R-оптимальные планы для исследования систем внутрицехового электроснабжения Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Я-ОПТИМАЛЬНЫЕ ПЛАНЫ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ СИСТЕМ ВНУТРИЦЕХОВОГО ЭЛЕКТРОСНАБЖЕНИЯ

Е.И. ГРАЧЕВА, Н.А. ТРУСОВА Казанский государственный энергетический университет

В статье проанализированы возможности применения Я-оптимальных планов для исследования систем внутрицехового электроснабжения. Исходная информация о сети обладает некоторым уровнем неопределенности. Решением задачи в условиях неопределенности является множество решений, неразличимых между собой. Предлагается использовать метод нахождения Я-оптимального плана. Метод основан на отношении предпочтения и неразличимости решений в задачах оптимизации с неточными моделями.

Критерием оптимальности является величина р2 (х, г). Эта функция появляется из-за погрешности регрессионной модели и задает порог различения допустимых решений. Критерий позволяет оценить степень влияния различных факторов на величину функции цели (эквивалентное сопротивление).

В статье приводятся методика расчета критерия оптимальности, проверка условия неразличимости решений и обоснование оценки влияния различных факторов на функцию цели (эквивалентное сопротивление).

В условиях проектирования и в процессе эксплуатации цеховых сетей низкого напряжения возникает необходимость в построении зависимостей, позволяющих анализировать эффективность функционирования сети от обобщенных характеристик электрооборудования. Эти зависимости могут быть получены с помощью методов планирования эксперимента (МПЭ). Рассмотрим возможность применения МПЭ для расчета потерь электроэнергии в цеховых сетях различной конфигурации.

В качестве критерия эффективности функционирования цеховых сетей предлагается принять величину потерь электроэнергии в сети.

Нагрузочные потери А Жн электроэнергии в элементе трехфазной сети с сопротивлением Я находят по выражению Т 2

АWн = 3гэ \ 11Ц)Ж, (1)

0

где I (^ ) - полный ток в элементе в момент времени £

Точное определение потерь электроэнергии за интервал времени Т возможно при известных значениях параметра гэ и функции времени !(*) на всем интервале.

Как показывают исследования [1], погрешность определения фактического значения активного сопротивления соизмерима с погрешностью определения среднеквадратичного тока.

Известно, что сопротивление проводника зависит от его температуры [2]:

Гэ = -• 1[1 + 0,004(0 - 20)]гк,

я

© Е.И. Грачева, Н.А. Трусова

Проблемы энергетики, 2007, № 7-8

где р - удельное электрическое сопротивление проводника мОм*м; I - длина проводника , м; я - поперечное сечение проводника, мм2; 0 - температура нагрева

проводника, С; Е г^ - сумма сопротивлений автоматических выключателей,

установленных на линии:

гк = 307/ 1н ,

где I н - номинальный ток выключателя.

Наличие указанных погрешностей приводит к тому, что фактические потери энергии будут в большей или меньшей степени отличаться от их расчетного значения. Это приводит к необходимости не только получить вероятностно -статистическую модель зависимости потерь электроэнергии сети от ее обобщенных параметров, но и наиболее точно рассчитать интервалы изменения этих параметров.

Определение потерь электроэнергии в цеховых сетях является задачей, решаемой в условиях неопределенности, поскольку имеется неопределенность в исходных данных, обусловленная неточными значениями длин и количества линий сети, температурными режимами и эксплуатационными характеристиками оборудования и т.п.

Обобщенное выражение для определения эквивалентного сопротивления радиальных сетей.

Для решения задачи интерполяции, в которой функцией цели выступает эквивалентное сопротивление цеховой сети, в качестве факториальных признаков выбраны следующие обобщенные параметры радиальной цеховой сети:

х 1 - отношение суммарной длины линий цеховой сети к количеству линий, т.е. средняя длина линий: п

I = ——

‘ср ’

п

где I, - длина I -й линии цеховой сети, м; п - количество линий; х2 - величина, равная количеству линий п ;

х з - величина, равная эквивалентному удельному сопротивлению линий сети гэ 20 при 20° С:

п

г, 20 = 31,3-Ъ1-----,

п

Е V,-

I=1

где Si - сечение г -й линии, мм2; 31,3/ Si - сопротивление 1 м алюминиевой линии сечением Sl при 20° С, Ом/м; в случае, когда часть линии сети выполнена проводами или кабелями с медными жилами, используется величина 18,5/ Sl; х 4- квадрат среднеквадратичного коэффициента загрузки линий сети.

I к

к2 = ——,

п

где кз|- = 1[ /1нош- - коэффициент загрузки г -й линии; - ток в г -й линии, А;

Iномг- - номинальный ток в линии - го сечения, А.

При этом принимается, что на линии установлены два автоматических выключателя.

х5 - температура окружающей среды, 0О,°С.

Первоначальные диапазоны варьирования факторов приняты для сетей, средняя длина линии которых заключена в пределах от 1О до 1ОО м при количестве линий от 10 до 20; номинальная мощность цеховых трансформаторов - 250 - 1600 кВ*А. Предел изменения средней величины сечения линий принят от 16 до 120 мм2; допустимый суммарный ток линии - 380 - 2400 А (при полной их загрузке). Диапазон изменения загрузки линий находится в пределах от 0,3, что соответствует малонагруженной сети, до 1, что соответствует полностью загруженной сети. Для температуры окружающей среды приняты пределы, соответствующие крайним значениям температуры помещений цехов: от +5 до + 35 °С.

Первоначальные границы изменения факторов представлены в табл. 1.

Таблица 1

Первоначальные границы изменения факторов

Фактор Х і тіп Хіср Х і тах X- - X■ • kv Лі тах Лі тіп

ДА і = 2

х 1 —>/ср, м 10 55 100 45

х 2 — п 10 15 20 5

х 3 — Гэ 20, мОм/м 1,956 1,108 0,261 0,848

/ 2 х 4 —— к з 0,09 0,545 1,00 0,455

х 5 — 00, °С 5 20 35 15

Таким образом, эквивалентное сопротивление радиальных сетей вычисленно по выражению, в котором представлены все факторы:

Гэ = Г20 • Ф + 0,004(ЄЖ - 20)]+1гк\1/п,

0Ж = к з2(80 - 0 0) + 0 0 ,

где 0ж - температура жилы кабеля; 80 - допустимая температура нагрева жилы кабеля.

В результате вычислений определена зависимость результативного параметра (эквивалентного сопротивления) от факториальных признаков:

гэ = 5,4 + 4,2х\ -1,7Х2 - 3,9х3 + 0,53х4 + 0,23х5 —1,3х\Х2 -

- 3,19хіх3 + 0,44хіх4 + 0,22х 1 х5 +1,22х2х3 -0,24х2х4 - (2)

- 0,35х2 х5 - 0,4х3 х4 - 0,23х3х5 + 0,95х4 х5 .

Я-оптимальные планы для исследования систем внутрицехового

электроснабжения.

В связи с возможной неопределенностью исходной информации о сети могут быть расширены границы изменения факторов. Тогда длина линий сети будет заключена в пределах от 5 до 150 м при количестве линий от 6 до 24; номинальная мощность цеховых трансформаторов - 250 - 1600 кВ*А. Предел изменения средней величины сечения линий от 10 до 150 мм2; допустимый суммарный ток линии - 380

- 2400 А (при полной их загрузке). Диапазон изменения загрузки линий принят в пределах от 0,2, что соответствует малонагруженной сети, до 1,3, что соответствует перегруженной сети. Для температуры окружающей среды приняты пределы, соответствующие крайним значениям температуры 0 - + 40 °С.

Кодированные значения факторов получены по выражению

х • — х. • _

(3)

Ахі

где ~і - кодированное значение фактора; хі - действительное значение фактора; х|0 - нулевой уровень фактора; Дх; - шаг варьирования фактора.

Границы изменения факторов, представлены в табл. 2.

Таблица 2

Границы изменения факторов

Фактор х і тіп х і тах х і тіп х і тах

£ а т х 5 150 -1,1 2,1

х 2 —• п 6 24 -1,8 1,8

х з —— ^20, мОм/м 3,13 0,21 -2,4 1,1

і 2 х 4 —— Я з 0,04 1,69 -1,1 2,5

х 5 —— 0о, °С 0 40 -1,3 1,3

Решением задачи в условиях неопределенности является, как правило, не точка (вектор), а множество недоминируемых, неразличимых между собой решений. Очевидно, нет никаких объективных оснований предпочитать одно недоминируемое решение другому. Последнее обстоятельство является чрезвычайно существенным, т.к. оно означает бессмысленность попыток без привлечения дополнительной информации найти единственное наилучшее решение среди недоминируемых. И в этом случае предлагается использовать метод нахождения И-оптимального плана, основанный на отношении предпочтения и неразличимости решений в задачах оптимизации с неточными моделями [3] .

Очевидно, что после расширения границ изменения факторов возникает вопрос о том, насколько правомерно это расширение. Не оказалась ли область изменения какого-либо фактора слишком заужена или наоборот, слишком расширена. И в том, и в другом случае не удается получить достоверных сведений о функции цели, а именно, об эквивалентном сопротивлении. В частности, зауженная область изменения какого-либо фактора не даст нам возможности рассмотреть более полно изменение функции цели: возможно упущение какого-либо критического значения. А большое расширение диапазона изменения факторов приведет к неоправданно громоздким и долгим расчетам.

В идеальном варианте [3] данная задача полностью описывается математической моделью

<Х,/(х)>, (4)

т.е. указанием допустимой области Х и скалярной функции /х) (эквивалентного сопротивления), экстремум (минимум) которой необходимо определить .

Однако эквивалентное сопротивление характеризуется не единственным показателем/х), а вектором показателей

/х)= {Л( х), /2 (х), /3( х), /4 (х), / 5 (х)}, которые должны быть

минимизированы путем выбора решения х е X.

При этом возникает задача векторной оптимизации вида

{fl(x), /2 /з(x), f4(x), /5(х)}-> т1И , (5)

хеХ

где /1(х) = х 1 - средняя длина линий; /2(х) = х2 - величина, равная количеству линий п; /3(х) = х3 - величина, равная эквивалентному удельному сопротивлению линий сети гэ20 при 20° С; /4(х) = х4 - квадрат среднеквадратичного коэффициента загрузки линий сети; /5 (х) = х 5 - температура окружающей среды; Х - допустимое множество решений (альтернатив).

Необходимо заметить, что попытка найти единственное «наилучшее» решение векторной задачи представляется бессмысленной, так как объективная информация, содержащаяся в постановке (5), позволяет указать лишь множество недоминируемых альтернатив. Таким образом, можно лишь задать систему предпочтений на допустимом множестве решений Х, т.е. описать задачу моделью

< Х, * , ^ >,

где Х - допустимое множество решений (альтернатив); ^ - отношение предпочтения решений на Х; * - отношение неразличимости решений на Х.

При этом запись

х ^ г, х, г е X

означает, что решение х предпочтительнее решения г, а запись

х * г, х, г е X

будет обозначать, что допустимые решения х, г являются неразличимыми.

Если учитывать, что х и г - это величины изменяющихся факторов, то их неразличимость указывает на то, что с изменением х на г значение эквивалентного сопротивления изменилось незначительно. Следовательно, интервал изменения между х и г можно изменить еще.

При этом отношение неразличимости можно представить в следующем виде [3]:

Л Л

х * г ^ [у (х) — у (г)]2 < р2(х,г), (6)

А А

где х и г - значения факторов; у (х) и у (г) - значения функции цели при х и г соответственно; р (х,г) - определенная на Х симметричная, неотрицательная

функция, порожденная неточностью модели у (х) и задающая порог различения допустимых решений.

Выражение (6) указывает на такую ситуацию, когда в пространстве оценок критерия задано некоторое расстояние (интервалы изменения факторов) и решения объявляются неразличимыми, если это расстояние не превышает

заданный порог р (х, г). Неразличимость означает, что интервал изменения

некоторого фактора мал, при этом значения функций цели меняются, не

превышая величину р 2( х, г). Таким образом, разности функций цели

оказываются настолько малыми, что предыдущие и последовательное значение функции можно считать приблизительно равными, т.е. неразличимыми.

р 2( х, г) определяется по выражению

р 2 (х, г) = Ах Т Г(х)АхI,

АхI - матрица интервалов варьирования г-го фактора, т.е значение фактора в

точке г, путем изменения фактора в точке х на величину Дх ; таким образом, Дхі = гі - хі ,

(7)

Дх і - приращение в точке хі; Ах ^ - транспонированная матрица интервалов варьирования каждого фактора; Г (х) - ковариационная матрица, зависящая от частных производных функций факторов ф (х;), показывающая изменения значений принятых факторов хх...х5.

Г( х) вычисляется по выражению Г(х) = Ф(х)С(г)ФТ (х),

(8)

где Ф (х) =

дфі(х)

дф т (х)

дх і

дф і(х) дх к

дх і дф т (х)

дх к

(9)

Ф( х) - матрица, содержащая приращения функций факторов х1.х5; т.е.

дф і (х) дх і

не что иное, как изменение каждого фактора на величину Ах і = ц - хі; ФТ (х) -транспонированная матрица приращений функций факторов х^.л^; С (г) -ковариационная (дисперсионная) матрица.

Составим матрицу Ф(х). Для этого разобьем диапазоны варьирования каждого фактора х1.х5 на 16 интервалов, что позволяет рассмотреть все возможные сочетания факторов. Тогда интервал варьирования в диапазоне каждого фактора х1^^.х5 определяем по выражению

. xi max xi min ,,„4

Ax i =-------------------------------------------------------------------------, (10)

16

где ximax - максимальное значение фактора x1^x5; ximin - минимальное значение фактора x^.-xs.

Так для фактора x1 , равного средней длине линий, интервал варьирования в диапазоне фактора x1 определится по выражению (10)

x1max — x 1min 150 — 5 _ „

Ax1 =------------------=--------= 9,1.

16 16

В кодированных единицах интервал варьирования для фактора x1 имеет вид ~1max — ~1min 2Д + 1,1 _

Дх1 =----------------=----------= 0,21.

16 16

Для остальных факторов диапазоны их варьирования в натуральной (ximin ximax) и кодированной форме (~imin ~imax), а также интервалы в диапазонах варьирования в натуральной Дхi и кодированной форме Дх сведены в табл. 3.

Таблица 3

Интервалы варьирования факторов

Фактор xi min • xi max xi min • xi max Ах i А~ i

£ ,р t 1 х 5-150 -1,1-2,1 9,1 0,21

х 2 і n б-24 -1,8-1,8 1,125 0,225

х 3 — гэ 20, мОм/м 3,13-0,21 -2,4-1,1 0,19 0,23

і 2 х 4 —— к з 0,04-1,б9 -1,1-2,5 0,103 0,225

х 5 — ®0> °С 0-40 -1,3-1,3 2,5 0,1б2

Пользуясь выражениями (7) и (9), составляем матрицы Ф(х) и Ф Т (х ), т.е.

Ф(х) =

-1,1

-1,1 + 0,21 = -0,89

- 0,9 + 0,21 = -0,б7

- 0,7 + 0,21 = -0,4б

- 0,5 + 0,21 = -0,25

дф m (х)

дх і

1,9 + 0,21 = 2,1

дф m (х) дх к

Поскольку матрица ФТ (х)- транспонированная матрица приращений функций факторов х^.л*, то ее получаем из матрицы Ф(х) заменой каждой строки матрицы Ф (х) столбцом с тем же номером.

В выражении (8) С (г) - ковариационная (дисперсионная) матрица:

С (г )= [¥ (г )]-1,

¥ ( Е ) = Ф т (х) • Ф (х),

где ¥ (г) - информационная матрица (Фишера); [¥ (г)]-1- матрица, обратная информационной матрице (Фишера).

Проверим условие (6). Напомним, что уравнение регрессии для вычисления эквивалентного сопротивления сети имеет вид выражения (2).

Найдем изменение функции цели гэ в зависимости от изменения факторов. При этом при изменении фактора х1 на величину А~1=0,21 (или в натуральной величине при изменении длины линии Х1 на 9,6 м (табл. 3) ) величина эквивалентного сопротивления сети гэ изменится несущественно в соответствии с условием (6).

А именно, при подстановке в выражение (2) х1= - 1,1 (х1= 5 м) получаем гэ = 6,96 Ом.

Затем изменяем значение фактора х1, х1= - 1,1+0,21= - 0,89 (или 5+9,1=14,1 м), тогда гэ = 9,89 Ом.

Для эквивалентного сопротивления гэ:

А А

2 2

х »г ^ [ у (х) - у (г)] < р (х,г),

[6,96 - 9,89]2 < 70,8,

8,6 < 70,8.

Условие (6) выполняется, следовательно значения фактора х1^/ср, 5 м и 14,6 м оказывают несущественное влияние на функцию цели гэ а следовательно, диапазон изменения фактора х1 можно увеличить, Ах; = 0,21*3 =

0,62, тогда изменим значение фактора х1, х1 = - 1,1+0,62 = - 0,46 (или 5 + 3*9,1 = 32,3 м), при этом гэ = 15,8 Ом.

Проверяем условие (6):

Л Л

22

х » г ^ [у (х) - у (г)] < р (х,г),

[6,96 -15,8]2 < 70,8,

77,4 > 70,8.

Условие (6) не выполняется, следовательно, значения фактора х1^/ср, 5 м и 62,6 м значимы и оказывают существенное влияние на функцию цели гэ. Далее оценивается влияние изменения остальных факторов на величину функции цели.

© Проблемы энергетики, 2007, № 7-8

Выводы

Результаты вычислений показывают как изменяется функция цели гэ в зависимости от приращения факторов. В качестве оценочного критерия

Л Л

2

берется параметр [y (х) - y (z)] . Чем ближе значение этого параметра к 2

полученному р (х,z), тем более существенное влияние на функцию цели

оказывает варьирование значений факторов. Другими словами, если

ЛЛ

22

выполняется условие [y(х) - y (z)] < р (х,z), то эквивалентное сопротивление сети меняется незначительно. Анализ результатов расчетов показывает, что наиболее целесообразно разбивать на мелкие интервалы варьирования и расширять границы изменения у таких факторов как Xj -средняя длина линий; х2 - величина, равная количеству линий n; х3 - величина, равная среднему

ЛЛ

22

удельному сопротивлению линий сети гэ20 при 20°С, т.к. [y(х)-y(z)] >р (х,z). Действительно, данные факторы оказывают наибольшее влияние на величину эквивалентного сопротивления, поэтому имеет смысл более детально рассмотреть интервалы варьирования этих факторов. А такие факторы, как х4

- квадрат среднеквадратичного коэффициента загрузки линий сети и х5 — температура окружающей среды, оказывают меньшее влияние на функцию цели гэ и не нуждаются в детальном рассмотрении их интервалов варьирования.

Summary

The possibilities of using R-optimal plans for research in systems of intraworkshop power supply are analysed in this article. The initial information about network contains some uncertainty. The decision of a problem in conditions of uncertainty is the set of the decisions indiscernible among themselves.

It is offered to use a method of finding R-optimal plan. The method is based on the relation of preference and similarity decisions in tasks of optimization with ineхact models.

2

The optimality criterion is the quantity р (х,z),. This function appears because of an error regression models and sets a threshold of distinction admissible decisions. The criterion allows estimating a degree of influence various factors on the quantity of the function purpose (the equivalent resistance).

In article the design procedure of the optimality criterion, check of a condition similarity decisions and a substantiation of an estimation influence various factors on the function purpose (equivalent resistance) is resulted.

Литература

1. Шевченко В.В., Грачева Е.И. Определение потерь электроэнергии в цеховых сетях напряжением до 1000 В. - « Промышленная энергетика». - №10. -2001. - С. 33-35.

2. Железко Ю.С. Выбор мероприятий по снижению потерь электроэнергии в электрических сетях. - М.: Энергоатомиздат, 1989. - 176 с.

3. Вощинин А.П., Акматбеков Р.А. Оптимизация по регрессионным моделям и планирование эксперимента. - Бишкек: Илим, 1992. - 164 с.

Поступила 21.03.2007