Пространства весовых последовательностей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.5

ПРОСТРАНСТВА ВЕСОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ © К. П. Исаев*, А. В. Луценко, В. И. Луценко

Башкирский государственный университет Россия, Республика Башкортостан, 450076 г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.

Тел.: +7 (917) 408 40 23.

*ЕтаИ: [email protected]

Известно, что при изучении вопросов полноты и разложения в ряды, состоящие из систем экспонент, применяются функции из сопряженного пространства. В данной статье рассматриваются весовые пространства последовательностей. Дается описание сопряженного пространства к взвешенным последовательностям относительно обобщенного преобразования Фурье-Лапласа. При более жестких условиях на веса устанавливается почти-изометрия рассмотренных пространств.

Ключевые слова: последовательности, весовые пространства, пространства функционалов, целые функции, сопряженные пространства, преобразование Фурье-Лапласа, ряды, безусловные базисы.

Введение и необходимые обозначения

Описанию сопряженных пространств с помощью преобразования Фурье-Лапласа посвящены многие работы [1-12]. Построение таких пространств, стало возможным посредством определения асимптотического поведения интегралов Лапласа. Изучением такого вида вопросов посвящены статьи [13-16]. Такое описание служит инструментом для изучения различных базисов и разложения по ним в ряды. Посмотреть такие работы и их обзоры можно в [17-24].

Пусть - положительная последова-

тельность. Рассмотрим пространство

lw — ){bn}n=-

--I

\К\ w„

< то}

Нашей задачей будет описание пространства функционалов над с помощью обобщенного преобразования Фурье-Лапласа

Ь(2) = (Ь,е2)=£+Т_<

b„ez

. где

(Р {.bn}n=-w ]п = -го).

Обозначим <p(ri) = In^W^ и введем функцию cp(t) = (ср(к + 1) — cp(k))t + +ф(к) — к((р(к + 1) - (р(к)) при t Е [к,к + 1),к Е Ъ. Графиком этой функции является ломаная с вершинами в целочисленных

точках. Положим, ф(х) = sup(xt — p(t)) - сопря-

t

женная по Юнгу к функции <р(х). Пусть хк = = ф(к + 1) — ф(к). Определим I = {х ЕШ: ф(х) < < то] и функцию Pip (х) из условия

ф(х + р(х)) + ф(х — р(х)) — 2ф(х) = 1.

Основной результат Теорема 1. Обобщенное преобразование Фурье-Лапласа b(z) функционала Ъ на является аналитической в полосе I + Ш и 2п - периодичной по переменной у функцией, удовлетворяющей условию

< е2

\w,

где норма функции 'b(z) определяется следующим образом

- I 1 jlHxn + iyrfdye-W^p^)

Если функция <р (t) - выпуклая, то простран-

ство

I2 =

\{.Ь-п}п=-

- I \Ьп\

2е-2р(п) <

изоморфно пространству аналитических в полосе I + Ж и 2п - периодичных по переменной у функций с нормой .

Более того, справедливы неравенства 12

< е2

(т.е. пространства почти изометричны).

Приведенная теорема основана на следующих результатах.

В работах ([1], [2]) фактически приведено доказательство следующей леммы.

Лемма 2. ([1], [2]) Пусть ф (V) - выпуклая функция, определенная на (а,Ь), (где а, Ь могут быть бесконечными), 7р (х) - сопряженная по Юнгу к функции <р (Ь).

Тогда для VI Е (а, Ь), справедливы неравенства

е_2 < е_2<рЦ) ^ еых_тх) р9(х)аф'(х) < е2,

Где р<р (х) определяется из условия

ф(х + р(х)) + ф(х — р(х)) — 2ф(х) = 1.

Переформулируем эту лемму для введенной нами последовательности {ф(к)}+=?_т^

Лемма 3. Пусть {(р(к)}+=_т - выпуклая последовательность (ф(—т) = ф(+т) =

Тогда для Чк ЕЪ выполняются неравенства

< е

-2у(к)

I

2кхп—2<р(хп)

Р;р(х) < е2

п

п=—С

—П

2

С

п=—С

2

СО

е

п=—С

2

е

п=—С

Лемма 4. ([15]) Пусть (p(t) - выпуклая функция, определенная на Ш, ф(х) - сопряженная по Юнгу к функции <р (t). Тогда существуют абсолютные константы т,М > 0:

те

<р(х)

Рср(Х)

<f

,xt-<p(t)dt <

Mev(x) Pip(X) '

Доказательство теоремы 1. 1) Пусть последовательность Ъ Е 12. Покажем, что обобщенное пре-

Ъпе£

яв-

образование Фурье-Лапласа Ь(г) = %ПП=-п

"уп

ляется аналитической полосе I + Ж и 2п - периодичной по у функцией.

Действительно, из 2п - периодичности еп2 следует 2п - периодичность Ь(г). Далее,

|г«|2 =

1

Ке2

W„

<

= с,

+ю

< 1\

п=—ю

+ю

1 ехк—

п=—ю

ы-

w„

Zexk

<Mlf

j2xt—2H(x) ^^

(и(х) = ф(х)).

Сделав замену гр(у) = 2й(х),х = - и применив

лемму 4, получим следующее неравенство:

е2<р(х)

12

\b(z)\2<M-

Р2<р(хУ

Отсюда, очевидно, следует аналитичность функции Ь(г) в полосе I + Ж.

2) Пусть Р(г) - 2п -периодичная по переменной у и аналитическая в полосе I + Ж.

Следовательно, аналитическую функцию Р(г) можно разложить в ряд Фурье Р(г + 1х) = Екп-п ск(х)е1ку. При этом выполняется равенство Парсеваля:

|\Р(2 + 1х)\Чу= ^ \Ск(х)\2.

—п

Обозначим

bk(x) = ск(х) •Wh • е

-кх

тогда

Р(г) = ПП-пЬк(х) Покажем, что Ьк(х) не зависят от х. Действительно, пусть ф(х±) < га и ф(х2) < га, х1,х2 Е К. Р(г) - аналитична в прямоугольнике

П = {(х,у): х1 < х < х2, —л <у <л}.

Поэтому —¡ Р(г) е-2Пйг = 0.

i

Кроме того из периодичности F (z) следует, что

2лf f(x- ы)е

— (x—i7T)ndx =

x±

X2

= 1f

2n J

F(x + m)e—(x+in)ndx.

Xi

Тогда имеем

1f

2л J

— п

п

= ±П 2л J

F(x1 + iy)e

— (Xi + iy)n

dy =

F(X2 + iy)e

-(X2 + iy)n

dy.

Учитывая разложение функции F,

п ю

1 f 1 ск(х1) eiky—inye—xindy =

—п к=—ю

п ю

= Ъг f 1 ск(х2) eiky—inye—x2ndy.

—п к=—ю

Ряд Фурье аналитической функции сходится равномерно, следовательно

+ п / п \

X ( I е1кУ-ПУ йУ ) е-Х1Пск(х1) =

к=-ж\-„ )

+ п / п \

= Х(1 I е1кУ-ЫУ аУ)е-Х2ПСк(х2).

к=-п \ -п )

Система [е1ку}кп-(п - ортонормированная, поэтому

е-Х1ПСк(х1) = е-Х2ПСк(х2). Таким образом,

Тп(х1) = сп(х1)^Щ}^е-пХ1 = = с^) • Щ1 • е-пХ2 = Ьп(х2), то есть Ьп действительно являются инвариантами относительно х. Мы показали, что Р(г) =

_ егк

+п Ъъ^—, то есть, если {Ьк}Щ-п Е , то

у + ю

Ьк=—юик Wk F(z) = b(z).

3) Нам осталось показать, что если b Е IW, то

следующий рад сходится

+ю п 12 — > _ I I h I •

1<Р

+ю п

= flb&n + iyrfdye

—2<р(хп)

Р<р (хп) .

П=—ю —п

И обратно, если ||F||| < га, то WbpW2^ < га. Запишем равенство Парсеваля для функции F

п +ю

1 f \F(x + iy)\2dy= 1 \ск(х)\2 =

= 1

\Ък\2 е

к=—ю 2 г,2х к

Тогда

к=—ю

Щ wk

+ю +ю

WFW| = I I

\Ьк\2 e2kxn—2tp(xn)

"ft ^

п=—ю к=—ю Ю " |2 02kxn—2(p{xn)

P<p (%n )

= у \bk\2 у

1 Wk 1

к=—ю

wb

■•P<p(xn).

Используя верхнюю оценку леммы 3, получаем неравенство

< e2

1

к=—ю

\bk\2 е2й(к)

W„

W„

,(u(x) = ф (x)).

п

2

п=—ю

п=—ю

Ш

ю

п

п=—ю

2

Поскольку и (к) < ф(к) — lnJWk, то из по-

следнего неравенства вытекает соотношение Wb\^ — \\F\\l<e2\\b\\l<™

\<р

доказывающее первое утверждение теоремы. Если функция <р - выпуклая, то й(к) = ф(к) = = . Поэтому из оценки снизу леммы 3 полу-

чаем, что если |^||| < то, то конечна и норма для Ьр

е_211Ьг111 = 11П1<™.

И также получаем справедливость следующих неравенств

\1<

< е2

Замечание 1. В теореме 1 норму для аналитических функций, учитывая лемму 4, можно записать

в следующем виде:

пС

\\F\\l - I

1 i*jF(xn + iy)\2dy

2п Т+Сао е2кхп—2<Р(к)

Замечание 2. В работе [25] рассмотрен проективный предел пространств весовых последовательностей, что послужило толчком для применения результатов работы [1] при описании сопряженного пространства в более тонкой топологии.

ЛИТЕРАТУРА

1. Луценко В. И., Юлмухаметов Р. С. Обобщение теоремы Пэли-Винера на весовые пространства. // Математические заметки. 1990. Т.48, Вып.5. С. 80-87.

2. Луценко В. И. Теорема Пэли-Винера на неограниченном интервале // Исследования по теории приближений. Уфа. 1989. С. 79-85.

3. Луценко В. И., Юлмухаметов Р. С. Описание функционалов для весовых пространств с радиальным весом. // Вестник УГАТУ. 2007. Т.9, №3(21) С. 80-87.

4. Напалков В. В. Пространства аналитических функций заданного роста вблизи границы. // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1987. Т.51, №2. С. 287-305.

5. Любарский Ю. И. Теорема Винера-Пэли для выпуклых множеств. // Изв. АН Арм. ССР. 1988. Т.ХХШ. №2. С. 163-172.

6. Луценко В. И., Юлмухаметов Р. С. Теорема Пэли-Винера в пространствах Смирнова. Труды МИАН им. В. А. Стек-лова. 1991. Т.200. С. 245-254.

7. Исаев К. П., Юлмухаметов Р. С. Преобразование Лапласа функционалов на пространствах Бергмана. // Изв. АН СССР. Сер. матем. 2004. Т.68, №1. С. 5-42.

8. Абузярова Н. Ф., Юлмухаметов Р. С. Сопряженные пространства к весовым пространствам аналитических функций. // Сиб. мат. ж. 2001. Т.42, т. С.3-17.

9. Башмаков Р. А. О пространстве сопряженном к пространству Карлемана.// Комплексный анализ, дифференциальные уравнения, численные методы и приложения. 1. Комплексный анализ. Уфа, 1996. С.10-15.

10. Седлецкий A. M. Классы аналитических преобразований Фурье и экспоненциальные аппроксимации. // М. 2005, 504 с.

11. Юлмухаметов Р. С. Квазианалитические классы функций в выпуклых областях . // Матем. сб. 1986. Т.130(172). №4(8) 3. С. 500-519.

12. Saitoh S. Fourier Laplace transforms and Bergman spaces on the tube domains. // Мат. вести. 1987, 38, №4, C.571-586.

13. Юлмухаметов Р. С. Асимптотическая аппроксимация субгармонических фщнкций. Сиб. мат. ж. 1985. Т.26. №4. С. 159-175.

14. Юлмухаметов Р. С. Асимптотика многомерного интеграла Лапласа. // Сб. БНЦ УрО АН СССР, Уфа, 1989 .

15. Юлмухаметов Р. С. Асимптотика многомерного интеграла Лапласа // Исследования по теории приближений. Уфа. 1989. С. 132-139.

16. Башмаков Р. А., Исаев К. П. Асимптотическое поведение интегралов Лапласа. // Вестник Башкирского университета, 2006, №4, С. 3-6.

17. Леонтьев А. Ф. Ряды экспонент. // М. Наука, 1976.

18. Леонтьев А. Ф. О представлении произвольных функций рядами Дирихле. // ДАН СССР, 164, N1, (1965), 40-42.

19. Левин Б. Я., Любарский Ю. И. Интерполяция целыми функциями специальных классов и связанные с нею разложения в ряды экспонент. // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1975. Т.39. №3. С.657-702.

20. Коробейник Ю. Ф. О безусловных базисах в Гильбертовом пространстве. // Матем. заметки. 1976. Т.19. В.2. С. 259-266.

21. Любарский Ю. И. Ряды экспонент в пространствах Смирнова и интерполяция целыми функциями специальных классов. // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1988. Т.52. №3. С. 559-580.

22. Исаев К. П. Безусловные базисы из экспонент в пространствах Бергмана на выпуклых областях. // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук. Институт математики с ВЦ УНЦ РАН РАН. 2004 г.

23. Луценко В. И. Безусловные базисы из экспонент в пространствах Смирнова. // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук. Институт математики с ВЦ Уро РАН. 1992 г.

24. Никольский Н. К., Павлов B. C., Хрущев С. В. Безусловные базисы из экспонент и воспроизводящих ядер. // Препринт ЛОМИ, Р-8-80.

25. Напалков В. В., Шагапов И. А. Замкнутые идеалы в некоторых алгебрах целых периодических функций. // Доклады РАН. Т.354, N.6. 1989. С. 739-741.

2

—2

е

П= — С

Поступила в редакцию 11.08.2017 г.

SPACES OF THE WEIGHTED SEQUENCES

© K. P. Isaev*, A. V. Lutsenko, V. I. Lutsenko

Bashkir State University 32 Zaki Validi Street, 450076 Ufa, Republic of Bashkortostan, Russia.

Phone: +7 (917) 408 40 23. *Email: [email protected]

Let {Wk}+=-m be a positive sequence. Let us consider the space

i+ro

[bnYnT-^WbW2 = £

+ ^ - -2

w„

n = — <tt

In this work, the description of the conjugate space ( l^Y is obtained by means of the generalized Fourier-Laplace transform:

+ œ _

Zb ezn

-^-.(b = {bn}+=-œ, ez = iezn]+™-œ).

п=—ж

Let us designate p(n) = In^W and introduce the function

(p(t) = (p(k + 1) - p(k))t + p(k))t + p(k) - k(p(k + 1) - p(k))

at t £ [k,k + 1), k el. The graph of this function is the broken line with tops in integer points. Let Pp(x) = sup(xt - p(t)) be a Young transform of the function p(x). Let xk =

p(k + 1) - p(k). Let I = {x £ R: pp(x) < x>} and let us define p^(x) from the condition

pp(x + p(x)) + pp(x - p(x)) - 2Pp(x) = 1.

Theorem. The generalized Fourier-Laplace transform b(z) of a functional b £ (lW)* is a 2n-periodic on y analytic function in the strip I + iR satisfying the condition

Wb%<e2\\b\\2w,

where the norm of the function b(z) is defined as follows

WSWl= Z 1 jlb(xn + iy)l2dye-2t(*n)p„(xn).

If the function cp(t) is convex, then the space

Il = \{bn]+T-œ: \\b\\2 = £ lbnl2e-2<?(n) < œj

is isomorphic to the space of 2n-periodic on y analytic functions in the strip I + iR with the norm WFWl.

Moreover, inequalities

e-2\\b\\l<\\b\\l<e2\\b\\l hold true (i.e. the spaces are almost isomeric).

Keywords: sequences, weighted spaces, spaces of functionals, entire functions, conjugate spaces, Fourier-Laplace transform, series, unconditional bases.

Published in Russian. Do not hesitate to contact us at [email protected] if you need translation of the article.

n=-œ

ISSN 1998-4812

BeciHHK EamKHpcKoro yHHBepcHTeTa. 2017. T. 22. №3

631

REFERENCES

1. Lutsenko V. I., Yulmukhametov R. S. Matematicheskie zametki. 1990. Vol. 48, No. 5. Pp. 80-87.

2. Lutsenko V. I. Issledovaniya po teorii priblizhenii. Ufa. 1989. Pp. 79-85.

3. Lutsenko V. I., Yulmukhametov R. S. Vestnik UGATU. 2007. Vol. 9, No. 3(21) Pp. 80-87.

4. Napalkov V. V. Izv. AN SSSR. Ser. mat. 1987. Vol. 51, No. 2. Pp. 287-305.

5. Lyubarskii Yu. I. Izv. AN Arm. SSR. 1988. T.XXIII. No. 2. Pp. 163-172.

6. Lutsenko V. I., Yulmukhametov R. S. Teorema Peli-Vinera v prostranstvakh Smirnova. Trudy MIAN im. V. A. Steklova. 1991. Vol. 200. Pp. 245-254.

7. Isaev K. P., Yulmukhametov R. S. Izv. AN SSSR. Ser. matem. 2004. Vol. 68, No. 1. Pp. 5-42.

8. Abuzyarova N. F., Yulmukhametov R. S. Sib. mat. zh. 2001. Vol. 42, t. Pp. 3-17.

9. Bashmakov R. A. Kompleksnyi analiz, differentsial'nye uravneniya, chislennye metody i prilozheniya. 1. Kompleksnyi analiz. Ufa, 1996. Pp. 10-15.

10. Sedletskii A. M. M. 2005,

11. Yulmukhametov R. S. Matem. sb. 1986. Vol. 130(172). No. 4(8) 3. Pp. 500-519.

12. Saitoh S. Mat. vesti. 1987, 38, No. 4, Pp. 571-586.

13. Yulmukhametov R. S. Asimptoticheskaya approksimatsiya subgarmonicheskikh fshchnktsii. Sib. mat. zh. 1985. Vol. 26. No. 4. S. 159175.

14. Yulmukhametov R. S. Sb. BNTs UrO AN SSSR, Ufa, 1989 .

15. Yulmukhametov R. S. Issledovaniya po teorii priblizhenii. Ufa. 1989. Pp. 132-139.

16. Bashmakov R. A., Isaev K. P. Vestnik Bashkirskogo universiteta, 2006, No. 4, Pp. 3-6.

17. Leont'ev A. F. Ryady eksponent. M. Nauka, 1976.

18. Leont'ev A. F. DAN SSSR, 164, N1, (1965), 40-42.

19. Levin B. Ya., Lyubarskii Yu. I. Izv. AN SSSR. Ser. matem. 1975. Vol. 39. No. 3. Pp. 657-702.

20. Korobeinik Yu. F. Matem. zametki. 1976. Vol. 19. V.2. Pp. 259-266.

21. Lyubarskii Yu. I. Izv. AN SSSR. Ser. matem. 1988. Vol. 52. No. 3. Pp. 559-580.

22. Isaev K. P. Dissertatsiya na soiskanie uchenoi stepeni kandidata fiz.-mat. nauk. Institut matematiki s VTs UNTs RAN RAN. 2004 g.

23. Lutsenko V. I. Dissertatsiya na soiskanie uchenoi stepeni kandidata fiz.-mat. nauk. Institut matematiki s VTs Uro RAN. 1992 g.

24. Nikol'skii N. K., Pavlov B. C., Khrushchev S. V. Preprint LOMI, R-8-80.

25. Napalkov V. V., Shagapov I. A. Doklady RAN. Vol. 354, N.6. 1989. Pp. 739-741.

Received 11.08.2017.