CC BY
29
ФИЗИКА
Вестн. Ом. ун-та. 2017. № 1. С. 34-42. УДК 539.2
В.В. Прудников, П.В. Прудников, И.С. Попов
РАСЧЕТ ФЛУКТУАЦИОННО-ДИССИПАТИВНОГО ОТНОШЕНИЯ ДЛЯ ДВУМЕРНОЙ ЧИСТОЙ И СТРУКТУРНО НЕУПОРЯДОЧЕННОЙ XY-МОДЕЛИ ПРИ НЕРАВНОВЕСНОЙ ЭВОЛЮЦИИ ИЗ НИЗКОТЕМПЕРАТУРНОГО НАЧАЛЬНОГО СОСТОЯНИЯ*
Осуществлен расчет концентрационной и температурной зависимостей асимптотического значения величины флуктуационно-диссипативного отношения методами Монте-Карло. Выявлено, что введение в систему структурного беспорядка существенно сказывается на процессах неравновесной критической релаксации и старения. Показано, что двухвременная зависимость флуктуационно-диссипативного отношения Х(/,4) имеет скейлинговый характер с реализацией канонического старения для чистой двумерной ХУ-модели и суперстарения для структурно неупорядоченной модели.
Ключевые слова: метод Монте-Карло, двумерная ХУ-модель, неравновесное критическое поведение, явление сверхстарения.
Исследование неравновесного критического поведения чистой и структурно неупорядоченной двумерной ХУ-модели вызывает в последние годы значительный научный интерес. Подтверждением этого явилось присуждение Д. Костерлицу и Д. Таулессу в 2016 г. Нобелевской премии по физике [1] за обнаружение в двумерной ХУ-модели топологического фазового перехода Березинского - Костерлица - Таулесса, связанного с диссоциацией вихревых квазимолекул, и низкотемпературной топологической фазы.
Первоначальные исследования в данной области были связаны с изучением равновесных критических свойств чистой системы [2-6]. На данный момент момент можно считать, что статические свойства однородной двумерной ХУ-модели достаточно хорошо изучены [6]. Однако реальные физические системы всегда содержат дефекты структуры, влияние которых на низкотемпературные и неравновесные критические свойства не является тривиальным и не может описываться в рамках критерия Хар-риса [7], как было показано во многих современных работах [8-12]. Исследование особенностей неравновесной критической релаксации и влияния структурного беспорядка на критическое поведение двумерной ХУ-модели является не решенной по сей день перспективной и актуальной научной задачей [10-12].
Научный интерес к двумерной ХУ-модели связан не только с фундаментальными особенностями низкотемпературной топологической фазы и топологического фазового перехода [1-6], существенно обогатившими новыми представлениями как физику конденсированного состояния, так и квантовую теорию поля и физику высоких энергий, но и ее прикладными свойствами. Так, двумерная ХУ-модель используется для описания свойств достаточно широкого класса реальных физических систем [3; 6]. В первую очередь к таким системам можно отнести ультратонкие магнитные пленки железа, кобальта и никеля [13], в частности пленки железа с толщинами 12,5 МЬ (атомных слоев) для поверхностной системы Ке/Ли(100) в области
* Работа поддержана грантом Российского научного фонда, проект № 14-12-00562.
© В.В. Прудников, П.В. Прудников, И. С. Попов, 2017
температур Т » 300-500 ^ 2 ML пленки железа для системы Fe/W(100) при Т » 180220 K, 2,2 ML пленки железа для системы Fe/W(100) при Т » 270-330 K, 2 ML пленки кобальта для системы Co/Cu(100) при Т » 230-410 K и 3-6,2 ML пленки никеля для системы №/^(100) при Т » 210-388 K. Использование ультратонких магнитных пленок актуально в современных и перспективных технологиях повышения плотности записи информации на магнитных носителях [14; 15]. Низкотемпературные и критические свойства обширного класса планарных магнетиков с анизотропией типа «легкая плоскость» [16-19], в том числе достаточно специфических магнитных материалов [20-23], описываются двумерной XY-моделью. Сверхпроводящие тонкие пленки [24-27], решетки джозефсоновских контактов [28-30] и контактов SFS [31-33], двумерные кристаллы [3; 6], смектические жидкие кристаллы [32-39], некоторые корреляционные свойства двумерной турбулентности [40], сингулярности в критических свойствах сверхтекучих тонких пленок жидкого гелия [40-48], плавление нескольких слоев сорбированного ксенона в монокристаллическом графите [49], процесс сорбирования водорода на вольфраме W(011) с реконструкцией поверхности [50] и различные свойства многих других [6; 51] систем описываются с использованием двумерной XY-модели.
Топологический фазовый переход Бере-зинского - Костерлица - Таулесса (БКТ) в двумерной XY-модели обусловлен диссоциацией связанных пар «вихрь» - «антивихрь» (см. рис. 1), называемых квазимолекулами [3], в точке перехода при температуре Твкт и про-
является в виде смены асимптотик пространственной зависимости корреляционной функции со степенной для Т < Твкт на экпо-ненциально затухающую. Важной особенностью низкотемпературной фазы Березин-ского является то, что не только точка перехода Твкт, но и каждая температура Т < Твкт является критической [4; 5], таким образом в ней осуществляется каскад фазовых переходов. Данное свойство позволяет проводить некоторые аналогии неравновесного критического поведения двумерной XY-модели в низкотемпературной фазе с низкотемпературными свойствами спинового стекла и других систем со «стекольной» фазой [52-55].
В последние годы особый интерес к системам, находящимся в критическом состоянии, связан с исследованиями их медленной динамики [56-69]. Первоначально неравновесные эффекты медленной динамики исследовались в комплексных неупорядоченных системах, таких как спиновые стекла [52-55]. Медленная динамика систем в критической точке фундаментально отличается от медленной динамики стекол, что связано с флуктуационной природой критического поведения, где основную роль играет взаимодействие аномально больших и долгоживу-щих флуктуаций основных термодинамических величин [64-66]. В свою очередь, в стеклах медленная релаксация связана с топологической сложностью энергетической поверхности, в частности с существованием огромного множества локальных минимумов, метастабильные состояния в которых обладают большим временем жизни. Несмотря на эти фундаментальные различия, динамические характеристики систем с медленной динамикой весьма сходны [66].
Ш1
Рис. 1. Визуализация состояния однородной (слева) и структурно неупорядоченной (справа) системы в процессе неравновесной критической релаксации: стрелки - планарные спины; квадраты - дефекты структуры (Ясно наблюдаются вихревые структуры - вихри и антивихри - и их пиннинг дефектами.)
Основными проявлениями медленной динамики являются эффекты старения и связанные с ними обобщенный динамический скейлинг многовременных корреляционных функций и функций отклика и нарушение флуктуационно-диссипативной теоремы (ФДТ). На данный момент существует ряд работ [8-12; 61-63; 67], в которых проведены исследования эффектов старения и нарушения ФДТ в двумерной ХУ-модели. В работах [62; 67] проведено исследование неравновесной критической релаксации чистой модели. Однако количественные характеристики нарушения ФДТ были определены лишь в работе [67], и то лишь для эволюции из высокотемпературного начального состояния. В работе [11] впервые проведено комплексное исследование старения и нарушения ФДТ в структурно неупорядоченной системе в процессе неравновесной критической релаксации из высокотемпературного начального состояния в рамках учета вихревой динамики системы. Исследование спин-волновой релаксации двумерной ХУ-модели, как чистой, так и структурно неупорядоченной, при эволюции из низкотемпературного начального состояния проведено в работе [68]. Однако последние исследования [69] показали, что при рассмотрении спин-волновой релаксации важно правильно определять динамические характеристики системы, в частности автокорреляционную функцию. Это позволило авторам работы [69] выявить особенности динамического скейлинга в двумерной ХУ-модели в процессе спин-волновой релаксации, и в частности показать, что для структурно неупорядоченной системы каноническое старение уступает место суперстарению системы.
Эффекты старения возникают на временах ^ много меньших времени релаксации системы Ъы, и связаны с замедлением релаксационных процессов при увеличении возраста образца [64]. Математически это проявляется в двухвременных свойствах таких динамических характеристик, как автокорреляционные функции и функции отклика [65; 66]. Старение нарушает трансляционную однородность релаксации системы во времени, вследствие чего двухвременные характеристики становятся функциями двух времен - t и tw, а не только их разности t - tw. Время ожидания (начала измерения) tw характеризует возраст образца в процессе старения, при этом с ростом tw снижается скорость спадания автокорреляционной функции как функции времени наблюдения t - tw. В рассматриваемой системе автокорреляционную функцию и функцию отклика вводят следующим образом [11]:
5[( S(x, t) ]
C(t, tw) = 1J ädx[( S (x, t )S (x, tw ) --(S(x, t)) (S(x, tw ))],
5h( x, tw)
где S(x,t) - локальное спиновое поле; h(x,t) -малое локальное внешнее поле; [...] - усреднение по различным конфигурациям структурного беспорядка в системе; <...> - усреднение по начальным неравновесным конфигурациям системы.
ФДТ связывает равновесную функцию отклика системы Req(t,tw) = Req(t - tw) и автокорреляционную функцию Ceq(t,tw) = Ceq(t - tw) для времен t > tw >> trei соотношением
dC (t)
TR (t) =--. (2)
() dt У )
Для систем с медленной динамикой ФДТ нарушается, вследствие чего вводится обобщение ФДТ для описания неравновесных процессов через задание флуктуационно-диссипативного отношения (ФДО) [59; 66]
w N TR(t, t )
X(t,t ) =-v ' . (3)
(, w) dC(t, tw )/dtw
В соответствии с формулами (2) и (3) в состоянии равновесия имеет место X(t > tw >> trei) = 1, что означает выполнение ФДТ. В неравновесном состоянии при проявлении старения и памяти ФДТ нарушается X(t,tw) ^ 1. Вводимое асимптотическое предельное значение ФДО
Xда = lim X(t ) = lim limX(t, t ) (4)
tw -^да tw -^да t ^да
становится новой универсальной характеристикой неравновесного поведения различных систем [64].
Динамическим характеристикам систем с медленной динамикой при проявлении старения свойственна реализация обобщенного динамического скейлинга для динамических функций относительно характеристических временных масштабов системы [59-64]. Динамическая скейлинговая форма для автокорреляционной функции в случае канонического старения принимает следующий вид [11]:
C(t, tw) = t^/20(^(t - tw)Д(С)), (5) где §(t) - динамическая зависимость корреляционной длины системы, ц - аномальная размерность системы (критический индекс Фишера).
Существуют случаи нарушения процесса канонического старения [59; 66]. При этом в медленной динамике наблюдаются эффекты субстарения («subaging») и суперстарения («superaging»). Динамический скейлинг (5) при этом принимает расширенный вид [66]
C(t,tw) = tw"2cb(i(t - tw(tw)), (6)
где ц - индекс субстарения (ц < 1) или суперстарения (ц > 1); ц = 1 характеризует каноническое старение и скейлинговая форма (6) переходит в (5).
Неравновесная критическая релаксация двумерной ХУ-модели определяется (рис. 2) неравновесными процессами в вихревой подсистеме и подсистеме квазидальнего порядка, а также их взаимодействием [11; 12; 58]. Вихревые возбуждения взаимодействуют между собой, рождаются и уничтожаются. Области квазидальнего порядка, в зависимости от начального упорядочения, огрубляются и фрагментируются. Взаимодействие между вихревой подсистемой и подсистемой квазидальнего порядка связано с сильной неоднородностью структуры вихрей и локальной упорядоченностью областей квазидальнего порядка - не связанные в пары вихри локально разрушают квазидальний порядок, а квазидальний порядок «разрушает» вихревую подсистему. С введением в систему структурного беспорядка возникает процесс неравновесного пиннинга вихрей на дефектах структуры.
Рис. 2. Схематическое представление основных подсистем и процессов их взаимодействия в двумерной структурно неупорядоченной ХУ-модели
Для исследования вкладов различных подсистем в процесс неравновесной релаксации используется важное свойство систем с медленной динамикой, а именно то, что процесс релаксации существенно зависит от начального состояния [62; 67]. Начальные неравновесные состояния выбираются из соображений превалирования одного вклада над другими. В двумерной ХУ-модели выбираются два начальных неравновесных состояния - вихревое высокотемпературное и упорядоченное низкотемпературное.
Вихревое начальное состояние приготавливается при Т0 >> Твкт, при этом в системе возникает неравновесная для Т < Твкт концентрация вихревых возбуждений, не связанных в пары. В процессе релаксации системы избыточное количество вихревых возбуждений аннигилирует. Влияние структурного беспорядка на релаксацию системы в
данном случае существенно, вследствие неравновесного пиннинга вихрей на дефектах (см. рис. 1). Эффекты старения и нарушения ФДТ в двумерной структурно неупорядоченной XY-модели при релаксации из вихревого начального высокотемпературного состояния детально были исследованы в нашей работе [11].
В противоположность вихревому начальному состоянию релаксация системы из низкотемпературного начального состояния при T0 = 0 имеет преимущественно спин-волновую природу. Для этого случая количественные характеристики эффектов нарушения ФДТ практически не были исследованы [62; 67]. Последние результаты [69] показывают, что в процессе спин-волновой релаксации в однородной системе имеет место каноническое старение, в то время как введение структурного беспорядка приводит к реализации суперстарения системы.
Данная работа посвящена исследованию количественных характеристик нарушения ФДТ и осуществлению расчета температурной и концентрационной зависимости асимптотического значения величины ФДО для спин-волновой релаксации двумерной чистой и структурно неупорядоченной XY-модели методами Монте-Карло.
Гамильтониан двумерной структурно неупорядоченной XY-модели в данной работе выбирался в виде
H=-I ptpfr* j. (9)
{' j)
где S; - классический планарный спин, pi -случайное число заполнения, <i,j> - суммирование по всем парам ближайших соседей. Рассматривается двумерная квадратная решетка с линейным размером L. Числа заполнения обозначают расположение на решетке точечных дефектов. Дефекты замороженные (в процессе релаксации их положение не менялось) распределялись по решетке равномерно и некоррелированно (с концентрацией cimp = 1-p, где p - спиновая концентрация).
Функция отклика R(t,tw) не может быть непосредственно измерена экспериментально, а определение ее в процессе моделирования вызывает значительные трудности. Более удобной величиной является интегральная характеристика - динамическая восприимчивость:
X(t, tw ) = f*(t, T)d т.
(10)
Методами Монте-Карло восприимчивость системы может быть рассчитана на основе следующего соотношения [62]:
X(t, tw ) =
1
L h2
I h, (tw) • Si (t)
(11)
где И; - малое случайное бимодальное магнитное поле, черта сверху обозначает процедуру
усреднения по различным реализациям магнитного поля на узлах решетки.
В работе осуществлялось исследование временного поведения автокорреляционной функции [69]
С и х ) = -!-) рЬ2
1
~PL2
X ps t (tw )
и обобщенной восприимчивости 1
x(t, tw ) =
pL2 h2
X Ph (tw ) • S, (t)
(12)
(13)
где p задает концентрацию спинов на квадратной решетке с линейным размером L.
При расчете обобщенной восприимчивости (13) и автокорреляционной функции (12) ФДО X(t,tw) (3) определялось следующим выражением:
С) К _д[ГХ]
X (t, tw )=T-
(14)
д^ дС(Х, С) дС
В данной работе исследовались однородная (p = 1,0) и структурно неупорядоченная система с p = 0,9 и 0,8. Моделирование осуществлялось с использованием алгоритма Метрополиса, адекватно реализующего процесс неравновесной критической релаксации системы во всей низкотемпературной фазе T < Tвкт вплоть до точки фазового перехода Tвкт [59]. Значения Tвкт(p) были вычислены в работе [60] и для рассматриваемых спиновых концентраций p имеют следующие значения: Tвкт(p = 1,0) = 0,893(2), Tвкт(p = 0,9) = 0,679(7), Tвкт(p = 0,8) = 0,485(4). Системе задавался старт из начального неравновесного низкотемпературного состояния т0 = 0, спины в котором сонаправлены. Для исследования неравновесных характеристик системы рассматривалась решетка с линейным размером L = 512. В качестве единицы времени в работе используется шаг Монте-Карло на спин (МС8/в), под которым понимается N = pL2 пробных переворотов спинов в единицу времени. Для получения двухвременных зависимостей моделирование проводилось для четырех различных значений времени ожидания: tw = 50, 100, 200 и 500 МСЭ/в - при временах наблюдения t - tw = 10 000 МС8/в. Более продолжительный временной масштаб по сравнению с работой [69] был выбран для получения корректных динамических асимптотик. Данный пространственный размер системы является достаточным для моделирования неравновесных критических свойств двумерной ХУ-модели. Также для снижения влияния эффектов конечного размера системы использовались периодические граничные условия.
Алгоритм Метрополиса для исследования старения и нарушения ФДТ в двумерной ХУ-
модели был реализован в программном комплексе на языке программирования C. Программный комплекс был распараллелен с использованием интерфейса обмена сообщений MPI для проведения моделирования на суперкомпьютере.
При моделировании однородной системы с p = 1,0 проводилось статистическое усреднение по 2000 прогонок. При моделировании структурно неупорядоченной XY-мо-дели усреднение вычисляемых величин проводилось по 1000 примесных конфигураций и 10 статистическим прогонкам для каждой примесной конфигурации. Для получения столь значительного объема статистики расчеты проводились на суперкомпьютерах, при этом было затрачено более 100 000 процессо-рочасов.
Полученные динамические зависимости (рис. 3) автокорреляционной функции C(t,tw) явно демонстрируют замедление релаксационных процессов с ростом времени ожидания tw. С введением в систему структурного беспорядка меняется характер спада автокорреляционной, на больших временах спад существенно замедляется в сравнении с однородной системой.
10-1
Рис. 3. Двухвременная зависимость автокорреляционной
функции 0(Щ системы для различных спиновых концентраций р в точке перехода Березинского - Костерлица - Таулесса Твкт(р)
На рис. 4 приведены полученные в результате моделирования динамические зависимости обобщенной восприимчивости системы х^^).
10
100
000
t-t
10
100
1000
10000
t - t
Исследование скейлингового поведения (5) и (6) полученной автокорреляционной функции С(^) показало (рис. 5), что для однородной системы (р = 1,0) имеет место каноническое старения (5), в то время как для структурно неупорядоченной системы (р < 1,0) имеет место суперстарение (6). Для индекса суперстарения ц было получено выражение ц = 1 + п, что демонстрирует связь эффектов суперстарения в структурно неупорядоченной модели с аномальной размерностью системы п- Таким образом, для больших времен наблюдения был получен результат, аналогичный [69].
Т III ...... ......... ....... -
г»
1 —— 50
—— 100
—— 200
: —— 500
1.0 :
.Ж т = 0.89 :
Полученные параметрические зависимости Тх(С (рис. 6) для различных температур Т < Твкт(р) и примесных концентраций р явно демонстрируют нарушение ФДТ. Из полученных результатов видно, что Х(^и) > 1.
Для расчета величины Х(^™) по формуле (14) был применен подход локальной линейной аппроксимации. Полученные двухвре-менные зависимости (рис. 7) демонстрируют скейлинговые свойства с автомодельной переменной Л = t|tw для однородной системы и Л = t|twЦ для структурно неупорядоченной. Наличие такого скейлинга позволяет сделать вывод, что найденный неравновесный критический режим является асимптотическим.
■ г»
■ —— 50
■ —— 100
_ —— 200
—— 500
•Г Р = 0.8
у т = 0.49
10000 10
Рис. 4. Двухвременная зависимость обобщенной восприимчивости системы для различных спиновых концентраций р в точке перехода Березинского - Костерлица - Таулесса Твкт(р)
0.0010 0.0100
Рис. 5. Динамический скейлинг автокорреляционной функции О^^ш) системы для различных спиновых концентраций р в точке перехода Березинского - Костерлица - Таулесса ТвкТ(р)
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
сад
Рис. 6. Параметрическая зависимость Тх(0) для различных температур Т< Твкт(р) и примесных концентраций р (Прямой линией РРТ показана флуктуационно-диссипативная теорема (Xх = 1).)
10
00
000
100
1000
10000
г -г
г-г
0.1000 1.0000 10.0000
г-г
Рис. 7. Скейлинговая зависимости Х(Щ = ф = ЦЩ для системы со спиновой концентрацией р = 0,8 и температур Т = 0,1, Т = 0,3 и Т = Твкт(р = 0,8) = 0,49
Рис. 8. Температурная и концентрационная зависимость асимптотического значения величины флуктуационно-диссипативного отношения X"
Путем экстраполяции 1/А ^ 0 при tw = const и последующей экстраполяцией 1/ tw ^ 0 были получены температурная и концентрационная зависимости асимптотического значения величины ФДО Xm (рис. 8). Для однородной системы X°(T) с ростом температуры снижается, в то время как для структурно неупорядоченной системы растет. Полученные результаты демонстрируют, что влияние структурного беспорядка существенно сказывается на неравновесной критической спин-волной релаксации двумерной XY-модели. В работах [62; 67] проводились исследования нарушения ФДТ для релаксации однородной двумерной XY-модели из низкотемпературного начального состояния, однако никаких количественных выводов сделано не было. В данной работе получена количественная температурная концентрационная зависимости асимптотического значения величины ФДО для однородной и структурно неупорядоченной системы.
В заключение отметим, что в работе проведено численное исследование неравновесного критического поведения двумерной чистой и структурно неупорядоченной XY-модели методами Монте-Карло. Осуществлен расчет концентрационной и температурной зависимостей асимптотического значения величины ФДО. Выявлено, что введение в систему структурного беспорядка существенно сказывается на процессах неравновесной критической релаксации и старения. Показано, что двухвременная зависимость ФДО
X(t,tw) имеет скейлинговое поведение, отражающее динамический скейлинг канонического
старения для чистой системы и суперстарения
для структурно неупорядоченной системы.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Schirber M. Nobel Prize - Topological Phases of Matter // Physics. 2016. Vol. 9. P. 116.
[2] Березинский В. Л. Разрушение дальнего порядка в одномерных и двумерных системах с непрерывной группой симметрии // ЖЭТФ. 1970. Т. 59. С. 907.
[3] Березинский В. Л. Низкотемпературные свойства двумерных систем с непрерывной группой симметрии. М. : ФИЗМАТЛИТ, 2007.
[4] Kosterlitz J. M., Thouless D. J. Ordering, metasta-bility and phase transitions in two-dimensional systems // J. Phys. C. 1973. Vol. 6. P. 1181.
[5] Kosterlitz J. M. The critical properties of the two-dimensional XY model // J. Phys. C.: Solid State Phys. 1974. Vol. 7. P. 1046.
[6] Коршунов С. Е. Фазовые переходы в двумерных системах с непрерывным вырождением // УФН. 2006. Т. 176. Вып. 3. С. 233.
[7] Harris A. B. Effect of random defects on the critical behavior of Ising models // J. Phys. C. 1974. Vol. 7, № 6. P. 1671.
[8] Berche B., Farinas-Sanchez A. I., Holovatch Yu., Paredes R. Influence of quenched dilution on the quasi-long-range ordered phase of the 2d XY model // Eur. Phys. J. B. 2003. Vol. 36. P. 91.
[9] Kapikranian O., Berche B., Holovatch Yu. The 2D XY model on a finite lattice with structural disorder: quasi-long-range ordering under realistic conditions // Eur. Phys. J. B. 2007. Vol. 56. P. 93-105.
[10] Kapikranian O., Berche B., Holovatch Yu. Perturbation expansion for the diluted two-dimensional XY model // Phys. Lett. A. 2007. Vol. 366. P. 150154.
[11] Прудников В.В. и др. Неравновесные эффекты старения в критическом поведении структурно неупорядоченных планарных магнетиков // Письма в ЖЭТФ. 2015. Т. 101. Вып. 8. С. 596601.
[12] Prudnikov P. V., Popov I. S. Non-equilibrium critical vortex dynamics of disordered 2D XY-model // J. Phys.: Conf. Series. 2016. Vol. 681. P. 012015.
[13] Vaz C. A. F, Bland J. A. C, Lauhoff G. Magnetism in ultrathin film structures // Rep. Progr. Phys. 2008. Vol. 71. P. 056501.
[14] Evans R. F. L., Fan W. J., Chureemart P., Ostler T. A, Ellis M. O. A., Chantrell R. W. Atomistic spin model simulations of magnetic nanomaterials. // J. Phys.: Condens. Matter. 2014. Vol. 26. P. 103202.
[15] Fal T. J., Mercer J. I., Leblanc M. D., Whitehead J. P., Plumer M.L., Ek J. van. Kinetic Monte Carlo approach to modeling thermal decay in perpendicular recording media // Phys. Rev. B. 2013. Vol. 87. P. 064405.
[16] Kawabat C., Bishop A. R. A monte Carlo study of the two-dimensional Heisenberg model with easy-plane symmetry // Solid State Commun. 1986. Vol. 60. P. 167.
[17] Elmers H.-J., Hauschild J., Liu G. H., Gradmann U. Critical phenomena in the two-dimensional XY magnet Fe(100) on W(100) // J. Appl. Phys. 1996. Vol. 79. P. 4984.
[18] Elmers H.-J., Hauschild J., Liu G. H., Gradmann U. Ultrathin Magnetic Structures / edit. by J. A. C. Bland,
B. Heinrich. Berlin : Springer, 1994.
[19] Elmers H.-J., Hauschild J., Liu G. H., Gradmann U. Ferromagnetic Monolayers // Int. J. Mod. Phys. B. 1995. Vol. 9. P. 3115.
[20] Als-Nielsen J., Bramwell S.T., Hutchings M.T., McIntyre G.J., Visser D. Neutron scattering investigation of the static critical properties of Rb2CrCk // J. Phys.: Condens. Matter. 1993. Vol. 5. P. 7871.
[21] Bellitto C., Filaci P., Patrizio S. Zero-field magnetic susceptibility study of the magnetic phase transition in the two-dimensional ionic ferromagnet bis(benzylammonium)tetrabromochromate(II), C6H5CH2NH3)2CrBr4 // Inorg. Chem. 1987. Vol. 26. P. 191.
[22] Paduan-Filho A., Becerra C. C. Magnetic properties and critical behavior of the pure and diluted two-dimensional weak ferromagnet (CH3 NH3)2 Mrn-x Cdx Cl4 // J. Appl. Phys. 2002. Vol. 91. P. 8294.
[23] Pratt F. L., Zielinski P. M., Balanda M., Pod-gajny R., Wasiutynski T., Sieklucka B. A pSR study of magnetic ordering and metamagnetism in a bi-layered molecular magnet // J. Phys.: Condens. Matter. 2007. Vol. 19. P. 456208.
[24] Ganguly R., Chaudhuri D., Raychaudhuri P., Benfatto L. Slowing down of vortex motion at the Berezinskii-Kosterlitz-Thouless transition in ultrathin NbN films // Phys. Rev. B. 2015. Vol. 91. P. 054514.
[25] Wolfgang H.N., Na Y.K., Roumpos G., Schneider
C., Kamp M., Hofling S., Forchel A., Yamamoto Y. Algebraic order and the Berezinskii-Kosterlitz-Thouless transition in an exciton-polariton gas // Phys. Rev. B. 2014. Vol. 90. P. 205430.
[26] Hoek van der A., Beelen van H. Theoretical descriptions of the flow resistivity of very thin films near the Kosterlitz - Thouless transition // Phys. B: Condensed Matter. 2003. Vol. 328. P. 211.
[27] Zhao W, Wang Q, Liu M., Zhang W, Wang Y, Chen M., Guo Y., He K., Chen X., Wang Y, Wang Y, Xie X., Niu Q., Wang L., Ma X., Jain J. K, Chan M. H. W., Xue Q.-K. Evidence for Berezinskii - Kosterlitz - Thouless transition in atomically flat two-dimensional Pb superconducting films // Solid State Comm. 2013. Vol. 165. P. 59.
[28] Beasley M. R., Mooij J. E., Orlando T. P. Possibility of Vortex-Antivortex Pair Dissociation in Two-Dimensional Superconductors // Phys. Rev. Lett. 1979. Vol. 41. P. 1165.
[29] Hebard A. F., Fiory A. T. Evidence for the Koster-litz-Thouless Transition in Thin Superconducting Aluminum Films // Phys. Rev. Lett. 1980. Vol. 44. P. 291.
[30] Korshunov S. Magnetoinductance of Josephson junction array with frozen vortex diffusion // Phys. Rev. B. 2003. Vol. 68. P. 094512.
[31] Bulaevskii L. N., Kuzii V. V., Sobyanin A. A. Superconducting system with weak coupling to the current in the ground state // JETP Lett. 1977. Vol. 25. Iss. 7. P. 314.
[32] Buzdin A. I., Bulaevskii L. N., Panyukov S. V. Critical-current oscillations as a function of the exchange field and thickness of the ferromagnetic metal (F) in an S-F-S Josephson junction // JETP Lett. 1982. Vol. 35. Iss. 4. P. 147.
[33] Buzdin A. I., Bujicic B., Kupriyanov M. Yu. Super-conductor-ferromagnet structures // Zh. Eksp. Teor. Fiz. 1992. Vol. 101. Iss. 1. P. 231.
[34] Pargellis A. N., Green S., Yurke B. Planar XY-model dynamics in a nematic liquid crystal system // Phys. Rev. E. 1994. Vol. 49. P. 4250.
[35] Bietenholz W., Gerber U., Rejуn-Barrera F. G. Berezinskii - Kosterlitz - Thouless transition with a constraint lattice action // J. Stat. Mech. : Theory and Experiment. 2013. P12009.
[36] Singh A., Ahmad S., Puri S., Singh S. Ordering dynamics of nematic liquid crystals: Monte Carlo simulations // Euro. Phys. Lett. 2012. Vol. 100. P. 36004.
[37] Bray A. J. Theory of phase-ordering kinetics // Adv. Phys. 1994. Vol. 43. P. 357.
[38] Bray A.J. Theory of phase-ordering kinetics // Adv. Phys. 2002. Vol. 51. P. 481.
[39] Minoura K., Kimura Y., Ito K., Hayakawa R. Dynamics of Annihilation Process of Disclination Pairs in Nematic Liquid Crystals // Molecular Crystals and Liquid Crystals Science and Technology. Section A. Molecular Crystals and Liquid Crystals. 1997. Vol. 302. P. 345.
[40] Tabeling P. Two-dimensional turbulence: a physicist approach // Phys. Rep. 2002. Vol. 362. P. 1.
[41] Karimov Y. S., Novikov Y. N. Phase transitions in a two-dimensional ferromagnet with "easy-plane" anisotropy // Sov. Phys. - JETP Lett. 1974. Vol. 19. P. 159.
[42] Bishop D. J., Reppy J. D. Study of the Superfluid Transition in Two-Dimensional He4 Films // Phys. Rev. Lett. 1978. Vol. 40. P. 1727.
[43] Bishop D. J., Reppy J. D. Study of the superfluid transition in two-dimensional He4 films // Phys. Rev. B. 1980. Vol. 22. P. 5171.
[44] Faulkner M. F., Bramwell S. T., Holdsworth P. C. W. Topological-sector fluctuations and ergodicity breaking at the Berezinskii - Kosterlitz - Thouless transition. // Phys. Rev. B. 2015. Vol. 91. P. 155412.
[45] Ozawa T., Stringari S. Discontinuities in the First and Second Sound Velocities at the Berezinskii -Kosterlitz - Thouless Transition // Phys. Rev. Lett. 2014. Vol. 112. P. 025302.
[46] Misra S., Urban L., Kim M., Sambandamurthy G., Yazdani A. Measurements of the Magnetic-Field-Tuned Conductivity of Disordered Two-Dimensional Mo43 Ge57 and InOx Superconducting Films: Evidence for a Universal Minimum Superfluid Response // Phys. Rev. Lett. 2013. Vol. 110. P. 037002.
[47] Wada N., Hieda M., Toda R., Matsushita T. Observation of superfluidity in two- and one-dimensions. // Low Temp. Phys. 2013. Vol. 39. P. 786.
[48] Arrigoni F., Vitali E., Galli D.E., Reatto L. Excitation spectrum in two-dimensional superfluid He4 // Low Temp. Phys. 2013. Vol. 39. P. 793.
[49] Nuttall W. J., Noh D. Y., Wells B. O., Birgeneau R. J. Isothermal melting of near-monolayer xenon on single-crystal graphite // J. Phys.: Condens. Matter. 1995. Vol. 7. P. 4337.
[50] Lyuksyutov I. F., Fedorus A. G. Critical exponents of the H-W(011 ) system // Sov. Phys. JETP. 1981. Vol. 53. P. 1317.
[51] Taroni A., Bramwell S. T., Holdsworth P. C. W. Universal window for two-dimensional critical exponents // J. Phys.: Cond. Matter. 2008. Vol. 20. P. 275233.
[52] Binder K., Young A. P. Spin glasses: Experimental facts, theoretical concepts, and open questions // Rev. Mod. Phys. 1986. Vol. 58 P. 801.
[53] Mezard M, Parisi G., Virasoro M. Spin-Glass theory and Beyond. Singapore: World Scientific, 1987.
[54] Ageing and the Glass Transition / edit. by M. Henkel, M. Pleimling, R. Sanctuary // Lect. Notes Phys. Berlin ; Heidelberg: Springer, 2007. Vol. 716. P. 349.
[55] Berthier L., Kurchan J. Non-equilibrium glass transitions in driven and active matter // Nature Phys. 2013. Vol. 9. P. 310.
[56] Прудников В. В. и др. Теоретические методы описания неравновесного критического поведения структурно неупорядоченных систем и эффектов старения. Омск : Изд-во Ом. гос. ун-та, 2015.
[57] Попов И. С., Прудников П. В. Старение, огрубление и вихревая динамика в неравновесном критическом поведении двумерной XY-модели // Известия высших учебных заведений. Физика. 2015. Т. 58. Вып. 7/2. С. 161.
[58] Prudnikov P. V., Popov I. S. Coarsening in Critical Dynamics of 2D XY-model // Solid State Phenomena. 2015. Vol. 233-234. P. 8.
[59] Прудников В. В. и др. Исследование эффектов старения и температурной зависимости попе-
речной жесткости системы в двумерной XY-мо-дели // Физика металлов и металловедение.
2014. Т. 115. Вып. 12. С. 1254.
[60] Prudnikov P. V., Popov I. S. Non-equilibrium critical dynamics in pure and diluted 2D XY-model // J. Phys.: Conf. Ser. 2014. Vol. 510. P. 012014.
[61] Afzal N., Pleimling M. Aging processes in systems with anomalous slow dynamics // Phys. Rev. E. 2013. Vol. 87. P. 012114.
[62] Berthier L., Holdsworth P. C. W, Sellitto M. Nonequlibrium critical dynamics of the two-dimensional XY-model // J. Phys. A. 2001. Vol. 34. P. 1805.
[63] Godreche C., Luck J.-M. Nonequilibrium critical dynamics of ferromagnetic spin systems // J. Phys. Cond. Matt. 2002. Vol. 14. P. 1589.
[64] Tauber U. C. Critical Dynamics: A Field Theory Approach to Equilibrium and Non-Equilibrium Scaling Behavior. Cambridge : Cambridge University Press, 2014.
[65] Henkel M., Pleimling M. Non-Equilibrium Phase Transitions. Vol. 1. Heidelberg : Springer, 2008.
[66] Henkel M., Pleimling M. Non-Equilibrium Phase Transitions. Vol. 2. Heidelberg : Springer, 2010.
[67] Abriet S., Karevski D. Off equilibrium dynamics in 2d-XY system // Eur. Phys. J. B. 2004. Vol. 37. P. 47.
[68] Попов И.С. и др. Численное описание неравновесного критического поведения двумерной структурно неупорядоченной XY-модели методами Монте-Карло // Вычислительные технологии в естественных науках. Методы суперкомпьютерного моделирования : сб. тр. Ч. 3 / под ред. Р.Р. Назирова, Л.Н. Щура. М.: ИКИ РАН,
2015. С. 150.
[69] Прудников П.В. и др. Эффекты сверхстарения в неравновесном критическом поведении двумерной XY-модели // Вестн. Ом. ун-та. 2016. Вып. 4. С. 48-52.
