CC BY
31
УДК 66.081.6
РАСЧЕТ И ПРОЕКТИРОВАНИЯ МЕМБРАННОГО АГРЕГАТА ДЛЯ ОЧИСТКИ СТОЧНЫХ ВОД
© В.И. Кочетов, С.И. Лазарев, В.Ю. Попов, В.Ю. Богомолов
Ключевые слова: мембранный агрегат; плоскокамерный аппарат; трубчатый аппарат; методика расчета. Предложена конструкция мембранного агрегата, состоящего из двух крышек, представляющих собой открытые торообразные оболочки, сопряженные по наружному контуру с кольцом, а по внутреннему отверстию - с круглой пластиной. Рассмотрена расчетная схема и асимптотические формулы, которые позволяют дать оценку напряженно-деформированного состояния основных элементов крышки - торовой оболочки, круглой пластины и кольца. Приведен пример методики расчета на прочность и жесткость крышки агрегата.
Мембранный агрегат [1] относится к области разделения, концентрирования и очистки растворов методами микрофильтрации, ультрафильтрации и нано-фильтрации и может использоваться в химической, микробиологической, медицинской и пищевой промышленности. Основная задача агрегата - это повышение качества и эффективности разделения и очистки растворов путем последовательного совмещения в нем элементов плоскокамерного и трубчатого аппаратов в одном корпусе, имеющем небольшие габариты.
Основными несущими узлами корпуса мембранного агрегата являются верхняя и нижняя крышки, соединенные между собой с помощью замкового байо-нетного кольца (рис. 1). Каждая крышка представляет собой открытую торообразную оболочку, сопряженную по наружному диаметру с кольцом, а по внутреннему отверстию - с круглой пластиной. В процессе эксплуатации со стороны плоскокамерного модуля на круглую пластину действует рабочее давление р0, максимальная величина которого может достигать до 1 МПа, а со стороны трубчатого модуля на стенки то-ровой оболочки действует давление р, максимальное значение которого составляет примерно третью часть
от рабочего давления p0. Наряду с требованиями качества и эффективности разделения и очистки растворов, конструкция агрегата, а в первую очередь несущие крышки, должна удовлетворять условиям безопасности эксплуатации. Поэтому разработка конструкции крышек агрегата должна производиться с учетом выбора их оптимальных конструктивных характеристик (толщины торовой оболочки, круглой пластины и колец).
Учитывая, что верхняя и нижняя крышки как в геометрическом, так и в силовом отношении одинаковы, то будем рассматривать только одну из них, например, верхнюю. Расчетная схема половины верхней крышки вместе с действующими на нее нагрузками показана на рис. 2. В местах сопряжения круглой пластины и торовой оболочки (сечение А-А), торовой оболочки и кольца (сечение В-В) прикладываем неизвестные внутренние силы взаимодействия QA, QB, MA, MB, TMB, соответственно, поперечные силы, изгибающие моменты и нормальная сила, распределенные по окружности данного сечения. Эти неизвестные усилия, за исключением TMB, которое находится из условия равновесия, определяются из условия совместности деформации:
Рис. 1. Общий вид корпуса камеры: 1 - верхняя крышка; 2 - нижняя крышка; 3 - байонетное кольцо (замок); 4 - корпус плоскокамерного модуля; 5 - камера трубчатого модуля; 6 - уплотнение; 7 - патрубки для входа и выхода разделяемого раствора
1883
а) круглой пластины и торовой оболочки (сечение А-А)
< + Oll (Qa -QX)+ «12 (Ма - MX) = |
К + а12 (С?А - Qi) + «22 (МА - м^) = -агJ'
б) торовой оболочки и кольца (сечение В-В)
и'А + OUCQB - QS) + ai2ÍwB - MS) = ^ «Á + «12(<2в - QS) + «22 (MB - MS) = ф|}
(1)
(2)
Здесь i¿S, -Эд, - радиальные и угловые перемещения торовой оболочки в сечениях А-А и В-В от внутреннего давления p, определяются по формулам:
и = -- Щ - Nvв);
= -Ji2(i-v*)^<p(e)Re[-to(e)];
К =
pR 2
^ 1 + а • sin 6 sin 6 1 + а • sin 6_ F1 1 _ F1 ф(6) • cos 6
2яа sin 6(1 + а- sin 6) 2яа 1 + а^ sin 6 1
x|XImE[-X<»(6)] + pR
N * =
N Ф
F
2
1 +
ю(6) _ sin 60 2 + а • sin 60 а sin2 6
1
F
2жт1 sin 2 6
2w,
-X>(6)ro'(6)ImE'[-Xro(6)] +
ф'(6) Ф(6)ю'(6)
+ Хф'(6)/т£[-Хш(6)] +
ю(6)
ю2(6)
(3)
(4)
(5)
где а - радиус круговой оси тора, в мм; Я - радиус меридионального сечения тора, в мм; 6 - текущий угол сечения оболочки; Л^, Ы^, 2 , Мд - усилия от давления
р и осевой силы Е, в Н/мм; ^ = яг02 - осевая сила, приложенная к краю оболочки (6 = 61), в Н; Е и V -соответственно, модуль упругости и коэффициент Пуассона материала оболочки; а = —^ ; к2 - толщина
оболочки, в мм; Х = ^12(1 - V2) • (аР)!3; Р = —,
к2
Яе[...], /„Е[...] - вещественная и мнимая часть функции.
Для длинной торовой оболочки, у которой граничные условия на краях удовлетворяются независимо одно от другого, коэффициенты уравнений (1) и (2) при М и 2 определяются по формулам [2]
ап = — Хю0 '(1 + а- sin 6 )2 + а
| [Re Ню f + УЛо']2
Re H10ImH10 '-ImH10 • Re Н10' EH2 '
^12(1 -v2) • — (1 + а • sin 6) х
а,, = -
Re Ню • Re Н10' +ImH10 • ImH10 1
Re H\0ImH\0'-ImH\0 • Re Н1о' EH2
а 22 = 12(1 -v2)-^- х
Хю0'
[Re Ню]2 + [IAq]2
Re Н10 • ImH10 '-ImH10 • Re H10' E^ '
(7)
(8)
(9)
= N*cos 6--1
F X sin2 6
2я—(1 + а sin 6)
ImE[-XB(6)] +
д/12(1 -v2)
F1H1X2 2%R
[Ф(6)ш'(6) •
• Re E '[-Xra(6)]; M Ф = vM 6*,
Xra(6)
(6)
Оболочка считается длинной, если
i ,30
|®(62)-ffl(6j) > .
X
(10)
Значения функций ф(6), ю(6), ю'(6), Reh¡', Re[-Xro(6)], /„E[-Xro(6)j, Imhi, Imh1 даны в табл. 1-5 [2].
1884
2 + а- sin 6 sin 60 2 + а^ sin 60
+
+
1
Приведенные выше зависимости получены методом асимптотического интегрирования и справедливы при следующем условии: X3 > 5 [2].
Выражения для линейных и угловых перемещений круговой пластины и кольца, входящие в правую часть уравнений (1) и (2), имеют вид
Р0Г0 , МАГ0 .
8Д(1 + у) Д(1 + У)
(11)
ЫдЛ = 0, т. к. пластина считается в своей плоскости нерастяжимой;
N , ф^з. ^В - „г + , ;
Е\ 2
(12)
к м
ФК = м , (13)
Ыз
пПЛ гК
где зд - угол поворота сечения пластины; -
Ст -Ст(и) + СТ( Р) -
°етах - °6тах +°6тах -
6Ме 1 + 0,5а • Бт е рг1
- —;—I----
к£ 1 + а • Бт е к2
ст -ст(») +СТ(Р) - М + Ж
Ф тах ф тах ф тах ^3 ^
(16)
(17)
где стер!ах' СТфРпж - напряжения растяжения по безмо-
ментной теории оболочек; Стд^^, стф"1)1ах - напряжения изгиба.
Наибольшее напряжение в кольце
N М • к3/2
- " + М •к3/
тах
(а + К) (а + К)13
(18)
Для торовой оболочки можно использовать простые асимптотические формулы Кларка [2] для максимальных напряжений и перемещений:
радиальное перемещение сечения кольца; фв - угол поворота сечения кольца; р0 - давление на круговую пластину, в МПа; г0 - радиус пластины, в мм;
А -
Е\
12(1 -V2)
цилиндрическая жесткость пластины,
в Н*мм; е0 - угол в месте сопряжения торовой оболочки и пластины; N - рк3 (а + К) + QB (а + К) - тангенциальное усилие в сечении кольца, в Н; к3 - толщина кольца, в мм; М - Р(а + г3 )2 - ^мв(а + К)2 +
+Мв (а + К) + 2В (а + К) -к3 - изгибающий момент в
сечении кольца, в Н-мм; Р2 - р0яг02 + + рп[(а + К)2 — г02] - осевое усилие, приходящееся на
кольцо при е - ео, в Н; т - р3 ;
МВ 2п(а + К)
геометриче-
I - к31п
а + г3 а + К
2 |. /з - Г а + г2
12 I а +К
ские характеристики сечения кольца, соответственно, в мм и мм3 [3].
Определив неизвестные усилия в местах сопряжения пластины, оболочки и кольца МА, QA, Мв, Ов, можно вычислить напряжения и перемещения в любом сечении крышки: для пластины
в точке е.- 0, стф -сту • 2,15(1 — V2/3 х
ха-13 • р23 + РрК,
в точке е - ±
1,225
-+сту • 2,99(1 —V2) —Уб -а-'13 -р^3[ф(е.)ю'(е.)] +
1 + 0,5а' бю е. рК
1 + а • бю е. к2
(19)
ръ 2 2 2
где СТ - -——; р0 - рлг0 + Р0^(а - Г)). 2пак2
Максимальное осевое перемещение в т. А ( е - )
(20)
2 12(1 -V2) • К3
Р.
§А ихА X3 • 4Ек3 • а 'Р
Максимальный прогиб в центре круглой пластины
ПЛ
(5 + V)Р0Г4 , МА • Г02
и К ихА + (1 + V) • 64Д + (1 + V) • 2Д. (21)
Условие прочности по IV теории прочности
6М ф
7 =--
тах 2
к1
6Мг
1 --- V • СТ '
г тах .2 ф тах'
К
(14)
(15)
IV / 2 2 2 Г 1
ст^ - уст2 +СТ2 +СТ3 -СТ^СТ3 -СТ1СТ3 -СТ2СТ3 < [СТ], (22)
где Ст!, ст2, ст3 - главные напряжения в опасных точках крышки; [а] - допускаемое напряжение для материала крышки.
Условие жесткости
для торовой оболочки
и
х тах чЛх
и]
(23)
2
X
СТ
<
1885
где [их ] - допускаемый прогиб для крышки в осевом направлении.
Пример расчета
Исходные данные: а = 100 мм; К = 48 мм; г2 = = 58 мм; г3 = 55 мм; г0 = 70 мм; 90 = -36°; материал крышки - нержавеющая сталь Х18Н10Т;
E - 2•Ю5МПа;V- 0,3;стт - 255МПа;
ю(90°) = 1,306; ю'(90°) = 0,7064; ф(90°) = 0,9714; ф'(90°) = 0,1284; ф(90° )ю'(90°) = 0,6826;
Re h1(-y) = Re h2 =-7,395; Re h1'(-y) = Re h2' =-11,05; ЛА(-у) = -I»Ä2= 1,56;
О T
[h] = 1,5; [о] = = 170МПа; [n]
R r
а = — = 0,5; ß = = 12,5; hl = 5мм; a h2
h2 = h3 = 4мм; p0 = 1МПа; p = 0,3МПа;
Imh' (-У) = -Imh2 = -6,6; Re E(-y) = Re E = 0,071; ImE(-y) = -lmE( y) = -0,413;
InE\-y) = ImE'(y) = -0,287;
F2 = p^2 + pn[(a + hf -r2] = 31965(H).
а —
9j = -36°; 92 = 90° ;2K2 = — = 20,66;
c
h 2
1 -v 2
= 1,21;
D = D = 5,86E; y = -Лю(0); X = 2,29;
Подставляя эти значения в (2) и учитывая (3)—(13), получим
^ -I Н | ^ Л H • мм
Qb = -13,5|-I; MB = -486,71-
,мм I I мм
I Н
TmB = 33,3|
V мм
Ij = 0,258мм; I3 = 0,344мм3; [и ] = 1,5мм.
Максимальные напряжения в центре круговой пластины (14), (15)
Для ^ = -36° по [2] имеем: y = -2,29(-0,648) = = 1,483 > 0;
к 6MrK 6 • 941,6 ,,,АЛ/ГТТ -^v = —^ =-— = 130МПа;
r max . 2
hj2 25
ю(-36) = -0,648;Re кг = -0,2583;Re h/ = 0,4052; Imh =-0,01767; ImV= -0,1025;
-Kmax = V • —Kmax = 0,3 • 130 = 39МПа,
3 + v
ю' (-36) = -0,7064; Re h2 =-0,3123;Re h2 '= 0,7371; где Mk = Ma —77- РсГ2 = 469 -1010,6 ^МЩЩ
Imh2 = 2,166; Imh2' = 1,617;
16
Эквивалентное напряжение по IV теории прочности (22), полагая
ф'(-36°) = -0,242; F = РолГ) = 15386(Я); ф(-36° )ю'(-36°) = 1,249;
—1 = —fmax = 130МПа; —2 = —Kmax = 39МПа;—3 = 0
IV
^ л/130
2 + 392 -130 • 39 = 115,5МПа < [—].
По (10) имеем
Напряжения в торовой оболочке (16), (17):
3 0
|ю(02)-ю(01)| >
Л
|1,306 + 0,648 = 1,954 >
2,29
■ = 1,3.
при 0 = -36°; т. А:
—A = 178,5 МПа; —£ =v-— A = 53,55МПа; —A = 153,6МПа < [—].
Условие (10) выполняется, т. е. оболочка длинная, и граничные условия на краях 0! = -36° и 02 =90° удовлетворяются независимо одно от другого.
Тогда из уравнения (1) с учетом (3)-(13) следует ОА = = 15,53(Н/мм); МА = 469,1(Н).
Для е2 = 90° по [2] имеем: у - -ХЮ(03) - -2,29 • 1,306 - -3,05 < 0.
при 9 = 90°; т. В:
—B = 185,3МПа; —B =v^— B = 55,59МПа;
—B = 164МПа < [—].
Максимальные напряжения в торовой оболочке вычислим по формуле Кларка (19)
1886
c=
э
3
6„ = 0° : ст^ах = 119,7МПа;ст(р) = v • ст|° = 35,91МПа особая точка;
стэ = 106,4МПа < [ст].
Хорошее совпадение аналитических и численных методов свидетельствует о правильности выбора расчетной схемы и методов расчетов.
ВЫВОДЫ
6*=-30° : ст«х = 197МПа;
(и )
CT|max = v • ст9
(u) - 59,1МПа;
стЭ = 175МПа « [ст].
Максимальные напряжения в кольце (18) h
K _ CTmax
N
M •h-2
(a + rj • /j (a + r) • I2
497,7
+
673
148 • 0,258 148 • 0,344
= 35МПа < [ст].
Максимальные прогибы: в центре пластины -ji = 1,266мм < [7 / ]
М-х max MX
Amax Ux max =
в торовой оболочке 5° = 0,68мм < Ux]
Наряду с аналитическими решениями, приведенными выше, были проведены численные расчеты методом конечных элементов (МКЭ) [4-6], которые дали хорошие результаты совпадений с аналитическими расчетами как по напряжениям, так и по максимальным прогибам в наиболее характерных сечениях крышки.
Для круговой пластины в центре (т. К): сттеор = 153,7МПа; стМКЭ = 159МПа;
теор МКЭ
Ык = 1,266мм; и = 1,2мм.
1. Предложены расчетная схема и методы расчета на прочность и жесткость конструкции крышки мембранного агрегата, позволяющие дать оценку напряженно-деформированного состояния основных элементов крышки - круговой пластины, торовой оболочки и кольца.
2. Для элемента крышки, каковым является торо-вая оболочка со сложными краевыми условиями, используя методы асимптотического интегрирования, получены решения в комплексной форме, позволяющие с помощью справочных таблиц [2] дать оценку прочности и жесткости открытой торовой оболочки.
3. Изложенная методика дает возможность на предварительном этапе проектирования подобрать геометрические размеры конструкции камеры агрегата, удовлетворяющие необходимой прочности и жесткости при ее минимальной массе.
ЛИТЕРАТУРА
Патент РФ №2496560. B01D61/18. Баромембранный аппарат комбинированного типа / В.И. Кочетов, С.И. Лазарев, В.Ю. Попов. 2013. Бюл. № 30.
Прочность, устойчивость, колебания. Справочник: в 3 т. / под ред. И.А. Биргера и Я.Г. Пановко. М.: Машиностроение, 1988. Т. 1. 415 с.
Бояршинов С.В. Основы строительной механики машин. М.: Машиностроение, 1977. 457 с.
Мяченков В.И. и др. Расчет машиностроительных конструкций методом конечных элементов. Справочник. М.: Машиностроение, 1989.
Лазарев К.С., Ковалев С.В., Арзамасцев А.А. Исследования кинетических коэффициентов обратноосмотического разделения растворов на мембранах МГА-95, МГА-100 и ОПМ-К // Вестник Тамбовского государственного технического университета. 2011. Т. 17. № 3. С. 726.
Богомолов В.Ю., Лазарев С.И. Вопросы теплопереноса в электро-баромембранных аппаратах плоскокамерного типа // Вестник Тамбовского государственного технического университета. 2013. Т. 19. № 4. С. 805-811.
Поступила в редакцию 27 октября 2014 г.
Для торовой оболочки:
Э = -30°, ст™р = 175МПа; стМКЭ = 180МПа; 5теор = 0,68мм; 5МКЭ = 0,6мм;
0 = 0°, сттеор = 106,4МПа; стМКЭ = 100МПа;
Для кольца:
сттеор = 39,4 МПа; стМКЭ = 35МПа.
Kochetov V.I., Lazarev S.I., Popov V.Y., Bogomolov V.Y. CALCULATION AND DESIGN OF MEMBRANE UNIT FOR WASTEWATER TREATMENT
The design of the membrane unit, consisting of two caps, which are open toroidal shells coupled to the outer contour of the ring and on the inner opening - with a circular plate, is considered. We consider the design scheme and asymptotic formulas that allow evaluating the stress-strain state of the main elements of the cover - torus shell circular plate and rings. An example of a technique based on the strength and stiffness of the lid of the unit is given.
Key words: membrane unit; flat camera apparatus; tubular apparatus; method of calculation.
A
1887
Кочетов Виктор Иванович, Тамбовский государственный технический университет, г. Тамбов, Российская Федерация, доктор технических наук, профессор, профессор кафедры прикладной геометрии и компьютерной графики, e-mail: [email protected]
Kochetov Viktor Ivanovich, Tambov State Technical University, Tambov, Russian Federation, Doctor of Technics, Professor, Professor of Applied Geometry and Computer Graphics Department, е-mail: [email protected]
Лазарев Сергей Иванович, Тамбовский государственный технический университет, г. Тамбов, Российская Федерация, доктор технических наук, профессор, зав. кафедрой прикладной геометрии и компьютерной графики, е-mail: [email protected]
Lazarev Sergey Ivanovich, Tambov State Technical University, Tambov, Russian Federation, Doctor of Technics, Professor, Head of Applied Geometry and Computer Graphics Department, е-mail: [email protected]
Попов Вадим Юрьевич, Тамбовский государственный технический университет, г. Тамбов, Российская Федерация, аспирант, кафедра прикладной геометрии и компьютерной графики, е-mail: [email protected]
Popov Vadim Yuryevich, Tambov State Technical University, Tambov, Russian Federation, Post-graduate Student, Applied Geometry and Computer Graphics Department, е-mail: [email protected]
Богомолов Владимир Юрьевич, Тамбовский государственный технический университет, г. Тамбов, Российская Федерация, аспирант, кафедра прикладной геометрии и компьютерной графики, е-mail: [email protected]
Bogomolov Vladimir Yuryevich, Tambov State Technical University, Tambov, Russian Federation, Post-graduate Student, Applied Geometry and Computer Graphics Department, е-mail: [email protected]
1888
