CC BY
54
МАТЕМАТИКА
Вестн. Ом. ун-та. 2013. № 2. С. 32-36.
УДК 512.543.5 + 512.532 Л.М. Мартынов, Т.Ю. Финк
РАСЩЕПЛЯЕМЫЕ МНОГООБРАЗИЯ ГРУПП И ПОЛУГРУПП
Многообразие групп (полугрупп) называется расщепляемым, если в любой его группе (полугруппе) каждая полная подгруппа (подполугруппа) выделяется прямым множителем. Охарактеризованы расщепляемые многообразия групп и полугрупп.
Ключевые слова: группа, полугруппа, многообразие групп, многообразие полугрупп.
В теории абелевых групп важную роль играют понятия полноты (делимости) и редуцированности. Оказывается, что к этим понятиям возможен другой подход, использующий теорию многообразий групп [1]. А именно, очевидно, что абелева группа является полной тогда и только тогда, когда она не имеет гомоморфизмов на неединичные группы из атомов решетки многообразий абелевых групп (напомним, что последние исчерпываются многообразиями Ар абелевых групп экспоненты р по всем простым р). Поскольку решетка подмногообразий многообразия всех групп содержит те же самые атомы, естественно назвать произвольную группу С полной, если у нее нет гомоморфизмов на неединичные абелевы группы простой экспоненты. Если группа не имеет неединичных полных подгрупп, то она называется редуцированной. На самом деле, поскольку решетка подмногообразий любого многообразия алгебр является атомной, ясно, как определить понятие полной алгебры в этом многообразии, а следовательно, и понятие редуцированной алгебры как алгебры, не имеющей нетривиальных полных подалгебр [1]. Будем говорить, что собственная подалгебра В алгебры А выделяется прямым множителем в А, если найдется такая подалгебра С алгебры А, что А изоморфна прямому произведению В х С. Считаем, что подалгебра А алгебры А выделяется прямым множителем в А, даже в случае если в А нет идемпотентов. Алгебру будем называть расщепляемой, если в ней любая полная подалгебра выделяется прямым множителем. Понятно, что любая редуцированная алгебра А является расщепляемой, так как в ней либо вообще нет полных подалгебр, либо любая полная С подалгебра одноэлементна, т. е. С = {е} и А = А х С. Многообразие алгебр называется расщепляемым, если в нем любая алгебра расщепляема, и редуцированным, если все его алгебры редуцированы.
Основной целью настоящей статьи является описание расщепляемых многообразий групп и полугрупп.
§ 1. Расщепляемые многообразия групп
Группы в этом параграфе рассматриваются как алгебры в сигнатуре {•, -1, 1}, первый из которых интерпретируется как бинарная операция умножения, второй - как унарная операция взятия обратного и третий -нульарная операция выделения единицы в группе.
Легко понять, что конечная группа является редуцированной тогда и только тогда, когда она разрешима. Ясно также, что полные конечные группы исчерпываются конечными группами, совпадающими со своими коммутантами. Очевидно, что любая группа, совпадающая со своим коммутантом (в частности, простая неабелева группа), является полной. Обратное утверждение, вообще говоря, не верно, так как любая полная неединичная абелева группа отлична от своего коммутанта.
Известно [2], что в любой группе О существует наибольшая полная подгруппа С(О), которая является нормальной в О, а фактор группа О/С(О является редуцированной; будем называть С(О) полным радикалом группы О.
© Л.М. Мартынов, Т.Ю. Финк, 2013
Напомним, что группа называется ЯК-группой, если её цепь коммутантов на некотором (возможно, трансфинитном) шаге достигает единичной подгруппы. Ясно, что если группа не является ЯК-группой, то она не является редуцированной.
Прежде чем сформулировать основной результат этого параграфа, условимся относительно некоторых обозначений:
А - многообразие всех абелевых групп;
Ап - многообразие всех п-ступенно разрешимых групп;
Бт - бернсайдовское многообразие групп экспоненты т;
О - класс всех групп.
Основным результатом этого параграфа является следующее утверждение.
Теорема 1. Многообразие V групп является расщепляемым тогда и только тогда, когда либо V - редуцированное многообразие групп, и в этом случае V с Ап о Вт для некоторых натуральных чисел т и п, либо V -нередуцированное многообразие групп, и в этом случае V совпадает с многообразием А.
Доказательство этой теоремы будет опираться на известные утверждения и доказанные в работе леммы. Напомним, что полная подгруппа любой абелевой группы выделяется прямым множителем том (см., напр., [3, теорема 9.1.4, с. 80]). Отсюда получаем, что многообразие А всех абелевых групп является расщепляемым. Как уже отмечалась, любое редуцированное многообразие групп является расщепляемым. Напомним, что описание редуцированных многообразий групп известно [4, теорема 1], оно совпадает с приведенным в теореме 1. Таким образом, доказательство теоремы 1 сводится к доказательству того, что любое нередуцированное расщепляемое многообразие групп совпадает с многообразием А.
Лемма 1. Если многообразие групп V содержит неабелеву полную группу С, то оно не является расщепляемым.
Действительно, в силу основного результата работы [5] счетная прямая степень О группы С не является даже дополняемой в счетной декартовой степени О группы С, т. е. в О не существует такой подгруппы Н, что ОН = О и О о Н = Е. Понятно, что О является полной подгруппой группы О и не выделяется прямым множителем в О.
Замечание 1. О.В. Князев предложил другое доказательство леммы 1. В группе О = С х С рассмотрим диагональную подгруппу D = {(а, а) | а е С}. Она изоморфна группе С, и поэтому является полной. Но D не выделяется прямым множителем в О, так как D не является даже нормальным делителем в О. В самом деле, если предположить, что для любых элементов а е С и х е С имело бы место, (х, е)-1(а, а) (х, е) е Ц т. е.
(х-1ах, а) е Ц то получили бы равенство
х-1ах = а, и группа С оказалась бы абелевой, что противоречит предположению.
Отметим некоторые следствия леммы 1. Первые два из них очевидны.
Следствие 1. Расщепляемое многообразие групп не содержит неабелевых полных групп, т. е. все полные группы расщепляемого многообразия групп абелевы.
Следствие 2. Полный радикал любой группы расщепляемого многообразия групп является нормальной абелевой подгруппой.
Следствие 3. Расщепляемое многообразие V групп состоит из п-ступенно разрешимых групп для некоторого натурального числа п.
Действительно, расщепляемое многообразие V групп должно состоять из ЯК-групп, так как в противном случае цепь коммутантов некоторой группы О из V стабилизировалась бы на неединичной подгруппе Н, которая является полной неабелевой группой. Поскольку Н принадлежит V, это противоречило бы следствию 1. Но согласно предложению 1.2 из [6], если в многообразии групп содержатся разрешимые группы различных конечных ступеней, то в нем имеется неединичная группа, совпадающая со своим коммутантом. Поскольку такая группа является полной неабелевой, получаем противоречие со следствием 1. Таким образом, ступени разрешимости групп из V ограничены в совокупности некоторым натуральным числом п.
Следствие 4. Любое нередуцированное расщепляемое многообразие V групп содержит многообразие А всех абелевых групп.
В самом деле, по лемме 1 V содержит полную абелеву неединичную группу. Но любая такая группа, как хорошо известно (см., напр.: [3, теорема 9.1.6, с. 88]), является прямым произведением групп, изоморфных аддитивной группе р рациональных чисел или квазициклическим группам Срх, быть может, по различным простым р, а поэтому V содержит либо р, либо Сро>. Но та и другая группы, очевидно, порождают многообразие А всех абелевых групп, и поэтому А с V.
Следуя [7], для многообразий и и V через
обозначим произведение и на V в классе всех групп, т. е. класс всех групп, являющихся расширением групп из и посредством групп из V. Хорошо известно (см., напр.: [7, факт 21.12, с. 61]), что произведение любых многообразий групп является многообразием.
Лемма 2. Многообразие AV для любого неединичного многообразия групп V не является расщепляемым.
Действительно, возьмем произвольную полную неединичную абелеву группу С из А, любую неединичную группу В из V и рассмотрим прямое (стандартное) сплетение О = С шг В. Напомним, что О = ВОВ) =
= {Ъ/ | Ъ е В, / е С<В)} (С(В) - прямая В-степень группы С, т. е. множество всех функций с конечным носителем из В в С с поточечным умножением) с операцией умножения Ъ/ • Ъ / = ЪЪ//, где /(х) = /(Ъх) для любых х е В и Ъх е В. Заметим, что группа О является расширением группы С<В) из А посредством группы В из V, и поэтому принадлежит произведению А^ Хорошо известно [8, следствие 4.5], что коммутант О' совпадает с ее нормальной подгруппой В Н, где Н = = { /е Ов) | ПЪеВ /Ъ е С} (см., также: [3, упр. 6.2.4, с. 69]). В нашем случае О' = Н = {/ е е С(В) | ПЪеВ /Ъ) = е}; в частности, О' ф Е и группа О не абелева. С другой стороны, если предположить, что полная нормальная подгруппа С(В) выделялась прямым множителем, т. е. О = С(В) ® Б, то ввиду О/ С(В) = В и О/С(В) = Б группа Б обязана быть абелевой. Но тогда и группа О является абелевой, что противоречиво. Итак, полная нормальная подгруппа С<В) группы О из многообразия AV не выделяется прямым множителем, и поэтому многообразие AV не является расщепляемым.
Лемма 3. Многообразие VA для любого неединичного многообразия групп V не является расщепляемым.
В самом деле, возьмем произвольную неединичную группу В из V, любую полную неединичную группу С из А и рассмотрим прямое (стандартное) сплетение О = В шг С. Тогда О = СВ (с!, и в этом случае подгруппа С не является даже нормальной (и тем более прямым множителем в О), так как известно (см., напр.: [3, упр. 6.2.2, с. 69]) и легко проверяется, что если пассивная группа (в нашем случае С) не является единичной, то любая неединичная нормальная подгруппа прямого сплетения имеет нетривиальное пересечение с базой (в нашем случае с В (Ч). Но, с другой стороны, С о В (С) = Е. Таким образом, многообразие AV не является расщепляемым.
Следующая лемма, усиливая леммы 2 и 3, завершает доказательство теоремы. Ее формулировке предпошлем несколько обозначений и определений. Посредством В*С будем, как обычно, обозначать свободное произведение групп В и С. Для группы О и ее подгруппы Н через НО обозначается нормальное замыкание Н в О. Если V - многообразие групп, то через ^(О обозначается У-вербал (^-вербальная подгруппа) группы О. Г-вер-бальным произведением групп В и С называется факторгруппа (ВО/^В^о^В^С)) [7, определение 18.31, с. 59]. Через К» обозначим (абсолютно) свободную группу счетного ранга.
Лемма 4. Если многообразие V групп строго содержит многообразие А, то V не является расщепляемым.
Возьмем бесконечную циклическую группу В и любую неединичную полную абе-
леву группу С без кручения. Обе группы В и С принадлежат многообразию V, поэтому ввиду А с V, потому V(B*C) с А(В*С) (ввиду взаимно-однозначного соответствия между многообразиями групп и их вербальными подгруппами группы К» для К» имеет место строгое включение V(Fco) с А(Ко)) их вербальное произведение О = (В*С) /‘ЩВ*С принадлежит V. Учитывая, что V (В*С) о В = V(B) и V (В*С) о С = V{C\ [7, теорема 18.22, с. 56], а также то, что V(B) = {е} и V(C = {е}, легко понять, что В и С изоморфно вкладываются в О.
Любой элемент а ф 1 из группы О представим в виде а = Ъсй, где элементы Ъ е В, с е С и й е О' = gp([B,C])G однозначно определены выбором элемента а [7, теорема
18.35, с. 57]. Если предположить, что V(B*C)
= А(В*С), то группа О' = {е}, т. е. О - абелева группа. Но тогда легко понять, что V-вербальное произведение счетного числа бесконечных циклических групп тоже будет абелевой группой. С другой стороны, согласно [7, следствие 18.43, с. 60] это произведение будет ^свободной группой К4^) счетного ранга. Но ввиду строго включения А в V группа обязана быть не абелевой.
Таким образом, группа О не абелева. Тогда в этой группе [с,Ъ] = с-1Ъ-1 сЪ ф е для некоторых Ъ е В, с е С. Если предположить, что С выделяется прямым множителем, то С - нормальная подгруппа в О, а поэтому Ъ-1с Ъ е С и [с,Ъ] е С. Но тогда элемент Ъс[с,Ъ] имел бы два представления как Ъсй, где й = [с,Ъ] е О, [с,Ъ] ф е и Ъс'й, где с' = с[с,Ъ] е С, с' ф с и й' = е. Но это противоречит [7, утверждение
18.35, с. 57].
Справедливость теоремы 1 вытекает из отмеченных после её формулировки известных фактов, леммы 1 и леммы 4.
§ 2. Расщепляемые многообразия полугрупп
Формулировке основного результата этого параграфа предпошлем ещё несколько обозначений:
Б - многообразие всех полугрупп;
К - многообразие всех коммутативных полугрупп;
N - класс всех нильполугрупп;
Zfc - многообразие всех нильпотентных полугрупп класса < к;
Ар = уаг{хРу = у, ху = ух} - многообразие абелевых групп простой экспоненты р;
Ь0 = уаг{ху = х} - многообразие полугрупп левых нулей;
Я0 = уаг{ху = у} - многообразие полугрупп правых нулей;
Z = уаг{ху = ги} - многообразие полугрупп с нулевым умножением;
БЬ = уаг{х2 = х, ху=ух} - многообразие полурешеток.
Напомним, что атомы решетки многообразий полугрупп исчерпываются много-
образиями Ар по всем простым числам р и многообразиями Ь0, Ко, Z и БЬ.
Основным результатом этого параграфа является следующее утверждение.
Теорема 2. Многообразие V полугрупп является расщепляемым тогда и только тогда, когда выполнено одно из следующих эквивалентных условий:
а) V - редуцированное многообразие полугрупп;
б) V о N с Хк и V о О с Ап о Вт для не-которъх к, п, т;
в) V состоит из полурешеток нильпо-тентных идеальных расширений вполне простых полугрупп, структурные группы которых являются периодическими и разрешимыми группами.
Доказательству этой теоремы также предпошлем несколько лемм.
Лемма 5. Многообразие К всех коммутативных полугрупп не расщепляемо.
Действительно, возьмем произвольную полную неединичную абелеву группу С и двухэлементную полурешетку 1а = {0, 1}. Понятно, что С будет полной и как полугруппа. Рассмотрим прямое произведение С х 12.
Обозначим через е единицу группы С . В полугруппе С х 12 рассмотрим подполугруппу Н =(С х {0}) и {(е, 1)}. В полугруппе Н подполугруппа С х {0} изоморфна С и потому является полной. С другой стороны, С х {0} не выделяется прямым множителем в Н, и поэтому Н - не расщепляемая полугруппа. Следовательно, многообразие К не расщепляемо.
Напомним, что многообразие V называется надкоммутативным, если оно содержит многообразие К всех коммутативных полугрупп.
Следствие 5. Любое надкоммутатив-ное многообразие полугрупп не расщепляемо.
Хорошо известно, что произвольное многообразие полугрупп является либо периодическим, либо надкоммутативным. Поэтому справедливо следствие 6.
Следствие 6. Любое расщепляемое многообразие полугрупп является периодическим.
Из теоремы 1 и следствия 6, учитывая, что любое периодическое многообразие групп является многообразием полугрупп, вытекает следующее следствие.
Следствие 7. Все группы любого расщепляемого многообразия полугрупп являются редуцированными.
Лемма 6. Любая нильполугруппа расщепляемого многообразия полугрупп V нильпотентна.
Доказательство. Предположим, что расщепляемое многообразие V полугрупп содержит ненулевую полную нильполугруп-пу N. Тогда N обязана быть глобально идем-потентной, т. е. N = N 2. Рассмотрим прямое произведение N х 2 нильполугруппы N и двухэлементной полугруппы с нулевым ум-
ножением Z = {0, z}. Пусть 0i - нуль нильполугруппы N. В полугруппе N х Z рассмотрим подполугруппу H = (N х {0}) u {(01, z)}. Очевидно, что в полугруппе H подполугруппа N х {0} изоморфна N, и потому является полной. С другой стороны, N х {0} не выделяется прямым множителем в H, и поэтому H не расщепляемая полугруппа. Следовательно, в многообразии V нет ненулевых полных ниль-полугрупп.
Если предположить, что в многообразии
V существуют Z-разрешимые нильполугруппы любой конечной ступени Z-разрешимости, то из основного результата статьи [10] легко получить, что в многообразии V0 полугрупп с нулем, заданными теми же тождествами, что и V, существует ненулевая нильполугруппа, совпадающая со своим квадратом. Поскольку эта полугруппа будет принадлежать и многообразию V, получаем противоречие с доказанным выше. Следовательно, любая нильполугруппа многообразия V нильпотентна, причем классы ниль-потентных полугрупп ограничены в совокупности некоторым натуральным числом к.
Особую роль в дальнейшем будут играть полные полугруппы А2 и B2. Эти полугруппы хорошо известны (см., напр.: [9, с. 61]) как мультипликативные полугруппы матриц:
Ч(• •)■(•• К: :н:: )■• -(••])■ Ч( • •)( ••К ••)■( • :)■• -(::}•
Они могут быть заданы копредставле-ниями в классе всех полугрупп с нулем, которые также хорошо известны (см., напр.: [9, с. 70]):
A2 - (а, b | aba — а, bab — b, а2 - а, b2 - 0^ ,
B2 — а, b | aba — a, bab — b, а2 — •, b2 — 0^ .
Лемма 7. Расщепляемое многообразие полугрупп V не содержит ни полугруппы Аз, ни полугруппы Eh.
В самом деле, предположим, что многообразию V принадлежит полугруппа А2 или полугруппа B2. Тогда V принадлежат также прямые произведения этих полугрупп и их подполугрупп, а значит, и 0-прямое объединение (см., напр.: [9, с. 52]) двухэлементной полурешетки и полугруппы А2 или B2 соответственно, в которых полные подполугруппы А2 или E2 не отщепляются. Полученное противоречие означает, что ни полугруппа А2, ни полугруппа E2 не принадлежит V.
Доказательство теоремы 2. Пусть
V - расщепляемое многообразие полугрупп. В силу следствия 6 V - периодическое многообразие полугрупп. По следствию 7 и по теореме 1 любая группа из V разрешима.
По лемме 7 многообразию V не могут принадлежать полугруппы, среди факторов
которых есть полугруппы B2 и A2 . Поэтому любая полугруппа многообразия V является полурешеткой архимедовых полугрупп [9, c. 144], точнее, полурешеткой идеальных нильрасширений вполне простых полугрупп [9, с. 104].
Далее, по лемме 6 любая нильполугруппа многообразия V нильпотентна. Поэтому многообразие V состоит из полурешеток нильпо-тентных идеальных расширений вполне простых полугрупп, структурные группы которых являются периодическими и разрешимыми. В силу теоремы 4 из [4] в этом случае V - редуцированное многообразие полугрупп.
Если же V - редуцированное многообразие полугрупп, то V - расщепляемое многообразие полугрупп.
Эквивалентность остальных условий теоремы 2 отмечена в [4, теорема 4] и доказана в [11, теорема 4].
Теорема 2 доказана.
Полученные результаты показывают, что расщепляемость многообразий групп и полугрупп - довольно редкое явление. Кроме редуцированных многообразий, этим свойством обладает единственное нередуцированное многообразие - многообразие A всех абелевых групп.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Мартынов Л. М. О понятиях примарности, полноты, редуцированности и чистоты для произвольных алгебр // Универсальная алгебра и ее приложения і труды междунар. семинара. Волгоград і Перемена, 2000. С. 179-190.
[2] Мартынов Л. М. Об одном радикале алгебр со свойством трансвербальности по минимальным многообразиям // Вестник Ом. ун-та. 2004. № 3. С. 19-21.
[3] Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М. і Наука, 1982. 288 c.
[4] Мартынов Л. М. Редуцированные многообразия полугрупп // Известия вузов. Математика. 2004. № 2. С. 76-79.
[б] Neumann B. H. Supplements of direct powers in cartesian powers // Math. Z. 1965. V. 87. P. 17-18.
[6] Мартынов Л. М. О многообразиях разрешимых алгебр // Изв. вузов. Математика. 1989. № 6. С. 85-87.
[7] НейманХ. Многообразия групп. М. і Мир, 1969. 264 с.
[8] Neumann P. M. On the structure of standard wreath products of groups // Math. Z. 1964. V. 84. P. 343-373.
[9] Шеврин Л. Н. Полугруппы // Общая алгебра / под ред. Л. А. Скорнякова. M. і Наука, 1991. T. II. С. 11-191.
[10] Мартынов Л. М. Об относительно полных алгебрах // Вестник Ом. ун-та. 2000. № 3. С. 9-11.
[11] Мартынов Л. М. Многообразия, в которых каждая полугруппа является редуцированной // Математика и информатикаі наука и образование і межвуз. сб. науч. тр. і ежегодник. Омск і Изд-во ОмГПУ, 2004. Вып. 4. С. 3-10.
