Пространственно-непрерывная экономика и информационно-термодинамические принципы управления Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

Экономическая наука современной России

№ 1, 2003 г.

Пространственно-непрерывная экономика и информационно-термодинамические принципы управления

© В.Т. Волов, 2003

Предложен синтетический метод анализа и управления пространственно-континуальной экономической структурой для случая, когда экономические переменные подчиняются гра-диентно-дивергентным законам. Получена формула для определения условной энтропии распределения соответствующих переменных.

1. Введение

В научно-технической литературе, посвященной исследованию динамики развития городов, можно выделить три направления:

1) неоклассический подход к развитию экономики городов; данное направление предложено экономистами-урбанистами (Debreu, 1959). Он анализирует только равновесные состояния и при условии их устойчивости;

2) наука о регионах и географии - регио-новедение (Wilson, 1981). При данном подходе экономическое пространство разбивается на дискретные зоны, что не позволяет объяснить динамические процессы внутри градообразующих систем (Занг, 1999);

3) применение уравнений поля к экономическим переменным в некотором замкнутом пространстве позволяет по-новому

взглянуть на экономическую теорию размещения фон Тюнена.

Рассмотрим модель М. Бекмана и Т. Пуу (Занг, 1999) транспортировки товаров в непрерывном экономическом пространстве. Считаем, что экономическая система располагается в непрерывном двухмерном пространстве и исследуемая область А замкнута. Предположим, что в каждой точке заданы количества произведенного и потребляемого товара. Требуется определить равновесные цены, объем и направление перевозок товаров для пространственных и протяженных конкурентных рынков, а также условия устойчивости экономики.

Пусть разность между плотностями спроса и предложения в каждой точке пространства (хь х2) задается функцией г = г(хь Х2). Условие равновесия пространственных рынков для замкнутой области

имеет вид:

Цг(х1, х2)йх1йх2 = 0.

(1)

Л |дл=о,

(2)

— = б ятай р - в к (г) ,

(3)

йр йг

= -( г + —),

(4)

Предположим, что существуют области, в которых г(хь Х2) ^ 0. Это означает, что функция г знакопеременна, т.е. существуют области, где спрос превышает предложение, а есть области, где предложение превышает спрос. Следовательно, имеют место потоки товаров, направленные от точек превышения предложения товаров к точкам превышения спроса. Движение товаров описывается с помощью непрерывного векторного поля потока товаров, обозначим

его — = — (х1, х2). Аналитическое выражение замкнутости системы имеет вид:

где п - направление, ортогональное к и границе 5Л области А.

Развивая модель М. Бекмана и Т. Пуу, В.-Б. Занг добавил динамический механизм установления равновесия, который способен возвратить возмущенную систему в равновесное состояние (Занг, 1999). Наличие такого механизма доказывает, что найденная динамика устойчива в долговременном масштабе.

Если р и — - возможные градообразующие распределения (например, р - цена

товара, — - поток товаров), которые удовлетворяют граничным условиям, то динамические уравнения установления по В.-Б. Зангу имеют вид:

где к(г) - транспортные издержки на перевозку единицы товара на единицу расстояния ([к] = 1 руб./(ед. тов. х ед. пути). В уравнениях (3)-(4) коэффициенты а и Р имеют одну и ту же размерность ([а] = [Р] = [м2/с2]). Следует отметить, что эти уравнения являются уравнениями поля сплошной среды: (3) - уравнение движения сплошной среды, (4) - уравнение сплошности, а ¿(х^ х2) - это функция источника (в экономическом пространстве г(хь х2), где плотность спроса превышает плотность предложения).

Устойчивость решения уравнений поля сплошной среды доказана в многочисленных работах (см., например Ландау, Лиф-шиц, 1986). Согласно этим работам, модель (3)-(4) пространственно-непрерывной экономики является также устойчивой. Но этот факт не дает ответа на вопрос: какое из устойчивых состояний экономической системы предпочтительнее с точки зрения долговременной перспективы развития? В общем случае критерием устойчивости для данной экономической системы является критерий Ляпунова - отсутствие роста флуктуации экономических переменных (производства товаров, цен, инфляции и т.д.) во времени.

2. Синтетическая модель для пространственно -непрерывной экономики

Применим к динамическому описанию пространственно-непрерывной экономики

§

а о 2 К £

а а о

р

о

(уравнения (1)-(4)) информационно-термодинамический подход, что позволит нам использовать весь арсенал универсальных термодинамических методов, которые имеют фундаментальные критерии устойчивости систем и учитывают деструктивные необратимые процессы в развивающихся экономических системах. С этой целью введем выражение для условной энтропии (квазиэнтропии) Н для оценки качества распределения плотности антропогенных и экономических параметров (количество товаров на единицу площади (плотность товаров)), имеющее следующий вид:

Н (г ) = 1 -а1п<

р (г )

равном.

(5)

5 (г )

Л

где

и

СО

о

о

с^

т-н

01

2

♦

к

к

о

о

О

сх

>я

о

я

я

ф

2

ф

а

со

о

о

я

и

л

я

я

к

я

и

о

ф

У

я

2

о

я

о

И

СО

Н = 1 -а 1п

511

5 (г )1'

(5а)

ранения экономической переменной, время г в (5) является параметром:

р«

равном

'шах

| р (5(г), г) (г)

5ш

(6)

Изменение абсолютной величины распределенной экономической переменной (товаров, людей, денег и т.д.) может быть описано уравнением:

т = т0 ехр (Р(г)-г), (7)

5 (0)

где то=

| р((0),0) - абсолютное

усред-

р (г) = 1 | р (5, г) (г) / 5(г)

V о 0

ненное по площади 5 значение плотности экономической переменной; 5(г) - площадь распространения экономической переменной - это территория, где экономическая переменная р не равна нулю; р(5, г) -текущее распределение плотности экономической переменной по площади 5(г); а -безразмерный коэффициент, 0 < а < 1, конкретное значение а выбирается по минимальному значению площади 5ш;п = 50 для рассматриваемого экономического процесса. Выражение (5) может быть переписано в эквивалентной форме через площади распространения процесса:

суммарное значение экономической переменной, находящейся на территории 5(0); Р(г) - декремент затухания или роста экономической переменной р(5(г), г).

Выражения (5) и (5а) для условной энтропии отвечают всем необходимым условиям:

1) величина условной энтропии позитивна Н > 0;

2) условная энтропия Н подчиняется принципу:

N

Н Н;

г=1

(8)

3) условная энтропия изменяется в пределах Н е [0, 1]:

5

а) Н = 0,

б) Н = 1,

5 (г) 5 (г)

= ехр

= 1;

(9)

где 5шах - общая площадь территорий, 5(г) - текущее значение площади распрост-

в) Н = Н

5„

5 (г)

= ехр

1 - Н 0

а

0

где Н* = 0,618 - так называемое золотое сечение.

Выражение условной энтропии (5а) удовлетворяет второму началу термодинамики в информационном прочтении:

йН = 1 (г)

йг £>(г) йг

> 0,

(10)

с18 (г)

> 0

если нет противодействующих

Синтетическое описание модели - динамическое описание экономики (уравнения (1)-(4)) и энтропийное (5а) - позволяет использовать весь арсенал методов линейной неравновесной термодинамики. Согласно теореме о минимуме производства энтропии (Гленсдорф, Пригожин, 1973), получаем условие для структурной устойчивости трансформирования пространственно-непрерывной экономики:

йг

сил извне.

На рис. 1 показано применение условной энтропии (5) для распределения пространственно-непрерывных экономических переменных.

ЖР п п ЖН

— < 0, где Р =-.

йг йг

(11)

Подставив в уравнение (11) выражение (5 а) для случая нейтральной устойчивости

Н = 0

р' * --ь-

"V"

Н =1

^/Ррагн.

- 0 —

§

а о 2 а л (о о к и а

а

о и чз (о 2 (О

а а о к<

р

о

Рис. 1. Иллюстрация использования условной энтропии (5) для распределения пространственно-непрерывных экономических переменных

структуры экономической системы (йР/йг = 0), получим в явном виде следующее дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

йУ йг

У 2 5 (г)

где У =

(г) йг

(12)

5 (г) - 5 (0) = }

(

1/

• йгх

ад

+с

л

йг.

(13)

и

СО

о

о

с^

т-н

01

2

♦

к

к

о

о

О

сх

>к

о

я

я

ф

2

ф

а

со

о

о

я

и

л

я

я

к

я

и

о

ф

У

я

2

о

я

о

И

СО

5 шах(г,) - 5 (0) = |

4 Г Г

Г г

0 Г

V J _ 0

1

л

1 йг1

Щ)

+с

йг. (14)

5 (г) = 5 (0) +

5 шах(г,) - 5 (0)

г;

(15)

5 (г ) = 5 ( 0 ) ехр (а-г).

(16)

ких переменных (см. рис. 2, 3). Экспоненциальный режим распространения экономических переменных приводит систему в состояние нейтральной устойчивости, что представляет собой границу структурной устойчивости трансформирования экономической системы, за которой следует

В результате интегрирования уравнения (12) получаем закон распространения экономических переменных пространственно-непрерывной экономики для случая нейтральной структурной устойчивости системы:

Константа С в (13) определяется при конечном времени эволюции системы:

Рассмотрим два случая распространения экономических переменных:

1) линейный закон распространения:

2) экспоненциальный закон распространения:

После подстановки соответствующих законов (15), (16) в выражение условной энтропии (5а) и определения знака производной по времени от производства энтропии (Р = йН/йг) видна устойчивость линейного случая распространения экономичес-

Рис. 2. Зависимость изменения условий энтропии Н экономической системы от времени при экспоненциальном законе распространения экономических переменных

И

0,75 0,5 0.25

0

/

/ /

/ 1/

/

ГШ 0.5 0,75 1

Рис. 3. Зависимость изменения условий энтропии Н экономической системы от времени при линейном законе распространения экономических переменных

структурная неустойчивость системы, т.е. ее кризис.

В работах (Волов, 2000, 2001) было показано, что правило «золотого сечения» отвечает наилучшему функционированию сложных систем самой разнообразной природы. Критерием оптимизации структурной перестройки пространственно-непрерывной экономики в предлагаемом методе является не максимизация прибыли или минимизация издержек, а устойчивое, бескризисное развитие системы (Волов, 2001). В качестве целевой функции структурной перестройки пространственно-непрерывной экономики используем приведение структуры экономической системы к состоянию, соответствующему «золотому сечению»:

/(Н)^ Н. (17)

Функция /(Н) позволяет трансформировать пространственно-непрерывную структуру экономической системы из состояния, соответствующего условной энтропии Н, в оптимальное состояние, соответствующее энтропии «золотого сечения» Н*. В качестве структурной траектории трансформирования экономической системы для функции /(Н) берутся решения (13), (14), опирающиеся на фундаментальные понятия термодинамики (5), (5а) и теорему о производстве энтропии (Гленсдорф, Пригожин, 1973).

Система уравнений (1)-(3), (5), (11), (12) представляет собой основу предлагаемого синтетического метода прогнозирования пространственно-непрерывных экономических систем. Уравнения (1)-(3) при заданных постоянных значениях q и к решаются независимо от уравнений (4), (5), (11), (12), а уравнения (4), (6), (9), (10) позволяют оценить качество распределения

экономических параметров в пространственно-непрерывной экономической системе и дать рекомендации по ее устойчивому трансформированию.

3. Обсуждение результатов использования моделей

В общем случае при непостоянных г и к имеем систему нелинейных нестационарных дифференциальных уравнений (1)- (3), решающихся совместно с информационно-термодинамическими уравнениями (4), (5), (11), (12). Это позволяет дать комбинированное описание эволюции экономической системы и управления ею с помощью динамического и термодинамического подходов.

Рассмотрим конкретный пример пространственно-непрерывной экономики (1)-(4), представленный в (Занг, 1999) для ста-

(лт Яр \

~д1= 0, ~дГ = 0). В

этом случае уравнение (2) будет иметь вид:

к — = вгаН р, — * 0). (18)

Поток товаров — имеет размерность:

[—] = [ рК ] = х м,

ед. тов. с

где V - скорость перемещения товаров.

Как известно, в области А в условиях чистой конкуренции продажа товаров осуществляется только тогда, когда продавцы не имеют потерь (Занг, 1999):

§гаё р = к, (19)

§

а о 2 а л

а а о к<

р

о

N3

о

О

ы

, = ф г др г г

где §гай р = дХ* + , где *,./ - единичные орты по оси X и У. При величине потока товара, равной нулю, должно выполняться неравенство:

|§гаё р| < к.

Уравнение (1) в данном случае определяет соотношения между монетарными, а уравнение (2) - между вещественными переменными. Следует отметить, что поток товаров имеет то же направление, что и градиент цен на товары (§гаё р). Превышение плотности спроса над плотностью предложения имеет размерность:

ед. тов. с '

И = = [Р V],

ед. тов. с где V - частота спроса (1/с).

4. Заключение

Предлагаемый синтетический метод при дальнейшей опытной апробации может стать перспективным инструментом анализа структурной эволюции экономической системы. Используя энтропийные критерии устойчивости (5), (5а), (11), можно осуществлять управление пространственно-непрерывной экономикой, например, за счет ценовой политики.

Литература

Волов В. Т. Фрактально-кластерная теория управления образовательными структурами. - Казань: Изд-во Казанского гос. ун-та, 2000.

Волов В. Т. Экономика, флуктуации и термодинамика. - Самара: Изд-во Самарского научного центра РАН, 2001.

Гленсдорф П., Пригожин И. Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций. -М.: Мир, 1973.

Занг В.-Б. Синергетическая экономика. - М.: Мир, 1999.

Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. - М.: Наука, 1986.

Arrow K.J., Nurwich L. On the Stability of the Competitive Equilibrium // Econometrica. V. XXVI.

1958. P. 522-552.

Debreu G. Theory of Value. Yale University press,

1959.

Wilson A.G. Catastrophe Theory and Bifurcation: Application to Urban and Regional Systems. London: Choom Helm, 1981.

Статья поступила в редакцию 9.04.2002 г.