CC BY
8
„„ уцк514.18+б21 ПРОФИЛИРОВАНИЕ ОБКАТОЧНОГО
АА Ляшков, Л.К. Куликов
Омскийтсударсшенный ИНСТРУМЕНТА ПО
тахничестйуниверситет ВСПОМОГАТЕЛЬНОЙ ПОВЕРХНОСТИ
ПРЕДЛОЖЕН МЕТОД ПРОФИЛИРОВАНИЯ ОБКАТО ИНОГО ИНСТРУМЕНТА, ОСНОВАННЫЙ НА ПЕРЕХОДЕ ОТ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ К ПРОСТРАНСТВЕННОЙ. ТАКОЙ ПОДХОД ПРЕДПОЛАГАЕТ ВВЕДЕНИЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНОЙ ПОВЕРХНОСТИ, ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕХАРАК-ТЕРИСТИКИ КОТОРОЙ МОГУТ БЫТЬ ПОЛУЧЕНЫ НА ОСНОВЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ АФФИННОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. ПОЛУЧЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОБОГАЩАЮТ КАРТИНУ ФОРМООБРАЗОВАНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ПОЗВОЛЯЮТ РЕШИТЬ ПОСТАВЛЕННУЮ ЗАДАЧУ СРЕДСТВАМИ КОМПЬЮТЕРНОЙ ГРАФИКИ БЕЗ ВЫВОДА ГРОМОЗДКИХ ФОРМУЛ.
Пусть уравнение профиля детали (кривая к, рис. 1) будет задана параметрически х = х,(Ч, у = у10).
m U у
к 0 Г
Рис. 1
При качении без скольжения центроиды детали m по центроиде рейки п на плоскости будем иметь семейство кривых
х = y,(t) simp +x,(t) coap + R<p, y = y,(t) cos<p - x,(t) sin cp. (1)
где <p - угол поворота центроиды детали (параметр семейства кривых линий, который принимаем <р> 0).
Огибающая семейства (1) является профилем рейки.Введем ось z так, чтобы она вместе с осями х, у (рис. 1) образовала правую систему координат. Каждую кривую
семейства, соответствующую,углу ф., расположим в плоскости z = рф., где р - константа большая нуля. Тосца вместо семейства кривых на плоскости получим поверхность в пространстве, которую назовем вспомогательной. Уравнение данной поверхности будет х = y,(t) sirvp +x,(t) costp + R<p, y = y,(t) cos ф - x,(t) sin Ф , (2)
Z = Рф ,
где t- параметр, определяющий положение точки на кривой, а ф - параметр, выделяющий кривую из семейства. Ортогональная проекция контура поверхности (2) на плоскость Оху является профилем рейки.
Если в (2) убрать перенос на R ф вдоль оси X, то полученная система уравнений будет описывать винтовую поверхность. Ее координаты точек обозначим v!, / Kz¡. Уравнение этой поверхности, которую назовем исходной, имеет вид
* ■ y,(t) sin ф +X,(t) COS ф ,
i - y,(t) COS ф - x,(t) sin ф , (3)
*=РФ .
Система уравнений (3) описывает исходную поверхность. Учитывая, что Rq, = ^ z' запишем зависимости для получения координат точек вспомогательной поверхности от координат точек исходной поверхности
У = /. z = ±
В аффинном преобразовании ось исходной поверхности перейдет в прямую z = х, расположенную в плоскости
у=0. Цилиндрическая поверхность вращения с осью исходной поверхности - в эллиптический цилиндр, осью которого является упомянутая выше прямая. Винтовая линия, расположенная на цилиндрической поверхности вращения, перейдет в наклонную винтовую линию на эллиптическом цилиндре (рис. 2). Пусть эта линия образована движением точки А(0, -а, 0). Ее уравнение в параметрической форме будет иметь вид
х = -a sin ф + R <р,
у = - a cos ф, (5)
2 = Р ф-
Уравнение касательной к наклонной винтовой линии в точке А(х, у, z) будет
X - х У - у _ 2-Z i - i — i х У z
® о »
где выражения для производных имеют вид
*„ =-аоовф+Л,
У.„ = a sin
(7)
z =г
Касательная к винтовой линии в точке А перейдет в касательную в ооответствующей точке А' наклонной винтовой линии. Поскольку плоскость г = 0 является плоскостью инвариантных точек, касательные пересекаются в точке на этой плоскости. Точки пересенения касательных расположены на эвольвенте окружности, которая получается в пересечении цилиндрической поверхности вращения и плоскости г = 0.
(4)
Рассматривая переход от исходной поверхности к вспомогательной, как результат геометрического преобразования, нетрудно'Заметить, что система (4) описывает аффинное преобразование, т.к. является линейной [1].
Рис.2
Поскольку исходную винтовую поверхность мшено представить как однопа ре метрическое множество цилиндрически! винтовых линий, сучвтом сказанного выше, вспомогательная поверхность может быть названа квазивин-тотой или наклонной винтовой поверхностью.
Стением квазивинтовой поверхности плоскостью
г - т будет кривая к, повернутая нв угол ср
Любое плоское сечение кваэивинтовой поверхности имеет прообразом в преобразовании (5) плоское сечение исходной винпмой поверхности. Осевое сечение исщциой винтовой поверхности перейдет в осевое сечение кваэивинтовой поверхности.
Уравнение плоскости, касательной к вспомогательной поверхности в точке М(х, у, г), записывается так [ 2 ]:
= 0.
где X, X 7. - координаты произвольной тенки касательной плоскости; у | х^ у^ - частные производные
функций из системы уравнений (2) по параметрам (и ф , соответственно
Нормаль к поверхности в той же точке перпендикулярна двум векторам г и г(. Вектор М[г(.г|
определяет направление нормали, его проекции имеют вид
/ / И = (х1/ ятф-уи совф) р, / /
Ыу= (XI/ С(Кф-у1/ ЯПф) р, т
iii i
№ = XI х)/ + у1 у 1/ +Я(-Х1Г апф + уи са>ф),
Х-х Y-y Z-z
i /
X У, z<
1 i 1 У Z '» V
/ /
гдех1/, у ir частные производные функций, определяющих профиль детели по параметру t.
Поскольку профиль рейки является ортогональной проекцией вспомогательной поверхности, в точках контуре касательная плоскость перпендикулярна координатной плоскости Оху [3] и в них же N, > 0 или из (9)
ill / xixu + yiyir + R(-xi/ sin ф + у 1/ cos ф)= 0. ■ (Ю)
Зависимость (10) дает связь параметров ф, t и совместно с (2) позволяет найти контур на вспомогательной поверхности и его проекцию на плоскость Оху, т. в. огибающую семейства кривых (1). Эту же кривую мокно получить, проецируя контур исходной винтовой поверхности на ту же плоскость Оху в направлении вектора a(R, 0, -р). Тек как рассматриваемая кинематическая схема является не только самостоятельной, но и промежуточной, данные результаты применимы для различных типов обкаточного инструмента.
ЛИТЕЯМУМ
1. Постников М. М. Аналитическая геометрия. - М.: Наука. 1973.-750 с.
2. Рашевсиий П. К. Курс дифференциальной геометрии. - М.: Госгахиздат, 1956. -420 с.
3. Ляшноа А. А. Об одном семействе линий. /Сучасн! про&теми гаометричного модепювания, Части на 1.36, МвС УкраЫи, 1998, Укра1нсыюю та РосМскою мовами, с. 127130.
i - кандидат технических наук, доцвнг.
КУЛИКОВ Леонид Константинович - кандидат технических наук, доцвнг кафодры начертательной геометрии, тмвнериой и компьютерной графики.
18.10.99 г
Ю.1
технический университет
^5152 МСДРИКВАНС АЭРОДОАЮМВСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ СОПРЯЖЕНИЯ С УЧЕТОМ НАПЕРЕД ЗАДАННЫХ ГРАНИЧНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ УСЛОВИЙ
статья посвящви геометрическому моделированию сложных аэродинамических поверхности сопряжения в процессе мо/щрнизлфи я создания новых изделий, связанному с разравоткой истодов получения урав-нвшй кривых линий по заданным граничным дифференциальногеомет-рическим условиям. указанным направленной кривизны и высоким по-рядкош гладкости.
Процесс проектирования сложных аэродинамических поверхностей связан с многочисленными модернизациями и конструктивными изменениями изделий. Повышенные аэродинамические требования предъявляются к сопрягающим поверхностям типа "зализ". Такие поверхности характеризуются тем, что имеют отрицательную полную кривизну во всех своих точках и накопятся в области интерференции, при этом выдерживают большие инерционные негруэки и вибрации.
Чтобы обеспечить аэродинамичность сопрягающей поверхности типа "зализ", необходимо обеспснитъ высокий порядок гладкости неосциллирующих образующих, выходящих на теоретические Обводы сопрягаемых поверхностей. Поэтому при модернизации изделия и решении локальных задач внутренней компоновки часто возникает
необходимость в изменении части дуги обвода кинематической поверхности. Для решения этой задачи необходимо иметь уравнение такой функции, которое обеспечивало бы отсутствие нежелательных осцилляций и высокий порядок гладкости в заданных узлах обвода, т.е., функция должна достаточное число раз дифференцироваться и обеспечивать возможность локальной модификации кривой на нормированных участках с сохранением в опорных узлах заданных дифференциально-геометрических условий.
При решении поставленной задачи необходимо, чтобы каждая дуга обвода была задана фиксированными числовыми значениями функции и ее первых, вторых, третьих и т.д. производных. Для аналитического описания неосцити-рующей выпуклой или вогнутой дут обвода воспользуемся теоремой Ньютона-Лейбница (основная теорема дифферен-
