CC BY
54
Вестник Нижегородского университета им. НИ. Лобачевского, 2014, № 4 (1), с. 245-249
245
МЕХАНИКА
УДК 539.3
ПРЯМОЙ МЕТОД РАСЧЕТА ФОРМЫ ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ МИНИМАЛЬНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ВНЕДРЕНИЮ В ГРУНТОВУЮ СРЕДУ
© 2014 г. В.Л. Котов, Е.Ю. Линник
НИИ механики Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского
Поступила в редакцию 03.03.2014
Рассматривается задача определения формы ударника, обладающего минимальным полным сопротивлением внедрению в грунтовую среду среди тел вращения заданной длины и радиуса поперечного сечения. Численные расчеты проводятся в постановке задачи механики сплошной среды в рамках модели грунтовой среды Григоряна. На основе аппроксимации искомой образующей тела вращения параметрическим полиномом Безье разработан эффективный прямой метод поиска оптимальной формы тела.
Ключевые слова: проникание, грунтовая среда, модель Григоряна, сопротивление, полином Безье, безусловная параметрическая оптимизация.
Введение
Проведение прикладных и фундаментальных исследований нестационарных процессов удара и проникания жестких и деформируемых ударников в грунтовые среды часто приводит к необходимости решения задач оптимизации. Как показывает анализ литературы [1-5], разработка методов построения пространственных форм тел, оптимальных по сопротивлению и/или глубине проникания, в достаточно общей постановке возможна лишь при наличии упрощающих гипотез о характере взаимодействия тела и среды. Для решения указанных задач наибольшее распространение получили приближенные методы, основанные на использовании тех или иных модификаций моделей локального взаимодействия (МЛВ) [5, 6]. В основе МЛВ лежит предположение, что каждый элемент контактной поверхности взаимодействует со средой независимо от других участков тела и действующее контактное давление определяется только нормальной компонентой вектора скорости. Экспериментально и теоретически -сравнением с результатами численных расчетов в осесимметричной постановке на основе модели грунтовой среды Григоряна [7] - показана [8-10] применимость МЛВ к описанию проникания острых конусов. Погрешность МЛВ в определении сил сопротивления применительно к затупленным телам исследована в работах [11,
12] (см. также [13]). На примере задачи поиска оптимального тела вращения заданной длины и площади основания показано, что решение с учетом нелинейных эффектов обтекания в двумерной постановке позволяет существенно уточнить как форму, так и силовые и кинематические характеристики оптимальных затупленных тел при проникании в грунтовые среды. Настоящая работа посвящена развитию методов построения оптимальных форм при движении в грунтовых средах на основе двумерных численных расчетов в рамках модели грунтовой среды Григоряна.
Рассматривается задача поиска оптимальной формы тела заданной длины L и радиуса миделя поперечного сечения R при его проникании в грунтовую среду. Образующая искомого тела вращения в цилиндрической системе координат ROZ (OZ - ось симметрии) описывается выпуклой функцией z = z(r), сила сопротивления внедрению тела в грунт описывается функционалом F(z(r)). Необходимо определить форму образующей, при которой функционал принимает минимальное значение:
F(z(r)) ^ min, 0 < z < L, 0 < r < R. (1)
Постановка и численный метод решения вариационной задачи (1) на основе генетического алгоритма и модели локального взаимодействия изложен в [14], где рассмотрены задачи проникания оптимальных тел в среды типа металла и бетона.
С целью сократить количество вычислений значений функционала Е(х(г)) в данной работе, аналогично [15], выпуклая образующая искомого тела .(г) аппроксимируется параметрическим полиномом в форме Безье [16] второго порядка.
Координаты г, . контрольных точек параметрического полинома Безье при изменении параметра 5 е [0; 1]
(
г (s) z(s)
Л
fr Л
= (1 - s) 0 + 2(1 - s)s
V z0 У
r
V Z1У
+s
r
'2
Vz2 У
. (2)
Кривые Безье обладают свойством монотонности - изменение координат точек на кривой Безье монотонно зависит от изменения координат контрольных точек характеристической ломаной.
С учетом определения функции образующей в форме (2), задача вариационного исчисления (1) сводится к решению задачи параметрической оптимизации:
^(ф^Ф2)^min Ф,- е[Ф-;Ф+L '= 1, 2 (3)
где ф1,ф2 представляют искомые параметры -наклоны сторон характеристической ломаной полинома Безье; ф^, '= 1,2, определяют границы интервалов допустимого изменения параметров.
Аналогично [11, 12], функция отклика в выражении (3) аппроксимируется полиномом второй степени:
P2 (Ф 1, Ф2) = С0 + С1 Ф1 + С2 Ф2 +
+ С12 Ф1 Ф2 + C11Z1 + С22Z2 + (4)
+ ~ Zj Ф2 + ~2 z2 ф1 + ~12 Zj z2,
где zt = 3(ф,.2 - 2/3), i = 1,2, коэффициенты c, определяют линейные эффекты, коэффициенты c,j - эффекты взаимодействия первого порядка. Величины z, в формуле (4) соответствуют выполнению условия ортогональности, благодаря чему все коэффициенты независимы друг от друга [17].
Таким образом, задача безусловной оптимизации сводится к поиску минимума функции двух переменных
Р2(ф1,ф2) ^ min, ф1 е [0; п/2 --q],
Ф2 е[п/2; "лЬ (5)
tg"q = R/L определяется условиями задачи.
Для построения биквадратичного полинома (4) проводится полный факторный эксперимент типа 32. Каждый фактор варьируется от заданного максимального ф+ до минимального значения ф-, i= 1,2, которые в нормированном виде сводятся к интервалу [-1; 1], на каждом уровне кодированные факторы принимают значения в виде набора чисел {-1; 0; 1}.
Решение задачи безусловной оптимизации (5) осуществляется на основе метода, аналогичного методу Бокса-Уилсона [18]. На первом шаге ищется область, содержащая экстремум, на втором шаге осуществляется уточнение положения минимума в новой области и аппроксимация (4) при необходимости перестраивается. Процесс продолжается до достижения необходимой точности.
Значениям функции отклика в различных точках плана соответствуют значения силы сопротивления внедрению в грунтовые среды на квазистационарной стадии внедрения. Деформируемый в процессе проникания грунт описывается в рамках математической модели динамики грунтовой среды Григоряна [7]. Соотношения модели записываются в виде системы дифференциальных уравнений, выражающих законы сохранения массы, импульса и максимальной плотности, достигнутой в процессе активного нагружения грунта, а также уравнений теории пластического течения с условием пластичности Мизеса.
Система дифференциальных уравнений [7] замыкается конечными соотношениями, определяющими давление р и условие пластичности грунтовой среды:
p = P.)H(р. - P)H(Ро - Р) , Ро Л2е
/1(0) -
(1 -м)2
0= 1 -Ро р
2
s,js'J ^ 3^ СТГ = сто + kp ,
(6)
(7)
где обозначено: р0, р и р, - начальная, текущая и максимальная плотности, достигнутые в процессе нагружения, Н - функция Хевисайда, Яу - компоненты девиатора тензора напряжений Коши (по повторяющимся индексам производится суммирование), стт - предел текучести, линейно зависящий от давления. Константа А в формуле (6) близка к скорости распространения плоской волны сжатия в грунте при малых давлениях, X характеризует предельную сжимаемость грунта. Коэффициенты ст0 и к в условии пластичности (7) характеризуют сцепление и внутреннее трение грунта.
На головной части ударника, контактирующей с грунтовой средой, принимается условие «непроницаемости» по нормали со «скольжением по касательной с сухим трением» в соответствии со смешанной моделью трения, на свободных поверхностях грунта и ударника нормальные и касательные напряжения задаются равными нулю. В начальный момент времени напряжения и скорость частиц грунта равны нулю. Внешние границы расчетной области грунта считаются жесткими и отнесены доста-
Таблица
№ шага [ф1; ф1+] [ф2 ; ф2+] Ф1о Ф2,° кН
1 [0о; 55о] [90о; 75о] 13.6 81.4 37.8
2 [0о; 30о] [84о; 81о] 0 82.3 36.6
Рис. 1. Зависимость безразмерной силы сопротивления внедрению от углов наклона ф2 и ф1
точно далеко, чтобы возмущения, отражающиеся от них, не исказили численное решение в области контакта тела и среды. Ударник также считается жестким, двигающимся с постоянной скоростью, равной скорости удара.
Сила сопротивления внедрению рассчитывается численно в рамках методики, основанной на модифицированной схеме Годунова первого порядка точности [19]. Методика реализована в пакете прикладных программ НИИМ ННГУ «Динамика-2» [20]. Применимость известной численной методики и пакета программ к расчету параметров процессов проникания жестких и деформируемых ударников в мягкие грунтовые среды показана ранее [21-23]. Численные расчеты проводятся при следующих значениях параметров [23]: параметры ударной адиабаты А= 455 м/с, А=2.3, р0=1720 кг/м3, ст0=0.01 МПа, к = 0.6 соответствуют сухой песчаной смеси естественного состава, они получены ранее в обращенных экспериментах в скоростном диапазоне 50-350 м/с, тело с размерами Я= 1 см, Ь/Я =у/5 и проникает с постоянной начальной скоростью У0 =400 м/с.
Результаты расчетов, полученные на первом и втором шагах алгоритма расчетов, представлены в таблице.
Как видно из таблицы, уточнение области поиска параметров, доставляющих минимум функции отклика, позволяет снизить величину силы сопротивления внедрению на 3% при существенном изменении оптимальной величины фь
Оценка достоверности приближения (3) проводится следующим образом. При фиксированном оптимальном значении первого параметра ф1=0 проведена серия прямых численных расчетов с изменением второй характеристики ф2, в результате чего определяется величина угла ф2,
при котором достигается минимум функции. Далее аналогичные исследования проводятся при фиксированном значении параметра ф2, равном его оптимальному значению.
На рис. 1 представлены графики зависимости силы сопротивления внедрению, отнесенной к минимальному значению (соответствующее оптимальному телу Fmm= 36.6 кН), от углов наклона ф2 (а) и ф! (б) характеристической ломаной полинома Безье.
Штрихпунктирной линией на рис. 1 обозначена кривая, полученная на первом шаге, а штриховой - на втором шаге. Сплошной линией отмечены результаты численных расчетов.
Как видно из рис. 1, сила сопротивления внедрению, полученная на втором шаге (см. таблицу) хорошо согласуется с результатами численных расчетов и аппроксимируется полиномом второй степени от ф2 (а), она имеет близкую к линейной зависимость от ф1 (б). При изменении параметров образующей в интервалах ф1=0о-21.2о, ф2=79.5о-85.2о (показаны на рис. 1 вертикальными пунктирными линиями) отличие силы сопротивления внедрению от минимального значения не превышает погрешности численных расчетов 5%.
Таким образом, проведено развитие прямого метода поиска оптимальной формы ударника при проникании в грунтовую среду Григоряна. В осесимметричной постановке получена форма оптимального (минимального сопротивления внедрению) тела вращения заданной длины и радиуса миделя поперечного сечения при его движении с постоянной скоростью в сухой песчаной смеси естественного состава.
Работа рекомендована к публикации в журнале по итогам конкурса научных работ аспирантов на получение финансовой поддержки диссертационных исследо-
ваний, выполняемых по приоритетному направлению развития ННГУ как национального исследовательского университета.
Работа выполнена при частичном финансировании в рамках базовой части государственного задания Мин-обрнауки (проект М 2014/134 2226) и в рамках Программы государственной поддержки ведущих научных школ РФ (НШ-593.2014.8) и РФФИ (13-08-00531_а, 14-01-31113-мол_а).
Список литературы
1. Аптуков В.Н., Мурзакаев Р.Т., Фонарев А.В. Прикладная теория проникания. М.: Наука, 1992. 105 с.
2. Высокоскоростное взаимодействие тел / Под ред. В.М. Фомина. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1999. 600 с.
3. Ben-Dor G., Dubinsky A., Elperin T. Ballistic Impact: Recent Advances in Analytical Modeling of Plate Penetration Dynamics - A Review // Applied Mechanics Reviews. 2005. V. 58. P. 355-371.
4. Баженов В.Г., Котов В.Л. Решение задач о наклонном проникании осесимметричных ударников в мягкие грунтовые среды на основе моделей локального взаимодействия // Прикладная математика и механика. 2010. Т. 74. Вып. 3. С. 391-402.
5. Ben-Dor G., Dubinsky A., Elperin T. Shape optimization of high-speed penetrators: a review // Central European Journal Engineering. 2012. № 2(4). P. 473-482.
6. Котов В.Л., Линник Е.Ю. Численный расчет формы тела вращения минимального сопротивления движению в грунтовой среде в рамках модели локального взаимодействия // Проблемы прочности и пластичности: Межвуз. сб. Вып. 75(4). Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2013. С. 57-65.
7. Григорян С. С. Об основных представлениях динамики грунтов // ПММ. 1960. Т. 24. № 6. С. 1057-1072.
8. Котов В.Л., Баландин Вл.В., Линник Е.Ю., Баландин Вл.Вл. Применение модели локального взаимодействия для определения силы сопротивления внедрению ударников в песчаный грунт // Прикладная механика и техническая физика. 2013. Вып. 54. № 4. C. 114-125.
9. Линник Е.Ю. Численное исследование волнового механизма формирования силы сопротивления внедрению тел вращения в грунтовые среды // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2013. № 1(1). С. 164-169.
10. Линник Е. Ю. Определение параметров модели локального взаимодействия при внедрении конических ударников в песчаный грунт // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2014. №1(1). С. 141-147.
11. Баженов В. Г., Котов В. Л., Линник Е. Ю. О моделях расчета форм осесимметричных тел минимального сопротивления при движении в грунтовых
средах // Доклады Академии наук. 2013. Т. 449. № 2. С. 156-159.
12. Баженов В.Г., Баландин В.В., Григорян С.С., Котов В.Л. Анализ моделей расчета движения тел вращения минимального сопротивления в грунтовых средах // ПММ. 2014. Т. 78. Вып. 1. С. 1-10.
13. Котов В.Л., Баландин В.В., Линник Е.Ю., Баландин Вл.В. О применимости модели локального взаимодействия для определения сил сопротивления внедрению сферы в нелинейно-сжимаемый грунт // ВМСС. 2012. Т. 5. № 4. С. 435-442.
14. Баничук Н.В., Иванова С.Ю. Оптимизация формы жесткого тела, внедряющегося в сплошную среду // Проблемы прочности и пластичности: Межвуз. сб. 2007. Вып. 69. С. 47-57.
15. Крайко А.А., Пьянков К.С. Эффективные прямые методы в задачах построения оптимальных аэродинамических форм // ЖВМ и МФ. 2010. Т. 50. № 9. С. 1624-1631.
16. Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и на производстве: Пер. с англ. М.: Мир, 1982. 304 с.
17. Трухин Б.В., Черников А.А. Математические методы планирования и обработка эксперимента: учеб. пособие. Н. Новгород, 1990. 95 с.
18. Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. М.: Наука, 1976. 278 с.
19. Баженов В.Г., Козлов Е.А., Крылов С.В. Численное моделирование нелинейных двумерных задач ударного взаимодействия деформируемых сред и конструкций на основе метода С.К. Годунова // ПППП. Исследование и оптимизация конструкций: Всесоюз. межвуз. сб. Горький: Изд-во ГГУ, 1990. С. 99-106.
20. Баженов В.Г., Зефиров С.В., Кочетков А.В. и др. Пакет программ «Динамика-2» для решения плоских и осесимметричных нелинейных задач нестационарного взаимодействия конструкций со сжимаемыми средами // Мат. моделирование. 2000. Т. 12. № 6. С. 67-72.
21. Баженов В.Г., Котов В.Л., Крылов С.В. и др. Экспериментально-теоретический анализ нестационарных процессов взаимодействия деформируемых ударников с грунтовой средой // Прикладная механика и техническая физика. 2001. Т. 42. № 6. С. 190-198.
22. Баженов В.Г., Брагов А.М., Котов В.Л., Кочетков А. В. Исследование удара и проникания тел вращения в мягкий грунт // Прикладная математика и механика. 2003. № 6. С. 686-697.
23. Баженов В.Г., Брагов А.М., Котов В.Л. Экспериментально-теоретические исследования процессов проникания жестких ударников и идентификация свойств грунтовых сред // Прикладная механика и техническая физика. 2009. Т. 50. № 6. С. 115-124.
DIRECT METHOD TO CALCULATE THE GENERATRIX SHAPE OF A BODY OF REVOLUTION WITH MINIMUM DRAG PENETRATING INTO THE SOIL
V.L. Kotov, E.Yu. Linnik
The article considers the problem of determining the shape of a projectile with minimum drag penetrating into the soil as compared with other bodies of revolution of a given length and a cross-section radius. Calculations are carried out according to numerical techniques in continuum mechanics in the framework of the Grigoryan soil model. An effective direct method of finding an optimal body shape has been developed on the basis of the approximation of the desired generatrix shape of a body of revolution by the Bezier parametric polynomial curve.
Keywords: penetration, soil, Grigoryan model, drag, Bezier polynomial, unconditional parametric optimization.
References
1. Aptukov V.N., Murzakaev P.T., Fonapev A.V. Pri-kladnaya teoriya pponikaniya. M.: Nauka, 1992. 105 s.
2. Vysokoskorostnoe vzaimodejstvie tel / Pod red. V.M. Fomina. Novosibirsk: Izd-vo SO RAN, 1999. 600 s.
3. Ben-Dor G., Dubinsky A., Elperin T. Ballistic Impact: Recent Advances in Analytical Modeling of Plate Penetration Dynamics - A Review // Applied Mechanics Reviews. 2005. V. 58. P. 355-371.
4. Bazhenov V.G., Kotov V.L. Reshenie zadach o naklonnom pronikanii osesimmetrichnyh udarnikov v myagkie gruntovye sredy na osnove modelej loka-l'nogo vzaimodejstviya // Prikladnaya matematika i mekhanika. 2010. T. 74. Vyp. 3. S. 391-402.
5. Ben-Dor G., Dubinsky A., Elperin T. Shape optimization of high-speed penetrators: a review // Central European Journal Engineering. 2012. № 2(4). P. 473-482.
6. Kotov V.L., Linnik E.Yu. Chislennyj raschet formy tela vrashcheniya minimal'nogo soprotivleniya dvizheniyu v gruntovoj srede v ramkah modeli loka-l'nogo vzaimodejstviya // Problemy prochnosti i plas-tichnosti: Mezhvuz. sb. Vyp. 75(4). N. Novgorod: Izd-vo NNGU, 2013. S. 57-65.
7. Grigoryan S.S. Ob osnovnyh predstavleniyah dinamiki gruntov // PMM. 1960. T. 24. № 6. S. 10571072.
8. Kotov V.L., Balandin Vl.V., Linnik E.Yu., Bal-andin Vl.Vl. Primenenie modeli lokal'nogo vzaimodejstviya dlya opredeleniya sily soprotivleniya vnedreniyu udarnikov v peschanyj grunt // Prikladnaya mekhanika i tekhnicheskaya fizika. 2013. Vyp. 54. № 4. C. 114-125.
9. Linnik E.Yu. Chislennoe issledovanie volnovogo mekhanizma formirovaniya sily sopro-tivleniya vnedreniyu tel vrashcheniya v gruntovye sredy // Vestnik Nizhegorodskogo universiteta im. N.I. Lobachevskogo. 2013. № 1(1). S. 164-169.
10. Linnik E.Yu. Opredelenie parametrov modeli lokal'nogo vzaimodejstviya pri vnedrenii konicheskih udarnikov v peschanyj grunt // Vestnik Nizhego-rodskogo universiteta im. N.I. Lobachevskogo. 2014. № 1(1). S. 141-147.
11. Bazhenov V.G., Kotov V.L., Linnik E.Yu. O modelyah rascheta form osesimmetrichnyh tel mini-mal'nogo soprotivleniya pri dvizhenii v gruntovyh sredah // Doklady Akademii nauk. 2013. T. 449. № 2. S. 156-159.
12. Bazhenov V.G., Balandin V.V., Grigoryan S.S., Kotov V.L. Analiz modelej rascheta dvizheniya
tel vrashcheniya minimal'nogo soprotivleniya v gruntovyh sredah // PMM. 2014. T. 78. Vyp. 1. S. 110.
13. Kotov V.L., Balandin V.V., Linnik E.Yu., Balandin Vl.V. O primenimosti modeli lokal'nogo vzaimodejstviya dlya opredeleniya sil soprotivleniya vnedreniyu sfery v nelinejno-szhimaemyj grunt // VMSS. 2012. T. 5. № 4. S. 435-442.
14. Banichuk N.V., Ivanova S.Yu. Optimizaciya formy zhestkogo tela, vnedryayushchegosya v splosh-nuyu sredu // Problemy prochnosti i plastichnosti: Mezhvuz. sb. 2007. Vyp. 69. S. 47-57.
15. Krajko A.A., P'yankov K.S. Ehffektivnye pryamye metody v zadachah postroeniya optimal'nyh aehrodinamicheskih form // ZhVM i MF. 2010. T. 50. № 9. S. 1624-1631.
16. Foks A., Pratt M. Vychislitel'naya geomet-riya. Primenenie v proektirovanii i na proizvodstve: Per. s angl. M.: Mir, 1982. 304 s.
17. Truhin B.V., Chernikov A.A. Matematiche-skie metody planirovaniya i obrabotka ehksperimenta: ucheb. posobie. N. Novgorod, 1990. 95 s.
18. Adler Yu.P., Markova E.V., Granovskij Yu.V. Planirovanie ehksperimenta pri poiske optimal'nyh uslovij. M.: Nauka, 1976. 278 s.
19. Bazhenov V.G., Kozlov E.A., Krylov S.V. Chislennoe modelirovanie nelinejnyh dvumernyh zadach udarnogo vzaimodejstviya deformiruemyh sred i kon-strukcij na osnove metoda S.K. Godunova // PPPP. Is-sledovanie i optimizaciya konstrukcij: Vsesoyuz. mezhvuz. sb. Gor'kij: Izd-vo GGU, 1990. S. 99-106.
20. Bazhenov V.G., Zefirov S.V., Kochetkov A.V. i dr. Paket programm «Dinamika-2» dlya resheniya ploskih i osesimmetrichnyh nelinejnyh zadach nes-tacionarnogo vzaimodejstviya konstrukcij so szhimaemymi sredami // Mat. modelirovame. 2000. T. 12. № 6. S. 67-72.
21. Bazhenov V.G., Kotov V.L., Krylov S.V. i dr. Ehksperimental'no-teoreticheskij analiz nestacionarn-yh processov vzaimodejstviya deformiruemyh udar-nikov s gruntovoj sredoj // Prikladnaya mekhanika i tekhnicheskaya fizika. 2001. T. 42. № 6. S. 190-198.
22. Bazhenov V.G., Bragov A.M., Kotov V.L., Kochetkov A.V. Issledovanie udara i pronikaniya tel vrashcheniya v myagkij grunt // Prikladnaya matematika i mekhanika. 2003. № 6. S. 686-697.
23. Bazhenov V.G., Bragov A.M., Kotov V.L. Ehksperimental'no-teoreticheskie issledovaniya pro-cessov pronikaniya zhestkih udarnikov i identi-fikaciya svojstv gruntovyh sred // Prikladnaya mek-
hanika i tekhnicheskaya fizika. 2009. T. 50. № 6. S. ii5-i24.
