas mass flow.

Key words: calculus of variations, turbine stage, cascade, efficiency, outlet angle.

Литература

1. Эльсгольц Л.Э. Вариационное исчисление. М.: ГИТТЛ, 1958.

2. Митюшкин Ю.И., Петров Н.А. Коэффициент полезного действия и реактивность турбинной ступени заданной геометрии // Проблемы повышения эффективности судовых энергетических установок: Межвуз. сб. Горький: изд. ГПИ, 1988. С.31-38.

3. Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1976.

4. Марков Н.М. Теория и расчет лопаточного аппарата осевых турбомашин. М-Л: Машиностроение, 1966.

5. Абианц В.Х. Теория авиационных газовых турбин. М.: Машиностроение,

1979.

6. Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление. М.: ГИФМЛ,

1962.

7. Копелев С.З. Основы проектирования турбин авиадвигателей. М.: Машиностроение, 1988.

8. Степанов Г.Ю. Гидродинамика решеток турбомашин. М: Физматгиз,

1961.

Поступила в редакцию 25 мая 2010 г.

Митюшкин Юрий Иванович - канд. техн. наук, профессор кафедры «Судовые турбины и турбинные установки» государственного морского технического университета. Тел.: 8 (812) 495-14-32.

Петров Николай Александрович - зам. директора ЗАО «Катран-Пневмо». Тел.: 8 (812) 714-20-30.

Мамаев Борис Иванович - д-р техн. наук, главный аэродинамик ООО «Сименс». Тел.: 8 (495) 737-13-50. Boris .Mamaev@s iemens. com.

Алексахин Игорь Евгеньевич - инженер ООО «Сименс». Тел.: 8 (495) 223-36-02.