QOVUSHQOQ ELASTIK MUHITDAGI GARMONIK TO‘LQINNING PARALLEL QUVURLARDAGI KO‘P KARRALI SOCHILISHI

Ishmamatov M.R.

DOI: 10.24412/2181 -144X-2025-1 -12-21

Ishmamatov M.R.

QOVUSHQOQ ELASTIK MUHITDAGI GARMONIK TO'LQINNING PARALLEL QUVURLARDAGI KO'P

KARRALI SOCHILISHI

Matlab Ishmamatov[0009-0008-3432-3664]

Navoiy davlat konchilik va texnologiyalar universiteti, "Oliy matematika va axborot texnologiyalari" kafedrasi mudiri, dotsent, PhD., E-mail: matlab [email protected]

Annotatsiya. Ushbu maqolada qovushqoq-elastik muhitga bir-biriga parallel silindrik formadagi quvurlargadi garmonik to'lqinning ko'p karrali sochilishi aniqlanadi. Bunda to'lqinning sochilishi silindrik funksiyalar yordamida topiladi.

Kalit so'zlar: muhit, qovushqoq-elastiklik, garmonik to'lqin, parallel quvurlar, kuchlanish, deformatsiya holati, silindrik bo'shliq

Аннотация. В статье описывается многократное рассеяние гармонической волны от параллельных цилиндрических трубок в вязкоупругой среде. В этом случае рассеяние волн находится с помощью цилиндрических функций.

Ключевые слова: среда, вязко упругость, гармоническая волна, волновая нагрузка, контурные напряжения, цилиндрическая полость, деформируемая среда.

Abstract. The article describes multiple scattering of a harmonic wave from parallel cylindrical tubes in a viscoelastic medium. In this case, the scattering of waves is found using cylindrical functions.

Keywords: environment, viscous elasticity, harmonic wave, wave load, contour stresses, cylindrical cavity, deformable environment.

Kirish

Bizga qovushqoq-elastik muhitda bir-biriga parallel silindrik formadagi quvurlar berilgan bo'lsin (1-rasm).

1-rasm. Silindrik bo'shliqning to'lqin bilan o'zaro ta'siri hisob sxemasi.

Bu silindrga garmonik uzun to'lqin tushsin. Tushadigan to'lqin quyidagi ko'rinishda bo'lsin:

jax-imt

O , (1)

Bunda, j- tushadigan to'lqin amplitudasi, a — to'lqin soni, o- tushadigan to'lqin

chastotasi a = O l cp, cp - bo'ylama to'lqin tezligi. Silindrlar sistemasidan ajratib olingan n tartibli silindrga tushadigan to'lqin quyidagi ko'rinishda bo'ladi:

— A n+r„)-ieot —

O = (j)0e

foe'

iarQn COS(6»Qn +Y)

Z Jm (arn )e

im (Qn +y+Kl 2)-iot

(2)

bu yerda, Jm - m-tartibli Bessel funksiyasi, j0 - amplituda, O - aylanma chastota. To'lqinning k- tartibli sochilishi silindrik funksiyalar yordamida topiladi:

n Ok = ^^ n AkH (ar )eim(e +y+nl2)-iOt

/ i m m^ n ' '

m=-o

oo (3)

n wk = ^ nBkmHm (ßrn )eim( +¥+3)-Ot, 3=W2n.

Bunda, Hm - Xankel funksiyasi, bir jinsli m-tartibli, ß = ol cs. Agar m-juft bo'lib, m > Q bo'lganda, 3= Q bo'ladi. Agar m-toq bo'lib, m < Q bo'lsa, u holda m = Q bo'lganda, n Bkm = Q bo'ladi. Yuqorida olingan munosabatlardan foydalanib, bo'ylama va ko'ndalang

to'lqin potensiallarini topish mumkin

N ox oo

® = EH "AH(arn)e

im (0n + y+n 12)-iot

n=0 k=1 m=-o N x oo

im (0n + x+3 )—iot

(4)

^ = "BlHm(ßrn)e"

n=0 k=1 m=-o

Bunda, n Akm va nBkm - ixtiyoriy o'zgarmaslar bo'lib, chegaraviy shartlardan topiladi.

Agar muhit n - dona silindrik bo'shliq (yoki teshik)dan iborat bo'lsa, u holda quyidagicha chegaraviy shart qo'yiladi:

ö"

= Qr

r„ =a„ Qr re

= Q, k = 1,2,..; n = Q,1,2..N.

(5)

Yuqorida keltirilgan (4) ifodalardagi n Am va nBm ixtiyoriy o'zgarmaslar quyidagicha topiladi:

" 1 ' ''"rQn cOs(eQn +Y> A n D1 _ A niarQn <

n A =-jeiarQ n cOs(eQ n +Y> A n bI =-jeiarQ n cOs(eQ n +Y)n A

m jQe m , m jQe m,

bunda,

nAk=\ D K - EH 11 \D K - EE H 1 va

m L ma ma ma ma J L ma ma ma ma J

Bk = \D EE - E DD 11 \DD K - EE H 1

m L ma ma ma ma J L ma ma ma ma J >

n nk m

m=-o

1

Dma = (m + m a ) Jm (aa) - aaJm- 1(aa)';

Ema = m(m + 1) Jm (aa) - maaJm-1(aa)'; Hma = -m(m + 1) Jm (ßa) - mßaJm-1(ßa)';

Kma = -(m2 + m -1 ß2a2)J,m(ßa) + ßaJm_x(ßa);

1

DDma = (m2 + m - - ß a1)Hm (aa) - aaHm_x (ßa);

EEma = m(m + 1)Hm (aa) - maaHm-1 (aa); HHma = -m(m + 1)Hm (ßa) - mßaHm-1(ßa);

1

Kma = -(mz + m -1 ß2a2 )Hm (ßa) + ßaJm-1(ßa).

Ixtiyoriy o'zgarmaslar nAkm va nB^ uchun quyidagi rekurent munosabatni olamiz [1].

Agar bitta silindrik formadagi bo'shliq berilsa (r = a), unga tekis (1) ko'rinishdagi to'lqin tushsa, u holda uning konturida hosil bo'ladigan eng katta kuchlanish kontur kuchlanishi

bo'ladi. Agar biror silindrik formadagi Qattiq jism qo'yilsa, u holda konturdagi maksimal

* *

kuchlanishlar <5ee ,&rr bo'ladi. Bu kuchlanishlarning silindrik formadagi qattiq jism chegarasidagi ifodasi quyidagicha bo'ladi:

a

1

m=0

2 „2

a

=-1X =-1±

eHri IH(ä2a)ßj a A.

(1)ífí n\-(„2 ^„-¿La. H V (ß a) } c~~ —-'at

ß aH nUß 1 a) -(n2 + n -

\cos ne

An

- d( rßa_(n -1 - nn-J)) + i(n(n +1) - l-ßy)

■In(a2a) + ^ -1 j'n3 -n +1 ßla1 j (a2a)I^l (a^Hf ß a) + 'p-- 1 j (1 -n2)(a2ßa2)I^(a2a)Hn_xß a) jcosnde"

1 = Pi!Pi X2 =ß ■ a

Haqiqiy argumentning Bessel va Xankel funksiyalari xuddi logarifmning trigonometrik funksiyalari kabi jadvalga kiritilgan va ular argumentining ma'lum kattaliklarida hisoblanadi. Bu haqiqiy funksiyalar bo'lgani uchun ular statsionar to'lqinlarni tavsiflaydi. Aslida statsionar silindrsimon harakatlanuvchi to'lqinning superpozitsiyasidir: biri silindr o'qidan ajralib chiqadi, ikkinchisi esa cheksizlikdan silindr tomon yaqinlashadi. r=0 da bu ikki to'lqinning fazalari qarama-qarshi bo'lganligi uchun ular bir-birini bekor qiladi va shuning uchun statsionar to'lqinning amplitudasi r=0 da chekli bo'lib qoladi. Bu gap qovushqoq-elastik to'lqinning tarqalishi masalasini hal qilishda qo'llaniladi. Silindrsimon to'lqin I0 (kr) tekislik statsionar to'lqinga mos keladi cos(kx-n /4). Energiyaning tobora kattaroq silindrsimon sirtlarga taqsimlanishi tufayli, masofaning ortishi bilan kamayib boradi. Silindrsimon to'lqin N0(kr) asimptotik ravishda tekis to'lqin sin (kx-n/4)ga mos keladi. Silindr o'qida (r=0) tushayotgan va qaytadigan to'lqinlarning grad u bir xil bo'lib, to'lqinning amplitudasi tekis to'lqin holatidan farqli ravishda cheksiz katta bo'ladi; shuning uchun silindr o'qidagi N0 funksiya (r=0 ) uzilishga ega.

re

Agar tushadigan bo'ylama (yoki ko'ndalang) to'lqin (1) uzoq vaqtda chesizlikdan kelsa, u holda bitta mustahkamlanmagan (silindrik formadagi bo'shliq uchun) cheksizlikda quyidagi statik yechim olinadi va quyidagicha bo'ladi (siljish deformatsiyasi uchun):

cr*e = —4 sin 26

Silindrik formadagi mustahkamlanmagan bo'shliq uchun statik yechim quyidagicha bo'ladi ( a 0 ):

X — 1)— 2cos26].

X

Agar muhitda silindrik formadagi absolyut qattiq jism berilgan bo'lsa, u holda statik yechim quyidagicha bo'ladi:

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

* 2X2

<y = —

rr

&r6 =

X2 +1

2X2

X2 +1

sin 26\

cos 20\

°~*6 = (1--2)cC •

X

Bessel funksiyasi argumentining kichik qiymatlarida qatorning birinchi hadini olish bilan cheklanish mumkin. Agar garmonik to'lqin silindrik formadagi jismga tushsa, u holda a*e

kontur kuchlanishi p 0 va a 0 hamda n = 1 nolga intilsa, n >2 uchun quyidagi munosabat o'rinli bo'ladi:

2 2

n (n2 — 1

(2 a 2

Hn Oa))

A.

^ <

in

r

v

A

n = 2,

X2 ,

0

n > 2.

Qachonki, n = 0 va n=1 bo'lganda, po intilsa, u holda Xankel funksiyasini quyidagicha tasvirlash mumkin:

HQ

A,

X

(1 + X2)(a (1 + X2)((1 — rR )■

Xankel funksiyasining a a >> 1 asimptotik ifodasi quyidagicha bo'ladi:

f 2 ^1/2

Hn (a a)

e

i(aa—nn / 2—n /4)

^naa y

Qattiq jismning ko'chishi (bo'ylama to'lqin ta'sirida) quyidagi ko'rinishni egallaydi:

u = rja—1 [2i(p011 (a a) + A1H1 (a a) + B1A1 (( a)] , bunda, v = Pi / p2.

Yuqoridagi ifodalar va chegaraviy shartlardan foydalansak, kompleks koeffitsientli algebraik tenglamalar sistemasini olamiz, uni Gauss usuli yordamida yechamiz:

•n

A =- ^^ [äßa2In (äa)H'n (ßa) — n2In (äa)Hn (ßa)] An

Po en i"

n

An

An = [äßa2H'n (äa)H'n (ßa) — n2Hn (äa)Hn (ßa)] , öxh n = 1

A =

2iPo A

(äa)H' (ßa) + (1 + r)Ix (äa) * ßaH0 (ßa) +

+ (1 + r)äaI0 (äa)Hx (ßa) — aßa210 (aa) * H0 (ßa)];

B =

2iPo 2i(1 — r) .

Ai

n

A = 4nH (äa)H (ßa) — (1 + r)ßaHQ (ßa)Hx (äa) —

— (1 + r)äaHQ (äa)H (ßa) + äßa2H0 (äa) * H0 (ßa) ■ Uzun to'lqinlarda qattiq jism ko'chishining asimptotik ifodasi quyidagicha bo'ladi:

-^2 2

u * (äa)

ä a [%2(r — 1)li,Xäa) + In äa] +

22

_ n in ä a

4r

8r

[(1 — r)z2 + (1 + r)] ;

Km u (äa) = 1.

äa —>0

Agar deformatsiyalanuvchi muhit silindrik bo'shliq yupqa qobiq bilan mustahkamlangan bo'lsa, u holda COS (nû) va SIN (nû) burchak bo'yicha trigonometrik formada yozib olinadi. Bu yerda, n - butun son bo'lib, 0 dan œ gacha o'zgaradi. Agar n=0 bo'lsa, mustahkamlangan silindrik bo'shliq sirtida grunt bosimi teng taqsimlanadi. Xuddi shunday n=1 bo'lganda, mustahkamlangan silindrik bo'shliq, qattiq jism kabi harakatda bo'ladi. Tebranishlar formasi n>2 bo'lganda, mustahkamlangan silindrik bo'shliq va uni o'rab turuvchi muhitning deformatsiyasi hisobga olinadi. Shu holatlarni qisqacha ko'rib chiqamiz.

Xususiy holda n=0 bo'lgan holni ko'ramiz. Og'ma toyilishlar va qo'shimcha potensiallar formulalar bilan ifodalangan:

Ä = P0J0 (V); (Po = 1) , ¿P = AH (V) > ^ = 0.

Elastik muhit ko'chishlari tekis deformatsiya holati uchun quyidagi ko'rinishni egallaydi:

U =

dp 1 dy dr r dO

; Uo =

1 dp dy r dO dr

(6)

bunda, n=o; Ur va UO quyidagi ko'rinishni egallaydi:

O

Ur =dP = —k dr

J1 (v )+Lo H1[ 2 Hv)

r = r.

0

uo= 0

Radial kuchlanish quyidagi formula bilan aniqlanadi:

a

rr = 05ß2p+1

2m

dp 1 d 2p 1 dp d 2p dr r ôo2 r dO drdO

a

zz 2ß

ä2 — 0.5 ß2)^.

(7)

bunda, /3 = al cs ;a = al cp. © International Journal of Advanced Technology and Natural Sciences Vol.1(6), 2025 IF=4.372, ICV:59.77

Atrof-muhitning radial kuchlanishi to'lqinlar o'tishi bilan quyidagi ko'rinishni oladi:

2 2

ur = -pa 2K2

J0 (V)+ AoH OIV)

+2P2 k

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

J1(kir)+ L0H0 \kf)

(8)

r=r

0

= 0.

Mustahkamlangan bo'shliq radial ko'chish tekis taqsimlangan yuklanish ostida quyidagicha bo'ladi:

UB =

2

r q

hE

K

(9)

bu yerda, q - quvurga tushadigan tashqi bosim; h - quvur qalinligi, ek - materialning elastiklik moduli. Xususiy holda n=1 bo'lgan holni ko'ramiz. Quvurga tushadigan to'lqin n=1 bo'lganda, quyidagi ko'rinishni ifodalaydi:

2iJ'i (V)cos° (10)

Agar bo'shliq Qattiq jism bilan mustahkamlangan bo'lsa, u holda muhitga qaytgan to'lqin potensiallari (n=1 uchun) quyidagi ko'rinishni egallaydi:

-- = Aflf1 (kr) cosO; y/{s) = BH1 (kf) sinO.

Ko'chish potensiallari yordamida muhit va quvurning ko'chishi hamda kuchlanishlarini aniqlash mumkin:

Url =

ki Hi( 2) (kr) A + - Hi(2) (V0) Bi + — Ji (kir,)

cosO

(11)

Uoi =-

ari = A

I H(2) (k,r0) Ai + k2 Hf2) (kr ) Bi + --rJ, (V0 )

-pa2 k2 H"( V0)+2pb2ki H?>(kr )

Gn

cosO-

sinO

- B H(2) ( kr ) cos 0 + \-pa2 k2 J (kr (kxr,)

^ = 2Pb2ki H22)( V0) Ai sin0 + Bi

pb k22 Hi 2)( kir0)2pb2k2 H22)( kir0)

cosO;

¡in 0 + k j (kr) sin 0.

Ixtiyoriy integral doimiylari An va Bn - ni topish uchun chegaraviy shartlardan foydalanamiz:

= 0; ^ = 0,

rO

A vaB koeffitsientlar quyidagicha topiladi:

i i A 5 -M

A " A ; 1 "A '

(12)

(13)

-1 -1 HHKrKlmwa — —^ Jt mm

Goodie cJ — ^ 17

r

r=r

0

bunda, AA = - — aJl (a)Hj(2 \ma)+ mJ (a)H f \ma)]

AB = —- a[j (a)H2) (a) - J (a)Hf2} (a)]

r0

Bu, Bessel funksiyalarini hisoblashda quyidagi munosabatlardan foydalanilgan:

Jv(a)H^i (a)-Jv-i (a)H? \a) =

^ia

(14)

J,,(a)H«\a)-j;(a)H,'2 >(a)= —

^a

a J'v (a) = v Jv (a)-a Jv + (a); (15)

r

aH(2> (a)= vH(2)(a)-aHi+\(a);

Yuqorida keltirilgan munosabatlardan foydalanib, Ai va Bi koeffisientlarni topish mumkin. Bu qattiq material bilan mustahkamlangan silindrik bo'shliq uchun olindi:

AA x AB T / \ „.-, t i 4 H22)(ma)

U = —kjHj2'v«) +—H<2) (ma) + 2k, J (a) = — * -

(16)

A i ' v 7 r0A ^ ' iiv ' r H(?(a)H(?(ma) + mH(^)(a)H(2)(ma) Ko'chish amplitudasi quyidagi formula bilan topiladi:

U = yj( ReU, )2 + (ImU, )2. (17)

Umumiy holda n > 2 bo'lgan xolatni ko'ramiz. Grunt muhitida joylashgan silindrik formadagi inshootni hisoblash uchun, ta'sir etuvchi tashqi kuchlar quyidagi ko'rinishda

olinadi:

" ^ t " ^ t °rr =XAn cos nO; °rO=LBn sin nO.

n=2

(18)

Yuqorida keltirilgan (18) ifodadagi An va Bn koeffisientlarga tushuvchi va qaytgan

(s) (s)

p to'lqin potensiallari kiradi. Bu koeffisientlarni topishda to'lqin tenglamasi (gruntli

muhit) va quvur uchun Lame tenglamasidan foydalaniladi. Quvurga tushadigan radial bosim

i

quyidagi ko'rinishda olindi: gn = AndnCOSnO . Bu formuladan foydalanib, quvur radial ko'chishini topish mumkin:

t

(19)

UrG = A dCOSnO

bunda

(n2 -1)2 EkJk

n n

' t2 (acn2 -i)'

i +-"-=-"

r0 - quvur radiusi; Ek, Jk - quvurning egilishdagi bikirligi; t - quvurning inersiya

radiusi; a = Ek / G; G - ko'ndalang kesimga bogliq bo'lgan koeffitsient to'g'ri burchakli ko'ndalang kesimli quvur uchun G =1.5. Tangensial ko'chish quyidagi ifoda bilan aniqlanadi:

' d

UOG =- An — sin nO. n

(20)

0

n

r

0

r

0

Tangensial kuch gI. = BnSIN6 ta'sirida quvurning radial ko'chishi quyidagicha aniqlanadi:

Ur/ =- B' dnL cos nG.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

n

(21)

Quvurning normal va tangensial yuklanish ta'siridagi radial ko'chishi quyidagi formula bilan topiladi:

U„ =

A -

B_

n

d„ cos nG

(22)

Xuddi shunday urinma ko'chish quyidagicha topiladi:

A' d

UGn =-

n

- B t

nn

sin nG

(23)

Agar quvurda hosil bo'ladigan ko'ndalang va o'q bo'yicha bo'ladigan deformatsiyani hisobga olmasak, u holda radial va urinma ko'chishlar quyidagicha bo'ladi:

U,.„ =

r

0

(n2 -1) EkJk

U

n (n -r0

A -

B

n

Gn

n ( ^ - 1) EkJk

A-B

n

cos nG; sin nG;

(24)

' B

bu yerda, An--- kattalik (24) ko'chish munosabatlaridan topiladi. Yuqoridagi (24) va

n

chegaradagi kuchlanishlarning tenglik shartidan foydalansak, quyidagi munosabatni olamiz

[2-4]:

B = E^|A[¿ni -2(n1 -1)]H(a) +Bn— *\amH](am)-2(ni-l)H^ (am)] +2in[aW-2(ni-l)]J (a)} (25)

Agar chegaradagi qattiq mahkamlanganlik shartidan foydalansak, u holda ixtiyoriy o'zgarmaslar An, Bn ni topish uchun algebraik tenglamalar sistemasini olamiz:

An Wn (a) +

r

n2 -1

2 2 a m

n2 -1

2

H2(a» + Bn *

\nH2n (am)+

ar m

n-1

am

2 1 n

n2 -1

r

H2n (am)-2H2n (am)

(27)

= -2in \aJ n (a) +

r

n2 -1

2 2 a m

n2 -1

Jn (a »;

A.

r

aH2n (a)+

r

n2 -1

2 2 a m

- 2

H (a)

+ B_

* <! nHl (am) +

ar m (n2 - 1)n

am

n2 -1

H2(ma)-2H2 (ma)

*

<

>

-2f \aJn {a) +

Y

2 1

n -1

22 a m

n 2 -1

-2

A_

aH2 (a

* \naH2 (am) +

n

aY m

2 2 a m

~~2 7 n -1

am

- 2

H2 (a)

Jn (a)

+ B.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

= -2in \aJn (a) +

n2 -1

Y

Hi (ma)- 2H2 (ma)

n(n2 -1)

2 2 a m

n2 -1

- 2

Jn (a№

bunda,

E

Y

ср

Ek 2 (1 + v)

•12

10 h

Ecp - muhitning elastiklik moduli; v - muhitning Puasson koeffisienti; h - quvur

qalinligi. Noma'lum koeffitsientlar An va Bn quyidagi formula bilan aniqlanadi:

A =

AA A

В =

AB A

(28)

bunda,

A = anH<n:)(a)H{^)(ma) + bnH^ (ma) + a^f^H^ (ma)++ d^f (a)H^ (ma);

t

AA = 2in a J (a)H (1)(ma) + bJ„ H (1) (ma)+ с J (a)H (1) (ma) +

n n \ / n \ / n n n \ / n n \ / n \ /

(1)

r r

+ dnJn (a)H(n] (ma);

AB =

4i

n+1

Ж

n + ■

Y

n(n2 + 1)

2 2 a m

2 2 Y m a

n2 -1

3 3

Y m a

- 2

an =-

2y ma2 2y

+ ■

(n -1)2 n2 -1

- n

bn 2 Í 2 TV с n , 2 1Л2 ;

n (n -1) (n -1)

d =-ma2

2y

2 I 2 n (n

-1

Oxirgi olingan ifodalardan kompyuterda natijalar olish uchun kompleks analiz usullari va munosabatlaridan foydalanib, qo'yilgan masala yechiladi.

Shu yuqorida keltirilgan usul va kiritilgan potensial funksiyalar yordamida bir-biriga parallel quvurlarda hosil bo'ladigan kuchlanish va deformatsiya holatini aniqlash mumkin.

Deformatsiyalanuvchi muhitda joylashgan (tekis deformatsiya holati), o'qlari bir-biriga parallel bo'lgan mustahamlangan va mustahkamlanmagan silindrik bo'shliqlarning xos tebranishlar chastotasini topish, mexanik sistemada bo'ladigan rezonans hodisalarini o'rganishga imkon yaratadi.

Foydalanilgan adabiyotlar ro'yxati:

[1]. Май Дек Мин. Расчет тоннелей, расположеннех в упругопластических грунтах, пересекаюShих зоне разлома, на сейсмические воздействия / Май Дек Мин // Строителство и реконструксия. - 2013. - Н 1 (45) январ-феврал. - с.19-25.

[2]. Горшков А. Г., Старовойтов Э.М., Яровая А. В. Harmonic vibrations of a viscoelastoplastic sandwich cylindrical s'hell // Intern. Appl. Mech. 2001. Vol. 37, № 9. P.

<

2

3

1196-1203.

[3]. Ishmamatov M.R., Kulmuratov N.R., Kuldashov N.U., Choriev M., Akhmedov N.B., Fluctuations of the ground surface at blasting operations on tunnel structures. E3S Web Conf. Volume 417, 2023, III International Conference on Geotechnology, Mining and Rational Use of Natural Resources (GEOTECH-2023)

[4]. Базаров М.Б. Сафаров И.И., Шокин Ю.М. Численное моделирование колебаний диссипативно-неоднородных и однородных механических систем. -Новосибирск: Сибирского отд. РАН, 1996 -189с.

QOVUSHQOQ ELASTIK MUHITDAGI GARMONIK TO‘LQINNING PARALLEL QUVURLARDAGI KO‘P KARRALI SOCHILISHI Текст научной статьи по специальности «Техника и технологии»

Аннотация научной статьи по технике и технологии, автор научной работы — Ishmamatov M.R.

Похожие темы научных работ по технике и технологии , автор научной работы — Ishmamatov M.R.

Текст научной работы на тему «QOVUSHQOQ ELASTIK MUHITDAGI GARMONIK TO‘LQINNING PARALLEL QUVURLARDAGI KO‘P KARRALI SOCHILISHI»