Процедура -преобразования при синтезе нелинейного нейросетевого регулятора Текст научной статьи по специальности «Математика»

Воронин И.В., Зияутдинов В.С. ПРОЦЕДУРА Tf Va -ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРИ СИНТЕЗЕ НЕЛИНЕЙНОГО НЕЙРОСЕТЕВОГО РЕГУЛЯТОРА

В данной статье рассмотрены теоретико-математические основы внедрения нейросетевого регулятора в нелинейные динамические системы.

Пусть объект управления задан следующей системой уравнений:

x = f(x,u),x0 еТх (1)

где вектор xє Rn - вектор состояний объекта, uЄRm - вектор управления, f -некоторая вектор-

функция, ¥

область допустимых значений векторов состояния х объекта. Допустим, что область

совпадает с пространством Яп . Значение вектора состояния х в момент времени t соответствует текущей точке системы (1) в пространстве состояния [1].

Глобальная цель управления - это выполнение системой своей основной задачи, решению которой соответствует перевод текущей точки системы (1) из начального состояния на заданное целевое многообразие Ф (х,с ) = 0 с последующей стабилизацией подобного движения системы. При этом глобальная

цель управления формулируется как Ф (х, с )^ 0 при t .

Перед тем как определить Т р а -преобразование, введем несколько дополнительных понятий [1].

Пусть а = (аі ) - семейство над полем Я, а р = (р^.) - семейство функций над тем же полем:

И ^ И . -преобразованием семейства будем называть отображение:

V /і=1

И j! ^ >j)= Lj +¿j{vj),

J J j=1

3^-

где Ь№і=—“І - производная Ли функции ^ по направлению векторного поля І .

3х

Будем обозначать композицию двух операторов Т^>а следующим символом • . В таком случае: Т,р,а * *,р,а (Л) = === (=,р,а (/^))

Произведением операторов Г ^ ^ длины к будем называть отображение [1] :

ТТ,р,а(Ф)=Т,Л „* •'"ГгУ,а1 =[Т\ТиЯІ,а\^) '

) j .і

семейство макропеременных.

W-

Пусть задано целевое многообразие Ф (х) = 0 . Рассмотрим семейство семейств макропеременных

Г *' 1

^ , где ¡Лг = ср. ^Ф ^ • Очевидно, что семейство у/ порождает следующую систему

j=1

дифференциальных уравнений:

Фі = ~аіЧІ (Фі) + Ф2І Ф2 = -а^ (®!) - al<pl (Ф2) + Ф3

ф*-1 = -1Х>“(ф*-1)+ф*’

/=1

где Ф1 =Ф*;У+1 = Т,,,Ф1=^ .

Получается, что Т^>а -преобразование эквивалентно приведению исходной системы дифференциальных уравнений к канонической форме:

'0'

Ф = АФ + <р(Ф,а) +

л(х=и) -

A =

0 I*-, 0 1

ф (Ф, а)

~а!<РЇ (фі)

-Ха*-1V-1 (ф *-1)

скалярная функция векторных аргументов x и

Расширением системы уравнений (1) назовем систему вида:

где

где

u.

<t>i - -a\q\ (Ф[) + Ф2;

Ф2 = -а^ (®!) - al<pl (Ф2) + Ф3;

к

Фи = -х«*>“(фи)+ф^

/=1

ф* = ^(ф1.-.ф*)-

Символ к означает, что в систему добавляется k-е дифференциальное уравнение с правой частью #(ф1.-.ф*) •

Произведение ^ = [гг7, у ,у](ф *) длины к будем определять как управляемое, если можно производную Lf ßk представить в виде Lf ßk = (Lf ßk )( Х ,u) [1].

Произведение ^ = [гТ7, у у](ф *) длины к будем определять как неособенное в области , если существуют и однозначно определены макропеременные Ф,., (i = 1 дляУхе, где

Ф,=^=т^^-\

Теорема о возможности достижения цели управления.

к _

' i=1

fi (/' = 1 - неособенные. Тогда, если существует такое расширение

7 (р а -преобразованием системы (3), что расширенная система (4) асимптотически устойчива по Ляпунову и задача синтеза агрегированного регулятора разрешима в классе функций Ф^, g = 1^Фк — . .,Ф^-) , то в исходной системе (1) достигается цель управления (1).

Данная теорема позволяет определить задачу выбора целевого многообразия как задачу синтеза устойчивых движений в порожденной преобразованием системе дифференциальных уравнений. Таким образом, преобразование аппроксимирует нелинейную динамику объекта управления в пространстве состояний линейной динамикой в пространстве макропеременных

Представленная теорема дает достаточно общие условия для отыскания «оптимальных» макропеременных [2]. Очевидно, что эти условия связаны прежде всего с определением устойчивого расширения нелинейной порожденной системы (3).

ЛИТЕРАТУРА

1. Терехов, В.А., Ефимов, Д.В., Тюкин, И.Ю. Нейросетевые системы управления. Кн. 8.: Учеб. пособие для вузов / Общая ред. А.И. Галушкина. - М.: ИПРЖР, 2002. - 480 с.

2. Колесников, А.А. Основы теории синергетического управления. Сер. книг специалиста по автоматизации производства / Под общ. ред. А.С. Клюева. - М.: Фирма "ИСПО-Сервис", 2000.

Пусть существует управляемое произведение ^ = [П7,у у (ф*)

произведения

порожденное