CC BY
39
____________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Том 156, кн. 2 Физико-математические науки
2014
УДК 539.3
ЧИСЛЕННЫЙ РАСЧЕТ ОПТИМАЛЬНОЙ ФОРМЫ ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ ПРИ ПРОНИКАНИИ В ГРУНТОВЫЕ СРЕДЫ
Е.Ю. Линник
Аннотация
Разработан эффективный метод поиска оптимальной формы тела при проникании в грунтовые среды. Метод основан на аппроксимации искомой образующей тела вращения минимального сопротивления параметрическим полиномом Безье. Численные расчеты проведены в постановке механики сплошной среды при учете ударной сжимаемости и сопротивления сдвигу грунта в рамках модели грунтовой среды Григоряна. Получен диапазон изменения оптимальных форм с допустимой для практического применения погрешностью 5%.
Ключевые слова: проникание, грунтовая среда, модель Григоряна, сопротивление, полином Безье, численный расчет, безусловная оптимизация.
Введение
При решении задач проникания в плотные среды (металл, бетон) широко применяются модели локального взаимодействия [1]. Распространение этого подхода на мягкие грунтовые среды, как показано в работе [2], приводит к возникновению значительной погрешности при определении силы сопротивления внедрению в грунтовую среду по сравнению с двумерными численными расчетами. Следовательно, актуальной является разработка методов решения задачи поиска оптимальной формы с учетом свойств среды в двумерной осесимметричной постановке. В настоящей работе рассматривается прямой метод поиска формы тела, основанный на аппроксимации искомой геометрии выпуклой кривой, при этом требуется, чтобы сила сопротивления внедрению в грунтовую среду принимала минимальное значение. Ранее показано [3, 4], что в осесимметричной задаче «удачной» аппроксимацией формы образующей является параметрический полином в форме Безье, который позволяет качественно описывать геометрию искомой формы при сравнительно небольшом числе параметров. Возможности предложенного метода демонстрируются на примере решения задачи безусловной оптимизации формы осесимметричного жесткого тела при проникании в грунтовые среды при заданных длине и радиусе миделя поперечного сечения.
1. Постановка задачи проникания
Деформируемый в процессе проникания грунт описывается в рамках математической модели динамики грунтовой среды Григоряна [5]. Соотношения модели записываются в цилиндрической системе координат r0z (0z - ось симметрии) в виде системы дифференциальных уравнений, выражающих законы сохранения массы, импульса и максимальной плотности, достигнутой в процессе активного
95
96
Е.Ю. ЛИННИК
нагружения грунта, а также уравнении теории пластического течения с условием пластичности Мизеса
dp di + ‘ p(ur,r + u z,z) - pur r
dur arr — (Tee
P~df arr Г arz,z — ■} r
duz arz
P~di arz,r azz,z — r
dp* dt dP tt. - p*) h f dp\ \dt)'
Dj sij + Asij = 2Geij , i, j = r, z
Sij sj 2 2 < з
d d
(1)
d д
где t - время; — = ——\- иг ——\- uz —— - полная производная по времени; ро,
dt dt dr dz
pup*- начальная, текущая и максимальная плотность, достигнутая в процессе нагружения; щ, aij , sj, ej - компоненты вектора скорости, тензора напряжений Коши и девиаторов тензоров напряжений и скоростей деформаций соответственно,
U(C\ /°> £< 0, П а п
H (С) — < Dj ^ производиая Иуманна; G - модуль сдвига; ат - предел
р> С > °;
текучести; по повторяющимся индексам производится суммирование. Параметр А равен нулю при упругом деформировании и А > 0, если реализуется условие пластичности.
Замыкается система дифференциальных уравнений (1) конечными соотношениями, определяющими давление p и условие пластичности грунтовой среды
р0А2в
p — fi(p,p*)H(p* - p)H(po - p), h(9)
(1 - А0)2’
1 - (2)
p
OT = h{p), h{p) =cr0+ ------r.
1 + kp/ (ам - ao)
Система уравнений (1), (2) динамики грунтовой среды дополняется начальными и краевыми условиями. На головной части ударника, контактирующей с грунтовой средой, принимается условие «непроницаемости» по нормали со «скольжением по касательной с сухим трением» в соответствии со смешанной моделью трения, на свободных поверхностях грунта и ударника нормальные и касательные напряжения задаются равными нулю. В начальный момент времени напряжения и скорость частиц грунта равны нулю. Внешние границы расчетной области грунта считаются жесткими. Ударник также считается жестким, двигающимся с постоянной скоростью, равной скорости удара.
Численная реализация соотношений (1), (2) осуществляется в рамках методики, основанной на модифицированной схеме Годунова и реализованной в пакете прикладных программ НИИМ ИНГУ «Динамика-2» [6].
2. Постановка задачи оптимизации
Рассматривается задача поиска образующей тела вращения заданной длины L и радиуса миделя поперечного сечения R в осесимметричной постановке, для которого сила сопротивления внедрению в грунтовую среду принимает минимальное значение.
ЧИСЛЕННЫЙ РАСЧЕТ ОПТИМАЛЬНОЙ ФОРМЫ
97
Рис. 1. Форма тела вращения
Поиск образующей тела вращения осуществляется в классе выпуклых кривых, ограниченных характеристической ломаной Р0Р1Р2 [7], проходящей через точки Р0 и Р2 (см. рис. 1). В качестве функции, определяющей форму образующей тела, используется полином Безье второго порядка:
r(s) = (1 - s)2ro + 2s(1 - s)ri + s2r2, s e [0, 1], (3)
z(s) = (1 - s)2zo + 2s(1 - s)zi + s2Z2,
где Ti, zi, i = 0,1, 2, являются координатами контрольных точек характеристической ломаной. В силу заданных ограничений на геометрию искомого оптимального тела сила сопротивления внедрения зависит от двух параметров уд, у2, которые представляют наклон сторон характеристической ломаной Р0Р1Р2 полиномов Безье.
Далее ставится следующая задача оптимизации:
F(У1,У2) ^ min, yi e [0,п/2 - п], У2 e [п/2,П] (4)
где F(уд, ^2) — целевая функция, соответствующая величине силы сопротивления внедрению и определяемая в численных расчетах (1), (2) с использованием пакета прикладных программ «Динамика-2».
Для эффективного решения поставленной задачи (4) целевая функция (величина силы сопротивления внедрению в грунтовую среду на квазистационарной стадии внедрения после погружения головной части ударника) представляется в виде биквадратичной зависимости от двух параметров:
L2(yi, У2) = Со + ciyi + С2У2 + С3У1У2 + С4^2 + С5у2 + Св^2У2 + С7У1 у2 + С8у2у2- (5)
Численные расчеты проводятся в соответствии с оптимальным планом полного факторного эксперимента типа 32 (8] - трехуровневого ортогонального плана с 9 точками. Для удобства представления искомые параметры уд, у2 принадлежат [-1,1] и на каждом уровне принимают кодированные значения в виде набора чисел {-1,0,1}. Коэффициенты ci, i = 0,..., 8, полинома (5) определяются интерполированием численных значений функции в области изменения параметров методом наименьших квадратов.
98
Е.Ю. ЛИННИК
Рис. 2. Зависимость силы сопротивления внедрению от параметров образующей
Таким образом, задача (4) поиска образующей тела вращения минимального сопротивления сводится к решению следующей задачи безусловной оптимизации для полинома (5):
■Ыуъуд) ^ min, у е [-1,1], у е [-1,1]. (6)
3. Результаты численных расчетов
Расчеты проводились при следующих значениях параметров. Параметры ударной адиабаты: A = 455 м/с, А = 2.3, р0 = 1720 кг/м3, сто = 0.01 МПа, стм = = 275 Мпа, ц = 0.6 - соответствуют сухой песчаной смеси естественного состава, получены ранее в обращенных экспериментах в скоростном диапазоне 50-350 м/с [9]. Тело вращения имеет размеры R = 1 см, L/R= а/5 и проникает с постоянной начальной скоростью v0 = 400 м/с.
На начальном этапе в качестве диапазона изменения наклонов сторон характеристической ломаной полиномов Безье берется область [0°, 55°] х [90°, 75°], которая считается первым приближением (приближением I). В данной области сила сопротивления внедрению минимальна при у>1 = 13.6% у2 = 81.4° и принимает значение L2(y>1, у2) =38 кН. Контрольный расчет для первого приближения дает значение F(у1,у2) = 37.8 кН.
Для уточнения решения задачи оптимизации (6) центр плана переносится в точку (у>1, <у\), соответствующую найденным величинам варьируемых параметров. В полученной области [0°, 30°] х [84°, 81°], которая является вторым приближением (приближением II), аналогично проводится ряд численных расчетов в соответствии с оптимальным планом полного факторного эксперимента типа 32 . В результате определена величина силы сопротивления внедрению при yl = 0°, у2 = 82.3°, равная F(у^, у2) = 36.6 кН. Таким образом, уточнение области дает уменьшение минимального значения силы сопротивления на 3% при существенном изменении параметров yi, у2 •
Оценка достоверности приближений (5) проводится следующим образом. При фиксированном значении первого параметра у1 = 0° проведена серия прямых численных расчетов с изменением второй характеристики у2. На рис. 2 показаны зависимости силы сопротивления внедрению от параметра у2, отнесенные к минимальным значениям силы для каждого приближения. Штрих-пунктирной линией обозначена кривая, соответствующая первому приближению, а штриховой - второму приближению. Сплошной линией отмечены результаты численных расчетов, которые хорошо аппроксимируются полиномом второй степени в области минимума.
Как видно из рис. 2, минимум функции достигается при у2 = 82.3°, при этом второе приближение дает близкие результаты по отношению к численным расче-
там.
ЧИСЛЕННЫЙ РАСЧЕТ ОПТИМАЛЬНОЙ ФОРМЫ
99
Рис. 3. Зависимость силы сопротивления внедрению от параметров образующей
Рис. 4. Область изменения параметров
Аналогичные исследования проводятся далее при фиксированном значении второго параметра а2 = А2 = 82.3°. Зависимость силы сопротивления внедрению от параметра у>1 показаны на рис. 3. В этом случае второе приближение, отмеченное штриховой линией, также дает близкие к численным результаты, которые аппроксимируются прямой, выходящей из нуля.
Таким образом, минимум силы сопротивления внедрению в грунтовую среду при проникании ударника с постоянной скоростью в сухую песчаную смесь естественного состава в рамках грунтовой среды Григоряна достигается при ф1 = 0°, А2 = 82.3°.
Отметим, что на практике значения силы сопротивления определяются с некоторой погрешностью, обусловленной погрешностями эксперимента и/или численного расчета, разбросом физико-механических свойств грунта и другими факторами. С учетом данной погрешности оптимальное значение силы может достигаться и при других значениях параметров, определяющих форму образующей тела вращения минимального сопротивления внедрению в грунтовую среду.
На рис. 4 показаны области допустимого изменения параметров образующей (3), которые приводят к отличиям силы сопротивления внедрения от минимального значения L2() не более чем на 5%. Сплошная линия на рис. 4 соответствует результатам численных расчетов, штрих-пунктирная линия определена в рамках приближения I, штриховая линия - в рамках приближения II.
На рис. 5 сплошной линией показана форма оптимального тела, определенная в численных расчетах. Штрих-пунктирной и штриховой линиями отмечены образующие, соответствующие граничным значениям области допустимого изменения параметров образующей (сплошная линия на рис. 4). Видно, что оптимальные тела в полученном диапазоне имеют затупленную форму.
100
Е.Ю. ЛИННИК
Рис. 5. Формы тел вращения минимального сопротивления
Рис. 6. Зависимость силы сопротивления внедрению от глубины проникания
Для рассчитанных форм получены соответствующие распределения силы сопротивления внедрению в грунтовую среду от глубины проникания. На рис. 6 сила сопротивления внедрению в грунтовую среду для оптимального тела обозначена сплошной линией, при этом графики сил, соответствующих крайним положениям форм, лежат выше оптимальной на участке, когда достигается квазистационарная стадия внедрения. Различия в силах на квазистационарной стадии внедрения не превосходят 5%.
Заключение
В работе исследован метод поиска оптимальных форм тел вращения минимального сопротивления внедрению в грунтовую среду в осесимметричной постановке в рамках модели грунтовой среды Григоряна, основанный на аппроксимации образующей тела выпуклой кривой. В результате получен класс затупленных форм тел вращения минимального сопротивления с допустимой для практического применения погрешностью, составляющей 5% от величины силы сопротивления внедрению в грунтовую среду на квазистационарной стадии внедрении.
Автор выражает благодарность И.Б. Бадриеву за внимание к работе и В.Л. Котову за постановку задачи и обсуждение результатов.
Работа выполнена в рамках Программы по государственной поддержки ведущих научных школ РФ (НПЗ-593.2014.8) и РФФИ (проекты JY4 13-08-00531 а, 14-01-31113-мол _ а).
ЧИСЛЕННЫЙ РАСЧЕТ ОПТИМАЛЬНОЙ ФОРМЫ
101
Summary
Е. Yu. Linnik. Numerical Calculation of the Optimum Shape of a Body of Revolution at Its Penetration into Soil Media.
An efficient method for finding the optimum shape of a body penetrating into soil media has been developed. The method is based on an approximation of the required generator of a body of revolution with minimum penetration resistance by a parametric Bezier polynomial. The numerical calculations have been carried out in the formulation of continuum mechanics, taking into account shock compressibility and soil shear strength within Grigoryan’s model of a soil medium. The range of the optimum shapes with a permissible (for practical application) error of 5% has been obtained.
Keywords: penetration, soil medium, Grigoryan’s model, resistance, Bezier polynomial, numerical calculation, unconstrained optimization.
Литература
1. Баженов В.Г., Котов В.Л., Линии к Е.Ю. О моделях расчета форм осесимметричных тел минимального сопротивления при движении в грунтовых средах // Докл. РАН. -2012. - Т. 449, № 2. - С. 156-159.
2. Котов В.Л., Баландин Вл.В., Линии к Е.Ю., Баландин Вл.Вл. О применимости модели локального взаимодействия для определения сил сопротивления внедрению сферы в нелинейно-сжимаемый грунт // Вычисл. механика сплошных сред. - 2012. -Т. 5, № 4. - С. 435-442.
3. Линии к Е.Ю. Численное моделирование удара и проникания в мягкие грунтовые среды оптимальных тел вращения // Труды Матем. центра имени Н. И. Лобачевского. - Казань: Казан, матем. о-во, 2013. - Т. 47: Материалы XII Всерос. молод, шк.-конф. «Лобачевские чтения - 2013». - С. 103-105.
4. Крайко А.А., Пъянков К.С. Эффективные прямые методы в задачах построения оптимальных аэродинамических форм // Жури, вычисл. матем. и матем. физики. -2010. - Т. 50, № 9. - С. 1624-1631.
5. Григорян С.С. Об основных представлениях динамики грунтов // Прикл. матем и механика. - 1960. - Т. 24, № 6. - С. 1057-1072.
6. Баженов В.Г., Зефиров С.В., Кочетков А.В., Крылов С.В., Фельдгун В.Р. Пакет программ «Динамика-2» для решения плоских и осесимметричных нелинейных задач нестационарного взаимодействия конструкций со сжимаемыми средами // Матем. моделирование. - 2000. - Т. 12, № 6. - С. 67-72.
7. Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и на производстве / Пер. с англ. - М.: Мир, 1982. - 304 с.
8. Трухин Б.В., Черников А.А. Математические методы планирования и обработка эксперимента: учеб, пособие. - Н. Новгород, 1990. - 95 с.
9. Котов В.Л., Баландин Вл.В., Линии к Е.Ю., Баландин Вл.Вл. Применение модели локального взаимодействия для определения силы сопротивления внедрению ударников в песчаный грунт // Прикл. механика и техн. физика. - 2013. - Т. 54, JV® 4. -С. 114-125.
Поступила в редакцию
19.11.13
Линник Елена Юрьевна - аспирант кафедры численное моделирование физикомеханических процессов, Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского, г. Нижний Новгород, Россия.
E-mail: ElenkaLinnik@gmail.сот
