Метод нечеткого регрессионного анализа для определения потерь электроэнергии в цеховых сетях Текст научной статьи по специальности «Математика»

МЕТОД НЕЧЕТКОГО РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПОТЕРЬ ЭЛЕКТРОЭНЕРГИИ В ЦЕХОВЫХ СЕТЯХ

Представлены результаты исследования возможности применения нечеткого регрессионного анализа для задач оценивания и прогнозирования потерь электроэнергии в цеховых сетях. Исходная информация о сети обладает некоторым уровнем неопределенности, что осложняет возможности применения традиционных методов.

В статье приводится расчет по стандартным и нечетким регрессионным моделям, оценка погрешности этих моделей. Стандартные модели обладают более высокой точностью, однако они требуют детерминированной исходной информации о зависимой переменной. Нечеткие регрессионные модели позволяют наметить только интервал, который содержит точное значение оцениваемого параметра, но такие модели позволяют учесть неопределенность исходной информации.

В нечетком регрессионном анализе функция отклика (в нашем случае это эквивалентное сопротивление сети) и коэффициенты нечеткого уравнения регрессии представляются в виде нечетких множеств, имеющих треугольные функции принадлежности.

Нечеткое подмножество А универсального множества X характеризуется функцией принадлежности : Х^ [0, 1], которая ставит в соответствие каждому элементу хеХ число дА(х) из интервала [0,1], характеризующее степень принадлежности элемента х подмножеству А. Проще говоря, функция принадлежности (membership function) - это функция, которая каждому значению переменной (в границах каждого множества) ставит в соответствие значение в интервале от 0 до 1 [1].

Тогда нечеткое подмножество А = {х, (х)} определяется как совокупность

упорядоченных пар, составленных из элементов х универсального множества X и соответствующих степеней принадлежности дА (х).

Для конечного нечеткого множества А с функцией принадлежности дА (х) в [2] введено следующее обозначение на основном множестве X={x1, х2, ..., хп}:

Так как в нечетких регрессионных моделях наиболее распространенным типом функции принадлежности является треугольный тип, имеет смысл рассмотреть его. Треугольные функции принадлежности делятся на симметричные и асимметричные. В данном случае наибольший интерес представляет симметричная треугольная функция принадлежности.

Треугольная функция принадлежности с увеличением х монотонно растет, достигает максимума и затем монотонно падает. Для такой функции принадлежности характерны следующие основные особенности (рис. 1).

© Е.И. Грачева, Н.А. Трусова

Проблемы энергетики, 2007, № 9-10

Е.И. ГРАЧЕВА, Н. А. ТРУСОВА Казанский государственный энергетический университет

А =-----+-----

х 1 х 2

ДА (х1) ДА (х2)

+ ••• +

х n i=1 х i

а т ß

Рис. 1. Треугольная функция принадлежности дА (х) LR - типа

Прежде всего, следует отметить, что разброс по оси абсцисс влево (обозначается L, от английского слова left) от центра т равен разбросу вправо (обозначается R, от английского слова right). В целом такой тип функции принадлежности называют LR-изображением.

Значение функции принадлежности нечеткого множества А на основном интервале [а, в] можно определить, предварительно получив значение центра основного интервала т:

в - а

т = а ч-----,

2

{L(m — х) для х е[а, т ]

R (х — т ) для x e[m, в ]

Таким образом, можно сказать, что нечеткий регрессионный анализ позволяет найти интервал оценивания коэффициентов регрессии b0 , ... bn.

Точечные значения коэффициентов регрессии bi хороши в качестве первоначальных результатов обработки наблюдений. Их недостаток в том, что неизвестно, с какой точностью они дают оцениваемый параметр. Тогда и возникает задача о приближении параметра bi не одним числом, а целым

интервалом bi =( 01,02).

Оценка неизвестного параметра называется интервальной, если она определяется двумя числами - концами интервала.

Задачу интервального оценивания можно сформулировать так: по данным выборки (т.е. используя полученные значения функций эквивалентного сопротивления и потерь мощности (электроэнергии)) построить числовой

интервал (01,02), относительно которого с заранее выбранной вероятностью у

можно сказать, что внутри этого интервала находится точное значение оцениваемого параметра (рис. 2).

01 Ь 02

£

Рис. 2. Доверительный интервал © Проблемы энергетики, 2007, № 9-10

Интервал (0і, ©2), накрывающий с вероятностью у истинное значение параметра Ь; , называется доверительным интервалом, а вероятность у -надежностью оценки или доверительной вероятностью.

В нашем случае доверительный интервал выбирается на основе симметричной треугольной функции принадлежности относительно центра т (за центр т принимаем значения коэффициентов регрессии Ьі ) т.е. выбирается

интервал вида ( Ьі - є , Ьі + є ).

Число є >0 характеризует точность оценки: чем меньше разность |ь — ~ , тем точнее оценка.

Величина у выбирается заранее, ее выбор зависит от конкретно решаемой задачи. Надежность у принято выбирать равной 0,9; 0,95; 0,99 или 0,999.

Тогда практически достоверно нахождение параметра Р; в доверительном интервале (Ь; - є , Ь; + є ).

Для определения доверительных интервалов и, соответственно, построения нечетких регрессионных моделей воспользуемся данными табл. 1.

Таблица 1

Данные для расчета доверительных интервалов

№ *0 *1 *2 *3 *4 *5 Гэ Л >Э

1 + 0 0 - 0 0 9,32 9,32

2 + 0 + + + + 5,87 6,87

3 + - 0 - 0,5 1,2 1,1 2,08

4 + 0,5 - - - + 12,6 10,9

5 + - - - 0 + 3,42 3,06

6 + -1,2 - + + - 2,37 1,11

7 + 0 0 + -0,5 0 5,57 5,14

8 + 1,2 + - 0 0 8,53 4,7

9 + 0 0 + 0 0 5,16 5,16

10 + 0 - - + 0 9,89 9,12

В табл. 1 значения -1; -0,5; -1,2; 0,5; 1,5 0 и +1 соответствуют значениям обобщенных параметров радиальной цеховой сети:

х1 - отношение суммарной длины линий цеховой сети к количеству линий, т.е. средняя длина линий; х2 - величина, равная количеству линий п; х3 - величина, равная эквивалентному удельному сопротивлению линий сети гэ20 при 20° С; х4 -квадрат среднеквадратичного коэффициента загрузки линий сети, х5 -температура окружающей среды, 00, °С.

Значения факторов -0,5; 0,5; 1,2; -1,2 получены по выражению

~ X: — Х:п

~i = :А , (1)

АХ:

где ~: - кодированное значение фактора; х: - действительное значение фактора; хо - нулевой уровень фактора; Ах:- - шаг варьирования фактора.

Границы изменения факторов представлены в табл. 2.

Границы изменения факторов

Фактор ■ 3* Н- В 5' Х/ср 0 Х/тах 1 X — X ■ *л^ тах тш

г 2

—>1р м 10 55 100 45

х2—— 1/п 10 15 20 5

х3— гэ20, мОм/м 1,956 1,108 0,261 0,848

х4— к2 0,09 0,545 1,00 0,455

х5— 00> °С 5 20 35 15

л

гэ, гэ в табл. 1 - значения функций цели, вычисленные по следующим выражениям:

Р

Гэ = —+ 0,004(0 - 20)]гк ,

'э

л

гэ = 5,4 + 4,2х 1 —1,7*2 - 3,9х3 + 0,53х4 + 0,23х5 —1,3х 1Х2 —

- 3,19 х 1 х 3 + 0,44 х 1 х 4 + 0,22 х 1 х 5 +1,22 х2 х 3 — 0,24 х 2 х 4 — (2)

- 0,35х2 х5 — 0,4х3х4 — 0,23х3х5 + 0,95х4 х5 .

где р - удельное электрическое сопротивление проводника мОм м; I - длина проводника , м; х - поперечное сечение проводника, мм2; 0 - температура нагрева

проводника, С; ^ ^ - сумма сопротивлений автоматических выключателей,

установленных на линии.

л

Таким образом, можно считать, что значения гэ в таблице 1 - это выборка, полученная в результате проведения п=10 независимых наблюдений за случайной величиной Х, которой в нашем случае является эквивалентное сопротивление

лл

цеховой сети гэ . Величину гэ можно считать случайной величиной и разброс

л

значений величины эквивалентного сопротивления гэ в матрице планирования ДФЭ с генерирующим соотношением 25-1 можно считать значениями случайной величины в 1 - ом опыте, т.е. условно это можно записать У={у1 , у2 , ... уп}. Согласно [2] принимаем, что случайные величины у1 , у2 , ...уп независимы, закон распределения любой из них совпадает с законом распределения случайной величины Х (т.е. х[ » N (а, а), где а = МХ - математическое ожидание, о = БХ -дисперсия функции цели). Поскольку а и о неизвестны, то доверительный интервал для математического ожидания определим на основе вычисления нечеткой регрессионной модели, комбинированной с методом наименьших квадратов.

Для этого сначала находим выборочное среднее, представляющее собой коэффициенты уравнения регрессии (2) по выражению

- - 1п

Хв = Х = -Ху{ , (3)

п1=1

л

где п - число опытов, п = 16; уг - значение гэ в г - ом опыте.

Так, например, найдем доверительный интервал для Ь0 = 5,4 из полинома для вычисления гэ .

1. Выборочное среднее

_ _ 1 п

ХВ = Х = - 2У1 =

пг _ 1

2,5 +19,3 +1,12 +10,7 + 0,59 + 3,15 + 0,31 +1,43 + 2,7 + 24,6 +1,38 +12,3

16

0,66 + 3,58 + 0,33 +1,79

+--------------------------= 5,4.

16

Принимаем доверительную вероятность у = 0,95.

А

2. Затем находим исправленное среднее квадратическое отклонение гэ , вычисленное по выборке

£ =

- 2(у, — X)2,

п — 1

г=1

А

где п - число опытов , п = 16; уг - значение гэ в г - ом опыте.

X - выборочное среднее.

Среднее квадратическое отклонение

2.

£ _

1 п

—л2(уг — X)2 _ п-1 г=1

(2,5 — 5,4)2 + (19,3 — 5,4)2 + (1,12 — 5,4)2 + (10,7 — 5,4)2

• +

15

+11

+

+1

(0,59 — 5,4)2 + (3,15 — 5,4)2 + (0,31 — 5,4)2 + (1,43 — 5,4)2

+

15

(2,77 — 5,4)2 + (24,6 — 5,4)2 + (1,38 — 5,4)2 + (12,3 — 5,4)2

15

(0,66 — 5,4)2 + (3,58 — 5,4)2 + (0,33 — 5,4)2 + (1,79 — 5,4)2

15

_ 7,4.

3. Далее по [2] находим значение г по выражению £

Е_' УЩ ’

где ^ у - квантиль уровня * у =1 - у = 1 - 0,95 = 0,05.

(4)

+

Значение квантиля ty находим, пользуясь таблицей квантилей распределения Стьюдента [2], для доверительной вероятности у = 0,95 и числа степеней свободы к = п - 1 = 16 - 1 = 15 * у = 2,13.

Определяем г:

$ 7,4

Б = •-;= = 2,13-^= = 3,9.

^ л/п л/16

4. Тогда доверительный интервал:

(X - г, X + г ) = (01,02 ) ( 6 ).

(X - г, X + г ) =(5,4 - 3,9; 5,4 + 3,9 ) = (1,5;9,3).

Расчет для остальных Ъ проводим аналогично, результаты заносим в табл. 3.

Таблица 3

Вычисление доверительных интервалов для регрессионной модели определения эквивалентного сопротивления при у = 0,95

Номер коэффициента регрессии Хв S £ ХВ — 8 ХВ +8

h 5,4 7,4 3,9 1,5 9,3

h 4,2 8,2 4,4 -0,2 8,6

b2 -1,7 9,1 4,8 -6,6 3,1

h -3,9 8,3 4,4 -8,4 0,5

h 0,53 9,2 4,9 -4,4 5,4

h 0,23 9,3 4,9 -4,7 5,2

b12 -1,3 9,2 4,9 -6,2 3,6

h13 -3,2 8,7 4,6 -7,8 1,4

h14 0,44 9,3 4,9 -4,5 5,4

h23 1,22 9,2 4,9 -3,7 6,1

h24 -0,24 9,3 4,9 -5,2 4,7

h34 -0,42 9,3 4,9 -5,3 4,5

h45 0,95 9,3 4,9 -4 5,9

Далее по данным табл. 3 составляем нечеткие регрессионные модели с нечеткими параметрами Bj = (mj , cj) ’ где mj = X - нечеткий центр; cj = £ -

половина нечеткого основания.

В результате получаем следующие нечеткие уравнения регрессии при доверительной вероятности у = 0,95:

Гэ1 = (mo,Co) + (mi,ci)xi + (m2,C2)x2 + (тз,сз)хз + (m4,C4)x4 +

+ (m5 ,c5 )x5 + (m12 ,c12 )x1x2 + (m13 ,c13 )x1x3 + (m14 ,c14 )x1x4 +

+ (m23 ,c23 )x2x3 + (m24 ,c24 )x2x4 + (m34 ,c34 )x3x4 + (m45 ^45 )x4x5 = (?)

= (5,4;3,9) + (4,2;4,4)x1 + (-1,7;4,8)x2 + (-3,9;4,4)x3 + (0,53;4,9)x4 + ( )

+ (0,23;4,9) x 5 + (—1,3;4,9) x 1 x 2 + (—3,2;4,6)x 1 x 3 + (0,44;4,9) x 1 x 4 +

+ (1,22;4,9)x2x3 + (—0,24;4,9)x2x4 + (—0,42;4,9)x3x4 + (0,95;4,9)x4x5 .

Уравнение регрессии для вычисления эквивалентного сопротивления с учетом доверительных интервалов (по данным табл. 3):

гэ 2 = (1,5;9,3) + (-0,2;8,6)х 1 + (-6,6;3,1)х2 + (-8,4;0,5)х3 + (-4,4;5,4)х4 +

+ (—4,7;5,2) х 5 + (—6,2;3,6) Х1 х 2 + (—7,8;1,4) Х1 х 3 + (—4,5;5,4) х 1 х 4 + (8)

+ (—3,7;6,1)х2х3 + (—5,2;4,7)х2х4 + (—5,3;4,5)х3х4 + (—4;5,9)х4х5 .

В данных уравнениях доверительные интервалы позволяют наглядно доказать, что внутри этих интервалов лежат истинные значения коэффициентов регрессии, которые дают наиболее точные значения функций цели.

Далее составляем нечеткие регрессионные модели с доверительной вероятностью у = 0,9. Тогда значение квантиля ¿у находим, также пользуясь

таблицей квантилей распределения Стьюдента [2], для доверительной вероятности у = 0,9 и числа степеней свободы к = п - 1 = 16 - 1 = 15: * у = 1,75.

Как далее будет видно, уменьшение надежности у приведет к сужению

доверительного интервала, а следовательно, и к увеличению точности оценки. Расчет коэффициентов регрессии ведем аналогично по выражениям (3) - (6).

Таким образом, получаем следующие регрессионные зависимости для вычисления эквивалентного сопротивления при доверительной вероятности у = 0,9:

гэ 3 = (5,4;3,2) + (4,2;3,6) х1 + (—1,7;4) х 2 + (—3,9;3,6) х 3 + (0,53;4) х 4 +

+ (0,23;4,1) х 5 + (—1,3;4) х 1 х 2 + (—3,2;3,8) х1 х 3 + (0,44;4) х 1 х 4 + (9)

+ (1,22;4)х2 х3 + (—0,24;4,1)х2 х4 + (—0,42;4)х3х4 + (0,95;4,1)х4х5 .

гэ 4 = (2,16;8,6) + (0,62;7,8) х1 + (—5,7;2,2) х 2 + (—7,6 ;0) х 3 + (—3,5;4,6) х 4 +

+ (—3,8;4,3) х 5 + (—5,3;2,7) х1 х 2 + (—7;0,6) х 1 х 3 + (—3,6;4,5) х1 х 4 + (10)

+ (—2,8;5,2)х2х3 + (—4,3;3,8)х2х4 + (—4,5;3,6)х3х4 + (—3,1;5)х4х5 .

Расчет по полученным нечетким регрессионным моделям ведется как и в случае стандартной регрессии. Значения факторов х1, х2, ..., х5 подставляются последовательно в каждое из уравнений (7) - (10), но сами эти выражения рассматриваются уже в следующем виде.

Выражение (7):

гэ1с = 5,4 + 4,2 х1 —1,7 х 2 — 3,9 х 3 + 0,53 х 4 +

+ 0,23 х5 —1,3 х1 х 2 — 3,2 х1 х 3 + 0,44 х1 х 4 +

+1,22 х 2 х 3 — 0,24 х 2 х 4 — 0,42 х 3 х 4 + 0,95 х 4 х 5. гэ1т = 3,9 + 4,4 х1 + 4,8 х 2 + 4,4 х 3 + 4,9 х 4 +

+ 4,9 х 5 + 4,9 х1 х 2 + 4,6 Х1 х 3 + 4,9 х1 х 4 +

+ 4,9 х 2 х 3 + 4,9 х 2 х 4 + 4,9 х 3 х4 + 4,9 х 4 х 5.

Выражение (8):

Гэ2с = 1,5 — 0,2 х1 — 6,6 х 2 — 8,4 х 3 — 4,4 х 4 —

— 4,7 х5 — 6,2 х1 х 2 — 7,8 х1 х 3 — 4,5 х1 х 4 —

— 3,7 х 2 х 3 — 5,2 х 2 х 4 — 5,3 х 3 х4 — 4 х 4 х5.

гэ 2 т = 9,3 + 8,6 х 1 + 3,1 х 2 + 0,5 х 3 + 5,4 х 4 +

+ 5,2 х 5 + 3,6 х1 х 2 +1,4 х 1 х 3 + 5,4 х 1 х 4 +

+ 6,1 х2х3 + 4,7х2х4 + 4,5х3х4 + 5,9х4х5 .

Выражение (9):

гэ3с = 5,4 + 4,2 х1 —1,7 х 2 — 3,9 х 3 + 0,53 х 4 +

+ 0,23 х 5 —1,3 х1 х 2 — 3,2 х1 х 3 + 0,44 х1 х 4 +

+ 1,22 х 2 х 3 — 0,24 х 2 х 4 — 0,42 х 3 х 4 + 0,95 х 4 х 5. гэ3т = 3,2 + 3,6 х1 + 4 х 2 + 3,6 х 3 + 4 х 4 +

+ 4,1х 5 + 4 х1 х 2 + 3,8 Х1 х3 + 4 х1 х 4 +

+ 4 х 2 х 3 + 4,1 х 2 х 4 + 4 х 3 х 4 + 4,1 х 4 х 5.

Выражение (10):

гэ4с = 2,16 + 0,62 х1 — 5,7 х 2 — 7,6 х 3 — 3,5 х4 —

— 3,8 х 5 — 5,3 х1 х 2 — 7 х1 х3 — 3,6 х1 х 4 —

— 2,8 х 2 х 3 — 4,3 х 2 х 4 — 4,5 х 3 х 4 — 3,1 х 4 х 5

гэ 4 т = 8,6 + 7,8 х 1 + 2,2 х 2 + 0 х 3 + 4,6 х 4 +

+ 4,3 х 5 + 2,7 х 1 х 2 + 0,6 х 1 х 3 + 4,5 х 1 х 4 +

+ 5,2х2х3 + 3,8х2х4 + 3,6х3х4 + 5х4х5 .

В табл. 4 представлены результаты расчета полученных регрессионных

Л

моделей: Гэ - предсказанные по модели значения функции отклика стандартной

Л

регрессионной модели; гэт - предсказанные по модели значения центра функции

Л

отклика нечеткой и комбинированной регрессионных моделей; гэс -предсказанные по модели значения половины разброса функции отклика

Л

нечеткой и комбинированной регрессионных моделей; гэт — гэ - абсолютные

значения отклонений предсказанных значений функции отклика от исходных

Л

данных для стандартной регрессионной модели;

- абсолютные значения

отклонений предсказанных значений функции отклика от исходных данных для нечеткой и комбинированной регрессионных моделей; гэ - действительные значения функции отклика; 5К, -погрешность вычислений значений функции

отклика от исходных данных для нечеткой и комбинированной регрессионных моделей.

Таблица 4

Результаты расчета регрессионных моделей вычисления эквивалентного сопротивления

Значение функции Гэ Стандартная регрессия Результаты расчета регрессионных моделей

При у = 0,95

Комбинированная регрессия Нечеткая регрессия

Л Гэ Л Гэ - Гэ бй, % Л Гэ 1 m Л Гэ1с Л Гэ 1 m — Гэ Л Гэ2с Л Гэ2т Л Гэ 2 m — Гэ 6r, %

9,32 9,32 0 0 9,32 0,5 0 9,8 8,8 0,5 5,35

5,87 6,87 1 17,1 6,87 43 1 51 55 45 762

1,12 2,08 3,2 28,6 2,08 6,2 3,2 3,1 9,2 4,3 381

12,6 10,9 1,66 13,2 10,9 0,6 1,66 22 6,5 9,9 78,4

3,42 3,06 0,36 10,4 3,06 9,6 0,36 9 1,4 5,6 163

2,37 1,11 3,48 14,7 -1,11 17 3,48 9,1 13 6,7 283

5,57 5,14 0,44 7,84 5,14 3,4 0,44 2 4,9 3,6 63,7

8,53 4,7 3,83 44,9 4,7 5 3,83 8,7 19 0,1 1,48

5,16 5,16 0 0 5,16 8,4 0 6,9 9,9 1,7 33,7

9,89 9,12 0,77 7,79 9,12 5,4 0,77 19 8,1 9 90,5

S S а а н ф w Л и н е г « н З Стандартная регрессия Результаты расчета регрессионных моделей

,9 0, = и При

Комбинированная регрессия Нечеткая регрессия

Л Гэ Л Гэ - Гэ б% Л Гэ 3 m Л Гэ3с Л Гэ 3 m — Гэ Л Гэ4с Л Гэ4т Л Гэ 4 m — Гэ %б ,

9,32 9,32 0 0 9,32 0,4 0 9,7 8,9 0,41 4,39

5,87 6,87 1 17,1 6,87 35 1 41 45 35,3 602

1,12 2,08 3,2 28,6 2,08 5,1 3,2 2 8,1 3,17 282

12,6 10,9 1,66 13,2 10,9 0,5 1,7 21 8 8,44 67,1

3,42 3,06 0,36 10,4 3,06 7,9 0,4 8 0,5 4,63 136

2,37 1,11 3,48 14,7 -1,11 14 3,5 7,1 11 4,69 198

5,57 5,14 0,44 7,84 5,14 2,8 0,4 1,4 4,3 4,17 74,7

8,53 4,7 3,83 44,9 4,7 4,1 3,8 9,5 18 1,02 12

5,16 5,16 0 0 5,16 6,9 0 5,4 8,4 0,25 4,76

9,89 9,12 0,77 7,79 9,12 4,4 0,8 18 9 7,99 80,8

Выводы

1. Исходная информация о зависимом переменном - эквивалентном сопротивлении гэ - задается детерминированно, что позволяет осуществить построение как стандартной регрессионной модели, так и нечетких регрессионных моделей. Центральная линия регрессии комбинированного метода

совпадает со стандартной линией регрессии, о чем свидетельствует равенство коэффициентов регрессии в уравнениях стандартной регрессии с коэффициентами, обозначающими выборочные средние значения. Однако наличие уравнений, содержащих доверительные интервалы, позволяет учесть вариант с неопределенной исходной информацией. Таким образом, если невозможно точно определить коэффициенты регрессии, то можно указать интервал, в котором находятся точные значения, что уже существенно облегчает расчеты. Кроме того, уменьшение надежности у приведет к сужению

доверительного интервала, а следовательно, и к увеличению точности оценки.

2. Наиболее точные расчеты коэффициентов регрессии позволяют осуществить стандартные и комбинированные регрессионные модели. Нечеткие модели позволяют наметить диапазон изменения коэффициентов регрессии.

3. Определенную роль играет и число независимых экспериментов, которое составляет число степеней свободы. Число степеней свободы влияет на величину г, которая характеризует точность оценки. Таким образом, в случае одинаковой доверительной вероятности увеличение числа опытов приведет к увеличению числа степеней свободы, а это, в свою очередь, позволит сузить доверительный интервал, а значит точнее приблизиться к истинному значению коэффициентов регрессии, что особенно важно при нечеткой исходной информации.

Summary

Results of research an opportunity of application indistinct regression analysis for estimating and predicting energy losses in workshop networks are presented. The initial information on a network possesses some level of uncertainty that complicates opportunities of application of traditional methods.

The calculation on standard and indistinct regression models, an estimation of an error these models are analyzed in this article. Standard models possess higher accuracy, however they demand the determined initial information about a dependent variable. Indistinct regression models allow to plan only an interval which contains exact value of the estimated parameter, but such models allow to consider uncertainty of the initial information.

Литература

1. Манусов В.З., Могиленко А.В. Методы оценивания потерь электроэнергии в условиях неопределенности // «Электричество». -2003. - №3. - С. 2-8.

2. Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике. - М.: Айрис-пресс, 2004. - 256 с.

Поступила 21.03.2007