Прогнозирование проявлений горного давления Текст научной статьи по специальности «Энергетика и рациональное природопользование»

УДК 622.831

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ПРОЯВЛЕНИИ ГОРНОГО ДАВЛЕНИЯ

© 2007 г. Л.М. Дзагоев, В.Н. Пустобриков, Ю.С. Петров

Прогнозирование проявлений горного давления и расчеты устойчивости горных выработок с целью совершенствования технологии горных работ требует исследований процессов напряженно-деформированного состояния. Для этих целей необходимо располагать достаточной информацией о деформируемости и прочности породных массивов и методами их исследований [1].

При прогнозировании процессов напряженно-деформированного состояния в геомеханической модели породного массива приняты начальные нормальные напряжения, направленные в сторону выработки (1), которые существуют в нетронутом породном массиве, и дополнительное поле напряжений и смещений, которое формируется при производстве горных работ (2) (рис. 1).

/ / / / / А

Рис. 1. Схема определения напряженно-деформированного массива вокруг выработки

Следовательно, по горизонтали Хд+а* =Хд+а* = qz, по вертикали д + а* = qb, где а*, а* и а* - напряжения, происходящие вследствие образования выработки, МПа [2]. Представленная модель сплошной среды позволит отобразить геометрические свойства реального массива горных пород и рекомендовать их изменения в пространстве и во времени. Породы, представленные на участке, относятся к линейно-деформируемым (раздельно-зернистые, блочные и трещиноватые Джимидонского участка Садонского месторождения) в области сжимающих напряжений под действием сил тяжести горных пород. Механические процессы в породном массиве сопровождаются перемещением его точек.

Для исследования механических процессов в окрестности горизонтальной выработки сводчатого

поперечного сечения, сооружаемых в однородном изотропном массиве с известным начальным напряжением, используем решение осесимметричной задачи теории упругости [3]. Начальные напряжения в массиве:

а z = а г = аe = q;

т rz = т re = т ze = 0

(2)

Граничные условия: аг = (р - д) при г = 1 (на контуре выработки);

аг 0 при г ^^ (в массиве), (3)

где р - снижаемые напряжения, МПа.

В несимметричной плоской задаче механики используем уравнение второго порядка - уравнение неразрывной деформации

ёее + ее ~ег = о ёг г

Система уравнений для решения задачи в напряжениях включает уравнения равновесия [3]

d а г dr

а„ -аг

- + pR = 0,

(4)

где р - плотность пород, Мн/м3; Я = 0 - проекция объединенной силы на оси координат. Тогда (4) примет вид

d а г dr

аг -ас

= 0;

(5)

уравнение неразрывной деформации, которое при ц = 0,5 и е0 = -£г примет вид

dee 2ee ( d 2'.

—- +—- = 0 или I— + — |ee = 0; dr г l dr г

(6)

физическое уравнение изотропного породного массива

£ г = -ee = 4E(а г

(7)

При этом уравнение равновесия тождественно удовлетворяется при введении функции напряжения ^(г) и при

Р ^ (8)

аг = —; ае = (8)

г ёг

уравнение неразрывности деформаций (6) с учетом (7) преобразуется к виду

d 2

+

dг г

I1 " dF F' \

E V dг г

= 0 или

d2 F 1 dF F

dг

+ = т • (9)

г dг г 2

Решением уравнения (9) является функция напряжений

Г Р

Р(г) = С1 Г\ — ёг + С 3 Г ■

0 Г

Окончательно для геомеханической модели однородного изотропного породного массива

Р(г)= Т + С3Г ■

Используя граничные условия (3) и формулы (8), имеем С1 = (р -рН); С3 = 0 ■

После подстановки в формулу (8)

При р = 0 уравнения (10) и (11) примут вид

ст„ =

(p-рн).

ст0 =

-(p-рн).

е0= -еr =■

3 pH

2 r

тт 2 pH и U =--

3E r

В качестве примера примем незакрепленную выработку (Р = 0), проходимую на глубине от поверхности Н = 100 м. Расчетные данные: плотность породы р = 2,65 т/м3 (рН = 2,65 МПа); радиус свода выработки 1 м; модуль упругости Е = 0,75-105 МПа; коэффициент бокового расхода 1 = 0,3.

В табл. 1 приведены значения с„ с0, и П.

На рис. 2 показаны максимальные тангенциальные напряжения (о0), а радиальные (сг) - минимальные. По мере удаления от контура выработки они стремятся к напряжениям в ненарушенном массиве. Коэффициент концентрации напряжений на контуре

ст г = 0; т „ = т re = т г9 = 0,

где Н - глубина заложения выработки, м.

Полные напряжения в породном массиве в результате суммирования начальных (2) и дополнительных напряжений (9)

ст r = pH + сте =pH -

р-рн.

r2 '

p-рн.

r2 ;

ей = -Е„ =

3 (рН - p)

2Е г 2

Радиальные безразмерные смещения 3 (рН - р)

U = r Ее =-

2E

(10)

(11)

свода равен К ст = -

рН

■ = 2 и не зависит от местопо-

ст z = 0,5 (сте + ст r )•

Компоненты деформаций определяем из выражения (7), подставив в него дополнительные напряжения (9)

ложения рассматриваемой точки контура.

Смещение также имеет максимальное значение на контуре выработки и быстро затухает.

Рассмотрим вариант, когда начальное напряженное состояние массива отличается от равнокомпонент-ного. В этом случае условие симметрии нарушается. Начальные условия напряжений системы имеют вид:

сту =рН = д ; стг = стх = ХрН = -^—рН ;

1 -ц

т т = т = 0 и X < 1

y xz yz ^

Напряжения [4, 5]

'1+ X 1 -X

ст r ---Г

cos2e I q;

сте =

1+ X 1 -X

2 2 ст z =Xq.

cos2e I q;

(12)

Таблица 1

Значения нормальных, тангенциальных напряжений и смещение частиц

2

2

r

r

Безразмерное смещение Радиальные напряжения, о„ МПа Тангенциальные напряжения, ае, МПа Вертикальное напряжение, аг, МПа Безразмерные смещения

радиальное sr тангенциальное, ее

1 0 5,3 2,65 0,0000265 -0,0000265

2 1,89 3,97 2,65 0,0000066 -0,0000066

3 1,99 3,25 2,65 0,0000029 -0,0000029

4 2,36 2,84 2,65 0,0000016 -0,0000016

5 2,54 2,76 2,65 0,0000010 -0,0000010

6 2,58 2,72 2,65 - -

7 2,59 2,69 2,65 - -

8 2,65 2,67 2,65 - -

В цилиндрических координатах, согласно (5), граничные условия следующие: радиальное напряжение (ог) при г = 1; аг = Р; при г ^ да; 1 + Х 1 -X

аr =

-cos 26

q, касательное (x9r)

т г9 ="

1 -X

q sin2q, при r ^ да; а = ае = т е ^ 0.

1 м

аг, МПа

5 - 4 1 2,65 -

аг ' 1 Iii Ii 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 r

б

u х 105 ■3

1 2 3 4 5 6 r

Эа r + 1 Эт r

1

э Эе"+_ (ае-а r ) =0;

Эг r Эе r

Эт

dr

re +1

Эае

~Эё

- + 2т

re

= 0.

(13)

Y r е=r

Геометрическое уравнение :

г -— • г - — + -—• г Эг ' 9 г г Э6'

1 Э— ЭУ У

г

Уравнение неразрывности деформаций

Э^ + г Э 2 (г гб) - г Э^ Э 2 (г у г б) - 0 Э62 дг2 дг дгдб '

Физическое уравнение :

гг -Е (^г

1 т

гб- Е (аб-^а г); у гб- ,

(14)

(15)

(16)

где G = -

Е

. . - коэффициент сдвига, МПа: V -

2 (1 + ц)

компонент смещений, Е = Ег - модуль упругости, МПа; уг9 - величина условной деформации в рассматриваемых плоскостях 0, г.

Уравнение равновесия (13) можно удовлетворить, если ввести функцию напряжений ^г,0) и положить

= 1 dF _L dlL

а r = r dr + r 2 эе2

ае =-

Э 2 F

эе2

т м =

dr

1 dF r эе

(17)

После подстановки (17) в физическое уравнение (16) и затем в (15) получаем уравнение четвертого порядка с переменными коэффициентами для определения функции напряжений

1 Э2 _ 3 э э2

2 эе2 r Эг эг 2

4 Э2

1

F

+ I2 F Э 2 F ^

(r)

Эг 2

ЭrЭe

Е,л Эг

1 ^F ^ r эе

= 0.

(18)

Для геомеханической модели однородного изотропного массива, где Е = const, получаем бигармони-ческое уравнение

1А ±_ЭЕ э2 ^

r Эг г 2 Эе 2 Эг 2

13F э2 F

r Эг г 2 Эе 2 Эг 2

(19)

= 0.

Рис. 2. Схема расчета (а) и графическое распределение напряжений (б) и смещений (в) вокруг горизонтальной выработки на глубине 100 м в доломитовых породах

Для плоскодеформированного состояния, уравнение равновесия имеет вид [6]:

Так как модель с осевой симметрией относительно оси 2, уравнение (19) упрощается:

¿1 dr2

3 d_ r dr

1

f d 2 F

1 dF

r dr

= 0.

(20)

Решение уравнения (20) следует искать в виде функции напряжений: ^ 6) - / (г)соб26 , подстановкой которой в уравнение (20) даст выражение:

(

F

C r 2 + C 2 r 4 + + с 4 r2

cos2a

2

а

в

Таблица 2

Значения компонентов напряжений и смещений пород от сил гравитации и тектоники

Угол, определяющий положения точек на контуре выработки, е, град. Радиальные напряжения, МПа Тангенциальные напряжения, а& МПа Коэффициент концентрации напряжений, К Радиальные смещения, U

0 0 0,812 0,29 0,000016

15 0 1,24 0,44 0,000018

30 0 2,4 0,857 0,000022

45 0 4,0 1,43 0,000027

60 0 5,6 2,0 0,000032

75 0 6,77 2,4 0,000036

90 0 7,19 2,57 0,000038

Подставив (20) в формулы (17), используя граничные условия (12) и опуская промежуточные преобразования, запишем окончательное выражение для компонентов полных напряжений:

Go =

1+ Л

1 +

1 -ЛГ 3

1 + •

cos20

1+ Л

1 -

1 ^ 1 -А

Л-ц

2

1 -Л

1 -

cos 20

cos20

1 -Л

Т r0 =-

1 2 3

1 + "Г - "Г r r

= T0z = 0.

sin 20;

(21)

Вычитая из (21) компоненты начальных напряжений (12), получим выражение для компонентов дополнительных напряжений, подстановка которых во второе физическое уравнение (16) при ц = 0,5 и затем (16) в первую формулу (14) даст возможность записать выражение для безразмерных радиальных смещений (7).

U =

Зд_ 4E

1+А

-(1 -Л)

— I cos20

(22)

Рассмотрим пример. Выработка круглой формы (радиус ствола выработки 1 м) проводится на глубине (Н) 100 м от поверхности в окварцованных сланцах, физико-механические параметры которых: плотность (р) 0,028 МН/м3; модуль упругости (Е) 13,97-104 МПа; коэффициент Пуассона (ц) 0,30 и коэффициент сдвига (X) 0,43. Расчетные максимальные тангенциальные напряжения и радиальные смещения по формулам (21) и (22) на контуре выработки представлены в табл. 2.

Анализ формул (21) и (22) (рис. 3) показывает, что упругие напряжения, вызванные проведением выработки, достигают максимума при cos 2© = 90 ° (7,19 МПа). По мере удаления в массив концентрация напряжений снижается (гаснут) и асимптотически стремятся к начальным напряжениям в нетронутом массиве (kq = = 1,2 МПа). При этом в точке при 0 = 0 ° (в кровле выработки) могут действовать сжимающие (при X>0,333), растягивающие (при X<0,333) напряжения. Суммарные радиальные напряжения (аг) на контуре

сечения незакрепленной выработки равны нулю и с удалением от контура увеличиваются и стремятся к напряжениям д.

q = АрЯ

Рис. 3. Эпюра тангенциальных напряжений (1) и значения коэффициентов концентрации (2) на контуре выработки

При X = 1 выражение (21) и (22) переходит в соответствующее выражение для осесимметричной задачи (18) и (11) при р = 0. С уменьшением X, начиная с 1, контурное напряжение 00 на горизонтальной оси увеличивается, а на вертикальной - уменьшается. Радиальные смещения (22) имеют максимальное значение на контуре выработки в точках, лежащих на вертикальной оси при X < 1.

Полученные выводы с качественной стороны правомочны для незакрепленных выработок любой формы поперечного сечения.

Значения компонентов смещений точек и коэффициентов концентраций напряжений (количественная сторона) зависят от формы поперечного сечения, глубины заложения выработки, технологии проходки и структурно-механических особенностей массива горных пород.

Литература

1. Баклашов И.В. Деформирование и разрушение породных

массивов. М., 1988.

2. Баклашов И.В., Картозия Б.А. Механика подземных

сооружений. М., 1975.

3. Рекач В.Г. Руководство к решению задач по теории упру-

гости. М., 1977.

4. БулычевН.С. Механика подземных сооружений. М., 1989.

5. Джапаридзе Л.А. Расчет крепи протяжных горных выра-

боток по предельным состояниям. М., 1991.

6. Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической тео-

рии упругости. М., 1981.

Северо-Кавказский горно-металлургический институт, г. Владикавказ

26 октября 2006 г.

2