Гармонические дифференциалы Прима и их классы периодов на переменной компактной римановой поверхности Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник КемГУ № 3j1 2011 Комплексный анализ

быть несущественным. Таким образом, = ^29, где 9 — мультипликативная единица для ро и Р1 = Р2 ро-

3) Рассмотрим д = ^. Для этой функции (д) = 1, а значит, ее характер р0 = ^ должен быть несущественным. Отсюда характер р0 одновременно будет несущественным и нормированным и, по теореме [6, с. 130], р0 = 1. Поэтому р1 = р2 и, по утверждению 1), о>1 = ам2, с = 0 на Е^. Предложение 4.2 доказано.

Литература

[1] Ахиезер, Н. И. Элементы теории эллиптических функций / Н. И. Ахиезер. - М.: Наука, 1970.

[2] Чуешев, В. В. Геометрическая теория функций на компактной римановой поверхности / В. В. Чуешев. - Кемерово: КемГУ, 2005.

[3] Чуешев, В. В. Мультипликативные функции и дифференциалы Прима на переменной компактной римановой поверхности. Ч.2 / В. В. Чуешев. - Кемерово: КемГУ, 2003.

[4] Appell, P. Principes de la theorie des fonctions elliptiques et applications / P. Appell, E. Lacour. -Paris: Gauthier-Villars, 1897.

[5] Forsyth, A. R. Theory of functions of a complex variable / A. R. Forsyth. - Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1900.

[6] Farkas, H. M. Riemann surfaces / H. M. Farkas, I. Kra // Grad. Text’s Math. - Vol. 71. New-York: Springer, 1992.

[7] Earle, C. J. Families of Riemann surfaces and Jacobi varieties / C. J. Earle // Annals of Mathematics. - 1978. - 107. - P. 255 - 286.

[8] Дубровин, Б. А. Римановы поверхности и нелинейные уравнения. Ч.1 / Б. А. Дубровин. -М.: МГУ, 1986.

[9] Альфорс, Л. В. Пространства римановых поверхностей и квазиконформные отображения / Л. В. Альфорс, Л. Берс. - М.: ИЛ, 1961.

[10] Крепицина, Т. С. Группа характеров и мультипликативные функции на торе / Т. С. Крепицина // Вестник КемГУ. - 2011. - Вып. 3(47). - C. 11 - 16.

УДК 515.17 + 517.545

ГАРМОНИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ПРИМА И ИХ КЛАССЫ ПЕРИОДОВ НА ПЕРЕМЕННОЙ КОМПАКТНОЙ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ

Т. А. Пушкарева, В. В. Чуешев

HARMONIC PRYM DIFFERENTIALS AND THEIR CLASSES PERIODS ON VARIABLE COMPACT RIEMANN SURFACE T. A. Pushkareva, V. V. Chueshev

Гармонические дифференциалы Прима и их классы периодов играют большую роль в современной теории функций на компактных римановых поверхностях [1 - 5]. В работе исследовано гармоническое расслоение Прима, слои которого есть пространства гармонических дифференциалов Прима на переменных компактных римановых поверхностях. Доказано, что когомологическое расслоение Ган-нинга, связанное с классами периодов, будет вещественно-аналитически изоморфно гармоническому расслоению Прима над произведением пространства Тейхмюллера и пространства нетривиальных нормированных характеров.

Harmonic Prym differentials and their periods classes play the big role in contemporary theory functions on compact Riemann surfaces. In this paper is investigated harmonic Prym bundle, whose fibre is space of harmonic Prym differentials on variable compact Riemann surfaces. Proven that cohomology Gunning bundle, which connect with periods classes, are real analytically isomorphic harmonic Prym bundle over product Teichmueller space and a space of nontrivial normalized characters.

Ключевые слова: гармонический дифференциал Прима, переменная компактная риманова поверхность, переменные характеры, пространство Тейхмюллера.

Keywords: harmonic Prym differential, variable compact Riemann surface, variable characters, Teichmueller space.

Работа поддержана грантами: АВЦП, 2.1.1.3707; ФЦП, №-02.740.11.0457; РФФИ 09 - 01 - 00255; НШ -7347.2010.1; РФФИ 11 - 01 - 90709;

1. Предварительные сведения с отмечанием {ak,bk }9к=1, т. е. упорядоченным

набором образующих для n\(F), а F0 - рима-

Пусть F - фиксированная гладкая компакт- нова поверхность с фиксированной комплексно-ная ориентированная поверхность рода g > 2,

Вестник КемГУ № 3/1 2011 Комплексный анализ

аналитической структурой на F. По теореме уни-формизации существует конечно порожденная фуксова группа Г первого рода, инвариантно действующая на единичном круге

U = {z е C і IzI < 1},

такая, что U/Г конформно эквивалентна Fq и Г изоморфна nl(F). Эта группа имеет представление Г = (Al,...,Ag,Bl,...,Bg і П Cj = I), где

j=l Cj = [Aj,Bj] = AjBjA-lB-l,j = 1,..., g, а I -тождественное отображение [2] .

Любая другая комплексно-аналитическая структура на F задается некоторым дифференциалом Бельтрами л на Fq, т. е. выражением вида n(z)dz/dz, которое инвариантно относительно выбора локального параметра на Fq, где p(z) - комплекснозначная функция на Fq и \\p\\L (Fo) < 1. Эту структуру на F будем обозначать через F;. Ясно, что л = 0 соответствует Fq . Пусть M(F) -множество всех комплексно-аналитических структур на F с топологией Cсходимости на Fq, Diff +(F) - группа всех сохраняющих ориентацию гладких диффеоморфизмов поверхности F на себя, а DiffQ(F) - нормальная подгруппа в Diff +(F), состоящая из всех диффеоморфизмов гомотопных тождественному диффеоморфизму на Fq. Группа Diff +(F) действует на M(F) по правилу л ^ f*л, где f е Diff +(F),л е M(F). Тогда пространство Тейхмюллера Tg(F) = Tg(FQ) есть фактор-пространство M(F)/DiffQ(F) [2; 3].

Так как отображение U ^ FQ = U/Г локальный диффеоморфизм, то любой дифференциал Бельтрами л на Fq поднимается до Гс-дифференциала Бельтрами л на U, т. е.

л е LX(U), ||л||то = esssupzeu Iv(z)I < 1, и p(T(z))T(z)/T'(z) = p(z),z е U,T е Г.

Если Г-дифференциал л на U продолжить на C\U, положив л = 0, то существует единственный квазиконформный гомеоморфизм w; і C ^ C с неподвижными точками +1, —1,i, который является решением уравнения Бельтрами wz = fi(z)wz. Отображение T ^ T; = w;T(w;)-1 задает изоморфизм группы Г на квазифуксову группу

g

Г; = w^(wn-1 = (At,...., B; і ПК, b;] = I).

j=l

Классические результаты Л. Альфорса,

Л. Берса [З] и других авторов утверждают, что:

І) Tg (F) является комплексно-аналитическим многообразием размерности 3g — 3 при g > 2; 2) Tg (F) имеет единственную комплексноаналитическую структуру, такую, что естественное отображение Ф і M(F) ^ M(F)/DiffQ(F) = Tg (F) будет голоморфным и при этом Ф имеет только локальные голоморфные сечения; З) элементы из Г; голоморфно зависят от модулей [л] компактных римановых поверхностей.

Характер р для Гр это любой гомоморфизм р : п1(Гр) = Гр ^ С*. Характер р вида: р(ар) = ехр2пгеи (\р],р),

РЮ = ех?(2п1 Е Ч(Ы,Р)пзк(М)),

о=1

к = 1,...,д, где - матрица Ь—периодов на Гр, будем называть несущественными. Характеры, которые не являются несущественными, будем называть существенными на п1(Гр). Обозначим через Нот (Г, С*) группу всех характеров на Г с естественным умножением. Пусть Ьд - подгруппа несущественных характеров, [Б 1]2д - подгруппа нормированных характеров в группе Нот(Г, С*).

Дифференциалом Прима ф для р на Гр назовем дифференциал ф = ф(г)Сг, такой, что ф(Тг)Т'(г) = р(Т)ф(г), г £ ->лр(и),Т £ Гр. Обозначим через Г(Гр,О1,0(р)) пространство всех голоморфных дифференциалов Прима для р на Гр. Для ф = С/(г) на тр(и) верно

/ (Тг) = р(Т)/(г)+ ф(Т),

где период ф(Т) = /(Тго) — р(Т)/(г0) для

Т £ Гр. Такое отображение ф : Гр ^

С, удовлетворяет коциклическому условию, ф(БТ) = ф(Б) + р(Б)ф(Т), Б,Т £ Гр, то есть ф £ Z 1(Гр,р). Определен класс периодов

\ф] £ Н 1(Гр,р) = Z 1(Гр,р)/Б1(Гр,р),

где Б1(Гр,р) порождается 1-коциклом а(Т) = 1 — р(Т),Т £ Гр.

Гармоническим дифференциалом Прима ф на Г для р £ Нот(Г, С*) называется гармоническая (однозначная) дифференциальная 1-форма ф = ф1(г)Сг + ф2(г)Сг на и, такая, что

ф\(Т г)(1Т г + ф2(Т г)(1Т г = р(Т )(ф\(г)3,г + ф2(г)3г),

Т £ Г, г £ и.

Гармонический дифференциал Прима ф на и представляется в виде ф = ф\(г)йг + ф2(г)3г, где ф\(г)йг = с1/1(г),ф2(г)с1г = С/2(г),/^ (г) — голоморфные функции на и,] = 1, 2, которые определяются с точностью до аддитивных комплексных констант. Поэтому ф = сС/(г), где

/ (г) = Ь(г) + /2(г)

— комплекснозначная гармоническая функция на и (гармонический интеграл Прима для дифференциала ф). Также получаем следующие соотношения:

/(Тг) = р(Т)/(г) + ф(Т), ф(БТ) = ф(Б)+ р(Б)ф(Т), где

ф(Т) = / (Тго) — р(Т)/(го) = ф1(Т) + ф2(Т),

ф\(Т ) = /1 (Тго) — р(Т/го), ф2(Т ) = /(ТгО) — р(Т )72Щ.

2І2

Вестник КемГУ № З/1 2011 Комплексный анализ

Здесь

фl(Tz)dTz = p(T )фl(z)dz, Ф2 (T z)dT z = p(T )fa(z)dz,

Т € Г, г € и. Следовательно, отображение периодов ф : Т ^ ф{Т) или ф : Г ^ С, относительно гармонического интеграла Прима ]{г), есть элемент из ^ 1{Г,р). Если ^{г) = /г{г)+ в!,^) = /2{г) + с2 — другие интегралы Прима для Ф1 {г)3г, ф2 {г)с!г соответственно, то

ф^ )= ф^) + Cla(T),

Ф2 (T)

(/2(Тго) + с2) — р(Т)(Ь(г0) + е2) =

= Ф2 (Т)+ е2а(Т).

Таким образом,

Ф(Т) = Ф(Т) + (а + С2)(1 — р(т)),Т е г,

и отображения периодов при различных гармонических интегралах Прима для одного и того же гармонического дифференциала Прима будут отличаться на элемент из Б1(Г,р). Поэтому С —линейное отображение р : ф ^ [ф] Є Н 1(Г, р), которое гармонический дифференциал Прима Ф переводит в его класс периодов [ф], корректно определено.

Обозначим через Г(Г, Н1(р)) пространство всех гармонических дифференциалов Прима для р на Г.

Лемма 1.1. [3, с. 106]. Голоморфное главное Нот(Г, С*)—расслоение Е биголоморфно изоморфно тривиальному расслоению

Tg(F) х Нот(Г, C*)

над Tg(F).

2. Эквивалентность соотношений Аппеля и Ганнинга для периодов замкнутых дифференциалов Прима

В работе П. Аппеля [1], с помощью специальных рассечений на компактной римановой поверхности Г рода д > 2, получено основное соотношение на классы [ф] периодов замкнутых дифференциалов Прима ф = ф{г)3г для р на Г :

ф{Вк){1 — р{Ак)) — ф{Аи){1 — р{Ви)) 1 = о

(=1 р{А1)р{А2)...р{Ак) Р{Вк)

{1)

В работе Р. Ганнинга [4], с помощью соотношений для фуксовой группы Г, получено другое соотношение:

Предложение 2.1. Для любого замкнутого дифференциала Прима ф для p на компактной ри-мановой поверхности F рода g У 2 соотношение Аппеля (1) эквивалентно соотношению Ганнинга

(2).

Доказательство. Положим

l - p(Ak ) = &(Ak ), l - p(Bk ) = <?(Bk ) для k = l, ...,g. Рассмотрим замену переменных:

l

ФА) = ФВ) =

Ф(Ak) = 4>(Bk) =

p(ai)p(bi ) l

p(Al)p(Bl)

ф(Ад)

Ф(Вд )

l

p(Al. ..Ak )p(Bk)

l

p(Al. ..Ak )p(Bk)

l

p(A1. ..Ag )p(Bg)

l

p(Al. ..Ag )p(Bg)

Ф(Аі),

Ф(Ві),

ФА), Ф(Вk),

ф(Ад), Ф(В g ).

Из вида блочно диагональной матрицы замены следует, что ее определитель не равен нулю:

______1___ _________1______ ________1_______ = 0

р(Аі )2р(Бі)2 ... р(Лі...Лк)2р(Бк )2 ... р(Л1...Лд )2р(Бд)2 Г1 V.

Поэтому эта матрица невырожденная. После замены формула Аппеля примет следующий вид:

д

'У^ХФ(Бк )а(Ак ) — ф(Ак )&(Бк )) = 0 ^

к=1

д

^ ^2(ф(Бк )<г(Ак) — ф(Ак )<г(Бк)) = 0.

к=1

Предложение доказано.

3. Гармоническое расслоение Прима

Теорема 3.1. Пусть Г — компактная рима-нова поверхность рода д > 2, ф — гармонический дифференциал Прима на Г для р Є [51]2д и [ф]=0 в Н1 (Г, р). Тогда ф = 0 на Г.

Доказательство 1. [3, с. 155]. По лемме 3.2.1

[3] дифференциал ф = ш + р, где ш и р — голоморфные дифференциалы Прима для р и р соответственно на Г. Из условия [ф] = 0 и леммы

3.2.2 [3] следует существование мультипликативной функции / на Г для р, такой, что ш+р = 3/(г) на и. Покажем, что ш = 0 = р на и. От противного. Предположим, что р = 0 на фундаментальной области Д для группы Г (или на Г). Тогда, положив р = д(г)3г на Д, имеем:

У1 Ф(Bk )a(Ak) - ФА )a(Bk ) = О (2) 2.j j р л р = J J \g(z)\2dx Л dy > О.

для классов [ф] периодов замкнутых дифференциалов Прима ф для р на Г.

ДД С другой стороны,

р Л р = р Л w + р Л р = р Л df = -d(fp).

Вестник КемГУ № 3/1 2011 Комплексный анализ

Отсюда

р Л р

д

р Л = - /р--д -!дд

0

по теореме 3.2.3 [3, с. 155], так как р\ = р,р2 = р, рр = 1 и для дифференциала все а-периоды и

Ь-периоды равны 0. Получили противоречие. Поэтому ф = ш.

Повторяя предыдущие рассуждения с ш, получим, что ш = 0 на и.

Доказательство 2. Используя обозначения предыдущего доказательства, получим, что:

0 < (Ф, Ф) =

ф Л*ф = і /(г)(*ф) = 0.

Д JдД

Таким образом, на комплексном векторном расслоении (это есть так называемое гармоническое расслоение Прима)

НР = ^[^рі/ЬдцЦГ(Г^,н1(р)) = Рі,о ф Ро,1

ранга 2д — 2 над Тд х Нот(Г, С*)\(ЬдиЬд) определена структура голоморфного векторного расслоения.

Скалярное произведение на слое Г(Гр, Н1(р)) определено по формуле:

(ф1, ф2)

(иіЧ2 + УіУ2)Лг Л Зг,

Последнее равенство снова выводится из теоремы

3.2.3 [3]. Отсюда (ф,ф) =0 на Д и ф = 0 на Д. Следовательно, ф = 0 на Г. Теорема доказана.

Следствие 3.1. Гармонический дифференциал Прима ф на Г для р Є [51]2д \1 единственно определяется своим классом периодов [ф] Є Н 1(Г,р) и ГГ Н1(р)) = Н 1(г,р).

Доказательство. Так как отображение периодов р - С-линейное инъективное отображение (2д — 2)-мерного векторного пространства Г(Г, Н1(р)) в (2д — 2)— мерное векторное пространство Н 1(Г, р), то Г(Г, Н1 (р)) = Н 1(Г, р) для р Є [£ 1]2д\1. Следствие доказано.

Множество всех гармонических дифференциалов Прима ф для р Є Нот(Гр, С*) образует комплексное (2д — 2)-мерное векторное пространство Г(Гр, Н1(р)) при р Є 1д и Ьд, так как

од, Н1(р)) = ГГР, о1,0(р)) Ф ГГР, о0,1(р)),

где Ьд — образ Ьд при отображении р ^ р. Выберем базис {ф^ (г; р, [р])Лг}д^-1 для Г(Гр, О1,0(р)), голоморфно зависящий от р в достаточно малой окрестности и(р0) С Нот(Гр, С*)\(Ьд и Ьд) и голоморфно зависящий от [р] в достаточно малой окрестности и([р0]) С Тд [3, с. 105; 4]. Од-

новременно выберем базис {ф^ (г; р, [р])Лг}д-1 в Г(Гр, О1’0(р)), голоморфно зависящий от р в и(р0) (образ и(р0) при отображении р ^ р, это отображение будет автоморфизмом на Ьд и Ьд) и голоморфно зависящий от [р] в достаточно малой окрестности и([р0]). Здесь класс [р] имеет модули (c1, c2, ..., с3д-3) Є С^д 3, а класс [р] имеет модули

(c1, c2, ..., с3д-3) Є С3д 3.

Поэтому набор гармонических дифференциалов Прима

ф1(г; [р])dг, ..., фд-1(г; [р])Лг;

ф1(г; р, [р])dг, ..., фд-1(г; р, [р])Зг

образует базис, голоморфно зависящий от р ир) и от [р].

где Д — фиксированная фундаментальная область для Г в и; ф^ = и^ (г)Зг + (г)сїг, і = 1, 2. Здесь

в([р)] - локально голоморфное сечение Эрла над пространством Тейхмюллера [6].

Скалярное произведение эрмитово, так как (ф1, ф2) = (ф2,ф1). Легко видеть, что С-линейный оператор * (звезда Ходжа) будет изометрией на слое Г(Гр, Н1(р)). Оператор * также изометрия слоя Г(Гр,О1’0(р)) на себя и изометрия слоя Г(Ер, О0,1(р)) на себя.

Относительно этого скалярного произведения пространства Г(Гр,О1,0(р)) и Г(Гр,О0,1(р)) ортогональны, так как, если ф1 = и(г)Зг Є

Г(Гр,О1,0(р)),ф2 = у(г)Зг Є Г(Гр,О0,1(р)), тогда (ф1,ф2) = / /юе(М](Д) иЛгЛ*у(г)Зг = 0. Векторные расслоения Р1,0, Р0,1 и НР являются эрмитовыми голоморфными векторными расслоениями над Тд х Нот(Г, С*)\(Ьд и Ьд). Следовательно, доказана

Теорема 3.2. Гармоническое расслоение Прима НР = и Г(Гр,О1’0(р)) Ф ГГ^О0’1 (р)) яв-

ляется эрмитовым голоморфным векторным расслоением ранга 2д — 2. Кроме того, НР является прямой суммой ортогональных эрмитовых голоморфных * —инвариантных векторных подрассло-ений Р1,0 и Р0,1 ранга д — 1 над

Тд х Нот(Г, С*)\(Ьд и ід)

при любом д > 2.

Зададим конечное покрытие для Нот(Г, С*)\1 открытыми окрестностями и^ = {р : р(А^) = 1}, ид+з = {р : р(В,) = 1},і = 1, ...,д. Рассмотрим характер р Є [51]2д \1 П и1. Для других окрестностей и^, і = 2,..., 2д рассмотрения будут аналогичны.

Следствие 3.2. Для любого р0 Є [£ 1]2д\1 существует окрестность и(р0) С {[£ 1]2д\1} такая, что для р Є и(р0) П и1 в Г(Г, Н1(р)) существует базис гармонических дифференциалов Прима ф1 = ф1(р; г),...,ф2д-2 = ф2д-2р г), вещественно-аналитически зависящий от р и имеющий матрицу периодов относительно А2,...,Ад,В2,...,Вд, вида 12д-2 (единичная матрица порядка 2д — 2).

Вестник КемГУ № 3/1 2011 Комплексный анализ

Доказательство. Над и(ро) выберем базис гармонических дифференциалов Прима

фг(р; г)йг,.., фд-\(р; г)йг, ф^р; г)йг,фд-\(р; г)йг

на Р для р, вещественно-аналитически зависящий от р. Составим блочную матрицу ' А В '

С В

классических периодов, относитель-

но А2,...,Ад, В1, В2,Вд для этого базиса, где

А = (атк ) , В = (Ьті),С = (стк),В = (^ті ),

т = 1,...,д — 1,к = 2,3,...,д,І = 1,2,...,д, так как для р Є и. можно выбрать представитель в классе периодов такой, что период на А. будет 0. Если существует линейная зависимость над С для

2д — 2 строк, то существует гармонический дифференциал Прима с нулевыми базисными периодами,

и, по теореме 3.1, он тождественно равен нулю, а это невозможно из-за выбора базиса в Г(Г, Н1(р)).

Таким образом, матрица ( йтк ^тк = М, где

у стк &тк у

т = 1,..., д — 1, к = 2, 3,..., д, имеет 2д — 2 линейно независимых над С строк и ее определитель не равен нулю. Сделав невырожденное линейное преобразование в Г(Г, Н1 (р)) с матрицей М-1, получим требуемый базис гармонических дифференциалов Прима. Следствие доказано.

4. Когомологическое расслоение Ганнинга

Обозначим через Z1 (Г,р) при р Є Нот(Г, С*) множество всех отображений ф : Г ^ С, таких, что ф(БТ) = ф(Б) + р(Б)ф(Т), Б, Т Є Г.

Приведем основные свойства таких отображений:

1) ф(1) = 0, так как ф(Б ■ 1) = ф(Б) + р(Б)ф(1) и р(Б) = 0;

2) ф(Б-1) = — , так как

0 = ф(1) = ф(ББ-1) = ф(Б) + р(Б )ф(Б-1)

и ф(Б-1) = — §§;

3) ф([А, В] ■ [С, В]) = ф([А, В]) + ф([С, В]), так как р([А, В]) = 1;

4) ф([А, В]) = а(В)ф(А) — а(А)ф(В) для любых А, В Є Г, где а(Т) = 1 — р(Т), Т Є Г;

5)

ф(АВА-1) = ф([А, В]В) =

= ф([А,В]) + ф(В), А, В Є Г;

6) ф(АВА-1) = р(А)ф(В), А Є Г, В Є [Г, Г].

Теорема 4.1. Когомологическое расслоение Ганнинга О является голоморфным векторным расслоением ранга 2д — 2 над

Тд(Г) х (Нот(Г, С*)\1).

Доказательство. При рр = 1 существует изоморфизм векторного пространства Н 1(Гр,рр) и векторного пространства Нотр ([Гр, Гр], С), состоящего из гомоморфизмов фо : [Гр, Гр] ^ (С, +), таких, что фо(БрТр(Бр)-1) = рр(Бр)фо(Тр), где Тр Є [Гр, Гр],Бр Є Гр, [Г, Г] — коммутант группы Г. Таким образом, расслоение О над

Тд(Г) х (Нот(Г, С* )\1)

изоморфно расслоению со слоем Нотр ([Гр, ГД С), над ([р],р), где

р(Аі) = рр(Ар),р(Ві) = рр(Вр),і = 1,...,д.

Зададим карту 0(иІ, {Аі,Ві}9д=1) над Тд(Г) х и1 биективно отображающую О |т8р)хиі на Тд(Г) х и х С2д-2 по правилу: элементу фо([р],рр) Є Нотр ([Гр, Гр], С) сопоставляется набор

([р],р; £1 , ..Лд-1,П1 , ...,П1д-1).

Здесь над иІ имеем:

і = фо([р],рр)([А?,А?]),пі = фо(НррЩ,А?]), а над ид+і — Єд+1 = фо([р],рр)([А?,Вр]),п9+І = = фоЫррЩв?]),

где і = і, при 1 < і < І — 1, и і = і + 1, при

І < і < д — 1. Для р Є и1, например, будет ар(Ар) = 1 — рр(Ар) = 0 и любой элемент фо = фо([р],рр) Є Нотр^ ([Гр, Гр], С) можно задать как фо = ф1 І [Гр, Гр] для ф1 = ф1([р],рр) Є Z 1(Гр,рр), такого, что ф1 (Ар) = 0,

ф1(Тр) = ар(Ар)-1фо([Тр,Ар]),Тр Є Гр.

Отсюда получаем соотношения:

і = фо([Ар+1,Ар]) = ф1([Ар+1 ,Ар]) = = ар(АР)ф1(Ар+1), $ = фо([Вр+1,Арр]) = ф1([Вр+1,Ар]) = = аP(.Aр)фl(Bj+l), і = 1,...,д — 1

Кроме того, из основного коциклического соотношения и задания координат над и1 следует, что

д-1

ф1(вр) = ар(Ар)-2^2 [ар(Вр+1)£і— ар(Ар+1 і і=1

Таким образом, ф1(Ар),ф1(Вр),і = 1,...,д, выра-

жаются через ^1,п],і = 1, ...,д — 1, и последние можно взять в качестве координат для фо в слоях над Тд (Г) х и1. Аналогично можно поступить для остальных окрестностей.

Координаты , пі являются линейными ком-

бинациями от фі(Аі),фі(Ві) с голоморфными коэффициентами на и([^о]) х иі, а также линейными комбинациями от фк(Аі),фк(Ві) с голоморфными коэффициентами на и ([^о]) хіік П иі, так как

Вестник КемГУ № З/і 2011 Комплексный анализ

Фі І [г,Г] = Фо = фк |[Г,Г] над и ([ро]) х ик П и (здесь фк и фі определяются аналогично как фі над и1, над ик и иі соответственно). Далее, фк(Лд), фк(Бд)

— линейные комбинации от ^^ с голоморфными коэффициентами на и ([ро]) х ик. Поэтому координаты ^будут линейными комбинациями от ,пк с голоморфными коэффициентами на и ([ро]) х ик П и. Таким образом, получим, что матрицы перехода Тк,1 голоморфны на

Тд (Г) х (и П ик)

для всех к,1 = 1,..., 2д. Следовательно, такие карты 0(и1, {Лд, Бд}д=і), I = 1,..., 2д задают структуру голоморфного векторного расслоения на О над Тд(Г) х (Нот(Г, С*)\1). Теорема доказана.

Теорема 4.2. Векторные расслоения Ганнинга О = У([м] р) Н 1(ГМ, р) и Прима НР над Тд х [51 ]2д\1 будут вещественно-аналитично изоморфными, и расслоение Ганнинга О над Тд х [51]2д\1 равно прямой сумме двух

вещественно-аналитических комплексных векторных подрасслоений ранга д — 1 для любого

д > 2.

Доказательство. Имеем включения

[51]2д\1 С Нот(Г, С*)\(Ьд и Т~д) С Нот(Г, С*)\1,

что сразу следует из теоремы Еагкав-Кга [5, с.130], по которой любой нормированный несущественный характер будет тривиальным. На [51]2д\1 есть естественная вещественно-аналитическая структура, согласованная с комплексно-аналитической структурой на Нот(Г, С*)\(Ьд и Ьд). Поэтому голоморфные векторные расслоения О и НР над

Tg х Нот(Г, C*)\(Lg U Lg), ограниченные на Tg х [S 1]2g\1, будут вещественно-аналитическими комплексными векторными расслоениями [3; 4], а послойный C-линейный изоморфизм p будет также вещественно-аналитическим изоморфизмом расслоений G и HP над Tg х [S 1]2g\1.

Второе утверждение следует из теорем 3.1, 3.3, и 4.1, а также из теоремы 3.1.3 [3, с. 140]. Теорема доказана.

Литература

[1] Appell, P. Sur les integrates de fonctions a multiplicateurs et leur application an developpement des fonctions abeliennes en series trigonometriques / P. Appell // Acta Math. - 1890. - Vol. 13: 3/4. -P. 1 - 174.

[2] Чуешев, В. В. Геометрическая теория функций на компактной римановой поверхности. / В. В.Чуешев. — Кемерово: КемГУ, 2005.

[3] Чуешев, В. В. Мультипликативные функции и дифференциалы Прима на переменной компактной римановой поверхности. Ч. 2. / В. В. Чуешев. - Кемерово: КемГУ, 2003.

[4] Gunning, R. C. On the period classes of Prym differential / R. C. Gunning // J. Reine Angew. Math. - 1980. - Vol. 319. - P. 153 - 171.

[5] Farkas, H. M. Riemann surfaces / H. M. Farkas, I. Kra // Grad. Text’s Math. - Vol. 71, New-York: Springer, 1992.

6. Earle, C. J. Families of Riemann surfaces and Jacobi varieties/ C. J. Earle // Annals of Mathematics. - 1978. - Vol. 107. - P. 255 - 286.

УДК 517.54: 517.862

ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР БЕРСА В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ МЕРОМОРФНЫХ ^,р)-ФОРМ О. А. Сергеева THE INTEGRAL BERS OPERATOR IN THE NORMED SPACES OF MEROMORPHIC

(q,p)-FORMS О. А. Sergeeva

В пространствах мультипликативных мероморфных автоморфных форм для произвольного характера вводятся интегральная норма, билинейное спаривание и интегральный оператор Берса. Получены аналог неравенства Шварца для билинейного спаривания, универсальная оценка нормы и свойство самосопряженности для интегрального оператора Берса в случае мероморфных (q, р)-форм.

In spaces of multiplicative meromorphic automorphic forms the integral norm, bilinear pairing and the integral Bers operator for any character are entered. Under study an universal estimation of norm, selfadjointness for Bers operator in case of meromorphic (q, p) - forms and an analog of an inequality of Schwarz are received.

Ключевые слова: интегральный оператор Берса, мультипликативная мероморфная автоморфная форма, билинейное спаривание, двойственность.

Keywords: Integral Bers operator, multiplicative meromorphic automorphic form, bilinear pairing, duality.

Работа поддержана грантом ФЦП № 02.740. 11. 0457.