CC BY
17
УДК 621.391.3
А. Г. ГАШЛИНСКИЙ
ПСЕВДОГРАДИЕНТНЫЕ АЛГОРИТМЫ ОЦЕНИВАНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ДЕФОРМАЦИЙ ИЗОБРАЖЕНИЙ С ИЗМЕНЯЮЩИМСЯ ОБЪЕМОМ ЛОКАЛЬНОЙ ВЫБОРКИ ЦЕЛЕВОЙ ФУНКЦИИ
Предложены псевдоградиентные алгоритмы оценивания пространственных деформаций изображений с изменяющимся объемом локальной выборки целевой функции, позволяющие при равной точности оценивания существенно сократить вычислительные затраты,по сравнению с алгоритмами с постоянным объемом выборки. Приведены конкретные примеры использования предложенных алгоритмов.
ВВЕДЕНИЕ
При оценивании параметров взаимных пространственных деформаций (ПД) двух изображений г1 - {г^} я г2={г!2)}, заданных на п -мерной
Прямоугольной сетке П:{7 ~ 0"|»Л»—»л)> хорошо себя зарекомендовали псевдоградиентные (ПГ) алгоритмы вида [1]
а, = й(_,-лД, (1)
где а - т -мерный вектор оцениваемых параметров; Л, - положительно определенная матрица - матрица усиления; а0 - начальное приближение вектора параметров; |3, - некоторый случайный вектор в пространстве параметров, в среднем составляющий острый угол с точным значением градиента и зависящий, вообще говоря, от предыдущих значений а, и от номера шага г1.
Важнейшим моментом при построении ПГ алгоритмов вида (1) является нахождение ПГ заданной целевой функции (ЦФ) ¿^(а^,!^), где
1В{ — )} ~ локальная выборка ЦФ на г-й итерации; |?(|)(/„а)} -
непрерывное изображение, полученное из г1 с помощью некоторой интерполяции. В [2] показано, что при выборе в качестве ЦФ минимума среднего квадрата межкадровой разности (СКМР) приходим к ПГ
= .1 (^«(Л.^-^^Ц.а)/^ , (2)
при выборе максимума выборочного коэффициента межкадровой корреляции (ВКМК)-кПГ
Щ . -Vtfa.Z J * - I ф&ЩьЩ/Ц Ь)
АЛГОРИТМЫ С ИЗМЕНЯЮЩИМСЯ ОЬЪЬМиМ ЛОКАПЬНОЙ
ВЫБОРКИ
В ряде случаев для обеспечения заданной скорости сходимости ГП алгоритмов cpctiyéícjt большой объем f локальной выборки
/„, '{¿y^ijiA i)¡ ц«ч i, t» w c;íi. '>ro характерно особенно при
минимизации Bk'MK, например, при требовании достижения нужной томности оценок параметров а м относительно небольшое число итераций Ш алгоритма или ограниченное машинное время. Увеличение и может испольаонат ься и /ин борьбы с Локальнччи экстремумами ЦФ. В ряде случаев совместно с задачей оценивания 1ГД решается и задача иденшфнкации (распознавания) с решавшшм правилом, основанным на значениях НФ. Например, при решении задачи поиска на опорном изображении положения фрагмента, имеющего по отношению к опорному изображению кроме ПД еще и близкие к пиленным яркоегние искажения, критерием соответстши может служить некоторое значсинс выборочного коэффициента корреляции между фрагментом и необразованным с учетом поиученнмх оценок о опорным изображением При зтом для достижения высокой доверительной вероятности гр\^уютея большие значения ц, которые не оправданы в процессе сходимости оценок о В таких ситуациях целесообразно использование переменного значения w , величина которою в ходе раооты ГП алгоритма автоматически регулируется и на каждой итералии мимимилмм дш достижения некоторою критерия. Рассмотрим несколько примеров гнч гробниц II» алгоригмов, максимизирующих ВКМК н реализующих указанный подход.
В качестве величины, определяющей значение ц, на f-й итерации,
выберем лычепне г/ I оценки ЦФ р. Тогда в качестве III ЦФ
целесообразно использовагь (1), дополнив его знаковой функцией дня обеспечения устойчивости оценок параметров a в условиях шумов.
/ *
где ■ среднее значение отсчетов [zj J е Zñl,
Зададим следующее правило формирования ц, на каждой итерации итерация выполняется, если значение ЦФ q (ц() j </,( /„, .<«, ,,)!,) при
'¿щ < меньше хотя бы одного из значений q , (ц,) (при
и - {^¿"U)}) и « (р,J (при - I)}где
2 (у,,^ |f...,û, *Аа ), Лв >0 - приращение пзрпмегра
«., выбранное для оценки производной в (3).
Тогда III алгоршм с изменяющимся обьгмом локальной выборки ЦФ для параметра сх, может Оы гь 1аписан в »иле
¿ч ^лМи»)« И
где
М,
Ми,)
>ч. ) и Я (ц, ) < max(<7,, ( , дГщ})
«ПГ (</<р(й()>тах(^/, - 1, егли <<?,Л)Л (</,>,)< )):
№
<7м, (»',). «Ит« W Wn« выбирается. например. ИТ условии
обсепечиши заданного доверительного интервала «у» ВКМК Величина изменяется при увеличении ' по некоторому ладанному икону, определяемому особенностями решаемой задачи В частности, может быть выбрано M/mm Иг i)m№ и;,и ^imm " const. Соотношение (6) определяет
пранило формирования проекции 1П' р lu i на ось параметра а1 Условие It/, (u )> m,»x|a,, , ц '| в (5) способствует выходу из локальных экстремумов ЦФ т.к. смена шага II) алгоритма приводит к новой совокупности отсчетов {^"(J,)} локальной ныЬорки ЦФ, и при рандомикнши выбора отсчетом на каждой итерации - к новой совокупности отсчетов jxj (
( фуктурния схема III алгоритма (4) приведена на рис. 1 и содержит ")ункпио1Ш1кный преобразователь, осуществляющий вычисление оценок ИФ ) f (и.) и q к (ц,), блок анализа (БД), формирующий ц и Ми,)
Значение ('■ (и ) определяет направление изменения оценок ti величину
изменения которых задает нелинейный преобразователь \tJ.
Экспериментальные исследования на имити^юьонных и реальных изоОражениях показали высокую х}1п»;ктивность алгоритма (4). Шьем локальной выборки р, резко вофаггал только при небольших
В1
я^ОО
т
А-ЯГ
а
¡,о
->
-» БА
->
Рм
А,:
М
«¡.1-1
¡л
Рис. 1. Структурная схема алгоритма (4)
рассогласованиях е, = а, - а,, . По сравнению со случаем ц = , для достижения той же точности оценок аг вычислительные затраты в зависимости от начального рассогласования ¡а,- - а0] уменьшались на порядок и более.
Рассмотрим еще один эвристический алгоритм с изменяющимся объемом локальной выборки, показавший высокую эффективность при решении задачи поиска фрагмента йа опорном изображении. В этом алгоритме
Щ = Л, рДц,) (7)
используется более простое правило формирования ц,:
^ =
1111к+\,еслид1и1Л^гкр;
где к = 0,(кта1 -кшп)\ гкр - значение выборочного коэффициента корреляции при объеме локальной выборки цтах, дающее возможность с заданной
достоверностью принять решение о соответствии фрагмента некоторой области опорного изображения. Таким образом, на каждой итерации объем локальной выборки вначале равен |1т;п. Если оценка ВКМК меньше гК<?, то
выполняется шаг в соответствии со значением ПГ:
°> = » = (9)
-Ъ если (ц,),
Если же оценка ВКМК превышает гкр) то величина щ к увеличивается до тех пор, пока не выполнится условие либо не достигнет
Рис. 2. Структурная схема алгоритма (7)
величины цтах (после чего принимается решение о соответствии фрагмента найденному положению при значении вектора ПД ам ).
Структурная схема алгоритма (7) при ц, и соответствующих (8) и
(9), приведена на рис. 2. Она содержит функциональные преобразователи, осуществляющие формирование (ц,) и (й^ ^ , релейный
преобразователь, на выходе которого формируется (ЗДц,), нелинейный преобразователь Л,, дигратор и блок формирующий значение в соответствии с (8). Величина \л1к увеличивается до выполнения второго из условий (9), после чего на функциональный преобразователь (мЛ/^ дается разрешение на выполнение итерации.
ПРИМЕР РЕАЛИЗАЦИИ АЛГОРИТМА
В качестве примера приведем результаты, полученные при решении задачи поиска местоположения фрагмента на реальных изображениях оптического диапазона (с радиусом корреляции, равном,примерно,5). На рис. 3 (кривая 1, экспериментальные данные - звездочки) показана усредненная по 800 реализациям зависимость объема ц локальной выборки ЦФ от рассогласования е ц истинного положения центра фрагмента и его оценки при отличии масштаба фрагмента от опорного изображения на 25%, угле поворота ф = 30° и начальном рассогласовании -12. Хорошо видно, что ц возрастает только при относительно небольших е ц. На том же рисунке приведены зависимости номера итерации Г от вц. Кружочки соответствуют
среднему номеру итерации (усредненному по 800 реализациям), кривая 3 отражает математическое ожидание номера итерации, рассчитанное по
930 580
250 Ю2
101
ц. t
10
О <5 ТН U ¿Г- <
N:1 ,3
\—
0.3 2.0 4.0 6.0 8.0 10 12
Рис. 3. Зависимость объема локальной выборки и числа итераций от £ц (1 - зависимость ц от гц; 2 и 3-зависимость t от ец соответственно при ц = var и (i=cohst=250; о - экспериментальные результаты при ц = var)
методике анализа ПГ алгоритмов при конечном числе итераций. При этом использовалась модель гаус^овских изображений с гауссовской же КФ с радиусом корреляции 5 и отношением дисперсии сигнала к дисперсии шума, равном 0,01. Параметры алгоритма и начальные приближения вектора параметров соответствовали экспериментальным. Кривая 2 также получена аналитически и соответствует математическому ожиданию номера итерации для ситуации \i = const = 250. Видно хорошее соответствие экспериментальных и аналитических результатов (кружочки и кривая 3). Алгоритм с ¡л = 250 достигает м|е^| = 0.3 за 580 итераций. Алгоритм с
изменяющимся jn обеспечивает то же качество оценивания при 930 итерациях (кривая 2), но затраты машинного времени оказываются в 9,6 раза ниже.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Таким образом, регулирование объема локальной выборки целевой функции в процессе работы алгоритма позволяет существенно снизить вычислительные затраты. В рассмотренных алгоритмах в качестве целевой функции использовался выборочный коэффициент межкадровой корреляции. Однако изложенные принципы построения псевдоградиентный алгоритмов с регулируемым объемом локальной выборки применимы и при других целевых функциях, в частности, среднем квадрате межкадровой разности.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Цыпкин Я.З. Информационная теория идентификации. М.: Наука. Физматлит, 1995. 336 с.
2. Tachlinskii A.G. Estimation of Geometric Image Distortions in a Sequence of Frames // Pattern Recognition and Image Analysis, Vol.8, № 2,1998. P. 258-259.
Ташлинский Александр Григорьевич, доктор технических наук, действительный член РАЕН. Окончил радиотехнический факультет Ульяновского политехнического института, Профессор кафедры САПР Ульяновского государственного технического университета. Имеет работы в области статистической обработки изображений.
