CC BY
10ПРОСТРАНСТВА ХАРДИ НА КОМПАКТНЫХ РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ С КРАЕМ
A.B. Зуевский
Факультет Теоретической Математики, Вайцмановский Институт Науки, Реховот, 76100, Израиль
Аннотация
Мы рассматриваем голоморфное неразветвленное отображение двух произвольных конечных римановых поверхностей с краем. Распространяя отображение на дубли Х\ и Х2 римановых поверхностей, мы определяем векторное расслоение на втором дубле, как прямой образ векторного расслоения на первом дубле. Затем мы показываем, что пространства Харди ^х <Е> Д1)
и (р)5 ® ^2) изометрически изоморфны. Доказывая это, мы строим
точный изометрический изоморфизм и матричное представление фундаментальной группы 71"! (Х21 Ро), имея матричное представление % ^ фундаментальной группы ТТ^Хх,^).
1 Введение
Хорошо известно, как изучать пространства Харди, определенные на конечной римановой поверхности с краем [1, 26, 27, 35]. Для областей с более чем одной граничной компонентой, естественно ввести, кроме обычного положительно определенного внутреннего произведения на Н2, индефинитные внутренние произведения. Эти произведения могут быть введены выбором вазличных матриц сигнатур при интегрировании по различным компонентам границы римановой поверхности. В статье [3] было получено необходимое и достаточное условие невырожденности для такого индефинитного внутреннего произведения. Было показано, что при выполнении этого условия мы в действительности получаем пространство Крейна. Кроме того, каждое голоморфное отображение конечной римановой поверхности на единичный диск (которое отображет границу в границу) определяет явный изометрический изоморфизм между этим пространством и обычным векторно-значным пространством Харди на единичном диске с индефинитным внутренним произведением, определенным соответствующей эрмитовой матрицей. Как обычно, при изучении пространств Харди на многосвязных областях, элементы пространства являются сечениями векторного расслоения, а не функциями. Главной темой работы [3] было построение подходящего расширения этого расслоения на дубль конечной римановой поверхности с краем и использование ядра Коши для некоторого векторного расслоения на компактной римановой поверхности.
Пространства Харди на конечной римановой поверхности с краем, включая индефинитные пространства Харди, важны в теории моделей для коммутирующих несамосопряженных операторов [34]. Можно интерпретировать вышеупомянутый изоморфизм оператор-но-теоретически, поскольку он связан с изоморфизмом между модельным пространством пары коммутирующих несамосопряжнных операторов на конечной римановой поверхности с краем и обычным модельным пространством одного из операторов на единичном диске.
В этой работе мы заменяем голоморфное отображение конечной римановой поверхности с краем на единичный диск голоморфным отображением двух произвольных конечных римановых поверхностей ¿1 и ¿2, которое мы подразумеваем, однако, неразветленным.
В духе [3] можно ввести расширение векторного расслоения на конечных римановых поверхностях с краем на соответствующие дубли. Расширяя отображение на дубли Х\ и Х2 римановых
поверхностей ^ и мы определяем векторное расслоение У^2 на
Х 2
Х2 как прямой образ векторного расслоения У^1 на Х\. Мы вых!
бираем линейные расслоения дифференциалов веса половина (т.е., квадратные корни из канонического расслоения Кх^ & = 1,2) Д1 и
А2 так, что векторное расслоение У^2 ® Д2 на Хч было бы прямым
Х 2
образом векторного расслоения V*1 ® Дь Затем мы показываем,
X !
что пространства Харди Я2^1(гэ)(6'1, Ух <Е> А1) и Яг.^Ы^, <Е> А2) являются изометрически изоморфными. Доказывая это, мы строим а.) явный изометрический изоморфизм; б.) матричное представление % фундаментальной группы к 1^X2,ро)} заданное матричным представлением х фундаментальной группы тт^Хх^р'^).
На основе результатов работы [3] и Теоремы, доказанной в настоящей работе, мы затем вводим ковариантный функтор из категории ТШ конечных римановых поверхностей с краем, векторными расслоениями и матрицами сигнатур в категорию пространств Крей-на и изоморфизмов, которые являются разветленными накрытиями римановых поверхностей.
Изоморфизм, установленный в этой работе, имеет также опера-торно—теоретическую интерпретацию, а именно, имея пару коммутирующих несамосопряженных операторов с модельным пространством на 61, (разветленное) накрытие позволяет нам построить пару коммутирующих несамосопряженных операторов с модельным пространством на ¿2.
2 Предварительные сведения
Как мы заметили во Введении, индефинитные пространства Харди [21], [11], [17] на конечной римановой поверхности с краем были рассмотрены в [3].
Определение. Пусть 3 — ш X ш унитарная самосопряженная матрица. Такая матрица обычно называется матрицей сигнатур. (На самом деле, можно взять любую несингулярную самосопряжен-
ную матрицу J). Пространство Харди Н™ на единичном диске D, снабженное индефинитным внутренним произведением
1 г27Т
[/> 9] j = 2тг j0 9(eltrjf(elt)dt (2.1)
является пространством Крейна, обозначаемое H™j. Это пространство играет важную роль в теории интерполяций [12] и теории моделей [8]. По поводу общей теории пространств Крейна см. [9, 22, 4].
Предположим теперь, что мы имеем некоторую открытую ри-манову поверхность S, такую, что S U dS является конечной ри-мановой поверхностью с краем (т.е., компактнаой римановой поверхностью с границей), с границей dS, состоящей из k > 1 компонент Ло,..., Xk-1- Мы рассматриваем аналитические сечения плоского унитарного векторного расслоения Vx на S ранга га, соответствующее гомомофизму % из фундаментальной группы iri(S}po) в группу U(га) га X га унитарных матриц. Аналитическое сечение / расслоения Vx над S есть аналитическая Ст-значимая функция на универсальной накрывающей S поверхности S, удовлетворяющая
f(Tp) = Х(Т)№ (2.2)
для всех р £ S и всех deck—преобразований Т поверхности S над S} которые мы идентифицируем с элементами фундаментальной группы 7Ti(S', р); / может быть представлена, как мультипликативная многозначная функция на S. Мы рассматриваем также мультипликативные дифференциалы веса половина [3], т.е. сечения некоторого векторного расслоения в форме где Vx — плоское унитарное векторное расслоение на S, как и выше, и А — квадратный корень из канонического расслоения на S: А <Е> А = Kg-
Определение. Пространство Харди H2(S, Vx (£) А) на римановой поверхности S — множество сечений / векторного расслоения Vx (£) А, аналитического на S} удовлетворяющего
sup £ f КрУКр) < ос (2.3)
1-е<г<1 г=0 JXi(r)
для некоторых е > 0. В (2.3) ^¿(г) обозначают гладкие простые замкнутые кривые на S} аппроксимирующие Я^-, i = 0,..., к — 1 ([3]):
если Zi~граничный униформизатор в окрестности компоненты границы Xi, тогда Хг(г) задается равенством = г.
Заметим, что, поскольку f(p) — есть сечение расслоения Vx (£) А, выражение f(p)*f(p) является сечением расслоения |A"s|, |A"s| — линейное расслоение с функциями перехода, являющимися абсолютными значениями функций перехода Kg] сечения |.ifs| могут быть локально представлены как r](t)\dt(p)\} где t(p)— локальный параметр. Таким образом, можно проинтегрировать f(p)*f(p) вдоль кривых на S} и (2.3) имеет смысл.
Пространство H2(S, V^®A) является Гильбертовым пространством с внутренним проиведением
<1д>= Нт£/ 9(р)*М. (2-4)
г=0 JX¿И
По поводу связей между H2(S}VX (£) А) и пространствами Харди функций на S по отношению к гармонической мере на dS, см. [3].
Определение. Обозначим i72,j(p)(<S', Vx 0 А) аналог пространства Крейна H™j S} которое является пространством Харди H2(S}VX (£) А), снабженным индефинитным внутренним произведением
[/А(р) = Е/ 9(pyj(p)f(p), (2-5)
г=0 JXi
где f(p) — нетангенциальные граничные значения f(p), которые существуют почти везде на dS (см. [3]) и J(p) — локально постоянная матричная функция на dS, чьи значения т X т матриц сигнатур, удовлетворяющие
x(Tyj(Tp)x(T) = J(p) (2.6)
для всех р £ dS и всех Т £ ir\(S}po). Выражение д(р)*J(p)f(p) в (2.5) означает, что g(p)*J(p)f(p), где р £ dS над р £ dS. Это хорошо определенное сечение \Ks\, ВВИДУ трансформационного свойства J(p). Существует некоторая свобода в выборе J(p) для данного Vx. В самом деле, выберем точки pi £ Xi, i = 0, ...,£; — 1. Пусть Сг- — кривая на S, соединяющая ро с р{. Положим Ai = C~lXiCi £ ро)
(см. Дополнение). Тогда класс гомотопии кривой Сг- определяет
некоторую компоненту Х{ поверхности дБ} лежащую над Я^-, и постоянным значением .]{ матрицы -]{р) на Х{ может быть произвольная т X т матрица сигнатур, удовлетворяющая
= ^ (2-7)
любая другая компонента дБ, лежащая над Х{ может быть получена из Х{ некоторым ¿еск—преобразованием К. Значение -]{р) на этой компоненте есть х(И)*ЛгХ(К)- В случае линейных расслоений (т.е. т = 1), выбор -]{р) сводится к произвольному выбору знака ±1 для каждого Х{. Мы будем часто подразумевать выбор компонент Х{ произведенным и обозначать Н2^(Р)(Б, в виде #2,,/о,-Л-1 ^х®
А). Пространство Н2^0,...^к_1(Б}\/х(£)А) — естественный пример пространства с индефинитным внутренним произведением. Оно связано с теорий моделей пар коммутирующих несамосопряженных операторов и теорией интерполяций на многосвязных областях.
В статье [3] было построено подходящее расширение Ух на £ в дубль X римановой поверхности б1. Имея плоское унитарное векторное расслоение на конечной римановой поверхности с краем, вместе с множеством матриц сигнатур, это расслоение может быть единственным образом расширено на плоское унитарное векторное расслоение на дубле, удовлетворяющее некоторым свойствам симметрии. Вспомним это построение.
Заметим, что, в силу идентификации границ, комплексные структуры на двух копиях Б} составляющих X, являются зеркальными отображениями друг друга, т.е. существует некоторая анти-голо-морфная инволюция т : X —у X, которая отображает Б в Б . Следовательно X — компактная вещественная риманова поверхность, или, эквивалентно, риманова поверхность вещественной алгебраической кривой. Род д дубля X поверхности Б равен д = 2з + к — 1, где з есть род б1. Множество Х$ фиксированых точек инволюции т (вещественные точки X) совпадает с границей дБ поверхности б1. Далее, X — это вещественная риманова поверхность разделяющего типа: дополнение Х\Х$ состоит из двух связных компонент Х+ = Б и = Б\ переставляемых инволюцией т. Обратное тоже верно: любая вещественная риманова поверхность разделяющего типа является дублем конечной римановой поверхности с краем. Анти-голо-морфная инволюция т действует как на фундаментальную группу
7Ti(X, po)} так и на универсальную накрывающую X дубля X (вспомним, что фундаментальная группа тт\(Х, ро) изоморфна группе deck— преобразований Deck(X/X). Оно также естественно действует на комплексные голоморфные векторные расслоения на X: функции перехода векторного расслоения Vr являются комплексно-сопряженными функциям перехода расслоения V в точке, сопряженной по отношению к действию т.
Рассмотрим векторное расслоение H на X ранга m с deg H = m(g — 1), удовлетворяющее условию h°(H) = 0. Такое векторное расслоение, являющееся с необходимостью по форме H = Vx (£) А, где Vx — плоское векторное расслоение ранга m на X, и А — квадратный корень из Кх [6]. Эти векторные расслоения тесно связаны с детерминантными представлениями алгебраических кривых и играют важную роль в теории коммутирующих несамосопряженных операторов, связанных с теорией 2D систем [30, 31, 33, 6, 7].
Пусть H — такое, что существует невырожденное билинейное спаривание H X Нт —у Кх, которое является параэрмитовым. Свойство параэрмитовости означает, что
(1дт)(р) = (д,П(рт) (2.8)
для всех локально голоморфных сечений / и g расслоения H в окрестности р и рт соответственно. Мы предполагаем также, что линейное расслоение А было выбрано так, что А = Дт и что функции перехода А симметричны по отношению к г [14]; тогда мы получаем параэрмитовое невырожденное билинейное спаривание VX®VX или точнее, везде несингулярную голоморфную mxm
матричнозначную функцию G на универсальной накрывающей X, имеющую свойство
Gif)* = G(p), (2.9)
удовлетворяющую соотношению
x(TyG(Tp)x(T) = G(p), (2.10)
где Т G 7Ti(X,ро). Спаривание H X Нт —у Кх тогда дано явно
(f,d)(p) = d(pTrG(p)f(p). (2.11)
Теперь введем (в общем случае) индефинитное внутреннее произведение
[1д}а(р) = ! 9(?ТО{р)Ш (2-12)
где / и д измеримые сечения Н над X¡. Здесь и в аналогичных выражениях, интеграл вычислен на X и интегрант не зависит от выбора р £ X над р £ X. Поскольку в (2.12) р £ X лежит над некоторой точкой Xсуществует Тр £ ро) такое, что рт = Т,~рр.
Следовательно, (2.12) может быть переписано как
[Ща{р) = ! 9(рутШ (2-13)
где
,7(р) = х(ЦУО(р). (2.14)
Заметим, что 3{р)* = ■!(])) и
х(Д)*./(Др)х(Д) = .7(р) (2.15)
для всех р £ X над Х$ и всех К £ тт\(Х,ръ). Тогда векторное расслоение Н = Ух 0 А на X определяет индефинитное внутреннее произведение на сечениях его ограничения на X/ = 35'.
Заметьте, что для р7 лежащего над некоторой точкой мы имеем Тр = для г = 0 и Тр = ^¡¡¡Н-1 для г = 1,...,к — 1,
где Д- = (Сгт)_1Сг' — часть генераторов фундаментальной группы 71"!(X,ро) Дубля X (см. Дополнение по поводу соотношения между генераторами фундаментальных групп некоторой римановой поверхности ^ и соответствующего дубля), и Д зависит только от компоненты обратного образа Х{ в X, которому принадлежит р. Ограничиваясь р в (2.13) принадлежащими некоторой выбранной компоненте, мы можем написать
Ар) = 0(р) (2.16)
для г = 0 и
3(р) = х{в1ус(р) (2.17)
для I = 1,...,А; — 1 (см. Дополнение). (Заметьте, что некоторая выбранная компонента зависит от выбора генераторов Д-, т.е. от классов гомотопии кривых Сг.)
Из условий с^ Н = т(д — 1) и 1г°(Н) = 0 следует, что Н — полустабильное векторное расслоение. По теореме Нарасимхана и Сешадри [28], Н — прямая сумма стабильных расслоений если и только если плоское векторное расслоение Ух (в Н = Ух 0 А) может быть взято унитарно плоским. Поскольку О — изоморфизм из Ух в дуальное к У^, в этом случае следует, что О — постоянный и унитарный. Поскольку он также самосопряженный, О — постоянная матрица сигнатур. Следовательно, для аналитических сечений д и / расслоения на которые принадлежат Ух ® А), мы
можем переписать внутреннее произведение (2.13) как
к-1
•'=оиХ{ (2.18)
где
= С, Л = х(Вг)*0 (2.19)
для г = 1, ...,£; — 1 и р ограничена принадлежностью некоторой выбранной компоненте обратного образа X в X, как обьяснено выше. Тогда мы получаем из векторного расслоения Н на X внутреннее произведение (2.5) на пространстве Харди Н2^0г...^к_1(3,Ух (£) А).
Обратно, любое унитарное плоское векторное расслоение на Б с матрицами сигнатур «/о? • • • ? , может быть получено из векторного расслоения Н на X, как и выше, по Предложению 2.1 из [3]:
Пусть .]{, г = 0,..., к — 1 - самосопряженные матрицы и пусть X '■ 7Г1 (5",ро) ~~^ СЬ(ш,С) - гомоморфизм, удовлетворяющий
х(А1)Ч1х(А1) = Л. (2.20)
Существует единственное расширение х (также обозначаемое х) в гомоморфизм из тт\{Х, ро) в СЬ(ш,С), удовлетворяющее
х(туох(т) = С, Гетп(Х), (2.21)
хШО = Л, (2.22)
где О = 3,о (см. Дополнение).
Заметим, что если исходное плоское векторное расслоение Ух на ^ унитарное плоское и все матрицы .]{ унитарны, тогда расширенное векторное расслоение также унитарное плоское, как это следует из доказательства Предложения 2.1, [3]. Расширение не обязано удовлетворять 1г°(Х,Ух 0 А) = 0; т.е. в унитарном случае это условие будет удовлетворено всегда, поскольку плоские унитарные векторные расслоения Ух на X с 1г°(Х,Ух 0 А) > 0 образуют дивизор в пространстве модулей плоских унитарных векторных расслоений (обобщенный тета-дивизор [10, 15]). Вспомним также Предложение 2.2 из [3]:
Если пространство с индефинитным внутренним произведением (^ ^х ® А) невырождено, тогда
к°(Х,Ух 0 А) = 0. (2.23)
Следовательно, условие (2.23) выполнено автоматически в положительно определенном случае (т.е. когда .]{ > 0 для г = 0,. . . , А; — 1); для линейных расслоенией, это было получено Фейем [14] (см. также [32]).
Суммируя, мы видим, что вышерассмотренная процедура расширения устанавливает взаимооднозначное соответствие между унитарными плоскими векторными расслоениями на Б вместе с выбором матриц сигнатур, удовлетворяющих (2.6) и унитарным плоским векторным расслоением на X удовлетворяющим условию симметрии (2.9), (2.10). Имея унитарное плоское векторное расслоение на различные выборы расширения на дубль X соответствуют различным выборам матриц сигнатур. Мы будем иногда обозначать соответствующее унитарное плоское векторное расслоение на Б и X как У^ и У^ соответственно.
При условии к°(Х, Ух 0 А) = 0 (т.е. что в расслоении Ух 0 А не существует глобальных голоморфных сечений), оказывается, что на X допускает некоторую функцию ядра (которая называется ядром Коши), являюсчееся аналогом для тривиального расслоения на комплексной плоскости. Ядро Коши есть воспроизводящее ядро для Ух 0 А). В случае линейных расслоений, ядро Коши может быть явно выражено в терминах тета функций [14],[5]. В работе [3] ядро Коши было использовано для построения
явного изометрического изоморфизма между УХ(Е) А) и Н^
для любого данного голоморфного отображения г; : б —у О, для соответствующих М и 3. В частности это означает, что Ух®
А) - действительно невырождено (при условии, что 0) и на самом деле является крейновым пространством.
3 Формулировка основного результата
Предположим, что мы имеем две конечные римановы поверхности а1?! и ¿2 с краем. Пусть А : ¿1 —у б2 — аналитическое отображение, непрерывное вплоть до границы. Эквивалентно, мы можем взять А комплексно—аналитическим отображением А : Х\ —у Х2 между дублями поверхностей ¿1 и Б2} эквивариантное по отношению к действию анти-голоморфными инволюциями, т.е. так, чтобы диаграмма
_Т1
(3.1)
х2 х2
была коммутативна. Заметим, что А ; 5*1 —у б2 является не-разветвленным если и только если отображение А : Х\ —у Х2 не-разветлвенное.
Мы идентифицируем, как обычно, комплексное голоморфное векторное расслоение на комплексном многообразии с локально свободным пучком его аналитических сечении. Легко видеть, что если Vх — комплексно—голоморфное векторное расслоение ранга т на комплексном многообразии X, и А — п-листное неразветвленное накрытие, тогда прямой образ Уг = Р*УХ — комплексно—голоморфное векторное расслоение ранга пт на У; и слой Уг в данной точке У есть прямая сумма слоев Vх на прообразах этой точки на X.
Главным утверждением этой работы является следующая
Теорема. Пусть А : ¿1 —У Б2 — отображение конечной ри-мановой поверхности с краем, которое есть конечное п-листное
неразветвленное накрытие (.Р; ¿1, ¿2), и пусть -]\{р) — матрицы сигнатур для унитарного плоского векторного расслоения Ух на ^ ранга га. Рассмотрим соответствующее расширение Ух на дубль Х\ поверхности б1!, удовлетворяющее условию симметрии
х1(нтуо1({{р)х1(к) = 01(р) (3.2)
для всех К £ 7Г1(Х1,Ро) и всех р (Ц X. Выберем расслоения А1 и Д2 дифференциалов веса половина на Х\ и Х2 соответственно, так что
а.) расслоения Аг, г = 1, 2 инвариантны по отношению к соответствующим анти-голоморфным инволюциям, т.е. Ар = Дг- и функции перехода Д1 и Д2 симметричны по отношению к т\ и Т2;
б.) поднятие расслоения Д2 есть Д1, т.е. А\ = Р*А2. Тогда
1.) прямой образ У= Р*У^г есть унитарное плоское голо-
А 2 А 1
морфное векторное расслоение ранга гага, удовлетворяющее условию симметрии
х2(тус2(тр)х2(т) = с2(р) (3.3)
для всех Т £ тг\(Х2, ро) и всех р £ X7 подходящей матричной фунции 02{р) и представлению х группы тт\{Х2,ро); далее, Р*(УХ <Е> Д1) =
УХ2®Д2;
2.) существует канонический изометрический изоморфизм
фР : Я2Л(Р)(6'1, УХ1 <8> Д1) Н2Мр){Б2, УХ2 <8> А2) (3.4)
между пространствами Харди на ¿1 и
Некоторые замечания уместны здесь. По определению, антиголоморфной инволюции 7~1 и т2 связаны как
^ о п = г2 О ^ (3.5)
и, следовательно, если мы имеем линейное расслоение Ь2 на Х2, тогда его поднятие удовлетворяет
(Р*Ц2) = (Р*12)т1 . (3.6)
Мы фиксируем Д2, так что Д\ = Д2 и А\ = А*Д2. Тогда, следовательно, А\ = Д1. Мы выбираем Д2 так, что ее фунции перехода симметричны. Тогда, поскольку А эквивариантно по отношению к анти-голоморфной инволюции, то функции перехода А\ тоже симметричны.
Изоморфизм пространств N2^^(81,Ух <Е> Д1) и Н2^2(Р)(32,УХ <Е> Д2) подразумевает, что они вырождены или невырождены одновременно, т.е. к°(Х1,Ух <Е> Д1) = к°(Х2,УХ2 ® Д2) = 0, что очевидно из определения прямого образа векторного расслоения.
Заметим, что мы предполагаем, что отображение А : ¿1 —у Б2 есть п-листное неразветвленное накрытие (Я; 61, 62) римановой поверхности Б2 поверхностью б1!. С другой стороны, результат [3], упоминаемый во Введении, — построение изометрического изоморфизма между пространствами Харди в случае ^ = Б, но ^ (обычно) разветвленное ( предполагая, что 1, Ух <Е>Д1) невырождено, т.е. к°(Х1,Ух ® Д1) = 0). Следующим естественным шагом было бы рассмотрение случая, когда 5'2 — произвольная конечная риманова поверхность с краем и Р — разветвленное накрытие. Это станет темой одной из дальнейших публикаций.
Мы ввели векторное расслоение У^2 на дубле Х2 как прямой
Х 2
образ векторного расслоения УХг на Х\. определяя векторное расс-
х г
лоение У^2 на Б2 и матрицы сигнатур ,12(р). С другой стороны,
можно определить векторное расслоение У^2, как прямой образ
Х 2
Р*УХ1 векторного расслоения У^1 с матрицами сигнатур естественно определенными в терминах -]\{р) (как прямые суммы). Хотя основное утверждение Теоремы сформулировано для конечных ри-мановых поверхностей с краем, нам кажется, что более естественно ( в смысле теории компактных римановых поверхностей) рассмотрение на дублях структур, задействованных в его доказательстве. Далее, этот подход позволяет нам построить матричное представление Х2 фундаментальной группы 7Г1(Х2,ро)5 имея представление 7Г1 (^"1,Ро)' и матричную функцию 02(р)- Мы докажем, что матрицы сигнатур ./2(р), вычисленные с помощью представления х ■> действительно совпадают с матрицами сигнатур, построенными из матриц сигнатур 3\(р). Это показывает эквивалентность этих двух представлений. Исходя из использования ядра Коши в [3], нам кажет-
ся, однако, что в разветленном случае подход через дубли единственно возможен.
Более абстрактно, в Теореме мы имеем дело с категорией, которую мы будем обозначать ТШ. Объектами ТШ являются конечные римановы поверхности Б с краем вместе с унитарными плоскими векторными расслоениями Ух и матрицами сигнатур -]{р) (или, эквивалентно, компактные действительные римановы поверхности X разделяющего типа с векторными расслоениями У^ ® А на X и некоторой матричной функцией удовлетворяющей (2.9) и (2.10)),
так что пространство Ух ® А) невырождено, т.е.
А) = 0. Морфизм между объектами (Хь V*1 ® Аь^) и (Х2, V/2 0
Л ^ Л 2
А2, С2) категории ТШ есть некоторое аналитическое отображение
: Х\ —у Х2 римановых поверхностей, эквивариантных по отношению к анти-голоморфным инволюциям т\ и т2, так, что У^2 ®
Х 2
А2 = (х) А1) (и С2(р) соответственно индуцировано 0\(р))-
Мы предполагаем существование ковариантного функтора из упомянутой ранее категории ТШ в категорию пространств Крейна и изоморфизмов, ассоциированных с Ух (х) А, ./(р)) и пространства Харди Н2Лр)(3,Ух® А).
Теорема доказывает наше предположение для подкатегории 7\!/Н, чьи морфизмы суть неразветвленные накрытия. Изометрический изоморфизм, установленный в [3], доказывает другой специальный случай предположения, а именно, подкатегория, чьи морфизмы ограничены иметь единичный диск О в качестве области значений.
В некотором смысле близкие рассмотрения категорий функциа-нальных пространств на римановых поверхностях содержатся в [2].
4 Сечения векторного расслоения 0 Д]_)
В этом разделе мы даем явную конструкцию голоморфного сечения /2 расслоения Р*{УХ^ <Е> Д1) на Х2 в терминах голоморфного сечения
расслоения Ух ® Д1 на Х\.
Если {Р-Б 1,5^) - неразветвленное накрытие, то дубли Х\ и Х2 имеют общую универсальную накрывающую X, т.е. имеем диа-
грамму
7Tl
F —s-
ТГ2
\
(4.1)
где 7Г1 и 7г2 — накрывающие отображения из X в Х\ и Х2 соответственно. Пусть II' С Х\ — открытое множество в Х\. Предположим — аналитическое сечение голоморфного векторного расслоения Ух над и', т.е. аналитическая Ст-значимая функция на 7г]~1([//) С
X, удовлетворяющая соотношению
f1(Tp) = Xi(T)f1(p).
(4.2)
Аналогично, сечение f1 векторного расслоения Ух (х)А над U' удовлетворяет
Ht?) m f\p)
= X (Т)-
y/dhiTp) 1 y/dhïpj
(4.3)
для всех р £ тгГ 1(6Г/), Т £ ттх, , где ¿1 — локальный параметр на Х\, поднятый на X.
Фундаментальная группа ^(Х^Ро), р' £ — подгруппа группы тг\(Х2,Ро) индекса п (где р'0 прообраз ро £ Х2). Прономеруем фиксированные представители (/¿, г = 1, левых косетов {^1(^1,Ро)^«'} группы тг\(Х2, ро) по отношению к ее подгруппе П1(Х1,р'). Мы определяем пучок на Х2, чьи сечения над открытым множеством II С Х2
аналитические
Стп-значимые функции на 7Г1 (U) в форме
f(p) =
( f(gip) \
f1(92P) f{9nP)
(4.4)
где — сечение расслоения Ух над Р 1(17), т.е. /1(р) —аналитическая Ст-значимая функция на 7Г^1(А~1([/)) = к21(11), удовлетворяющая
(4.2). Легко видеть из определения, что этот пучок на Х2 изоморфен прямому образу некоторого пучка на Х\ аналитических сечений Ух , т.е. (4.4) определяет пучок аналитических сечений Р*УХ1 .
Теперь пусть р £ Х2 и р'1}...}р'п £ Х\ — прообразы р. Пусть ¿2 и — локальные параметры в окрестности р и р', г = поднятые на общую универсальную накрывающую X. Обозначим как композицию Щ1 о^о Тогда сечение /2(р) векторного
расслоения Р*(У^2 ® Д1) даются выражением
Р(Р) =
(
11{У1Р)
\
\
11{9пР)
/
\fdhip),
(4.5)
п
где /(р) — сечение векторного расслоения Ух (£) А\ и г = 1, — локальные параметры в окрестности дф.
Заметим, что поскольку мы выбрали расслоения Д1 и Д2 дифференциалов веса половина в (4.5), произвол в знаке квадратных корней (^'((/¿р) в (4.5) глобален и, поскольку мы полагаем, что А\ = Р*А2, выражение (4.5) не зависит от выбора локальных параметров.
5 Представление \ группы К 1(^X2^0)
В этом разделе мы даем явную формулу для унитарного представления Х2 группы 7Гх(^2,Ро)7 такого, что Ух = • Как следует из предыдущего раздела, мы должны определить Х2 так, что
12(Тр)=хЛТ)12(р) (5.1)
для каждого /2, заданного (4.4).
Пусть д £ тг\(Х21 Ро) • Фиксируем прообраз р'0 £ Х\ точки Элемент д принадлежит косету фундаментальной группы тт\{Х2,ро) по отношению к ее подгруппе тт^Хх^р'^). Тогда существуют элементы Ь, £ 7Г1(ХьРо) и дад(г) £ 7Г1(Х2,р0) такие, что
дгд = кдад{г), (5.2)
т.е. д определяет пермутацию ад прообразов Мы принимаем это, в качестве определения ад.
Мы определяем матричное представление х следующим образом:
[х2 {а)} = х^Зкад^к)) (5-3)
Ясно, что (5.1) доказано. Принимая во внимание унитарность Х1(д), можно видеть из (5.3), что матрицы, определяющие представление 7Гх(^2,Ро)^ унитарны, т.е.
[Х2Ы-Х2Ы%= V (5-4)
Теперь мы проверяем, что (5.3) дает представление 7Гх(^2,Ро), т-е-
х,(дд) = х2(д)х2(д) (5-5)
для всех д, д £ тт\ (Х2, ро) • Доказывая это, мы использовали факт, что х1 ~ гомоморфизм и (Тд — анти-гомоморфизм, т.е.
<Тд>(<Тд»(к)) = <Тд»д>(к), (5.6)
что может быть легко проверено. В общем случае, матрица х дается формулой
[Х2{д)]кз = х^дьдд'1) (5.7)
где д принадлежит г-му косету.
6 Построение спаривания и внутреннего произве-
дения
Предположим, что Н1 = Ух (х) А1 таково, что существует невырожденное билинейное спаривание Н1 X (Н1)т —> Кх 15 являющееся параэрмитовым, т.е.
(/1,?т)ы = (?,(/>)и. (6.1)
Мы предполагаем, что линейное расслоение Д1 таково, что А^1 = А1 и функции перехода А симметричны по отношению к т\. Тогда мы имеем параэрмитовое невырожденное билинейное спаривание Ух^ ®УХ —> Ох 1 и матричную функцию 0\{р), удовлетворяющую (2.9) и (2.10). Можно определить билинейное невырожденное спаривание Н2 х (Н2)т —> Кх2, где Н2 = К.Я1 = УХ2 ® Д2, вводя некоторую везде несингулярную голоморфную тп X тп матричнознач-ную функцию 02 на универсальной накрывающей X дублей Х\ и
х2.
Матрица 02{р) должна иметь свойство
СМГТ = (6.2)
и удовлетворять условию симметрии Т £ тт1(Х2}ро)
Х2(ТуС2(Тр)Х2(Т) = С2(р). (6.3)
Тогда спаривание дается выражением
(/Л?) (р) = ?(ГУ02(р)12(р). (6.4)
Принимая во внимание явную форму (5.3) Х2(д), можно проверить, что следующее выражение для 02{р) действительно удовлетворяет (6.3)
[°2(р)]кз = (ЗкР) (М (6-5)
где у{к) определен следующим образом. Рассмотрим действие т на элемент д £ т^1{Х2,ро). По определению мы имеем дт = тдт~1.
Для любого который принадлежит к-му косету 7Г1 (^2, р) по отношению к тт1(Х1,р'0), существует 1гк £ ттг{Х1,р'0) и д^к) £ ттг(Х2,р), такие, что
д1 = Ь'кд1,(к)- (6.6)
Мы определяем у{к) формулой (6.6). Можно прямо проверить, что (6.5) удовлетворяет условиям (6.3) и (6.2).
Мы видели во Введении как определить индефинитное внутреннее произведение (2.5),(2.18) на пространстве Н2^0,..^к_1(3}Ух (£) А), используя матрицы сигнатур ..., Зк-\• Предположим, что мы имеем такое внутреннее произведение на к_1(3\7Ух ^ <Е> А1):
_ к-1 ,. _
®до = I] дЧ.рУАг!1^)- (6.7) ¿=0 17
Тогда мы в состоянии определить индефинитное внутреннее произведение на Я2,7210,...,721к_1(5',УХ2 ® А2)
1(^х2®а2)= / ?{рУ02{р)Р{р). (6.8)
2, /
По тем же причинам, что и во Введении, мы можем переписать (6.8) как
[!\?]н2,20^,2к 1 (вУх ®д2) = i ?(рУЧр)]Чр), (6.9)
где
Л(р)=Х2(Г~)*С2(р) (6.10)
и ввести матрицы
«/2,0 = С2, з2,г = Х2(Я2Д)*С2, (6.11)
где Я2Д £ 7Г1(Х2,р) (см. дополнение). Как ив [3], расширение расслоения У^ на римановой поверхности ¿2 на дубль Х2 зависит от выбора матриц сигнатур «/2,0? задаваемых (6.11), которые
удовлетворяют условию симметрии (2.15).
С другой стороны, можно определить матрицу сигнатур ^2(р), используя матрицу сигнатур ^(р). Нужно иметь
х2(ТУМТр)х2(Т) = ЭД (6.12)
для всех Т £ 7i"i(X2,p) и
мр)* = мр) (6.13)
для всех р £ X над р £ X2J. Матрица «^(i?) в форме
lMp)]kJ = m9kp) Sk3 (6.14)
удовлетворяет (6.12) и (6.13). Тогда мы проверяем коммутативность диаграмм
ySi ext, Ji уХ 1
F* l
yS2 ext, J2 yX2 VX2 —>■ VX2 '
где ext, Ji означает расширение векторного расслоения V^' на Si на дубль Х{. Таким образом мы покажем, что матрица J2G9), определенная (6.11) совпадает с (6.14). Легко проверить, что
V = RTT~ (6.16)
для всех R £ 7Ti(X2,p), р £ X2j и Т~ £ 7Ti(X2,p), таких что рт = где р лежит над р. Используя это мы приходим к
= х2 (Т~УС2(р) = Ji (дкр)8кг (6.17)
7 Доказательство изометричности
Мы построили в явном виде сечение /2 (4.5) расслоения <Е> А2 в терминах сечения расслоения V^ (х) Дь Теперь мы докажем, что отображение /1 1—^ /2 есть изометрический изоморфизм пространства H2}j1(p)(Si,Vx ® Ai) на пространство H2}j2(p)(S2,Vx <Е> Аг)-Сначала покажем, что £ H2,jl(v){Si,Vx <Е> Ai) если и только если
Предположим — сечение расслоения ух <Е> А1 и у £
<£> А1). Это означает, что £ Я2(6'1,УХ1 ® Д1), т.е. что у1 аналитичен на х\ и
вир 2 [ 11(рт11(р) < оо (7.1)
1-с<г<1 г=0 ¿Х^Лг)
для некоторого е. Здесь — гладкая простая кривая на
аппроксимирующая г-ую границу дубля х\. Пространство Харди Н2,,71(р)(>с>1}Ух ^^ <Е> А1) есть пространство £[2(81,Ух (£)А\)} снабженное индефинитным внутренним произведением (2.5).
о = Е ^(рТ^ЧР)- (7.2)
г=0 17
Пусть Л2,г' — граничная компонента Х2 и , = 1,..., соответствующие прообразы на Х1. Граничный униформизатор в окрестности граничной компоненты таков, что г\р'0 = ^ 0 Рр'0. Тогда аппроксимирующие кривые Х2,г'(г) отображаются на аппроксимирующие кривые ] = 1 ,...,пг-. Благодаря построению, данному формулой (4.5), мы видим, что /2 аналитическое и
1 /. к2-1пг
Е / Р(р)*Р(р) = Е Е /1(Й*/1(Р)
г=0 ^Дг) ,=0
(7-3)
= Е / />)7>) < ОО.
г=0
Суммирование в (7.3) с верхними пределами пг- выполнено по компонентам Я^- ., = 1,...,пг-, которые являются прообразами Следовательно мы заключаем, что /2 принадлежит пространству
#2(^2, УХ2 ® А2).
В предыдущем разделе мы ввели индефинитное внутреннее произведение в пространстве 1^2(82, Ух <Е> А2). Мы видим, что сечение /2 расслоения ух (£) Д2, построенное по формуле (4.5), принадлежит пространству Н2^2(Р)(82,УХ <Е> А2).
Наконец, остается показать, что внутреннее произведение (6.9) изометрично, т.е. что
.....= [/"Ср)^1^]^^.....
_ _' ' ' ' (7-4)
где У1,Я1 и /2,Я2 — сечения векторных расслоений Ух <Е>Д1 и Ух ®Д2 соответственно. В самом деле, рассмотрим внутреннее произведение двух сечений расслоения Ух (х) Л2
.......,&Л, £
ix',
к2-1
2,/
(7.5)
Е 11(ШУУ01(д1р)1\д1р)—
8 8 8 <р'г(дгр)(1и,г(дгр)'
По той же причине, что и в формулах (7.3), последний интеграл равен
Г- — 1 Г-
I ^{гусмт^р) = £ / ¡"(рУ^ЛЧР)
1=0
- 1 (7'6)
где мы использовали инвариатность сечений Д1 по отношению к ¿еск—преобразованиям и симметрию их функций перехода. Следовательно мы видим, что (7.4) имеет место. Это завершает доказательство изометричности.
8 Благодарности
Я глубоко признателен Проф. В. Винникову за полезные обсуждения и ценные замечания.
9 Дополнение. Фундаментальные группы римановой поверхности ¿> и дубля
Опишем явно [3] действие т на генераторы группы тт\(Х,р^). Выберем точки р{ £ Х{} г = 0, — 1,и пусть Сг- — кривая на Б, связывающая ро с р{. Тогда 7Г1 (5", ро) порождается генераторами
А0,А1,...,Ак_1,А,1,В[,...,А,8,В,8, (9.1)
где А0 = Х0, А3 = С^Х.С, для 3 = 1,..., Лг — 1, и А'г1 В[, г = представляют канонический базис гомологии на Б с матрицей пересечений ^ ^ ^ .
Генераторы ттх(5", ро) удовлетворяют единственному соотношению й^В^ВГиА^г. (9.2)
¿=1 /г-1
Теперь рассмотрим фундаментальную группу тт\(Х, ро). Она порождается генераторами
Аь ..., Вк-1, А'ь А'5, А'/, Я",..., А", Я". (9.3)
Генераторы А,-, А', те же, что и в (9.1)
В3 = {С])~1С3 (9.4)
для = 1 ,...,£; — 1 и
А;.' = В[т (9.5)
Д" = ¿Г- (9.6)
Генераторы тт\(Х, ро) удовлетворяют единственному соотношению [25]
1 в 1 к-1 ,// с,// лн-1 Е>//-1 тт /1' О/ /|/-1 о/-1 ТТ /1 ТТ и
г = 1 3 = к — 1 ^ = 1
п ^В'^ГВ'Г1 п п Л П ^Л'Ч"1 = 1. (9.7)
г=в
Заметим, что
Вт = Я"1 (9.8)
А} = В3А3В~1. (9.9)
Список литературы
[1] M. В. Abrahamse, R. G. Douglas. A class of subnormal operators related to multiply connected domains. Adv. in Math., 19: 106-148, 1976;
[2] N. L. Ailing. Extensions of meromorphic function rings over non-compact Riemann surfaces I. Math. Z. 89, 273-299, 1965;
[3] D. Alpay, V. Vinnikov. Indefinite Hardy spaces on finite bordered Riemann surfaces, (to appear in J. Funct. Anal.);
[4] Т. Я. Азизов, И. С. Иохвидов. Основания теории линейных операторов в пространствах с индефинитной метрикой. Наука, Москва, 1986. English translation: Linear operators in spaces with an indefinite metric. John Wiley, New-York, 1989;
[5] J. A. Ball, K. Clancey. Reproducing kernels for Hardy spaces on multiply connected domains. Integral Equation Operator Theory. 25:35-37, 1996;
[6] J. A. Ball, V. Vinnikov. Zero-pole interpolation for meromorphic matrix functions on an algebraic curve and transfer functions of 2D systems. Acta. Appl. Math., 45: 239-316, 1996;
[7] J. A. Ball, V. Vinnikov. Zero-pole interpolation for meromorphic matrix functions on a compact Riemann surface and a matrix Fay trisecant identity, (to appear in Amer. J. of Math.), alg-geom/9712028;
[8] L. de Branges. Espaces hilbertiens de fonctions entières. Masson, Paris, 1972;
[9] J. Bognâr. Indefinite inner product spaces. Springer-Verlag, Berlin, 1974;
[10] J.-M. Drezet, M. S. Narasimhan. Groupe de Picard des varetes de modules de fibres semi-stables sur les courbes algebriques. Invent. Math. 97 (1989), 53-94;
[11] P. L. Duren. Theory of Hp spaces. Vol. 38 of Pure and Applied Math. Academic Press, New York, 1970;
[12] H. Dym. J contractive matrix functions, reproducing kernel spaces and interpolation. Vol. 71 of CBMS Lecture Notes. Amer. Math. Soc., Rhodes Island, 1989;
[13] H. M. Farkas, I. Kra. Riemann surfaces. Second edition. SpringerVerlag. 1991;
[14] J. D. Fay. Theta functions on Riemann surfaces. Vol. 352 of Lecture Notes in Math. Springer-Verlag, New York, 1973;
[15] J. D. Fay. Kernel functions, analytic torsion, and moduli spaces. Memoirs of the Amer. Math. Soc. 464, Amer. Math. Soc., Providence, 1992;
[16] 0. Forster. Lectures on Riemann surfaces. Springer-Verlag. 1991;
[17] J. B. Garnett. Bounded analytic functions. Academic press, San Diego, 1981;
[18] P. Griffits, J. Harris. Principles of algebraic geometry. Wiley-Interscience Publication. 1994;
[19] R. C. Gunning. Lectures on Riemann surfaces. Princeton mathematical notes. Princeton University press. 1966;
[20] R. Hartshorne. Algebraic geometry. Springer-Verlag. 1977;
[21] K. Hoffman. Banach spaces of analytic functions. Prentice-Hall, Engle-wood Cliffs, N.J. 1962;
[22] I. S. Iohvidov, M. G. Kreïn, H. Langer. Introduction to the spectral theory of operators in spaces with an indefinite metric. Akademie-Verlag, Berlin, 1982;
[23] D. Mumford. Tata lectures on theta. Boston, Birkhâuser, 1982-1984;
[24] R. Narasimhan. Compact Riemann surfaces. Birkhâuser. 1992;
[25] S. M. Natanzon. Moduli spaces of real curves. Trans. Moscow. Math. Soc., 37:233-272, 1980;
[26] W. Rudin. Analytic functions of class Hp. Trans. Amer. Math. Soc., 78:46-66, 1955;
[27] D. Sarason. The Hp spaces of an annulus. Mem. Amer. Math. Soc., 1(56), 1965;
[28] C. S. Seshadri. Fibres vectoriels sur les courbes algébriques. Astérisque 96. Socitété mathématique de France. 1980;
[29] E. H. Spanier. Algebraic topology. McGraw-Hill book company. 1966;
[30] V. Vinnikov. Complete description of determinantal representations of smooth irreducible curves. Linear Algebra Appl., 125: 103-140, 1989;
[31] V. Vinnikov. Commuting nonselfadjoint operators and algebraic curves. In T. Ando and I. Gohberg, editors, Operator theory and complex analysis, volume 59 of Operator Theory: Adv. Appl., pages 348-371. Birkhâuser Verlag, Basel, 1992;
[32] V. Vinnikov. Self-adjoint determinantal representations of real plane curves. Math. Ann. 296: 453-479, 1993;
[33] V. Vinnikov. 2D systems and realization of bundle mappings on compact Riemann surfaces. In U. Helmke, R. Mennicken and J.Saurer, editors, Systems and Networks: Mathematical theory and applications (Vol II), volume 79 of Math. Res., pages 909-912. Akademie Verlag, Berlin, 1994;
[34] V. Vinnikov. Commuting operators and function theory on a Riemann surface. Holomorphic spaces (S. Axler at al., eds), Math. Sci. Res. Inst. Publ. 33, Cambridge Univ. Press, 1998;
[35] M. Voichik. Ideals and invariant subspaces of analytic functions. Trans. Amer. Math. Soc., Ill: 493-512, 1964;
