CC BY
6
МАТЕМАТИКА
Вестник Омского университета, 2006. № 4. С. 9-13. \тт<" кло кчо
© О.В.Князев, 2006 УДК blZ'bU
ПРОСТЫЕ ПО ЧИСТОТЕ ВПОЛНЕ РЕГУЛЯРНЫЕ
ПОЛУГРУППЫ
О.В.Князев
Омский государственный педагогический университет, кафедра алгебры, 644099 Омск, наб. Тухачевского, 1
Получена 2 сентября 2005 г.
В работе [2] определено понятие чистоты для произвольных универсальных алгебр. Это еще один подход к изучению строения универсальных алгебр. В настоящей заметке, для многообразия всех вполне регулярных полугрупп, решена одна из поставленных в [2] проблем (проблема 22). Прежде чем сформулировать эту проблему, напомним необходимые определения.
Пусть V — произвольное фиксированное многообразие алгебр, L(V) — решетка подмногообразий многообразия V,X G L(V) и А G V. Произвольное дизъюнктное семейство алгебр называют россыпью, а алгебры, которые ее составляют, - компонентами россыпи. На множестве всех россыпей, компоненты которых являются подалгебрами данной алгебры А, естественным образом определяется частичный порядок <:
{Ai :G 1} < {Bj : je J} (V* G I)(3j G J)(Ai С Bj
Ясно, что есть полная (в обычном смысле)
решетка, наименьшим элементом которой будет пустая россыпь. Договоримся операцию пересечения в этой решетке обозначать через А. Ядром ker(p) конгруэнции р на алгебре А называется россыпь, компоненты которой суть в точности все р-классы, являющиеся подалгебрами алгебры А. Ядро X-вербальной конгруэнции р(Х.,А) на А (р(Х, А) — наименьшая конгруэнция в множестве всех конгруэнций на алгебре А, фактор-алгебры по которым принадлежат многообразию X) называют ~Х.-вербалом алгебры А и обозначают через Х(А). Мы отождествляем одноэлементные семейства алгебр и сами эти алгебры. В частности, если ядро конгруэнции состоит из одной алгебры, то под ядром конгруэнции понимается соответствующая алгебра.
1 e-mail: [email protected]
Алгебру А будем называть, следуя [2], X-полной, если Х(А) = А. Алгебру А называют (атомно) полной, если равенство Х(А) = А имеет место для любого атома X из решетки Ь(Л^). Подалгебру С алгебры А называют Х-чмстом в А , если Х(4)ЛС = Х(С).
Если все подалгебры алгебры являются X-чистыми, то такую алгебру называют наследственно X-чистой. Если подалгебра алгебры является X-чистой по любому атому X решетки Ь(У), то ее называют (атомно) чистой в А. Если все подалгебры алгебры являются чистыми, то ее называют наследственно чистой. Алгебру А называют простой по чистоте, если она не имеет нетривиальных чистых подалгебр.
Упомянутая выше проблема (см. [2], проблема 22) формулируется так: описать простые по чистоте алгебры данного многообразия. Мы решаем эту задачу в классе всех вполне регулярных полугрупп.
Напомним, что полугруппа называется вполне регулярной если она есть объединение групп. Класс V всех вполне регулярных полугрупп, рассматриваемых как унарные полугруппы, является многообразием, а в качестве его подмногообразий выступают, в частности, класс С всех групп и класс М всех вполне простых полугрупп. В дальнейшем все рассуждения ведутся в многообразии V всех унарных вполне регулярных полугрупп и слово "полугруппа" будет означать, что речь идет о унарной вполне регулярной полугруппе.
Основным результатом заметки является
ТЕОРЕМА Следующие условия для вполне регулярной полугруппы А эквивалентны:
(1) А есть простая по чистоте полугруппа;
(2) А является либо простой по чистоте группой; либо двухэлементной полуреш.еткой;
10
О.В.Князев
либо двухэлементной полугруппой левых или правых нулей.
Доказательству теоремы предпошлем ряд утверждений, некоторые из них представляют самостоятельный интерес.
Мы будем придерживаться следующих обозначений: Ь — многообразие полугрупп левых нулей; И. — многообразие полугрупп правых нулей; Э — многообразие полурешеток; С — многообразие всех групп; ГЮ — многообразие всех правых групп; ЬС — многообразие всех левых групп; М — многообразие всех вполне простых полугрупп; Ар — многообразие абелевых групп простой экспоненты р.
Здесь удобно напомнить, что атомами решет-
для
классу полугрупп Рх • Следовательно, по выбору класса Рх, получаем, что Х(Х(А)ДС)= Х(А)Д С. Поэтому Х(А) А С <Х(С). Итак Х(А) А С = Х(С). Показали, что полугруппа А — наследственно X-чистая. Лемма доказана.
Всякая подполугруппа вполне простой полугруппы сама будет вполне простой полугруппой. Очевидно,что любая вполне простая полугруппа является Э-полной. И если классическую теорему Клиффорда о строении вполне регулярных полугрупп (см., напр., [13]) сформулировать так: V = Мов, то из леммы 1 получаем
Следствие Всякая вполне регулярная полугруппа является наследственно Э-чистой.
Следутцая лемма отмечалась автором неоднократно (см., например [3]).
Лемма 2 Если В < А и В — X-полная полугруппа, то В является X-чистой в А.
Из предложения 1 заметки [14] следует
М
RG о L = LG о R.
ки ¿(V) являются многообразия Ь,!?., Э, всех простых р и только они.
Пусть К — класс полугрупп из V. Если каждая компонента россыпи И принадлежит классу К, то будем писать В £ К.
Напомним, что V-произведение [4] подклассов Х^ многообразия V определяется следующим образом:
Лемма 3
V )к(3р € Соп(А))(А/р € У)&(А-ег(р) € X),
Из упоминавщейся теоремы Клиффорда и
где Соп(А) —решетка конгруэнций полугруппы А.
Если М есть подмножество полугруппы А, то (М) обозначает подполугруппу из А, порожденную М. Если М = {а}, то подполугруппу, порожденную М, называют циклической и обозначают через (а). Если е € А и (е) = {е}, то е называется идемпотентом полугруппы А.
Пусть Рх — класс всех полугрупп из V, которых любая подполугруппа Х-полная.
леммы 3 следует, что вполне регулярная полугруппа, не являющаяся группой, допускает гомоморфизм на нетривиальную полурешетку или на нетривиальную полугруппу левых или правых нулей. Поэтому очевидна
Лемма 4 В многообразие V всех вполне регулярных полугрупп полными полугруппами будут только полные группы.
У
Лемма 1 Полугруппа А является наследственно X-чистой полугруппой тогда и только тогда, когда А € Рх 0 X.
Доказательство. Пусть А есть наследственно X-чистая полугруппа, С < А и С
< Х(А). Подполугруппа С является X-чистой в А. Поэтому Х(А) А С= Х(С). Следовательно, С = Х(С). Значит полугруппа С — Х-полная и Х(А) € РХ- Тогда А € Рх о X.
Обратно, пусть А € Рх 0 X. Покажем, что произвольная подполугруппа С полугруппы А будет Х-чистой в А. Х(С) < Х(А) и Х(С) < С. Тогда Х(С) < Х(А) Л С. Докажем обратное включение. Заметим, что Х(А) А С < С. Значит Х(Х(А) АС) < Х(С). Но Х(А) А С
< Х(А). По условию вербал Х(А) принадлежит
Доказательство ы. (1) (2). Пусть А = U7ecS'7
теорем вполне
регулярная полугруппа, где С — полурешетка, {S'7}7ec — семейство попарно не пересекающихся вполне простых полугрупп, и полугруппа А — простая по чистоте полугруппа. Покажем, что А может быть только простой по чистоте группой или двухэлементной полугруппой идемпотентов.
Сначало предположим, что | С \ > 2. Значит в А находятся ходя бы две не пересекающиеся вполне простых подполугруппы. Выберем два идемпотента е и / из двух таких различных подполугрупп. Рассмотрим полугруппу (е, efe) . Заметим, что е ^ efe и элемент efe не обязан быть идемпотентом. Очевидно, что полугруппа (е,е/е) есть группа (efe) к которой внешним образом присоединили единицу е . Пусть q — единица группы (efe) . Понятно, что В = (e,q) = {е, q} есть двухэлементная полурешетка. Из
следствия следует, что В — Э-чистая в А. Очевидно, что полугруппа В является Ь-полной, Н,-полной и Ар-полной, а значит по лемме 2, В есть Ь (Ы., Ар )-чистая подполугруппа полугруппы А. Итак в полугруппе А нашли чистую подполугруппу В. Следовательно, | С | < 2, и если | С \ = 2, то А есть двухэлементная полурешетка.
Пусть теперь | С \ = 1. Значит полугруппа А является вполне простой полугруппой. По лемме 3 М = РЮоЬ = ЬСор}.. Левая (правая) группа — это декартово произведение группы на полугруппу левых (правых) нулей. Поэтому нетрудно понять, что всякая полугруппа из ГЮ суть Ь-полная полугруппа, а из ЬС суть Г1.-полная. Тогда всякая вполне регулярная полугруппа, по следствию и теореме Клиффорда, будет наследственно Ь (Ы., Э )-чистой. Пусть Еа —множество всех идемпотентов полугруппы А и | Еа | > 2. Тогда в полугруппе А найдется двухэлементная подполугруппа левых или правых нулей. Полугруппы левых или правых нулей являются Ар-полными, а значит и Ар-чистыми в А. Поэтому такие подполугруппы идемпотентов будут чистыми в А. Из сказанного выше следует, что | Еа \ < 2, и если | Еа \ = 2, то полугруппа А обязана быть двухэлементной полугруппой левых или правых нулей. Если же | Еа \ = 1, то полугруппа А есть группа.
(2) (1) .Очевидно. Теорема доказана.
Для периодических вполне регулярных полугрупп теорему можно усилить
ПРЕДЛОЖЕНИЕ Следующие условия для периодической вполне регулярной полугруппы А эквивалентны:
(1) А есть простая по чистоте полугруппа;
(2) А является либо циклической р-группой, либо двухэлементной полуреш.еткой, либо двухэлементной полугруппой левых нулей, либо двухэлементной полугруппой правых нулей.
Доказательство. Покажем, что если периодическая простая по чистоте группа А не является полной группой, то А — циклическая р-группа. Заметим, что всякая группа очевидно является 8(11, Ь) -полной. Предположим, что А не является полной, т. е. найдется простое число р такое, что Ар(А) ^ А. Пусть а <Е А \ АР(А) и А — не циклическая группа. В этом случае порядок группы (а) не может быть взаимно прост с р. Пусть |(а)| = ркв и (в,р) = 1. Тогда (а) = (Ь) х (с), где \(Ь)\=рк, |(с)| = е. Следовательно, с € А р(А) и Ъ € Ар (А). Тогда АР(А) П Ф) = Ар((6)). Итак подгруппа (6) — Ар-чистая в А. Очевидно, что в этом случае (6) будет и чистой в А. Полученное противоречие говорит, что не
найдется простого числа р такое, что Ар(А) ф^ А. Значит А — полная группа. Если А = (а) и |(а)| = ркв, где (в,р) = 1, то (а) = (6) х (с). Хорошо известно (см., напр., [15]), что АР((Ь) х (с)) = Ар((Ъ)) х Ар ((с)). Отсюда нетрудно понять, что подгруппы (6) и (с) суть Ар-чистые подгруппы группы А, а значит и чистые. Следовательно, |(а)| = рк. Оставшаяся часть доказательства предложения непосредственно следует из теоремы и леммы 4.
[1] Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп. Т.1.- М.: Мир, 1972. - 288с.
[2] Князев О. В. О группоиде многообразий вполне простых полугрупп //Изв. вузов. Математика. 1988. - № 10. - С. 5-11.
[3] Князев О. В. Клиффордовы полугруппы с чистыми подполугруппами.// Рукопись представлена Сиб. матем. журн.(Деп. в ВИНИТИ 30 марта 2000г. № 861-В00) 17с.
[4] Мальцев А.И. Об умножении классов алгебраических систем II Сиб. матем. журн. - 1967. - Т.VIII. № 2. - с.346-365.
[5] Мартынов Л.М. О понятиях полноты, редуциро-ваности, примарности и чистоты для произвольных алгебр II Универсальная алгебра и ее приложения. Труды междунар. семинара. Волгоград: Перемена.2000.- С. 179 - 190.
