Расчет коэффициента затухания в направляющих системах c фрактальными свойствами границ Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

48 С.

УДК 621.37:537.876

Надшшла 07.03.2000

РАСЧЕТ КОЭФФИЦИЕНТА ЗАТУХАНИЯ В НАПРАВЛЯЮЩИХ СИСТЕМАХ С ФРАКТАЛЬНЫМИ СВОЙСТВАМИ ГРАНИЦ

В. М. Онуфриенко, П. А. Самолчев, Т. И. Слюсарова

Представлены результаты дифферинтегрального моделирования потерь в направляющих системах c фрактальными свойствами. Исследование базируется на фрактальных представлениях о структуре поверхности направляющей системы. Полученная модель расчета потерь в направляющих системах позволяет описать с использованием а -характеристик любую заданную степень фрактальности поверхности. Для 0 -характеристик результаты совпадают с классическими данными.

Наводяться результати дифер1нтегрального моделювання втрат у напрямних системах з фрактальними властиво-стями меж. Дослгдження базуеться на фрактальному уявлен-т про структуру поверхт напрямноЧ системи. Отримана модель розрахунку втрат в напрямних системах дозволяе описати з використанням а -характеристик будь-який заданий стутнь фрактальност1 поверхт. Для 0 -характеристик результати збггаються з класичними даними.

The results of differintegrational modelling of losses in directing systems by fractional properties of borders are submitted. The research is based on fractional performances about structure of a surface of directing system. The received model of account of losses in directing systems allows to describe with use of the а -characteristics any given degree fractality of a surface. For the 0 -characteristics the results coincide with the classical data.

ВВЕДЕНИЕ

Хорошо известны результаты классической макроскопической электродинамики о влиянии границы среды с разными свойствами на структуру электромагнитного поля и характер распространения волн. Вследствие взаимодействия волны с поверхностью раздела сред проанализированы возможные явления отражения (частичного и полного), прохождения волн в среду, явления дифракции и т. п. Однако с помощью современных технологий обнаружен ряд несоответствий теоретических моделей относительно взаимодействия электромагнитных волн с реальными поверхностями раздела сред (см., напр., [1],[2]).

Введение а -характеристик компонент электромагнитного поля дает возможность учета неровностей реальных поверхностей и структуры среды [3].

Далее приведено построение интегродифференциаль-ной модели электромагнитного поля, которая используется для решения задач о передаче энергии в направляющих системах с фрактальными свойствами границ.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Алгоритм ввода а -характеристик электромагнитного поля в условиях задачи о взаимодействии волн с фрактальными границами раздела двух сред рассмотрен в

[4].

Геометрическая основа ввода а -характеристик базируется на идее Ф.Хаусдорфа об определении непрерывности отображения в точке через покрытие и измерение окрестности Ое : р(х, х0)<е точки.

В связи с этим применяется обобщение меры величины множества, связанное с выбором некоторой пробной степенной функции [5]

к(е) = у(у) х

(геометрически: отрезок прямой, квадрат, круг, шар, куб) и покрытием рассматриваемого множества точек с конструированием V -меры Хаусдорфа

Му = £к(е) .

Вместо сложной процедуры геометрического построения фрактального множества каждый раз, нахождения меры Хаусдорфа с последующими граничными переходами, будем использовать аппарат дробного интегрирования и дифференцирования (см., напр., [6], [7])

( aI>) = t)

dt

(x - t)

1 - а '

(^(x) = цт-а-г dx

J f (*)

dt

(X - t)°

x > a , а > 0 ,

,x > a, 0 <а<1

где Г(а) - гамма-функция Эйлера, а - порядок дробного интегродифференциала (скейлинговый показатель).

Анализ подынтегрального выражения указывает на возможные случаи описания явлений с помощью -характеристик: при наличии геометрических особенностей контуров и поверхностей (геометрические сингулярности) или когда физические параметры (проницаемость, проводимость, плотность зарядов, токов и т.п.) имеют фрактальную природу [4].

a

Введем уравнения Максвелла с учетом а-характеристик электромагнитного поля, с последующей записью теоремы Умова-Пойнтинга. Исходим из уравнений Максвелла в дифференциальной форме:

Т^а _ Э ,

, , _>..._ -2-\[Оа /эст ■ БаЕ + Ба /мст ■ БаН ууа =

V

• , а *а а *ач

= у ■ Дца ■ БаН ■ БаН - га ■ БаЕ ■ БаЕ МУа +

V

. , а *а 4а ^ *ал

+ 2-Цоэ ■ БаЕ ■ БаЕ + ом ■ БаН ■ БаН 1сСУа +

где

тоЬОаН = + /э , д Ь

гоЬБаЕ = дВ + /м,

аьБ = о , сгьв = р„,

эм

/э = Оэ(БаЕ + БаЕст) ,

-> ->а ->а

/м = Ом(БаИ + БаИст) ,

(1)

21

П , п

Л ^

С5а,

а *а-.

(2)

-> ->а -» ->а

Б = £а ■ БаЕ , В = ца ■ БаИ ,

оэ и ом - удельные проводимости (электрическая и магнитная, соответственно), £а - относительная диэлектрическая проницаемость, ца - относительная магнитная

проницаемость, индекс "ст" указывает на наличие сторонних источников тока.

Подставляя (2) в (1), получим уравнения Максвелла в следующем виде:

где П = БаЕ , БаН - вектор Пойнтинга.

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОТЕРЬ В НАПРАВЛЯЮЩИХ СИСТЕМАХ

Поток среднего вектора Пойнтинга через поперечное фрактальное сечение направляющей системы через

а -характеристики запишем в виде

л

Ра = |п Сза = 2 Ие |

Сза

(3)

(в случае открытой системы область бесконечна). Отсюда для систем с однородной фрактальной средой:

тоЬВаН = еа-¿ь(РаЕ ) + оэБаЕ + Ба /эст ,

->а д ->а -»а

оЬБаЕ = -ЦадЬ(ОаН )- ОмБаН - Ба /мст ,

, ->а , ->а

ао(еа ■ БаЕ ) = р ао(ца ■ БаН ) = рм

Для комплексных амплитуд уравнения Максвелла принимают вид:

а д а а а

гоЬБаН = гю£а|ЬсОаЕ ) + оэБаЕ + Ба /эст ,

- 1 Л Г -»а -,2

Ра = 1 ЯеШ(Е'Н)| ГоаНтЛ ёза

г г 4а I2

I\оаЕт^ ёза,

11

= 1 Ие 1

2 Е'Н)*

а Э?'

^ а

Н -Ба /

мст

->а\ . / ->с Сг о|еа ■ БаЕ = рэ , Сг о(ца ■ БаН 1 = рм

Теорема Умова-Пойнтинга о балансе мощности электромагнитного поля в терминах а -характеристик выглядит следующим образом:

где Е'Н) - волновое сопротивление Ж, или ШН

4

(в зависимости от типа волны Е или Н), НтЬ и ЕтЬ -поперечные компоненты векторов Е и Н; при отсутствии поглощения величина Ш(Е'Н) либо чисто вещественна, и тогда символ Ие не нужен, либо - при частотах ниже критической - оказывается чисто мнимой

величиной, так что Ра = 0 .

Поглощение энергии в направляющей системе приводит к комплексности постоянной распространения. Передаваемая мощность Ра ввиду (3) изменяется вдоль оси

г по закону е-2Т°'г , следовательно

Ра(г) = ра(о) ■ е-2№ .

Убывание мощности волны при прохождении весьма малого участка Аг направляющей системы

V

+

а

а

а

Б Ет, Б Нт

5

5

±

±

1

а

32

"Радюелектронжа, 1нформатика, управл1ння" № 1, 2000

АРа = -—Р а Аг + ... = 2Га Р аАг + —г

(4)

(в пренебрежении членами высшего порядка малости). Аналогично выразим мощность потерь в системе на участке Аг

АР а = — Р аАг + ...

п —г п

(5)

При Аг ^ 0 оба равенства (4) и (5) становятся точными, а в силу закона сохранения энергии АР а = АРпа . Отсюда

Г а = 1 Р 0 2Ра —г п

(6)

(энергетическая трактовка затухания).

Формулу (6) нетрудно конкретизировать. Знаменатель при этом вычисляется на основании выражения (3). Для определения числителя используем равенство

Р а =

п

*а

ИГ/

= И|/ео е- В°Ет - В°Ет +

V

а ^ и,

Ц0 -Ц- ОаБт - ОаБт ) dV 0

(7)

рассматривая область V = ^Аг, где ^ - поперечное фрактальное сечение направляющей системы; обе части (7) делятся на Аг и совершается переход к пределу при Аг ^ 0 . В результате получаем

вать поглощение в диэлектрике и проводнике. Формула (8), например, может быть использована только для нахождения "частичного" коэффициента затухания Г° =

= Гд , учитывающего потери в диэлектрике с фрактальной структурой

ра = 1 д

юео I е - ВаЕт - ВаЕт ds0

(10)

2Ке 1

ds0

(- поперечное фрактальное сечение диэлектрика сис-темы).

Влияние проводника обычно учитывают с позиций граничного условия Леонтовича. Выделив на проводящих элементах направляющей системы пояс А5 шириной Аг , с учетом

— 1 Г \2

Рпа = Ие°П dsа = 2^°! 0°Итт) dsа,

5

5

-» п

где Итт - тангенциальная компонента вектора И, А0 -

глубина скин-слоя, о - удельная проводимость проводника; запишем

— — 1 1 г( Л2 1 г( Л2

—РП„ = Нш -1--Ц ПВаИт dsа = —Ц: ЦВаИт dl0

—г пр Аг ^ 0Аг 2оЛ^ ( т) 2оА^( т)

А5 I

Га =

, а * а а

ю 1 (е0 -е- Ва Ет - Ва Ет + ц0 ц- Ва Ит - Ва Ит ) dsа

1 ['

ds0

(8)

Здесь е , ц - функции координат, принимающие различные значения в областях, соответствующих диэлектрику и проводнику.

Потери энергии в направляющей системе можно представить в виде суммы, слагаемые которой соответствуют разным физическим факторам. Учитывая это в (6),

Га = Га1 + Га2 -

_/ — р а + — Р а

Таким образом, коэффициент Г^ = Г^р , отражающий

неидеальность проводника (фрактальную структуру поверхности), получаем в виде

а 2

Г

IВаИт dlа

Га = пр

(11)

2оА0Ие1

ds0

(9)

2Ра— п1 —г п2 ) ' В частности, оказывается удобным отдельно рассматри-

с учетом (9) Га = Г° + Г^р , где слагаемые находятся по

формулам (10) и (11).

Анализ структуры поля в линиях передачи, сделанный в предположении идеальной проводимости стенок волновода, неточен для реальных линий с конечной проводимостью стенок. Однако если проводимость стенок конечна, но весьма велика (что обычно имеет место), то действительная структура поля мало отличается от структуры поля, полученной в предположении

В Ет, В Ит

5

1

5

1

В Ет, В Ит

5

1

имеем

идеальной проводимости стенок. Отличие в основном сводится к тому, что в соответствии с граничным условием Леонтовича-Щукина вдоль стенок волновода появляется некоторая весьма малая тангенциальная составляющая вектора напряженности электрического поля. Например, действительная структура электрического поля волны типа в волноводе прямоугольного

сечения, благодаря конечной проводимости стенок волновода, имеет вид, при котором электрические силовые линии вблизи стенок волновода несколько наклонены в направлении распространения, в то время как согласно классическому анализу (при а = 0 ) они должны быть строго нормальны к поверхностям стенок. Наклон силовых линий весьма мал, однако учесть деформацию силовых линий можно с помощью а -характеристик [8], [9]. Аналогичные изменения структуры поля происходят и при распространении волн других типов.

Изменению структуры электрических силовых линий соответствует изменение структуры магнитных силовых

линий. В частности, у стенок волновода нормальная

->

составляющая вектора Н не равна нулю. Изменение структуры токов в основном сводится к тому, что они в действительности текут не по поверхности, а проникают на некоторую глубину внутрь стенок. Наличие отличной

от нуля тангенциальной составляющей векторов Е и Н у стенок волновода означает, что вектор Пойнтинга имеет составляющую, нормальную стенкам волновода, и, следовательно, в них имеются потери на тепло.

Выделим на поверхности металлического проводника направляющей системы участок длиной Дг . Средняя

мощность тепловых потерь ДР° на отрезке проводника длиной Дг равна

Д Р'

1

(ср 2 оД°

В аН„

2

11° =

Дг I 2оД° 3

ВаН„

<иа,

т. е. потери на единицу длины

- ДРа

р I а = " ср =

1

ср Дг 2оД° °

ВаН„

11°

Подставляя (12) в (9), получаем

ра = _£

4 Рс°Р

ср I

Ва Н„

11°,

Я = оДо

Так как для всех металлов, кроме ферромагнитных,

Цй то

« 1, 987

10 -3

ом,

(12)

(13)

где через К5 обозначена активная часть поверхностного сопротивления, равная

где / - частота в герцах.

Как следует из равенства (13), коэффициент затухания убывает прямо пропорционально величине поверхностного сопротивления К5. Неизбежная шероховатость

поверхности металла заметно увеличивает затухание в проводниках. В сантиметровом диапазоне волн глубина проникновения тока в металл не превышает 0,1- 0,2 мкм. В этом диапазоне неровности (сингулярности) металлических поверхностей даже после тщательной обработки и шлифовки обычно значительно больше глубины проникновения тока в металл, что приводит к увеличению пути, проходимого током по металлической поверхности, а следовательно, к возрастанию потерь. Поэтому действительные значения коэффициента затухания оказываются несколько выше рассчитанных по формуле (13) в классической трактовке (при а = 0), однако применение а -характеристик позволяет описать любую заданную степень фрактальности (шероховатости) поверхности.

ВЫВОДЫ

Введение уравнений Максвелла с учетом а -характеристик электромагнитного поля и с последующей записью теоремы Умова-Пойнтинга позволяют исследовать поток среднего вектора Пойнтинга через поперечное фрактальное сечение направляющей системы. В

результате моделирования потерь в направляющих системах получены модели расчета потерь с использованием а -характеристик, которые позволяет описать любую заданную степень фрактальности (шероховатости) поверхности, при этом действительные значения коэффициента затухания оказываются несколько выше рассчитанных по формулам при классической трактовке затухания.

Полученные результаты могут применяться для анализа и проектирования волноведущих структур различного типа. Введенные в рассмотрение а -характеристики электромагнитного поля, построенные на основе аппарата дробного дифферинтегрирования, могут применяться для анализа взаимодействия электромагнитных волн миллиметрового и субмиллиметрового диапазона при падении на фрактальную поверхность под любым углом, для решения задач анализа явлений отражения (частичного и полного), прохождения волн в среду, явления дифракции и т. п.

2

а

а

2

а

34

"Радюелектронжа, шформатика, управлшня" № 1, 2000

А. В. Пархоменко, Н. А. Коноваленко, Л. В. Поставець: АВТОМАТИЗАЦИЯ ПРОЦЕСУ ТЕПЛОВОГО ПРОЕКТУВАННЯ М1КРОЕЛЕКТРОННИХ ПРИСТРО1В ЗА ДОПОМОГОЮ ПРОГРАМИ CIRCUIT MAKER 6 PRO

распространение М.:

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. Никольский В.В. Электродинамика радиоволн. - М.: Наука, 1973. - 608 с.

2. Ацюковский В.А. Общая эфиродинамика. Энергоатомиздат, 1990. -280с.

3. Onufrienko V. On " а -features" of electrical waves above impedance plane// Conference Proceedings 12 International Conference on Microwaves & Radar. - Vol.1. - Krakov (Poland). - 1998. - P.212-215.

4. Онуфр/енко В.М. Ф1зико-геометрична ¡нтерпреташя а -характеристик електромагштного поля // Радиофизика и электроника. - Харьков : Ин-т радиофизики и электроники НАН Украины . -1999. - 4, № 1. -С. 7-10.

5. Фракталы в физике// Труды 6-го международного симпозиума по фракталам в физике (Триест, Италия, 9-12 июля, 1985 год):Пер. с англ./ Под ред. Л. Пьетронеро, Э. Тозотти. -М.: Мир. - 1988. - 672 с.

Oldham K., Spanier J. The fractional calculus. N.York and London: Academic Press. - 1974.

Самко С.Г., Килбас A.A., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. - Минск: Наука и техника, 1987. - 688 с. Онуфриенко В.М., Самолчев П.А., Слюсарова Т.И. Деформация однородного поля фрактальным цилиндрическим проводником// Труды 9-ой Международной Крымской конференции "СВЧ-техника и телекоммуникационные технологии". - Севастополь: СевГТУ. - 1999. - C. 229-230.

Онуфр/енко В.М., Самолчев П. О., Слюсарова Т.!. Деформашя електричного поля цилшдричним т1лом з фрактальними властивостями поверхш//

"Радюелектрошка, ¡нформатика, управлшня". - Запор1жжя: ЗДТУ. - 1999. - № 2. - С.33-37.

Надшшла 11.02.2000 Шелл доробки 13.03.2000

УДК 621.396.6.001.2:681.3

АВТОМАТИЗАЦ1Я ПРОЦЕСУ ТЕПЛОВОГО ПРОЕКТУВАННЯ М1КРОЕЛЕКТРОННИХ ПРИСТРО1В ЗА ДОПОМОГОЮ ПРОГРАМИ

CIRCUIT MAKER 6 PRO

А. В. Пархоменко, Н. А. Коноваленко, Л. В. Поставець

В данной работе представлены результаты теплового моделирования интегральной микросхемы с применением программы Circuit Maker 6 PRO. Предложенный подход обеспечивает необходимую точность моделирования.

В цт роботi представлен результати теплового моде-лювання iнтегрально'i мiкросхеми з використанням програми Circuit Maker 6 PRO. Запропонований пiдхiд забезпечуе необхiдну точтсть моделювання.

In this paper were introduced the results of thermal simulation of integrated chip using program Circuit Maker 6 PRO. Proposed approach provide the necessary accuracy of modelling.

Головною причиною розробки та використання систем автоматизованого проектування (САПР) е зростаюча невщповщшсть м1ж вимогами скорочення терм1шв, тдвищення якосп, зниження вартост проектних роб1т та старими методами проектування. Впровадження в шженерну практику метод1в автоматизаци проектування дозволяе перейти вщ традицшного макетування проектовано'' апаратури до i'i' моделювання за допомогою ПЕОМ. Кр1м цього, застосування ПЕОМ дозволяе здшснити весь цикл проектування, що складаеться з наступних етатв:

1. Синтез структури та принципово!' схеми пристрою.

2. Анал1з його характеристик в р1зних режимах з урахуванням розкиду параметр1в компоненив та наяв-ност дестабШзуючих фактор1в, а також параметричну оптим1защю.

3. Синтез топологи, включаючи розмщення елеменив на плат або кристал1 та розведення м1жз'еднань.

4. Верифжащю топологи.

5. Випуск конструкторсько!' документац1!'.

Завдяки можливост1 доступу до iнформацii' в мереж1 Internet стало можливим ширше охопити i проаналiзувати iснуючi сучасш програмнi системи автоматизованого проектування радюелектронних та мiкроелектронних пристро'в.

На цей час шнуе багато пакетiв автоматизованого схемотехшчного проектування: Circuit Maker 6 PRO, P-CAD, OrCAD, PSpice, Micro-CAP, Micro-Logic, ELECTRONICS WORKBENCH, МАЕС-П та rnmi, кожний з яких мае сво'' особливостi i вiдрiзняeться унiве-рсальнiстю, економiчнiстю i точшстю розрахункiв.

Сьогоднi розробники програмного забезпечення систем автоматизованого схемотехшчного проектування ос-новну увагу придтяють створенню ушверсальних моделюючих програм для аналiзу характеристик аналогових та цифрових пристро'в. Сучаснi програми САПР працюють в дiалоговому режимi та мають великий набiр сервiсних модулiв, що значно спрощують роботу на ПЕОМ та роблять ''х дружшми по вщношенню до користувача.

Для бiльшостi електронних пристро'в ''х структура та принципова схема в значнш мiрi залежать вщ галузi застосування та вхiдних даних на проектування, що створюе значш труднощi при синтезi принципово'' схеми за допомогою ПЕОМ. В цьому випадку первинний варiант схеми складаеться iнженером "вручну" з наступним моделюванням та оптимiзацieю на ПЕОМ. В сучасних програмах схемотехшчного проектування передбачене введення принципово'' схеми модельованого