Пружна рівновага тіла з відносно жорстким включенням під дією однорідного Нагрівання та тривісного розтягу Текст научной статьи по специальности «Математика»

5. ШФОРМАЩЙШ ТЕХНОЛОГИ

ГАЛУЗ1

УДК 539.3 Проф. М.М. Стадный, д-р техн. наук - НЛТУ Украти, м. Львiв

ПРУЖНА Р1ВНОВАГА Т1ЛА З В1ДНОСНО ЖОРСТКИМ ВКЛЮЧЕНИЯМ П1Д Д1СЮ ОДНОР1ДНОГО НАГР1ВАННЯ

ТА ТРИВ1СНОГО РОЗТЯГУ

Отримано розв'язок задачi теорп пружностi для простору з тонким вщносно жорстким включенням пiд дieю температури i тривiсного розтягу-стиску. Розв'язок задачi зведено до системи двох штегродиференщальних рiвнянь. Для едшсощально-го включення отримано формули для обчислення концентрацп напружень у матриц та у включенш.

Prof. M.M. Stadnyk - NUFWT of Ukraine, Lviv

A thin relatively rigid inclusion in elastic body under steady heating and three-axial tension

The solution of elastic problem for the space with a thin relatively rigid inclusion under steady heating and three-axial tension is obtained. The problem is reduced to a system of two integro-differential equations. The formulae for stress concentration both in a matrix and in an inclusion are obtained in the case of ellipsoidal form of inclusion.

Постановка i розв'язок задачь Нехай пружне тшо на безмежност розтягуеться взаемоперпендикулярними р1вном1рно розподшеними зусилля-ми p1, p2, p3. Декартову систему координат Oxyz виберемо так, щоби ос Ox,

Oy, Oz були паралельними вщповщно до зусиль p1, p2, p3. Кр1м цього, тшо зазнае однорщного нагр1ву (охолодження) вщ температури T(1) до T(2), тобто Tq = T(2) - T(1). У тш розмщено пружне вщносно жорстке (1 < E1/ E = ; E, E1 - модул1 Юнга матрищ та включення вщповщно) елшсощальне включення, яке обмежене поверхнею x2 / a2 + y2 / b2 + z2 / c2 = 1, (a, b □ c). Вважаемо,

що на границ роздшу основного матер1алу та включення юнуе щеальний тепловий контакт. Задача полягае у встановленш напружень у включенш та концентрацп напружень у матрищ бшя нього.

Розв'язок задач! на основ! математично! модел1 включення [1] зво-диться до системи двох сингулярних штегро-диференщальних р1внянь:

\\[аzx ]. ln (x -£ + R )d£dn+ D^-, JJ[>zv I."

S OxOy S

2nG

dx2 dy

2

-2 p3

Gu1d2 - G1ud5 1 ( JJ^-.-W

p-Mp2 + .

d4

G1Gd2d4 Gd2

Ы

R

dd (p1 + p2))+ 2 (3 + ^1 )Tq (a -a)

• ln(x-£ + R)d£dn+-^ J [¿%zx]dx + D3Ap^- (1)

hG1 -a S R Gd 2

V J

d4

2пО

г ^ \ д2

ЯК]* (у-п +Я 02~2]

д д 2

ч ду2 дх2 у

\ у \йг]

■ 1п (у -п+я )а^ап+— | _< ] *ау+вЩ—^а^ап =

к(\ -Ь 8Я

рзм 0 2 - (,5 \ ( аа (р\+р2) ---2рз—^--Р2-,Р\ +-^-

а4

(а2 с\за2а4 (а2

+

У

+ 2(3 + М)(а, -а) + (х,у) [ - = 0,

а 4

х2 у2 / х2 у2 д2 д2

де: Б - елiптичнa область —+^-2 < \; к = сА \ —2- ? ; л = —2 +—

а2 Ь2 \ а2 Ь2 дх ду2

я = Мх+(у-п)); В = ,аз(-К(ц ; В2 = 1,аз(+а-а5К°\;

^ } уу } (аа 2 8пвхоаа Вз = а3(\ +,(,(; (=-Е-; (=:Ег; а\ = \-,; а2 = \+,; аз = \-2,;

2п(\а\а4 2а2 2а5 а4 = \-; а5 = \ + ,; к = 3-4,; ,,, та а,а\ - вщповщно коефщенти Пуассона та лшшного теплового розширення матерiалiв матриц i включення; \<-х ]*, _< ]*, \й2 ]* - невiдомi стрибки збурених (викликаних включенням)

дотичних напружень та нормальних змiщень берегiв трiщини [, на яких дь ють навантаження, знесеш з поверхонь включення - = ±к; А\, А2 - довiльнi

сталi. У рiвняннях (\) враховано, що напружено-деформiвний стан <г°, и0 в од-

норiдному тiлi визначаеться поданнями:

£И. =[Р(Р1+Р2у + аТ(). ^ =(Р2-,Р3 + Р))+ д. 2

дх оа2 ду оа2

\и0] = С(РзР\ + Р2) + 2аа2(Т0) \ х2 у2 ; ( _о ) = 2 Р

] *= (а; V- а2 - ь2 ' (< )*=2рз'

де \В]*= В+- В-; (В)*= В + + В-, "+" i " -" означають, що значення величини

В± береться вщповщно на поверхнях ±к. Тензор напружень <г i вектор змь щень и у тш з включенням згiдно з принципом суперпозицп подамо сшввщ-ношеннями:

< = <<0 + <; и = и0 + и . (3)

Оскшьки розглядаемо вiдносно жорстке (\ < е <да) включення, то вва-

жатимемо, що основними параметрами, як характеризують напружено-де-формiвний стан у такому включенш, будуть невiдомi стрибки напружень \<-х] *, ] * • Вони повиннi задовольняти умову

\ё-х ]*=\_<%-у ]*= 0, (4)

якщо е = \ , = ,, а\ =а .

Стрибок змщень [йz ]* для такого включення вважатимемо вщомим. Вiн мае задовольняти умови:

а) [йz] *= 0, якщо е = 1, ¡\ = л, а\ = а ; (5)

б) [йz]*+[й°]*= 0 ^ [йz]*=_[й°]*, якщо е^-да, ¡\ = 0, а\ = 0. (6)

Враховуючи, що для стрибка змщень [йz ]* вiдомi крайнi значення (5),

(6) користуючись iнтерполяцiйним пiдходом, для наближеного визначення [йz ]* одержимо подання

< е < да. (7)

Г~1 ^ [, У2 П с(РЪ-л(Р\ + Р2) + 2Т0^2а)(0 _С\) й].=^_ _ ^ с\=-^-'

Розв'язок системи рiвнянь (\) шукатимемо у такому виглядг

\cTzx —-; \р*у ] *= I С2У—-, (8)

V а2 ь2 V а2 ь2

де С2, С3 - невiдомi сталi.

Шдставляючи вирази (7), (8) у рiвняння (\) для знаходження С2,С3, одержимо такi формули:

С2=(мг+(р\+Р2) _ (Р\ _ Р2) ]; Сз = ¡¿2+й, (9)

а 2d202 ^ еМ^

2 У

+

де

= р3 [еМ^2 (леd2 (3 + л\)_ d5 (лd5 + 2л\)) + Е (к)(d5 _еd2 )(еd2d3 + )] +2T0Gd2 [Ле2^22 (3 + л\ )(а\ _а) + аE(k)(d2dзе + ¡^5 )(5 _еd2 ); 02 = Е (к _ кd2е') _ 2Лd\d4d5;

03 = d\ (3 + л)d4d5 — (3 + л\)^2е _ 2лЕ(к) (d5 _еd2)(еd2d3 + ¡?5) |; ^ d\d2еЛ У

2d\d4 (Е( k)еd2 + Лd5)_ Е2 (к)( 2л^5 + еd2 (d4 _ d5к)))

04=d2 ( е *-2 (е (к е+м)-;

П

= ( Р2 _ Р\)(е2 _ d5 ) . Е (к)= Ь \ _ к 2 §1П2 $ ' ^ (к)= а 2Е ( к )_ Ь ^ ( к ) . 05 Ь (Е (k) + Лd5); Е (к) 81П Ь2 (к) а 2к 2 ;

П

' (к ; к2=^ м=с

0 \Д _ к $тг0 а с

Довiльнi стал А\, А2 у рiвняннях (!) вибрано такими:

А = -Р3Л + Р\(2 + л) + Р2 , А2 = _Р3Л + Р2(2 + л) + Р\ (\0)

Gld2 Gld2

щоби розв'язок (8) задовольняв частковий випадок задачi при е = 1, ¡1 = л, а\ = а (умова (4)). B^ip Ab A2 у виглядi (10) означае, що стрибки напружень в однородному тiлi ]*, ]* виражаються такими спiввiдношеннями:

Г 0 J = cx (pi (2 + л) + Р2 - Рзл) _ 0 J = су (Р2 (2 + л) + pi- Рзл)

\_Gzx ]* = I-2-2 ' Lazy J* = I-2-2 ■

Анашзуючи вирази (8), (9) бачимо, що при е = 1, ¡1 = л, а1 = а задо-вольняеться умова (4), а при е^да, л = 0, а1 = 0 маемо

2bx

[azx ] ^ =----2--'[ Рз (E (k)- 3Л d1*) + 2T0Gd2a (E (k) + 3d^) +

a 2К (k )J1 - aX^ - ^

+(Р1 + Р2)) 3 ^dj2-¡d3E (k )J-(Р2 - Р1)(Е (k) + d3F2 (k ))J; [<JzyJ, =--2-2 ГР(E(k) - 3л Л + 2TGd2a (3E(k) + + (11)

* ьк(k^1 -J-

+(Р1 + Р2))■^d2-¡эЕ(k)] + 2 d2E(i) ((2 -Р1 )(a2E(k) + d3b2F1 (k)) V 2 у 2a E (k)

F1 (k )=1 (K (k)-E (k ))■

d2A

k2

Якщо с ^ 0 iз (11) отримуемо спiввiдношення для пластинчастого абсолютно жорсткого елштичного включення:

bx г~

[o-zx]* =-1-2-2 [-6+ 12T)Gd2аd1 + 3df (p1 + p2)-

a2d2kE (k 1 - ^ - £

d2

■(Р2 - Р1 )( (k) + d3F> (k ))];

E (k)

V ' (12)

\_(%zy ] * =-y-2-- [-6 Рз6лdl + 12T)Gd2ad1 + 3d12 (p1 + p2) +

' x2 y

bd2KE (k )J1 - -2 -

b2

d2 +- 2

- (p2 - Р1) (d1a 2E (k) + d3b2F1 (k))"

a 2E (k)

з якого при T0 = 0, a = b (E(k) = п/2) випливае вiдомий частковий результат

[2, 3] для пластинчастого дископодiбного абсолютно жорсткого включення.

На основi сшввщношень (7), (8), (9) i даних [1] для обчислення напружень у включенш матимемо формули:

а у* =

( C2d3a 2E ( k ) + d3b2Q5F2 ( k ) — 2GC1E ( k ))

ax

4bd1

= -JL J [ax ]. dx = aL^Cl + ( 2 + j P — PjJ ;

2h J 2b 2d2

+ Pi;

(13)

а

zz

—-1-ÍЫ.dz = +(2JpZ]J, (x,y). s.

2h —b L J 2 2d2 v 7

Пiдстaвивши y виpaзи (13) спiввiдношення (7), (9), маемо подання

** = 4Ёш2 2 + sAd2 2 2 + P2 ) + Q (P2 - P1) —

-tet""^! (P3- JPl + P2) + 2TGd— sd2) + d3bF2(kQ + P3;

2dlAsd2 4dl

ax

А

2d2Q2 А

а

ZZ

2d2Q2

2Ql sAd2

' 2Ql sAd2

+ (Pl + P2 )Q3 +(P2 — Pl )Q4

+

+ (Pl + P2 )Q3 +(P2 — Pl )

Q4 +

Pl (2 + j) + P2 — P3J . 2d2

d2Q2 (sd2 — d5) sd2E (k ) +Ad5

(14)

+

у у

+

P2 (2 + j) + P1 — P3J S,

2d2

як виpажають нaпpyження в елiпсоïдaльномy пpyжномy (1 < s < да ) включенш.

Як бачимо, щ нaпpyження е сталими, що вiдповiдaе вiдомiй теоpемi [4]. У чaстковомy випaдкy ^и s ^да, j = О, а1 = О iз (14) отpимyемо фоpмyли:

а*

[ P3 (4dlE (k ) — 3d3AjJ + dl (( + p2 ) ) 2 Ad3 — 4 jE (k )j —

d2d3A

(k) (P2 — Pl )(h (k ) — 2F2 (k ))]+ G)(4dlE (k ) + 3d3A) + P3;

2E

Oxx =

1 ( 3

-——— [P3 (d3E(k) — 3jAdl) + (( + P2) -Adf — JE(k)

а^кЕ ( k ) V 2

Ad2 2E (k )

•(P2 — Pl )( (k ) + d3F2 (k ))] + P1 (2 + J + P2 — P3J +KT)(d3E (k ) + 3dlA);

2u2 kE ( k )

1 ( 3

ayy = ^—ГP3 (d3E(k) — 3jAdl) + (p + p2) -Adf — JE(k) d2kE ( k ) V 2 у

+

+

Ad2

2a 2E (k )

( p2 — Pl )(dla 2E (k ) + d3b2Fl (k ))"

+ P2 (2 + j) + Pl— P3J + 2d2

+^«(e(k) + 3dlA) ; (x,y).S,

kE (k ~.....v--/-- (15)

для обчислення нaпpyжень в абсолютно жоpсткомy елiпсоïдaльномy включеннi.

Якщо а = Ь iз (15), отримуемо спiввiдношення для обчислення напру-жень в абсолютно жорсткому сфероидальному включенш. Аналiз виразiв (15) показуе, що при а = Ь, А ^да (випадок пластинчастого абсолютно жорсткого дископодiбного включення) напруження <хх ^ да i <уу ^да, а <77 набувае такого вигляду

(-2 рзи + ^ (Р1 + Р2)) ЗйОТа , ч 0

=-^-- +-+ Рз, (x, У ) ^ •

\й2к - 4 7

<7

К

(16)

Введемо локальну систему координат 0\М7,

х = а С08р-/8Шв + п С08в; у = Ь 8Шр + / С08в + п 8Шв, 7 = 7, (17)

де: р - кут, що визначае параметричш координати точок елшса х2/а2 +У2/Ь2=1, в - кут мiж додатними напрямами осей 01х i нормалi до контура О1П. На ос-новi [1] i (7), (8), (17) одержуемо формулу для визначення розподiлу напру-жень о77 у матрицi у малому околi контура елшсо!дального включення

<7

{(Р + п)

47М

2^^[аЬ ^(р + 2п)3

+^р ( а2С2 С082 р + Ь2С3 8т2 р) + р3, 7 = 0, 0 < п □ а, Ь,

20С1 - а Ь (С2 С082 р + С3 8ш2 /2 (()

+

(18)

де р

Ь/ (()

аА

рaдiус заокруглення вершини включення;

/ (р) = ^1 а2 8т2р + Ь2

С0$2р

1з сшввщношення (18) бачимо, що напруження <77 на контурi (п = 0) елшсо!дального пружного включення обчислюеться згiдно з формулою

<7

2<Лс

2 ОС, + а2 ИС2 + Ь 2 (()-а2^з)

+ Рз

(19)

Напруження о77, якi визначаються зпдно з формулою (18), можна розглядати, зокрема, як функщю трьох змшних п,с,£, тобто <77 = <77 (п,с, г). Поклавши у (19) г^да, ¡и1 = 0, а1 = 0, одержимо формулу

<7

■Рз

1 3ц1Ай1 + Е (к )(к-^й?3 ) ^^кЕ (к)

+ М

Р1 + Р2

^^к

К - ^ +

-А

+-

Р2 - Р1

/ /

V V

4Е (к) + (к) кЕ (к)

2^Е (к)

0 (Е (к)(М

-(/2 (р)- а

ЗА^Г

8Ш2р

+

(20)

^1кЕ (к)

для обчислення концентраци напружень у матриц на контурi абсолютно жорсткого елшсощального включення, з яко! випливае, що при с ^ 0 напруження <77 ^ -да , якщо Р > 0, Р1 = Р2 = 0, Т0 = 0 .

Якщо у сшввщношенш (18) спочатку спрямувати s^-да, ¡л\ = 0, а\ = 0, а noTiM c ^ 0, то матимемо

^ = d^bf ((р)— [6^рз _ \2GToad2 - 3d\ (p\ + pi) +

4d2KE (k)s¡2an

+ E Й / 2P(P) ((d\E (k) + d3Fi (k ))2 (р)-a 2kE (k )sm2p)] + O (n),

звщси при a = b одержимо випадок абсолютно жорсткого дискoпoдiбнoгo пластинчастого включення, тобто

azz = 2 [б^Р3 - 12GT0ad2 -3d\(р\ + р2)+ dlK(р—р\1 cos2p] + O(n). (22)

Спрямовуючи в (21) n ^ 0, бачимо, що ozz при р > 0,

T0 = р\ = р2 = 0. Якщо у фoрмулi (18) спочатку спрямувати c ^ 0, то при n > 0 рoзпoдiл напружень ozz набувае сталого значення, тобто не залежить вiд s, що вщповщае випадку oднoрiднoгo тiла.

Таким чином, границя функци lim ozz (n, c, s) залежить вщ того, у якш

n^0, c^0, s^ro

пoслiдoвнoстi змшш n, c, s прямують до вщповщних граничних значень, а це означае, що вона не юнуе. Тому при використанш розв'язку пружно! задачi для тiла з абсолютно жорстким пластинчастим (с = 0) включенням в задачах мехашки руйнування пoтрiбнo це враховувати, oскiльки коефщент штенсив-нoстi напружень (К1Н) KI для пластинчастого елштичного абсолютно жорсткого включення набуватиме рiзних значень. Зокрема, якщо KI визнача-ти зпдно з формулою [5]

Ki = lim J2n n azz, у яку пiдставити вираз (21), то одержимо, що

[з з ( + ) + d2 р2-р1 .

1 2d1d1KE(k)jaV F 2 2E(k)f2(р) (23)

■ (f2 (() (d1E(k) + d3F2 (k)) - a2kE(k) sin2 р) - 6d1d2GT0a]. Якщо ж для визначення Ki застосувати формулу

Ki li^VP ^zz ,

у яку шдставити подання (20), то

3ß Í Ъ , J ( , w р2 - р1

К1 = п (<р) 2kE (k )yfä

2d~2 (-2р3^ + d1 (( + р2) 2d

-(d1E (k) + d3F2 (k) - к (d1f2 (р) - a2d3)

E(k)V ' v -w v - v-/ Vf2(р)

+ 6ßGT0a

Порiвняння К1Н Ki, що даються формулами (23) i (24), показуе, що вони не збiгаються. Це пояснюеться тим, що у формулi (23) не враховано впливу на Kj нормальних торцевих напружень ônn, що ддать на контурi включення, якi виражаються другим доданком у правш частинi рiвностi (18).

Лггература

1. Стадник М.М. Метод розв'язування тривимiрних термопружних задач для тш з тонкими включеннями // Фiз.-хiм. механiка матерiалiв. - 1994. - № 6. - С. 30-40.

2. Kassir M.K., Sih G.C. Some three-dimensional inclusion problems in elasticity // Int. J. Solids Struct. - 1968. - V.4. - р.225-241.

3. Силованюк В.П. Жесткое пластинчатое включение в упругом пространстве // Фiз.-хiм. мехашка матерiалiв. - 1984. - № 5. - С. 80-84.

4. Эшелби Дж. Континуальная теория дислокаций. - М. : Изд-во иностр. лит., 1983. -

296 с.

5. Панасюк В.В. Предельное равновесие хрупких тел с трещинами. - К. : Вид-во "Наук. думка", 1968. - 270 с. _

УДК 330.4 Доц. Р.В. Юринець, канд. фЬ.-мат. наук - ЛР1ДУНАДУ1

ЕКОНОМЕТРИЧНА МОДЕЛЬ ОЦ1НЮВАННЯ КРЕДИТНОГО ПОЗИЧАЛЬНИКА В1ДПОВ1ДНО ДО ЕКСПЕРТНО1 ОЦ1НКИ

Створено економшо-математичну модель оцшювання кредитного позичальни-ка з врахуванням експертно! ощнки. Застосовуючи лопт-модель, для оцiнювання платоспроможносп клiента, встановлено залежнiсть м!ж чинниками ризику й 1мов1р-шсною величиною кредитного ризику.

Assoc. prof. R.V. Yurynets - LRIPA NAPA2

Ekonometric model of evaluation of credit borrower accordingly to expert estimation

The economic mathematical model of evaluation of credit borrower is created taking into account an expert estimation. Applying a logit-model, for the evaluation of solvency of client dependence is set between the factors of risk and probabilistic size of credit risk.

Вступ. Шдвищення прибутковосл кредитного портфеля банку безпо-середньо залежить вщ умшого управлшня кредитними ризиками. Споживче кредитування штенсивно розвивалося, починаючи з кшця ХХ ст., i тепер е одним з сектор1в будь-якого б1знесу. Кшьюсть фшансових установ, що нада-ють товари i послуги в кредит, росте щодня. Ризик, властивий под1бнш д1яль-носл, насамперед, залежить вщ того, наск1льки добре оцшено платоспромож-н1сть кл1ента. Одшею з найпопулярн1ших методик для виршення ц1е! проб-леми е кредитний скоринг (рейтинг). I саме кредитний скоринг дае змогу по-низити ризики без втрати прибутковосп, запропонувавши в1дпов1дь на клю-чов1 запитання: наскшьки проблематичною буде робота банку з конкретним позичальником, яке значення кредитного л1мггу встановити, i поверне кшент кредит чи н!.

1 Льв1вський рег1ональний 1нститут державного управлшня Нацюнально! академИ державного управл1ння при Президентов1 Укра!ни

2 Lviv regional institute of state administration of the National academy of state administration is at President of Ukraine