Весовые свойства примитивных матриц Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.64 Б01 10.17223/2226308Х/11/2

ВЕСОВЫЕ СВОЙСТВА ПРИМИТИВНЫХ МАТРИЦ

С. Н. Кяжин

Для неотрицательных матриц порядка п > 2 представлены результаты, характеризующие зависимость свойства примитивности от веса (количества положительных элементов) матрицы: 1) любая матрица веса к ^ п непримитивная; 2) для к = п + 1,..., п2 — п + 1 существует и непримитивная матрица веса к, и примитивная матрица веса к с экспонентом 7, где п + 2 |_д/2(п — 1)] ^ 7 + к ^ п2 — п + 3; 3) любая матрица веса к = п2 — п + 2,...,п2 — 1 примитивная, её экспонент 7 = 2. Установлено, что при возведении в степень некоторых примитивных матриц вес степеней матрицы изменяется немонотонно.

Ключевые слова: примитивная матрица, экспонент матрицы, вес матрицы.

Введение

Неотрицательная матрица А называется примитивной, если существует такое натуральное число 7, что для любого £ ^ 7 матрица А* является положительной. Наименьшее такое 7 называется экспонентом матрицы А и обозначается ехр А.

Количество положительных элементов неотрицательной матрицы А порядка п назовём весом матрицы А и обозначим через ||А||.

1. Зависимость свойства примитивности от веса матрицы

Примитивная матрица называется минимальной, если после замены любого положительного элемента нулём она не является примитивной. Такие матрицы представляют интерес с точки зрения экономной реализации систем, описываемых с помощью примитивных матриц. В [1, 2] исследованы некоторые свойства минимальных примитивных матриц, в том числе связанные с весом матрицы. В частности, в [2] для любой неотрицательной матрицы А порядка п > 3 показано:

а) любая примитивная матрица А веса п + 1 является минимальной;

б) для любого к Е {п+2,... , п2} существует неминимальная примитивная матрица А веса к;

в) для любого к Е {п + 2,... , 2п — 3} существует минимальная примитивная матрица А веса к.

Следующая теорема характеризует связь веса и экспонента неотрицательных матриц, в том числе минимальных примитивных матриц.

Теорема 1. Пусть А — неотрицательная матрица порядка п > 2. Тогда:

а) любая матрица А веса к ^ п непримитивная, для любого к Е {п + 1,..., п2 — п + 1} существует непримитивная матрица А веса к;

б) любая матрица А веса к Е {п2 — п + 2, . . . , п2 — 1} является примитивной, при этом ехр А = 2, для любого к Е {2п — 1,...,п2 — п + 1} существует такая примитивная матрица А веса к, что ехр А = 2;

в) для любого к Е {п + 1, . . . , п2 — п + 1} существует такая примитивная матрица А веса к, что п + 2|_^2(п — 1)] ^ ехр А + ||А|| ^ п2 — п + 3.

2. Монотонность зависимости веса степени матрицы от показателя степени

Множество неотрицательных матриц разбивается на 2 класса: для первого класса свойство монотонности зависимости веса степени матрицы от показателя степени вы-

Теоретические основы прикладной дискретной математики

11

полняется, для второго класса —не выполняется. Критерий такого разбиения пока не установлен, его определение является перспективной задачей. Установлен ряд свойств.

Вычислительный эксперимент показал, что для всех примитивных матриц порядка п ^ 4 верна гипотеза о монотонной зависимости веса примитивной матрицы от её степени. Однако уже для п = 5 гипотеза опровергается.

Обозначим: и — матрица порядка п, состоящая из положительных элементов; и^) (Ц^-))—матрица порядка п, где в г-й строке (г-м столбце) все элементы, кроме ]-го, положительные, остальные элементы нулевые; Е(гу —матрица порядка п, где элемент с номером (г,]) положительный, остальные элементы нулевые.

Теорема 2. Пусть для матрицы А порядка п > 4 выполнено одно из условий:

а)

б)

А = Ц70 + Ц. .) + Е(3, г) для некоторых г,] е {1,... , п}, г =

( 3,3)

А = и(^г) + 3 + Е(3 , г) + Е(м) для некоторых г, ^ ? е {1, . . . , п} г = ^ , р = ^ , q = г^ или д = р = г^';

А А

и

(г,г)

+ и(г г) + Е(р,я) для некоторых г,р, д е {1,..., п}, р, д = г;

+ Цт^ + Е(р>д) + Е(г,з) для некоторых г,р, д, г, 5 е {1,..., п}, р, д = г,

г = р, 5 = г, д или 5 = д, г = г,р.

Тогда А примитивная, 7 = ехр А = 5 для случаев п. а, б, 7 = 4 для случаев п. в, г; существует такое £ < 7, что неравенство ||А*|| ^ ||А4+11| неверно.

Замечание 1. По результатам вычислительного эксперимента установлено, что для п = 5 указанные в теореме 2 классы полностью покрывают множество примитивных матриц порядка п, для которых свойство монотонности веса нарушается.

При п ^ 6 имеются другие классы. Например, значения весов матриц А1, £ = = 1,... , 9, где

А1

образуют последовательность {11,12, 22, 21, 20, 30, 31, 30, 36}.

Используем отношение частичного порядка на множестве неотрицательных матриц порядка п. Пусть А = (аг , 3), В = (Ьг , 3), положим А ^ В тогда и только тогда, когда

0 0 0 0 1 0

1 0 1 1 0 0

1 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0

0 1 1 1 0 1

1 0 0 0 0 0

г 3

^ Ьг, у для всех пар (г, ]).

Опишем частный класс матриц первого класса.

Утверждение 1. Если А > Р, где Р — некоторая подстановочная матрица, то

||А4|| ^ ||А4+1||, £ = 1, 2,...

Замечание 2. Обратное утверждение в общем случае неверно. Например, значения весов матриц А,, £ = 1,... , 4, где

А,

1 0 0 0 1 0

1 0 1 1 0 0

1 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0

0 1 1 1 0 1

1 0 0 0 0 0

образуют последовательность {12,17, 32, 36}, однако не существует такой подстановочной матрицы Р, что А2 > Р.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бар-Гнар Р. И., Фомичев В. М. О минимальных примитивных матрицах // Прикладная дискретная математика. Приложение. 2014. №7. С. 7-9.

2. Фомичев В. М. Свойства минимальных примитивных орграфов // Прикладная дискретная математика. 2015. №2(28). С. 86-96.

УДК 519.226, 519.244.3, 519.244.8 Б01 10.17223/2226308Х/11/3

ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О ВЛОЖЕНИИ С ДОПУСКОМ ДЛЯ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

Н. М. Меженная

Последовательность X является подпоследовательностью с допуском ! последовательности У, если X получается из У удалением несмежных отрезков не более чем из ! знаков. В этом случае говорят, что X может быть вложена в У с допуском !. Предложен последовательный критерий проверки гипотезы о вложении с допуском ! для дискретных случайных последовательностей над конечным алфавитом и изучены его свойства. Вероятность ошибки первого рода (вероятность отклонения верной гипотезы о вложении с допуском) построенного критерия равна нулю. Трудоёмкость предложенной процедуры пропорциональна длине вкладываемой последовательности, что по порядку намного меньше трудоёмкости тотального опробования. Получено выражение для вероятности ошибки второго рода при альтернативной гипотезе о том, что рассматриваемые дискретные последовательности образованы независимыми в совокупности случайными величинами с равномерными распределениями на конечном алфавите.

Ключевые слова: плотное вложение, вложение с допуском, последовательный критерий, гипотеза о независимости, вероятности ошибок первого и второго рода, дискретная случайная последовательность.

Введение

Пусть Хп = (я1,... , хп) и Ут = (уь ..., ут) —последовательности элементов множества Ам = {0,... , N — 1}, N ^ 2, длин п и т ^ 1 + (^ + 1)(п — 1) соответственно. Последовательность Хп может быть вложена с допуском d ^ 1 в начало последовательности Ут, если существуют такие натуральные числа

1= ¿1 <¿2 <...<3п ^ т, ¿к+1 — ]к Е {1, 2,...^ +1}, к =1,...,п — 1, (1)

что хк = у к, к = 1,..., п. В этом случае Хп является подпоследовательностью Ут с допуском d. Вложение с допуском d =1 в [1] названо плотным.

В [1] найдена верхняя оценка для вероятности того, что заданная двоичная последовательность может быть плотно вложена в последовательность независимых двоичных случайных величин с равномерными распределениями. В [2] этот результат обобщен на последовательности со значениями в любом конечном алфавите. Получены неулучшаемые нижняя и верхняя оценки для вероятности плотного вложения и указаны классы последовательностей, на которых они достигаются. Обобщение понятия плотного вложения на вложение с допуском проведено в [3]. Задача о вложениях двоичных последовательностей и её практическое применение рассмотрены в [4, 5].