7RADIUSI O'ZGARUVCHAN, DOIRAVIY, QOVUSHOQ-ELASTIK STERJENNING BURALMA TEBRANISH MASALASI TENGLAMALARI
Baxtiyor Iskandarovich Ashurov
Samarqand iqtisodiyot va servis instituti ashrovbakhtiyor89@gmail.com
ANNOTATSIYA
Ushbu maqola doirasida radiusi o'zgaruvchan sterjenning buralma tebranish tenglamalarini keltirib chiqaramiz. Bunda qobiqning ko'ndalang kesimi doiraviy bo'lsin deb, shuningdek uning materialini qovushoq-elastik deb hisoblaymiz.
Kalit so'zlar: interrodifferensial, qovushoq-elastik, radial, modifitsirlangan,
ABSTRACT
In this article, the equations of torsional vibrations of a rod of variable radius are derived. In this case, the cross section of the shell is considered round, and its material is viscoelastic.
Keywords: interdifferential, viscoelastic, radial, modified.
KIRISH
Qaralayotgan masala <jr0 - F(z)az& = AfnSi (z, t). chegaraviy va nolga teng
M (A x¥)- — d2% = 0-boshlang'ich shartlarda °V ° i/ ^2 dt2 ' 0 < r < R interrodifferensial
tenglamani integrallashga keltiriladi. Keltirilgan harakat tenglamasidan ko'rinadiki, qaralayotgan doiraviy sterjenning buralma tebranishlarida uning kuchlanganlik-deformatsiyalanganlik holati faqat va faqat % potensialdangina bog'liq bo'lishi kerak. Kuchlanganlik-deformatsiyalanganlik holatining bu potensialga bog'liq bo'lmagan boshqa parametrlari nolga aylanishlari kerak. Birinchi paragraf
natijalariga ko'ra U0 =-
dr
va a a= M
rQ
i d d2
r dr dr2
d2 ^
zd
drdz
formulalar bilan aniqlanuvchi Ue, ezg, sre, aze, ar8 kattaliklar % potensialdan bog'liq va faqat shu kattaliklargina noldan farqlidirlar.
ADABIYOTLAR TAHLILI VA METODOLOGIYA
May, 2022
1125
1. Амензаде Ю.А. Теория упругости -Deformatsiyalanganlik holati o'rganilgan.
2. Болотин В.В. Колебания и устойчивость упругой цилиндрической оболочки в потоке сжимаемого газа - radusi o'zgaruvchan silindirik jism ichida suyuqlik harakati o'rganilgan.
3. Ляв А. Математическая теория упругости- Diffirensial tenglamalar orqali suyuqlik holati o'rganilgan.
4. Никифоров А.Ф-suyuqlik holati radusi o'zgaruvchan silindirik idish ichida o'rganilgan.
5. Петрашень Г.И. Проблемы инженерной теории колебаний вырожденных систем -deformatsiyalanuvchi jism holati o'rganilgan.
6. Филиппов И.Г, Худойназаров Х.Х. Уточнение уравнений продольно-радиальных колебаний круговой цилиндрической вязкоупругой оболочки -radusi o'zgaruvchansilindirik idish ichida suyuqlik holati o'rganilgan.
7. Филиппов И.Г., Чебан В.Г. Математическая теория колебаний упругих и вязкоупругих пластин и стержней. - radusi o'zgaruvchansilindirik idish ichida suyuqlik holati o'rganilgan.
8. Худойназаров Х.Х. Нестационарное взаимодействие круговых цилиндрических упругих и вязкоупругих оболочек и стержней с деформируемой средой. - radusi o'zgaruvchansilindirik idish ichida suyuqlik holati o'rganilgan.
9. Худойназаров Х.Х., Абдирашидов А. Нестационарное взаимодействие упругопластически деформируемых элементов конструкций с жидкостью. -radusi o'zgaruvchansilindirik idish ichida suyuqlik holati o'rganilgan.
MUHOKAMA
Buralma tebranish tenglamalari qaralayotgan doiraviy sterjenniki bo'lganliklari uchun uning nuqtalarining ko'chishlari bo'lgan Uв laming bosh qismlarini ajratamiz.
Buning uchun uf ](r) funksiyaning U= (pr) ifodasiga kiruvchi ^ (fir) Besselning modifitsirlangan funksiyasini r- radial koordinataning darajalari bo'yicha darajali qatorga yoyamiz. U holda U(°)(r) funksiya uchun quyidagi formulaga ega bo'lamiz:
/ \ 2n+1
I r \
ж О
'i0 )(r )=-!ß2n+2 ■ в
n=o n!(n +1)!
May, 2022'
Ma'lumki qobiqlar va plastinalar nazariyalarida asosiy izlanuvchi o'zgaruvchilar sifatida qobiq yoki plastina o'rta sirti nuqtalarining ko'chishlari qabul qilanadi. [1, 2, 3, 11, 14]. Ammo, bunday qilinganida qobiqning qalinligi bo'yicha chetki yoki unga yaqin nuqtalarining ko'chishlarini topib bo'lmaydi. Bunday holda qo'shimcha gipoteza kiritadilar, ya'ni qobiqning o'rta sirtidan boshqa sirtlari nuqtalarining ko'chishlari o'rta sirt nuqtalari ko'chishi W0 bilan biror chiziqli kz funksiyaning yig'indisidan iborat bo'lsin deb faraz qiladilar. Formula tilida ushbu gipoteza
W = W ± kz
ko'rinishda bo'ladi. Bu yerda k-o'zgarmas koeffitsiyent; z - qobiqning normali bo'ylab yo'nalgan o'zgaruvchi. Bu o'zgaruvchining boshlang'ich nuqtasi o'rta sirt ustida deb hisoblanadi.
Umuman olganda asosiy izlanuvchi kattaliklar sifatida qobiq o'rta sirti nuqtalarining ko'chishlarini tanlash yagona yo'l emas. Masalan, izlanuvchi funksiyalar sifatida qobiqning shunday sirti nuqtalarning ko'chishlarini qabul qilish mumkinki, bu sirt r ^ 0 bo'lgan limitik holatda sterjen o'rta chizig'i yoki qobiqning ichki r = r va yoki tashqi r = r2 sirtlariga o'tsin. Bunday "harakatlanuvchi" sirt nuqtalarning ko'chishlari asosiy izlanuvchi kattaliklar sifatida qabul qilingan holda kontakt masalalarida kontakt shartlarini aniq qo'yish mumkin bo'ladi.
Yuqorida bayon qilingan fikrlar bilan bo'g'liq ravishda [8] asosiy sirt sifatida silindrik qobiqning radiusi
r,
X —1
V r2 J
formula bilan aniqlanuvchi biror "oraliq" sirtini qabul qilingan. Bu yerda X o'zgarmas son va u quyidagi tengsizlikni qanoatlantiradi.
2 + < x < 2 ^ + r2 r, r2
Ta'kidlash lozimki, kiritilgan x o'zgarmasning
2 + * ;
1 r2 r,
1 + — + —;
2+
larga teng bo'lgan qiymatlarida £ = ±
i
x —-
V r2 J
formula bilan aniqlangan
"oraliq" sirt radiusi quyidagi qiymatlarni qabul qiladi (mos ravishda):
r, + r2
r2 .
May, 2022
r
r, 2
r, 2
2
r
2
1127
Bundan ko'rinadiki tanlangan "oraliq" sirti qobiqning ichki (g = r), o'rta
g =
ri + r2
yoki tashqi (g = r2) sirtlariga o'tadi. Yuqorida ta'kidlangan limitik holda,
ya'ni r = 0 bo'lganda silindrik qobiq doiraviy sterjenga o'tadi. Bu holda "oraliq" sirt esa sterjenning o'q (g = o) chizig'iga aylanadi.
Biz qarayotgan masalada qobiq o'rnida sterjen kelmoqda. Shuning uchun asosiy sirt sifatida biz radiusi r = R bo'lgan sirtni qabul qilamiz. Ya'ni bu holda
g=2
x —-
V r2 J
formula bilan aniqlanuvchi radius R ga teng, boshqacha aytganda
/ N 2n+-i r ^
TO
g = R. Shuning uchun (r) = -^ß2n+2 ■ B
2
V 2 j
n=0
n! (n + -)!
formulaga r = R qiymatni
qo'yamiz va almashtirilgan U{°)(r) -ko'chishning bosh qiymatlarini qaraymiz. Bu bosh qism qatorning birinchi hadiga teng. Uni U¡°) orqali belgilab
U[el=~ß2B .
2'
-
ifodaga ega bo'lamiz. Oxirgi U[gl=-^ß2B formulani hisobga olsak
/ \ 2 n+-
f r x
TO
U0) (r) = -!ß2n+2 ■ B
2
V 2 j
ifoda r = R va n = o bo'lganda
n=o n! (n + -)!
U*> (r) = RU^0
ko'rinishni oladi.Bu yerdan ko'rinadiki yangidan kiritilgan U{°j - funksiya deformatsiya o'lchamiga (o'lchamsiz) ega ekan.
NATIJALAR
Endi bu ishlar bajarilgach chegaraviy shartlarni almashtirishga o'tamiz. Buning uchun ^ -F'(z)azd=AfnSi(z,t). shartga fnS(z,th V^kz dJf"°Sl)^^'
(i)
' re
va ara (r, z, t ) = J
sin kz - cos kz
\dk f^e)(r, k, p)eptdp ,
I (i)
May, 2022
r
TO
0
1128
j cos kz I
cz9(r,z,t) = f \dk (r,k,p)eptdp, almashtirishlarni qo'llaymiz va J sin kz I ^
0
(')
cr(0) - F'(zC = Afno (k, p), r = F(z)
Chegaraviy shartga ega bo'lamiz. Ushbu c - F (z)cze = Af„5l (z,t).
shartning har ikkala tomoniga M-qovushoq-elastiklik operatoriga teskari M -1 operator bilan ta'sir etamiz. U holda
M 1C ] - F'(z)M1 C ] = AM 1 [fnSi (z, t)], r = F (z) tenglamaga ega bo'lamiz.
Bu yerdan ko'rinadiki M-1 [cj- F'(z)M 1 [<re] = AM 1 [f^ (z,t)J, shartdan foydalanish uchun avvalo cre va cz0 larni kiritilgan yangi Uf] funksiyaning originali bo'lgan Uö0(z,t) funksiya orqali ifodalash kerak. Shu maqsadda Uö0(z,t) funksiya va X -operatorini quyidagicha kiritamiz
j sin kz I .
Ue o(z,t) = J \dkfU^O(k,p)eptdp;
o - coskzJ (,)
X(Ufl.o) = J ^^fe \dk\ß2nU(e0«(k,p)eptdp.
(t)
Endi c = M
re
1 5 ö2
C) va c(0) larni U¿"j orqali ifodalaymiz. Buning uchun ushbu
r ör ör2
.(0)
%1,
C = -M
ö2 % öröz
formulalardan foydalanib
r(o)
e,o
Cre = M
1 ö ö2
r ör ör2
%
C = -M
ze
ö2 % öröz
1 . formulalarga
, x j sin kz 1 -%(r,z,t)=f Idk f%(o)(r,k,p)ep dp va
o - cos kz J (t)
Cre (r, z, t) = jsm kz }dk Ce)(r, k, p)eptdp ,
o - cos kz J (/)
j cos k>z I
cze(r,z,t)= f \dk fc(o)(r,k,p)eptdp, almashtirishlarni qo'llaymiz va mos J sin kz I ^
o
(')
ravishda quyidagilarni
May, 2022
o
1129
^> (r, k, p) = M0(1 d - ^)¥(\r, k, p),
) (r, k, p)=m o k
r dr dr2 d^(0)(r, k, p) dr
Bu yerga 0 J ning 0) (r )= B/0 (ßr) ifodasini qo'yamiz. U holda ^) (r, k, p) = Mo { 2ß[/i(ßr) - ß21 o (ßr )]b j;
^re) (r, k, p)=- m o u
i
ßl o (ßr ) — 1i(ßr )
b !
Olingan ifodalarning har ikkala tomonlarini M- operatorni ta'sir ettiramiz
M o1 k )]=ßi(ß) -ß21 o (ßr )]B;
m o1 )]=
1i(ßr) - kßo(ß2)
B.
Oxirgi formulalarning o'ng tomonlaridagi Bessel funksiyalarining o'rniga ularning darajali qatorlarga yoyilmalarini ishlatamiz va hosil qilingan ifodalarda B-
-
o'zgarmas o'rniga uning U(°) = ~ß2B. formula bilan aniqlanuvchi qiymatini
qo'yib ar8 (r, z, t) = TOsin hz \dk fa(e(r, k, p)eptdp , J- cos kz I ^
(i)
• cos kz
** (r, z, t)=f . 7 jdk r^z0} (r, k, p)eptdp, va
J Qin li"7 •>
osin kz J (i)
TO sin kz j r Ue o( z, t) = J d UO (k, p)eptdp;
o - coskzJ (-J)
TO sin kz j - „ M ft (Ue o) = J jdk Jß2nUf) (k,p)ep dp. almashtirishlarni
coskz
(i)
qo'llaymiz.
Natijada
( r / "\2 n+2
TO ( X*^ )
M- ke]= 2^^-T-;2 — ftn+-Ue,o;
n!(n + -)!
n=0
/ r / \2 n+- 'ITT
M-kJ= 2]T (/2) ft" ^
n=o n!(n + -)! dz
May, 2022'
r
r
0
1130
ifodaga ega bo'lamiz. Ushbu qiymatlarni M -1 [ar9 ] - F'(z)M -1 [az9 ] = AM 1 [fnSi (z, t)], chegaraviy shartga qo'yib izlanayotgan
umumiy tenglamaga ega bo'lamiz:
F
2n+1
n=0
n!(n +1)!
k-f' ( z)A
2(n + 2) dz
ÄnU9, =[l + F' 2( z)]Mo1 [fnSi ( z, t )]
Quyidagi olingan tenglamalar radiusi R = F(z) qonun bilan
o'zgaruvchan, doiraviy qovushoq-elastik sterjenning buralma tebranish umumiy tenglamasidir. Bu tenglamadan xususiy holda quyidagi tenglamalar kelib chiqadi:
XULOSA
a) Radiusi o'zgarmas, doiraviy, qovushoq-elastik sterjenning buralma tebranish umumiy tenglamasi.
Bu holda R = F(z) = const bo'lganligi uchun uni r0 orqali belgilaymiz, ya'ni
r0 = R = F ( z ) = const,
u holda F ' ( z ) = 0 va demak
A = 1 + F' 2( z) = 1,
Bundan tashqari (n, S1, S2 ) koordinat sistemasini bu holda kiritishga hojat yo'q, chunki n normalni r,6, z -silindirik koordinat sistemasining r -radial o'qi bilan, S ni 6 koordinat o'qi bilan va S2 ni bo'ylama z koordinat o'qi bilan ustma-ust tushadi deb hisoblash mumkin. U holda f (s2, t) funksiyani fr0 (z, t) funksiya bilan almashtiramiz, ya'ni
fnSl ( s^t )=f^ ( ^t ).
Hosil qilingan r0 = R = F(z) = const, A = 1 + F'2 (z) = 1, va f (s2, t) = fr6 ( z, t ). tengliklarni, hamda F ' ( z) = 0 ekanligini hisobga olsak
F
2 n+1
=0 n!(n +1)!
1- F' ( z )A 2(n + 2) dz _
1U9o =[l + F '2( z)]Mo1 [fn5i( z, t )J
dan
izlanayotgan tenglamaga ega bo'lamiz.
z
n=0
(/2 )
n!(n + 2)!
1n+1U9,o = M-1 [f/9 (z, t)]
bu yerda
=
b
dt2/ dz2
b2 =
p
May, 2022
n
1131
b) Radiusi o'zgaruvchan, doiraviy, elastik sterjenning buralma tebranish umumiy tenglamalari.
Bu holda M = / deb hisoblash yetarli bo'ladi, ya'ni M = ¿uM0
M [f(t )] = / (t) deb hisoblash yetarli. Agar M [<^(t )]= / (t) o'rinli bo'lsa
0 •
Г=
1M ^) -d-b2 o( dt2) dz2
, b2 = л quyidagicha yoziladi
Xn=
P
) -jdL
b2V dt27 dz2
n = 0,1,2,
b2 =/ P
Demak, elastik sterjen uchun
ж F2n+1 Г F(z) d "
Y —--Г-F'(z )—
t0 n!(n +1)! L 2(n + 2) dz _
umumiy ko'rinishi saqlanadi, ya'ni
» F2 n+1( z)
ÄnUeo =[1 + F '2( z)]mo-1 [/„, (z, t)] tenglamaning
=0 n!(n +1)!2
2n
Г-F'(z)A
2(n + 2) dz _
Гп^е,о =
bu yerda Г - Гn=
^) -bdtlJ dz2
[1 + F' 2( z )lfnSi(s2, t)], d2
n = 0,1,2,.... b2 =Л formula bilan P
hisoblanishi zarur.
c) Radiusi o'zgarmas, doiraviy, elastik sterjenning buralma tebranish umumiy tenglamalari.
Bu holda xuddi a) holatdagidek r0 = R = F(z) = const, A = 1, F'(z) = 0 deb hisoblasak hamda / (s2,t)=/гв(z,t). tenglikni e'tiborga olsak
F2 n+1 / N (z)
Г-F'(z)A
2(n + 2) dz
rnuan =
t0 n!(n +1)!22
[1 + F' 2( z )]f (s2, t)] tenglama quyidagi ko'rinishni oladi.
ж F 2n+l( 7 )
YT——^ r+lu,
n=o n!(n +1)!22 n bu yerda Г, n = 0,1,2,.... operatorlar
i,0 = - /rвl(r, z)
л
Г
) -il b2V dt27 dz2
n = 0,1,2,.... b2 = Л formula bilan P
hisoblanishi kerak.
May, 2022'
n
n
ж
n
n
1132
REFERENCES
1. мензаде Ю.А. Теория упругости. - М: Высшая школа, 1996. - 272с.
2. Болотин В.В. Колебания и устойчивость упругой цилиндрической оболочки в потоке сжимаемого газа // . Сборник. - 1976. - 24.-С.3-16.
3. Ляв А. Математическая теория упругости. - М. - Л.: ОНТИ, 1935. - 674с.
4. Никифоров А.Ф., Уварова В.Б. Специальные функции математической физики. - М. «Наука», 1998. - 320с.
5. Петрашень Г.И. Проблемы инженерной теории колебаний вырожденных систем // Исследования по упругости и пластичности.- Л.:»Изд-во ЛГУ», 1996. №5.-С. 3-33.
6. Филиппов И.Г, Худойназаров Х.Х. Уточнение уравнений продольно-радиальных колебаний круговой цилиндрической вязкоупругой оболочки // Прикл. мех.-1990.-26,№2.-с.63-71.
7. Филиппов И.Г., Чебан В.Г. Математическая теория колебаний упругих и вязкоупругих пластин и стержней. - Кишенев: «Штиинца», 1998. - 190с.
8. Худойназаров Х.Х. Нестационарное взаимодействие круговых цилиндрических упругих и вязкоупругих оболочек и стержней с деформируемой средой. - Ташкент: «Изд-во им. Абу Али ибн Сино», 2003.-
9. Xudoyberdiyev, S. I., Ashurov, B. I., Khudoyberdiyev, S. I., & Ashurov, B. I. (2021). QOVUSHOQ-ELASTIK STERJENDA TEBRANISH JARAYONIDA REZONANS HOSIL BO'LISHI. Academic research in educational sciences, 2(3).
325с.
May, 2022
