Проверка гипотезы о вложении с допуском для дискретных случайных последовательностей Текст научной статьи по специальности «Математика»

образуют последовательность {12,17, 32, 36}, однако не существует такой подстановочной матрицы Р, что А2 > Р.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бар-Гнар Р. И., Фомичев В. М. О минимальных примитивных матрицах // Прикладная дискретная математика. Приложение. 2014. №7. С. 7-9.

2. Фомичев В. М. Свойства минимальных примитивных орграфов // Прикладная дискретная математика. 2015. №2(28). С. 86-96.

УДК 519.226, 519.244.3, 519.244.8 Б01 10.17223/2226308Х/11/3

ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О ВЛОЖЕНИИ С ДОПУСКОМ ДЛЯ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

Н. М. Меженная

Последовательность X является подпоследовательностью с допуском ! последовательности У, если X получается из У удалением несмежных отрезков не более чем из ! знаков. В этом случае говорят, что X может быть вложена в У с допуском !. Предложен последовательный критерий проверки гипотезы о вложении с допуском ! для дискретных случайных последовательностей над конечным алфавитом и изучены его свойства. Вероятность ошибки первого рода (вероятность отклонения верной гипотезы о вложении с допуском) построенного критерия равна нулю. Трудоёмкость предложенной процедуры пропорциональна длине вкладываемой последовательности, что по порядку намного меньше трудоёмкости тотального опробования. Получено выражение для вероятности ошибки второго рода при альтернативной гипотезе о том, что рассматриваемые дискретные последовательности образованы независимыми в совокупности случайными величинами с равномерными распределениями на конечном алфавите.

Ключевые слова: плотное вложение, вложение с допуском, последовательный критерий, гипотеза о независимости, вероятности ошибок первого и второго рода, дискретная случайная последовательность.

Введение

Пусть Хп = (хх,... , хп) и Ут = (ух,..., ут) —последовательности элементов множества Ам = {0,... , N — 1}, N ^ 2, длин п и т ^ 1 + (ё + 1)(п — 1) соответственно. Последовательность Хп может быть вложена с допуском ё ^ 1 в начало последовательности Ут, если существуют такие натуральные числа

1= 3\ <32 <...<3п ^ т, зк+1 — зк е {1, 2,...,<1 +1}, к =1,...,п — 1, (1)

что хк = у^, к = 1,... ,п. В этом случае Хп является подпоследовательностью Ут с допуском ё. Вложение с допуском ё =1 в [1] названо плотным.

В [1] найдена верхняя оценка для вероятности того, что заданная двоичная последовательность может быть плотно вложена в последовательность независимых двоичных случайных величин с равномерными распределениями. В [2] этот результат обобщен на последовательности со значениями в любом конечном алфавите. Получены неулучшаемые нижняя и верхняя оценки для вероятности плотного вложения и указаны классы последовательностей, на которых они достигаются. Обобщение понятия плотного вложения на вложение с допуском проведено в [3]. Задача о вложениях двоичных последовательностей и её практическое применение рассмотрены в [4, 5].

Теоретические основы прикладной дискретной математики

13

Построение критерия и его свойства

Рассмотрим задачу о проверке гипотезы Н0п о том, что Хп является подпоследовательностью с допуском й последовательности Ут независимых равномерно распределённых на множестве АN случайных величин.

Самый простой способ проверки гипотезы Н0п состоит в том, чтобы опробовать все (й + 1)п-1 удовлетворяющих (1) наборов (31,32,... ,3п) мест вложения с допуском й последовательности Хп в начало последовательности Ут. При этом вероятность отклонить гипотезу Н0п, если она верна, равна нулю. В [2] показано, что при й = 1 вероятность ошибочного принятия гипотезы Н0п убывает экспоненциально быстро. К очевидным недостаткам такой процедуры естественно отнести её большую вычислительную сложность.

Критерий согласия с гипотезой Н0п, не требующий проверки всех вариантов вложения, при й =1 предложен в [6, 7]. В настоящей работе проведём обобщение этих результатов на случай произвольного й ^ 2.

Пусть 31 = 1; зк = шт{£ > 3к-1 : хк = уг}, к = 2,... , п; У = 1; Ук = Ук(Хп) = = 3к - 3к-1, к = 2,... , п; Тк = У2 + ... + Ук.

Построим критерий Т по следующему правилу. Последовательно по к = 2,... ,п вычисляем значение Тк. Если х1 = у1 и на к-м шаге неравенство

не выполнено, то гипотеза Н0п отклоняется. В противном случае продолжаем проверку. Если х1 = у1 и при всех к = 2,... , п выполнено (2), то гипотеза Н0п принимается.

Замечание 1. Если Н0п верна, то существует набор чисел 31,..., 3п, удовлетворяющих (1), и хк = у^к ,к = 1,..., п. Значит, Ук = 3к — 3к-1 ^ й + 1, к = 2,... , п, и Тк = У2 + ... + У к ^ (й + 1)(к — 1). Таким образом, вероятность ошибки первого рода критерия Т равна нулю.

Нас интересует вероятность ошибки второго рода при альтернативной гипотезе Н1п о том, что последовательность Хп не зависит от последовательности Ут и тоже состоит из независимых равномерно распределённых на множестве AN случайных величин, а также среднее число знаков, используемых критерием до принятия решения.

Теорема 1. Вероятность ошибки второго рода критерия Т при п ^ 2 равна

Тк ^ (й +1)(к — 1)

1

1

N

(3)

Среднее число шагов до принятия решения при гипотезе Н1п равно

Замечание 2. Можно показать, что

Р{Ук = /|Нщ} = N-1(1 — N-1)1-1, I ^ 1, к = 2,...,п.

Согласно [8, теорема 2 §2 гл. XII, с. 448-449], случайная величина с законом распределения, соответствующим производящей функции (3), является собственной, если EV2 ^ d + 1, и имеет конечное математическое ожидание, если EV2 > d + 1. Очевидно, EV2 = N. Значит, а(1) = 1 при N ^ d +1 и а'(1) = 1 при N ^ d + 2.

ЛИТЕРАТУРА

1. Golic J. Dj. Constrained embedding probability for two binary strings // SIAM J. Discrete Math. 1996. V. 9. No. 3. P. 360-364.

2. Михайлов В. Г., Меженная Н. М. Оценки для вероятности плотного вложения одной дискретной последовательности в другую // Дискретная математика. 2005. Т. 17. №3. С. 19-27.

3. Михайлов В. Г., Меженная Н. М. Нижние оценки для вероятности вложения с произвольным допуском // Вестник Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2012. №2. С. 3-11.

4. Donovan D. M., Lefevre J., and Simpson L. A discussion of constrained binary embeddings with applications to cryptanalysis of irregularly clocked stream ciphers // R. Balakrishnan and C.V. Madhavan (eds.) Discrete Mathematics. Proc. Intern. Conf. on Discr. Math., Indian Institute of Science, Bangalore, December 2006. P. 73-86.

5. Kholosha A. Clock-controlled shift registers for key-stream generation // IACR Cryptology ePrint Archive 2001: 61 (2001). http://eprint.iacr.org/2001/061.pdf

6. Меженная Н. М. О проверке гипотезы о плотном вложении для дискретных случайных последовательностей // Вестник БГУ. Математика, Информатика. 2017. №4. С. 9-20.

7. Меженная Н. М. Предельные теоремы в задачах о плотном вложении и плотных сериях в дискретных случайных последовательностях: диа ... канд. физ.-мат. наук. Московский государственный институт электроники и математики. М., 2009.

8. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения: в 2 т. М.: Мир, 1984. Т. 2. 751 с.

УДК 519.7 DOI 10.17223/2226308X/11/4

НИЖНЯЯ ОЦЕНКА МОЩНОСТИ НАИБОЛЬШЕГО МЕТРИЧЕСКИ РЕГУЛЯРНОГО ПОДМНОЖЕСТВА БУЛЕВА КУБА1

А. К. Облаухов

Исследуются строго метрические регулярные подмножества булева куба. Представлены итеративные конструкции таких множеств. Получена формула для вычисления количества строго метрически регулярных множеств, получаемых с помощью данных конструкций. Построены специальные семейства метрически регулярных множеств и вычислены мощности множеств из этих семейств. Полученные значения дают нижнюю оценку мощности наибольших метрически регулярных множеств при фиксированном радиусе покрытия.

Ключевые слова: метрически регулярное множество, метрическое дополнение.

Рассмотрим Fn — пространство двоичных векторов длины п. Расстояние Хэммин-га d(x,y) между двумя векторами x,y Е Fn равно количеству координат, в которых эти векторы различаются.

1 Работа поддержана грантами РФФИ, проекты №18-31-00479 и 17-41-543364.