Расчет обтекания крыла конечной толщины потоком невязкой несжимаемой жидкости в присутствии экрана Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том XVI 1985

№ 6

УДК 629.735.33.015.3 : 533.682

РАСЧЕТ ОБТЕКАНИЯ КРЫЛА КОНЕЧНОЙ ТОЛЩИНЫ ПОТОКОМ НЕВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В ПРИСУТСТВИИ ЭКРАНА

А. М. Тимербулатов

Изложен метод расчета обтекания крыла конечной толщины произвольной формы в присутствии бесконечного экрана. Для решения задачи используется слой источников, непрерывно распределенных на верхней и нижней поверхностях крыла, а также слой присоединенных вихрей, расположенных на срединной поверхности. Предполагается, что за крылом свободные вихри прямолинейны, а их положение фиксировано. Влияние экрана учитывается с помощью зеркально отображенного крыла. Для двух примеров приводятся результаты расчета распределений давления, которые сравниваются с экспериментальными данными.

При проектировании летательных аппаратов большую ценность представляет информация о давлениях, действующих на его поверхность. Методы [1—4] позволяют получить распределения давления по поверхности изолированного крыла конечной толщины в невязкой несжимаемой жидкости, Метод [2] распространен на случай расчета системы крыльев [5]. В настоящей работе описывается метод расчета обтекания крыла над экраном, созданный на основе [1]. С помощью предлагаемого метода может быть учтено влияние толщины крыла, которое является существенным при малых расстояниях крыла от экрана.

Постановка задачи и метод решения. Рассматривается крыло, находящееся вблизи бесконечного плоского экрана и обтекаемое без крена и скольжения равномерным потоком невязкой несжимаемой жидкости, скорость которой на бесконечности обозначается К«>. Вектор параллелен плоскости экрана, а его величина принимается равной единице. С крылом связывается левая прямоугольная система координат Охуг (рис. 1) таким образом, чтобы плоскость хОг совпадала с поверхностью экрана, а плоскость хОу была продольной плоскостью симметрии крыла. На рис. 1 заштрихована проекция крыла на плоскость экрана. Для того чтобы учесть влияние экрана, вводится крыло, зеркально симметричное основному относительно плоскости хОг. Все гидродинамические особенности, которые используются для представления возмущений, вносимых в поток основным крылом, зеркально переносятся на отраженное крыло.

Для представления формы крыла используется ряд его сечений плоскостями, параллельными плоскости хОу, а в каждом сечении на верхней и нижней поверхностях задается ряд точек. Сечения и точки, определяющие форму крыла, называются расчетными.

Течение около крыла представляется с помощью слоя распределенных по его поверхности источников, а также с помощью системы присоединенных и свободных вихрей. Если обозначить поверхность основного крыла о)1, поверхность отраженного — (02, а интенсивность распределенных источников — ц, то выражение для скорости, индуцируемой источниками в произвольной точке Р пространства, запишем в виде:

Условие непротекания поверхности «н основного крыла приводит к интегральному уравнению относительно ц:

где Р — точка на со±; •ш(Р)—скорость, индуцируемая вихревыми системами основного и отраженного крыльев в Р.

Ядро первого из интегралов в (2) имеет слабую особенность при Q = P. Уравнение (2) является интегральным уравнением Фредгольма второго рода.

На срединной поверхности крыла располагается слой присоединенных вихрей, который по размаху разбивается на ряд элементов (см. рис. 1). Их количество равно количеству расчетных сечений, а плоскость

(1>

где ф — текущая точка на юг, /? = С£Р.

•из (Р)-п(Р),

(2>

каждого расчетного сечения является плоскостью симметрии соответствующего вихревого элемента. С боковых кромок элемента в поток сходят полубесконечные свободные вихри.

Суммарная циркуляция в сечениях крыла определяется из условия Чаплыгина—Жуковского на задней кромке. При этом распределение циркуляции вдоль хорды может быть произвольным. Каждому закону распределения циркуляции будет соответствовать свое распределение источников по поверхности, необходимое для выполнения условия непро-текания, так что течение во внешней области определяется единственным образом. В расчетах закон изменения циркуляции вдоль хорды каждого из элементов задается заранее с точностью до одного параметра. Величины этих параметров циркуляции находятся из условия Чаплыгина—Жуковского.

Форма вихревой пелены за крылом должна определяться в процессе решения, а рассматриваемая задача, строго говоря, является нелинейной. В настоящей работе используется упрощенный подход: считается, что свободные вихри каждого из вихревых элементов за крылом имеют прямолинейную форму и располагаются параллельно продольной оси Ох связанной системы координат, т. е. параллельно плоскости экрана. Это допущение не приводит к существенным погрешностям при небольших углах атаки, но значительно сокращает объем вычислений.

Если на полуразмахе крыла располагается N вихревых элементов, то с учетом сделанного допущения компоненты индуктивной скорости от вихревых систем основного и отраженного крыльев в некоторой точке Р запишем в виде:

N

= Г/( V-*, у, г, (3)

у=1

где Г; — параметр циркуляции /-го элемента; чоч (Р) — компонента скорости, вызванной четырьмя вихревыми элементами: элементом с номером / основного крыла, симметричным ему относительно плоскости хОу, а также соответствующими элементами отраженного крыла при Г,= 1.

Условие Чаплыгина—Жуковского на задней кромке крыла ставится в виде требования отсутствия перетекания через пелену и выполняется в точках, расположенных посередине задних кромок вихревых элементов. С учетом принятого допущения о положении свободных вихрей это условие сводится к требованию равенства нулю вертикальной компоненты относительной скорости жидкости в точках задней кромки и записывается следующим образом:

YdT]wyj{Pk)^-vy{Pk), к = \, 2, . . . , N , (4)

;=1

где Рь — точки выполнения условия Чаплыгина—Жуковского; Vy(Ph) — вертикальные компоненты скорости, индуцируемой источниками основного и отраженного крыльев, и определяемой формулой (1).

Интегральное уравнение (2) и система линейных алгебраических уравнений (4) решаются совместно. При этом требуется, чтобы интегральное уравнение (2) удовлетворялось во всех расчетных точках. В результате определяются величины интенсивности слоя ИСТОЧНИКОВ в расчетных точках и значения параметров циркуляции Г3 вихревых элементов. Решение находится методом последовательных приближений, который аналогичен методу, описанному в [1].

В ходе расчета необходимо определять значения интегралов в (2), имеющих особенность. Подсчет величин этих интегралов осуществляется с помощью численной процедуры, применение которой дает преимущество в скорости вычислений по сравнению с методами [3 и 4]. На поверхности крыла вводятся две независимые координаты. Одна из них — аппликата z, отсчитываемая в связанной системе координат Oxyz, другая— длина дуги s, измеряемая вдоль контуров сечений z=const. От переменных z и s осуществляется переход к новым переменным hz и hs:

где (г0, во) — координаты расчетной точки на поверхности, в которой ядро интеграла имеет особенность; аг, ав — постоянные.

В новых переменных интегрирование ведется методом трапеций с постоянными шагами. При этом в физических переменных 2, 5 узлы интегрирования располагаются симметрично относительно особой точки (г0, Яо), сгущаясь в ее окрестности, что позволяет вычислить главное значение интеграла.

В памяти ЭВМ хранятся координаты расчетных точек поверхности крыла и величины интенсивности слоя источников в них. При вычислении интегралов с заменами (5) необходимо знать координаты и интенсивности источников для узлов интегрирования, не совпадающих с расчетными точками. Эти параметры определяются по известным для расчетных точек значениям с помощью квадратичной интерполяции по г и в.

Присоединенные вихри каждого элемента представляются отрезками дискретных вихрей, параллельных поперечной оси Ог связанной системы, положение которых внутри крыла определяется средней линией соответствующего расчетного сечения. Интенсивности вихрей элемента выбираются таким образом, чтобы они аппроксимировали непрерывный вихревой слой с погонной циркуляцией, пропорциональной местной толщине профиля. При этом циркуляция т-то присоединенного вихря ут выражается через суммарную циркуляцию элемента следующим образом:

где Сг — местная относительная толщина профиля крыла в соответствующем расчетном сечении; Xi — расстояние от передней кромки профиля до вихря, отнесенное к местной хорде; М — количество присоединенных дискретных вихрей элемента.

Параметром циркуляции Г вихревого элемента считается величина, связанная с суммарной циркуляцией соотношением:

(5)

Ах, = xt— XI-и

Та = 2тг/0 Г 2 с, Axt,

где /о — размах элемента.

Циркуляция т-то вихря выражается через Г формулой:

7т = 2чг/0 Г ст Ахт.

Расчетные формулы для индуктивных скоростей вихревого элемента при значении параметра циркуляции Г=1 приводятся в [1]. Там же описано приведение к расчетной форме интегрального уравнения, аналогичного (2).

Примеры расчетов. Достоверность получаемых результатов подтверждается сравнением расчетных распределений давления с имеющимися экспериментальными данными для двух крыльев.

На рис. 2 и 3 представлены распределения коэффициента давления

р = 2(р — Рс^ЦрУю) в одном сечении прямоугольного крыла удлинения Я=5 при углах атаки а соответственно —4° и 6°. Крыло имеет про-

филь С1агк-УН с толщиной 12% и вогнутостью 2,87%. Высота крыла над экраном /г, измеренная в области задней кромки, отнесена к хорде &(/г = /г/Ь). Расчетные и экспериментальные [6] величины р приведены для сечения, отстоящего от вертикальной плоскости симметрии на расстояние, равное половине хорды. В эксперименте влияние экрана моделировалось добавлением зеркально симметричного крыла.

Характерной особенностью обтекания при а = —4° (рис. 2) является резкое увеличение пика разрежения на нижней поверхности с уменьшением высоты к. В то же время уменьшение /г при а = 6° (рис. 3) приводит к торможению потока на всей нижней поверхности. Влияние экрана на верхней поверхности почти не сказывается.

Изложенный метод применен также для определения давлений на поверхности экрана, над которым располагалось крыло удлинения Х=2, имевшее профиль с толщиной 9% и вогнутостью 3%- Сравнение с экспериментом [7] выполнено для углов атаки 0 и 5° (рис. 4 и 5 соответственно) для четырех дренажных сечений экрана, перпендикулярных размаху крыла. Поперечные координаты г этих сечений отнесены к полуразмаху крыла, а продольная координата х отнесена к его хорде и отсчитывается от проекции передней кромки на плоскость экрана.

Как и в первом примере, расчет хорошо отражает изменение характера течения при изменении угла атаки и высоты над экраном. Если при а = 0 приближение крылак экрану сопровождается разгоном потока, то при а = 5° уменьшение к приводит к значительному торможению потока под крылом. Согласование расчетных и экспериментальных ве-

Р

« =о

5. = 1,23

0,1х-

Ъ. =о,з о,1

Рис. 4

р г-1,23 -01 1 | а =5° •

-1 0,1 к. - 1 2 х •=Ф=*ц*

/77///;// г=0,д 7 -01 1 и 1

-/ г-0,52 ** I | 2 X

1=0,16 оц. 1 - ^*>00-0^ * к =о,з 0,1 — —расчет ° • эксперимент ■ I I ( I

оу ^ * * 2. X ^ и* х •••• -•

Рис. 5

личин коэффициента р при а = 0 и 5° можно признать удовлетворительным.

Некоторое расхождение экспериментальных и расчетных распределений давления при минимальных /г в области, расположенной на экране вниз по потоку за концевой частью крыла, можно объяснить тем, что принятая в расчете форма свободных вихрей в виде полубесконечных прямых отличается от реальной картины вихревой пелены. С приближением крыла к экрану свободные вихри должны расходиться в стороны, и расстояние между ними может стать больше размаха крыла [7]. Именно влиянием отошедших свободных вихрей можно объяснить наблюдаемое в эксперименте при а = 5° и /г = 0,1 (рис. 5) появление заметного разрежения при х>1,2 в сечении 2=1,23, которые не обнаружены в расчете. В сечении экрана 2=0,87 при х>1,2 наблюдается обратная картина. В расчете здесь получено разрежение вследствие того, что это сечение находится вниз по потоку за областью крыла с большим градиентом циркуляции по размаху. В эксперименте влияние отошедших в боковом направлении свободных вихрей на это сечение мало, и поэтому здесь разрежение отсутствует.

Таким образом, рассмотренный метод расчета отражает основные особенности обтекания крыльев конечной толщины вблизи экрана и дает удовлетворительные результаты при умеренных высотах (/г>0,1) крыла над экраном. Для меньших высот в расчете необходимо учитывать истинное положение свободных вихрей.

ЛИТЕРАТУРА

1. Маслов Л. А. К расчету циркуляционного обтекания телесного крыла малого удлинения идеальной жидкостью. — Труды ЦАГИ, 1979, вып. 2005.

2. Вернигора В. Н., Ираклионов В. С., Пав ловец Г. А.

Расчет потенциальных течений около крыльев и несущих конфигураций

крыло — фюзеляж.—Труды ЦАГИ, 1976, вып. 1803.

3. Н е s s J. L. Calculation of potential flow about arbitrary three — dimensional lifting bodies.— Me Donnell Douglas Corp. Report N MDC J-0545, 1969.

4. R u b b e r t P. E., S a a r i s G. R. Three-dimensional potential flow

method. — SAE Journal, 1969, vol. 77, N 9.

5. Ираклионов В. С. Метод расчета распределения давления по поверхности крыльев со щелевой механизацией. — Ученые записки ЦАГИ, 1985, т. XVI, № 4.

6. Серебрийский Я. М., Биячуев Ш. А. Исследование в трубе горизонтального установившегося движения крыла на небольших расстояниях от земли. — Труды ЦАГИ, 1939, вып. 437.

7. Брысов О. П., Гадецкий В. М., Колосова JI. А., Руде н к о С. И. Распределение давления на поверхности экрана в присутствии крыла. — Труды ЦАГИ, 1972, вып. 1392.

Рукопись поступила 27/IV 1984