Релятивистский метод расчета характеристик круглого и прямоугольного волноводов Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.382

В.В. Бирюков, В.А. Грачев, Т.В. Кожевникова

РЕЛЯТИВИСТСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ХАРАКТЕРИСТИК КРУГЛОГО И ПРЯМОУГОЛЬНОГО ВОЛНОВОДОВ

Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева

Рассмотрено решение краевой электродинамической задачи с импедансными граничными условиями методом, основанным на инвариантности уравнений Максвелла относительно преобразований Лоренца. Приведено сравнение результатов решения задач о распространении волн в круглом и прямоугольном волноводах с неидеально проводящими ограничивающими поверхностями с известными результатами.

Ключевые слова: круглый волновод, прямоугольный волновод, уравнение Гельмгольца, дисперсионное уравнение, импедансные граничные условия, преобразования Лоренца.

В настоящее время для телекоммуникаций и радиолокации освоен диапазон частот до 60 ГГц. Однако потребности этих и других областей знаний (медицины, радиосвязи, радиолокации и т.д. ставят задачи интенсивного освоения коротковолновой части миллиметрового и субмиллиметрового диапазонов длин волн.

Базовыми узлами любой сверхвысокочастотной системы являются пассивные направляющие структуры, которые представляют собой, в самом простейшем случае, экранированные волноводы с каноническими формами поперечных сечений (прямоугольные, круглые, эллиптические). Данные структуры в указанных диапазонах имеют существенные потери, связанные с конечной проводимостью материала стенок и не идеальностью их механической обработки. Однако существующие на сегодняшний день методы расчета направляющих структур либо учитывают конечную проводимость стенок в некотором приближении, либо достаточно сложны и применимы лишь к узкому классу структур.

В связи с погрешностями расчётов, вызванными использованием приближений, реальные потери в направляющих структурах миллиметрового и субмиллиметрового диапазонов могут быть существенно выше расчетных. Поэтому снижение погрешностей при расчетах для широкого класса волноведущих структур с конечной проводимостью материала стенок является актуальной задачей. Решению данной проблемы посвящено большое число работ [1]-[6].

Строгое решение уравнений Максвелла для адекватных реальным устройствам моделей представляет весьма трудную задачу. Один из эффективных методов упрощения этой задачи - метод эквивалентных граничных условий, позволяющий исключить из рассмотрения некоторую область пространства (и поле в ней), задавая соответствующие условия на ее границе [1]. Классическим примером такого подхода является использование импедансных граничных условий Щукина-Леонтовича, описывающих поглощение энергии электромагнитного поля в хорошо проводящих средах.

Основная сложность такого подхода состоит в необходимости получения точного выражения для поверхностного импеданса, учитывающего не только параметры материала, но и структуру электромагнитного поля в волноводе. В большинстве работ [2]-[5] используется приближенное выражение для импеданса проводящей поверхности [6], обеспечивающее точное выполнение граничных условий лишь при нормальном падении волны на поверхность металла.

Обойти эту трудность можно в ряде случаев соответствующим выбором движущейся системы отсчета (СО), в которой падение волны на стенки волновода будет нормальным, а граничные условия Щукина-Леонтовича - точными. Полученные при этом компоненты электромагнитного поля и волнового вектора можно затем с помощью преобразований Лоренца

© Бирюков В.В., Грачев В.А., Кожевникова Т.В., 2016.

пересчитать к исходной системе отсчета [7]-[9]. Но в новой системе отсчёта электромагнитная волна падает на движущуюся проводящую поверхность. В случае идеального проводника это, очевидно, роли не играет, в случае же реального проводника с конечной удельной проводимостью коэффициент отражения электромагнитной волны зависит от её поляризации и скорости проводника.

В работах [8], [9] приведено рассмотрение трансформации структур поля электромагнитных волн круглого и прямоугольного волноводов с идеально проводящими стенками при переходе в движущуюся систему отсчета. Анализируются зависимости постоянной распространения, частоты, компонент полей и вектора Умова-Пойнтинга от скорости движущейся системы отсчета. Из результатов анализа следует, что строгое выполнение импедансных граничных условий возможно в рассматриваемом частотном диапазоне для волн типа квази-Етп в прямоугольном волноводе и азимутально симметричных волн типа квази-Н0д и квази-Е0д в круглом волноводе. Для остальных типов направляемых волн граничные условия Щукина-Леонтовича будут являться уточненными.

Для введения поправок в импедансные граничные условия необходимо провести рассмотрение нормального падения плоских электромагнитных волн двух взаимно ортогональных поляризаций на поверхность движущегося со скоростью V проводника (рис. 1, а).

к! 9 1 Н' к, г | л и

Вакуум

Металл

б)

Рис. 1. Падение волн ортогональных поляризаций на металлическую поверхность в неподвижной (а) и движущейся (б) системах отсчета

В неподвижной системе отсчета выражения для полей падающих волн имеют вид: ^-поляризация Еы = —Е0х0, И1п = И0г0;

• ^-поляризация Е2п = Е0г0, И2п = И0х0.

То есть компоненты полей падающих волн в исходной системе отсчёта равны

Епх = — Ео, Егпу = 0, Е1ш = 0, Нпх = 0, И^пу = 0, Н1ш = Н0;

Е2пх = 0 Е2пу = 0, Е2пг = E0, И2пх = И0, И2пу = 0, И2пг = 0 .

Используя преобразования Лоренца для компонент электромагнитного поля, найдем его структуру в системе отсчета, где проводник неподвижен. Для этого система отсчёта

должна двигаться со скоростью, равной скорости проводника в исходной СО: • для Б-поляризованной волны:

рг _ Е1пх - У0В1пу ___Е0 , _ Е1пу + У0В1пх Т^Г _ ^ _ п.

Е1 пх - / . - I . =, Е1 пу - I . - 0; Е1 пг - Е1т - 0;

VI -бъ/ с)2

и, _ И1пх + У0^пу., _ Н1пу - У0Апх _ УоВоЕ0 . тт' _ тт _ тт

Н1пх - и ( / У - 0; Н1пУ - \Л ( /42 - \Л ( /42 ' ^ - ^ - Н 0'

V1 -(у0 /с) V1 - (у0 /с) V1 - (у0 /с)

для р-поляризованной волны:

77' _о 77' _ V0^0 H0 . Z7' _ Г и' - H 0 . тт' _ а 7-7' -О

E2roc = 0, Е2пу = fl-;-—; Е2ш? = E0, H 2т: = /-"-TJ ; H 2пу = 0, H 2nz = 0 •

V, ' 2пг 0> 2пх I " ~

1 -(^/с)2 V1 -М

Если коэффициент отражения от проводящей поверхности для волны ^-поляризации равен р!, а для волны р-поляризации - р2, то суммарное поле над поверхностью проводника будет иметь вид

- Е1х(1 + рх), И'^у - Н1у (1 -рх), И^ - И[2 (1 -рх);

Е2ху - Е1у (1+ р), - Е2г(1 + Р1), И- И2х(1 -р). Таким образом, в движущейся системе отсчета рассматриваемые волны падают на поверхность неподвижного проводника под некоторыми углами 9 [ и 0 1, которые можно найти из соотношений компонент полей падающих волн (рис. 1, б):

1 = И1пу = У0£0 Е0 _ ^0У0£0 .

HL HJl-(v0/с)2 V1 -ta/c)2 '

tg02 =

-(v^c) V1 -(v^c)

v _ E2ny __V0^0H0 _ v0^0

Е2п е^1 -(у0/с)2 г^1 с )2

где г = Е0/И0 - волновое сопротивление среды, в которой распространяется волна. Используя соотношения г8о = г = с 1, получим

tg01 = tg02 = ■

V с

а/1 Ч^/ с )2 '

Соответственно другие тригонометрические функции угла падения, необходимые в дальнейших выражениях, равны

cos 0 ' =

1 -ívoY, sin0 '=vo.

V с У с

Преломленные волны в металле с конечной проводимостью представляют собой плоские неоднородные волны, у которых поверхности равных фаз и амплитуд не совпадают. При этом истинный угол преломления в металле определяется выражением [10]

k sin 0n

tg0 =-. 0 =,

О м I о о о '

Re^kl - k2 sin2 00

где к и км - волновые числа в среде, из которой падает волна, и металле соответственно; 90 -угол падения.

Знаменатель в этом выражении можно преобразовать к виду ReVx = ^(X| + ReX)/2 , следовательно

k sin 0 k sin 0n

tg0M =

ReJl (k,2 - k2 sin2 0r

+ Re(ki2-k2sin200)) jl[V(ReК -k2sin200) + (lmk2M)2 + Rek,

м - k2 sin2 00 ]T + (imk2M ]T + Rek2M

где км = к^ = К магнитного поля).

8м " ]

а

Ш8П

(а - проводимость металла, ю - круговая частота электро-

Поскольку Яекм = к028м, 1ткм =-к02 —

Ш80

сматриваемой системе отсчёта примет вид

0м = агс1§"

, то выражение для угла преломления в рас-

у0 с

(

8м-|

+

а

2 2 Ш 82

+

2

8м -|

Коэффициенты отражения связаны с углами падения и преломления согласно формулам Френеля:

7м сов(0')-2оСО8(0м ) _2оСС8(0')-7м сов^ )

р1 = :м<, р2 = ~0

7м СО8(0')+ 7о сов(ему У2 7о СО8(0')+ 7„ сов(ем) ■ Компоненты результирующего поля вблизи поверхности проводника в движущейся системе отсчёта имеют вид:

Е' =

Е1х =

Еп

/ \2

1- ^ |

V V с У

Ео "о

с (

(1 + р1), щу = Н

/ \2

1- V) |

V V с У

(1 + р1) ; И[2 = Но (1 -Р1),

Г \2

1- ^ |

V V с У

(1-Р2) ; Е2 г =(1-Р2) ; н 2 х = н о-!^

Е2 у =

Тангенциальные компоненты поля в исходной системе отсчёта в соответствие с преобразованиями Лоренца:

Г \2

1- ^ |

V V с У

Г \2

1- ^ |

\ V с У

Еп

Ех =

Г г Л2\

1+(с ),

V 4 у У

(1+ Р1) ; Нъ = Но(1 -Р1); Е2г =-

Еп

1 -["о

\

,(1 -Р2) ; Н2X = Но(1 + Р2).

1 -[^

Таким образом, импеданс движущейся проводящей поверхности для волн различной поляризации определяется выражениями:

Е I + Р. I V-

7,1 =

7ц 2 =

Ех Г 1+Р1

Нь 1-Р1V

Е2 я _ 1 -Р2

Н 2 х 1 + Р2

1 + 1 V«.

7

7Х = 7 м

СОБ

0'Л

1 -[ "о

2

1+| —

2

1 7 = ^ СОБ 0' -1

1 м м

1 -V с

1 -I ^

2

На рис. 2 приведены зависимости от скорости рассматриваемой системы отсчета поверхностных импедансов для волн перпендикулярной (я) и параллельной (р) поляризаций соответственно.

v

V

о

о

с

с

V

о

с

2

2

с

с

с

zs2, Ом

а)

0.01

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 с

б)

Рис. 2. Зависимость поверхностного импеданса проводящей поверхности для волны ^-поляризации от скорости рассматриваемой системы отсчёта (/ = 10 ГГц) при:

1 - а = 106 См/м; 2 - а = 107 См/м; 3 - а = 108 См/м

Полученные выражения можно применять для любой проводящей поверхности, радиус кривизны которой много больше толщины скин слоя. В частности, ими можно пользоваться при расчёте круглого и прямоугольного экранированных волноводов.

Рассмотрим круглый экранированный волновод без диэлектрического заполнения (рис. 3).

Считаем, что толщина проводящей стенки волновода много больше глубины проникновения поля. В случае конечной проводимости стенок волновода нельзя говорить только о Е- либо ^-волнах. Строго говоря, отличны от нуля все шесть компонент поля, т.е. волны являются гибридными. Выражения для компонент поля волн круглого волновода имеют вид:

Рис. 3. Поперечное сечение круглого экранированного волновода

г

Ер = "/

V

АР J: (хр)+^ J „ Ы] cos п0 exp [/(ш/"Р г)];

X X р )

Е0 = у

Нр = "/

Н = "У

^ J » (хр)+^ П (ХР)| sin п0 exp [/(ш/ "Р г)];

X Р X )

Ег = ЛI п (XP)cos п0 exp [/(ш/ "Р г)];

1 я (хр)+^ IП (хр)! sin п0 ехр [/(ш/"Р г)];

V X Р X )

Аш8п1п (хр)+вп2г jn (хр) I^ п0 ехр [/(ш/ "р г)];

(1)

X

х2р

Нг = ВI (XP)sin П0еХР [/(ш/"Р г)].

Гибридность волн, связанная с наличием потерь в стенках волновода, не является ярко выраженной. Для значений конечной удельной проводимости имеется семейство волн с отношением амплитудных коэффициентов А / В << Z0, которые при стремлении удельной проводимости к бесконечности переходят в #-волны, и семейство волн с отношением амплитудных коэффициентов А / В >> Z0, которые при стремлении удельной проводимости к бесконечности переходят в £-волны. То есть можно говорить о квази ^-волнах и квази ^-волнах.

Дисперсионное уравнение волн круглого экранированного волновода с неидеально проводящей стенкой

IЫ-я. ^ I п ы

X

У

. шр 0

X

1 П (ха)" Zs1 п (ха)

= Z,

пр

2 " п

X а

1 п (ха)

(2)

где р - постоянная распространения (в данном случае величина комплексная: р = Яе Р + / 1тР ( Яе Р - фазовая постоянная, 1тР - коэффициент затухания)), Zs - импеданс проводящей поверхности стенок волновода.

Решение данного дисперсионного уравнения для нескольких волн круглого волновода с медными стенками было дано в [2]. Однако дисперсионное уравнение было получено с использованием импедансных граничных условий, которые выполняются строго только в случае нормального падения волн на проводящую стенку. Данное ограничение можно обойти, если воспользоваться полученными ранее выражениями для поверхностного импеданса.

Сначала запишем выражения для полей в системе отсчёта, движущейся вдоль оси волновода со скоростью, при которой действительная часть постоянной распространения волны равна нулю. В этом случае падение парциальных волн, образующих азимутально симметричные направляемые моды, на поверхность проводящего экрана будет нормальным и граничные условия Щукина-Леонтовича выполнятся строго.

ЕР = "У

'^ТI п (X 'Р ') + Вп72"Т01 п (X 'Р ')! «* п0' ехр [1т(Р' г' )]ехр [/ш '/' ];

V X X Р )

г

Е0= у| 42^I(х' Р0 + Вшг0П(х'р')|sinп0 'ехр[1т(Р'г')]ехр[/ш '/'];

Вш'ро Т' и,А vX' 2Р' X' )

Е' = А:„ (х 'Р ')cos п0 ' ехр [1т(Р ' г ')]ехр [/ш ' / ' ];

г

Н Р="/

Н 0="/

V X ' 2Р г

АП(ш^01п (X 'р)+ВРI (х'р)! sin п0 ехр [1т(Р' г' )]ехр [/ш'/' ];

Р X )

Аш ' 8

^(х ' р) + ^ Jn(х ' р)Icosп0 ехр[1т(Р'г')]ехр[/ш'/']; X Р

2

Н = В J п (х ,p,)sin exp МР' г ' )]exp [/'ш ' г' ].

Граничные условия записываются в виде Е ' Е'

—у = —2^, —у = 2В, где в случае квази #-волн берётся 2Ъ , а в случае квази £-волн - 22,. Не Н'

В результате получаем дисперсионное уравнение

J п (х'а ) — п (х'а )

X

/ ^ П (X 'а ) — 1 п (х 'а )

х

= 2.

п 1ш(р ')

г2 п

х 2 а п

J п (х 'а )

которое в сочетании с соотношением х' — 1ш (Р' ) =

'ш '

позволяет наити зависимость р (ш

Р ' (ш ').

При переходе к неподвижной системе отсчета компоненты поля, волнового вектора и

ш ' + ур '

частота изменяются в соответствии с преобразованиями Лоренца: х = х', ш =

Продольное волновое число находится из выражения Р =

Яе( ш)

— х2 . Величина потерь

на единицу длины волновода ДдБ / м) = 20 ^ (ехр(1ш(Р))).

На рис. 4 показана зависимость погонных потерь от частоты для волн Н01 и Е01 круглого экранированного волновода в случае медных стенок.

Рис. 4. Зависимость погонных потерь от частоты, а = 5 см

Как видно из графиков, затухание обеих волн уменьшается при удалении от критической частоты. Однако далее характер зависимостей заметно различается. В то время как затухание волны Н01 продолжает неограниченно уменьшаться, затухание волны Е01 достигает минимума и далее начинает возрастать. Это связано с разной зависимостью поверхностного импеданса от частоты для полей разной структуры. Эти зависимости для рассматриваемых волн приведены на рис. 5.

Как видно из приведенных зависимостей погонных потерь от частоты результаты, полученные предлагаемым методом, хорошо согласуются с известными результатами [6], [10],

2

2

С

V

2

С

позволяя, кроме того, учесть зависимость импеданса экранирующем поверхности от частоты и структуры поля.

Рис. 5. Зависимость от частоты импеданса поверхности:

1 - для волны р-поляризации; 2 - для волны 5-поляризации

Рассмотрим прямоугольный экранированный волновод без диэлектрического заполнения. Считаем, что толщина проводящих стенок волновода много больше глубины проникновения поля. В случае конечной проводимости стенок волновода отличны от нуля все шесть компонент поля - волны являются гибридными. Выражения для компонент поля волн прямоугольного волновода имеют вид:

Ех = (Еоухх -Я0юц0ху)соэ(хХх + фх)вт(хуу + фудг;

x

Еу =- ^ (ео ух у + н оюц ох х )81п(х хх + ф х )соз(х уУ + ф у )е " ;

x

Ег(х у) = ео 81П(ххх + фх )§1П(хуу + фу )е_У У2 :

нх = ^(н 0 УХ х + Ео®8 ох у )з1п(Х хх+фх )со§(х уу + фу)е ~лг; х2

где

Ну = ^ (н 0 ух у - Е0®8 ох х )с°8(х хх + фх )«1П(х уу + фу)е №; х

Н1(х у) = н 0 соз(х хх + фх )соз(х уу + фу)е_у У2; Фх = 1 - Xх4 Фу = 1 - XуЬ) .

Дисперсионные уравнения волн прямоугольного экранированного волновода с неидеально проводящими стенками

ох у tg(x уь + фу) у./юе ох у ^(х уь + фу)

--+ 2 ~---

хх + х у

ох х ^(х ха + фх )

2 2 хх + х у

/v

Л/'

Х х + Х у

1 2

\ (

ух х

V

х х + х у

+2,

Jъsохх ^(хха + фх)__1

2

\ (

2

Х х + Х у

уху

х х + х у

2

Данные дисперсионные уравнения являются приближенными, поскольку получены с использованием импедансных граничных условий, которые выполняются строго только в случае нормального падения волн на проводящую стенку. Для получения строгих дисперсионных уравнений нужно воспользоваться полученными ранее выражениями для поверхностного импеданса.

Запишем выражения для полей в системе отсчёта, движущейся вдоль оси волновода со скоростью, при которой действительная часть постоянной распространения волны равна нулю. В этом случае падение парциальных волн, образующих квази-Етп направляемые моды, на поверхность проводящего экрана будет нормальным, и граничные условия Щукина-Леонтовича выполнятся строго.

К = "Л(еоу'хX "У)со^х Xx' + ФХ^п(х'уУ' + ФУ)ехр[1т(уг ')]ехр[/и 'г'] ; X

Ку = -(к у'х У + Нош'^оХ X )вт (х XX + ф'х )соб(х 'у' + фУ )ехр [1т(у'г ')]ехр [/и' г'\ ; х

К = Ео ^хXх + Фх)вт(хуУ + Фу)ехР[Му'г ')]ехР Ь® 'г'] ;

К =/ (н о у 'х X + Еои' 8ох У ^т(х Хх ' + ф X )соб(х Уу ' + Ф У )ехр [1т(у 'г' )]ехр [/и' г' ] ; х

н'у = ^2 Но у 'х У - Еои' 8ох X )соб(х XX + Ф X ^(х Уу ' + фУ )ехр [1т(у 'г ')]ехр [/и' г '] ; х

H'z = Hо cos(xXX + фХ)cos(x'yy' + ФУ)exp [lm(y Z ')]exp [j® 't'].

Граничные условия записываются в виде:

F' F' — F'

У = 0; b: -- = -E^ = Zs; X = 0, а : = -—- = Zs,

H' H

H' H'

где в случае квази #-волн берётся 2Ъ, а в случае квази Е-волн - . В результате получаем систему дисперсионных уравнений:

j® vox у tg(x уь + ф у)

V

I 2 г 2

X X + X У

+ zc

j®' sox У ctg(x yb + фУ)__1

ze

' 'lm(y ' )x X ^

,2 ,2

x X + x У

j®voxX tg(xXa + фХ ), 7 Y j® ' 8oxX ctg(xXa + фX)__1

r2 ,2

X X + X У

+Z

,2 ,2

j vx x +x у j

\ f

t2 ,2

X X + X У

Z

Му')х

У

2

r2 ,2 x X + x

У j

Ш

которая в сочетании с соотношением х' " 1т (у') = ^—J позволяет найти зависимость У ' (и' ).

При переходе к неподвижной системе отсчета компоненты поля, волнового вектора и частота изменяются в соответствии с преобразованиями Лоренца

. и ' + уу '

х=х,и=

V1-W

Продольное волновое число находится из выражения y =

Re( ш)4

x2.

Зависимость коэффициентов затухания от частоты для волн квази-#ю и квази-Ец для прямоугольного волновода с размерами поперечного сечения 7,2х3,4 мм и проводимостью

у

материала стенок а = 5,810 см/м приведены на рис. 6.

2

2

2

С

К

Рис. 6. Частотные зависимости коэффициента затухания направляемых мод при проводимости о =5,8-107 см/м:

1 - квази-Д10; 2 - квази-Ец

Представленные зависимости погонных потерь от частоты, полученные предлагаемым методом, хорошо согласуются с известными результатами [6-8].

Таким образом, была поставлена и решена задача о нормальном падении электромагнитных волн взаимно ортогональных поляризаций на поверхность движущегося проводника. В результате решения этой задачи показано, что зависимости поверхностных импедансов от скорости движения проводника (или скорости рассматриваемой системы отсчета) имеют разный характер для волн ортогональных поляризаций.

На основании проведённых расчётов и полученных зависимостей сформулирована методика строгого электродинамического расчета направляющих структур, ограниченных неидеально проводящими поверхностями, учитывающая зависимости поверхностного импеданса от поляризации электромагнитной волны и проводимости материала ограничивающих стенок.

Приведены результаты расчета погонных потерь в круглом волноводе с неидеально проводящими стенками, рассчитанные с помощью разработанного метода, основанного на инвариантности уравнений Максвелла относительно преобразований Лоренца. При расчетах учтены зависимости поверхностного импеданса экранирующих поверхностей от их проводимости, а также частоты и поляризации направляемой моды.

Библиографический список

1. Ильинский, А.С. Колебания и волны в электродинамических системах с потерями / А С. Ильинский, Г.Я. Слепян. - М. : Изд-во МГУ, 1983. - 232 с.

2. Conductor Loss in Hollow Waveguides Using a Surface Integral Formulation / M. Swaminathan [et al.]. - IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. V. 40. №. 11. 1992. P.2034-20413.

3. Кураев, А.А. О влиянии конечной проводимости металлических стенок на характеристики мощных релятивистских приборов СВЧ с нерегулярными электродинамическими системами / А.А. Кураев, А.К. Синицын // СВЧ-техника и телекоммуникационные технологии (КрыМико 2006): материалы 16-й Междунар. Крымской конф., 11-15 сентября 2006 г. - Севастополь: Вебер, 2006. Т. 1. С. 238-240.

4. Кураев, А.А. Поля в продольно-периодических волноводах с учетом потерь в металлических стенках / А.А. Кураев, А.К. Синицын, С.И. Яроменок // Доклады БГУИР. 2008. № 1(31). С.48-53.

5. Котельников, И.А. О затухании в волноводе / И.А. Котельников // Журнал технической физики. 2004. Т. 74. № 9. С. 95-966.

6. Никольский, В.В. Электродинамика и распространение радиоволн / В.В. Никольский, Т.И. Никольская. - 3-е изд. перераб. и доп. - М.: Наука, 1989. - 544 с.

7. Бирюков, В.В. Учет конечной проводимости при расчете волноводов СВЧ и КВЧ диапазонов на основе релятивистского подхода / В.В. Бирюков // Письма в ЖТФ. - 2008. Т. 34. Вып. 2. С.75-82.

8. Бирюков, В.В. Структура электромагнитного поля круглого экранированного волновода в движущейся системе отсчета / В.В. Бирюков, В.А. Грачев // Письма в ЖТФ. 2014. Т. 40. Вып. 14. С. 21-29.

9. Бирюков, В.В. Моделирование электромагнитного поля прямоугольного волновода с использованием преобразований Лоренца / В.В. Бирюков, В.А. Грачев // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2014. №. 2(1). С. 164-169.

10. Неганов, В.А. Электродинамика и распространение радиоволн: учеб. пособие для вузов / В.А. Неганов, О.В. Осипов, С.Б. Раевский, Г.П. Яровой; под ред. В.А. Неганова и С.Б. Раевского. - М. : Радио и связь, 2005. - 648 с.

11. Yeap, K.H. Wave Propagation in Lossy and Superconducting Circular Waveguides / K.H. Yeap [at al.] // Radioengineering. 2010. V. 19. № 2. P. 320-325.

12. Бирюков, В.В. Влияние конечной проводимости стенок на структуру поля и характеристики круглого волновода / В.В. Бирюков, В.А. Грачев // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2014. Т. 17. № 1. С. 50-53.

Дата поступления в редакцию 10.02.2016

V.V. Biryukov, V.A. Grachev, T.V. Kozhevnikova

A RELATIVISTIC METHOD OF CALCULATION CHARACTERISTICS OF CIRCULAR AND RECTANGULAR WAVEGUIDES

Nizhny Novgorod state technical university n.a. R.E. Alexeev

Purpose: The article presents the method of calculating the characteristics of the circular waveguide. Design/methodology/approach: The solution of the boundary electrodynamic problem with impedance boundary conditions method, based on invariance of the Maxwell equations relative to the Lorentz transformations is presented. Finding: The ability to use rigorous boundary conditions is shown.

Research limitations/implications: The article presents application of the proposed method, its comparison with known results.

Originality/value: It is shown that the transition to the moving reference frame and using the Lorentz transformations allows to achieve strict implementation of impedance boundary conditions throughout the frequency range.

Key words: circular waveguide, rectangular waveguide, Helmholtz equation, dispersion equation, impedance boundary conditions, the Lorentz transformations.