CC BY
10
УДК 539.31
Ю. И. САНКИН, А. Е. ТРИФАНОВ
ПРОЕКЦИОННЫЕ МЕТОДЫ В ВЕСОВЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ СОБОЛЕВА И ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК КАК ВЯЗКОУПРУГИХ СИСТЕМ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
Во многих задачах механики и математической физики целесообразно вводить обобщенные решения дифференциальных уравнений в частных производных и их обобщенных производных. Это приводит к понятию пространств С. Л. Соболева.
Пусть Q - замкнутое в Rn с границей Г и пусть Q - липшицево множество. Размерность множества Г равна п-1. Элементы x,y<=Rn:
{х = (х\,х2,....хп);у = (ух,у2,...,упУ}, Лебегова мера на Rn будет dx = dx]...dxn и
с1Г представляет меру границы Г.
Введем банахово пространство 1Ут'р(0.) с нормой
, 1, г ■ Г -----
(О
как пополнение пространства непрерывных функций в метрике (1), где
= = * = ......Н—
I 5 р £ агу , т е. N.
Пространство Wm p(D.) с нормой (1) называется пространством Соболева. При р = 2, Wmu(Q)= Нт(р.) представляет собой гильбертово пространство со скалярным произведением
М^-^ЯЧ^у). (2)
Подобно тому, как наряду с гильбертовым пространством Ь2 (П) со скалярным произведением
п
вводится пространство 2,2р(С))со скалярным произведением £2
модернизируем выражение (2) и введем весовое скалярное произведение
М«р-м = Ж I (3)
где (^".¿ы.. ^
При этом в некоторых случаях ра (*)= О.
Оказывается, что пространство//™Л) со скалярным произведением (3) характерно для вариационных методов механики сплошных сред и, в частности, для задач вязкоупругости. Пространство Н"' для р, =0, т = 2 представляет собой энергетическое пространство, введенное С. Г. Михлиным, которое также является гильбертовым. Свойства пространства Нт^.)известны и переносятся на (П).
В предложенной работе обсуждается связь функционалов, которые имеют место при вариационном решении нестационарных задач динамики тонких оболочек как вязкоупругих тел, с пространствами Соболева. Ранее подобная связь обсуждалась в работе [1].Указанные пространства возникают естественным образом при установлении условия стационарности смешанного функционала, аргументами которого являются преобразованные по Лапласу обобщенные перемещения и обобщенные силы.
Уравнения динамики линейной вязкоупругой системы в операторной форме
можно записать следующим образом:
% (4>
СО ви+С{Пя — =сг.
Здесь а - вектор обобщенных сил или тензор напряжений; и - вектор обобщенных смещений; R - матрица инерционных характеристик или удельная масса; Т - матрица внешнего рассеяния энергии; / - вектор-функция внешних нагрузок; С и С, - соответственно матрицы или тензоры упругих постоянных и коэффициентов внутреннего трения. Граничные условия:
п 9<з = Г на 5,, п.ь и = и 1 ка а (5}
где и пи - соответствующие операторы статической и
геометрической совместности на поверхности тела; fs - нагрузки на участке поверхности 5,; ш - граничные перемещения на S2. Условия совместности на границах конечных элементов:
+ IV - о на Зр, оРти+ = пи и. ш 5г. (6)
Знаки «+» и «-» соответствуют различным сторонам границы со-
пряжения элементов Начальныеусловия:
Операторы D и D , сопряженные в смысле Лагранжа:
\{DgYU<ÁV = ¡a' D'udY - \o.v^dS.
где а, = пао; us
случае граница элемента Для пространственного тела:
=«„w; V объем конечного элемента. В общем
S = «S, U S2
U S\ U S2
D--
2\8а. да,
где а/с - пространственные координаты; а : может быть записано в следующем виде:
а,-,; и ~ и,; n-nt \ с- cijkl Условие (8)
i (i
л,
Тогда
fj на и, = вглГ на
на
граничные условия;
"iVq на S]f где пи <jff = айч -яс(т, = и_
или
= - íí_ - 0 на 52 _
условия совместности на границах элементов.
/
Операторные уравнения (4), граничные условия (5) и условие совместности (6) справедливы для стержней, пластин и оболочек. Поэтому обсуждаемые здесь методы универсальны для всех прикладных задач линейной вязкоупругости. В частности для тонких оболочек имеем:
V да, да2
где а - вектор усилий; и - вектор обобщенных перемещений.
Ниже приводятся структуры соответствующих операторов, где используются общепринятые в теории оболочек обозначения.
Приведенные выражения для операторов, после того как проверено их свойство, выражаемое формулой (8), позволяет конструировать любые вариационные принципы теории тонких оболочек.
Известно, что структура оператора D определяется структурой уравнений равновесия. В теории тонких оболочек в уравнения равновесия входят не все силовые факторы, а только независимые величины. С другой стороны, структура оператора D* определяется структурой потенциальной энергии, куда входят не сами деформации непосредственно, а их некоторые комбинации. Это обстоятельство необходимо учесть при установлении свойств вышеупомянутых операторов. Далее приняты обозначения: Л,,Л2 - коэффициенты Ляме; а,,а2 - гауссовы координаты; /?,Д2 - главные радиусы кривизны; пх,п2 - составляющие нормали к контуру.
i эЮ
AiAï За, 1 BA;
1
A,A2 da? ... cM,
A ¿2 äii
¿Л,
^i/íjíi da
А\Аг ñüi +
(t>
ал
fa
--+
+ 1 ^ j
■■íi.'íjfii Ги3
... ДА, À Aj 3a2
AlA^ dct 3 i - ^
fi-í,
I
... ài.
1 ô
fjJUtJL
KA tot ) í
л^л* fti3 jl__3 r i э^...}1)
Л1А1 \ An Äij }
1
А, А, Й, dttr
I -
A{A2R7 ctotj
>ЦЛ3 Sa, ^ R, } , I fl-VO
-^/Ijjfij Ba,
r ^
Л 1)
A,A-i За,
_L__5_
A,A? dat
A¡A2 Ли, ^ A, &oi¡
1
J, A, f
1 0 í
-Lfe))
A¡ 3a, )
1 а..
Л] А*, ...
А,А-, 3а1
] в...... М
^ Рйз А. А, 3&.1
д*
Аг да. I Я,
ц| ■■
ЗА,
1 А...
ал.
Л|ЛгЛ, Д13
]__д ( _
Л, 5а, I. Л,
... сЦ
г...
1 _ .. ВА^ А| За, Л,Л3
... ЗД
Л Эй;
I 3
Лз йаг
] а.. ДЯ, вй
ЗА
л^д, За, ... йА1
0
.ил
А, 5п,1 1Л
1 сЛг 3...
{Лгда1
__]_ дЛг 3... А^Л.; За, _ I ОА| д.~
1 э Г г а
_ 2. з (1 а.Л ■■>1
Операторы статической и геометрической совместности имеют вид:
1 0 0
0 1 0
0 0 1
о ] _д_
А йа.
0 0 1 д_
А,
Данная методика позволяет получить конечные элементы для различных оболочек, в том числе для оболочек вращения (цилиндр, конус, тор). Преобразуем по Лапласу уравнение (4), граничные условия (5) и условия совместности (6):
-то -*,)+ т[ры-^)-/ = о.
(С+С&р'и-С^\ и^о я/ена ,п.аи (10)
"а. - ^ ш >■ = па-и- на j (II)
ф ¿а
где и щи{р)3 и{р) т ^¡г)?"^^/, г = = ¡вИГ^А,
Справедлива следующая теорема [2,3]: Уравнения (9), граничные условия (10) и условия совместности (11) для обобщенных перемещений и обобщенных сил вязкоупругого тела, преобразованных по Лапласу, эквивалентны условию стационарности следующего функционала:
е[р) и 1 |[бсг + р2Ли а р Ты - 2(/ +• рКа^ + йа, -I- Тар ш£У + 2 ¥
+1 -С' 'с-2С'-'С,Л\ V4 п.м&у - (12)
-^ /Ь,«/("и*"■■ \
где С = С + С,р; V - объемы элементов, на которые разбито тело. Функционал (12) обобщает результаты работ [4] и [5] на задачи вязкоупругости. Кроме того, здесь символ суммирования по элементам, следуя Прагеру [5], опущен. Функционал (12) впервые получен в работе [2] и справедлив для любой динамической системы, описываемой дифференциальными уравнениями вида (9) с граничными условиями (10) и условиями сопряжения (11). В частности он послужил основой для разработки метода динамического расчета электрических сетей с распределенными параметрами [6] и метода динамического расчета оболочек вращения при внезапном нагружении и соударении с препятствием [7].
Рассмотрим случай одного независимого поля. Следуя вариационному методу, будем искать решение в форме:
и = , ст = + С,/)*д0 . (13)
>1 /-1
Выполнив соотношение вязкоупругости и, удовлетворяя условиям совместности деформаций на границе между элементами, принимая во внимание условие (8), выражения (14), получим согласно (13):
\{с'&'« - С, 4)' о\. +■ (д^ + рт* - {/ ■+ />Яд0 + Ах, + и^У -
~ =0. 1 =
V.
Здесь Щ - функции формы.
Уравнения (14) - обобщенная форма уравнений метода конечных элементов. основанного на узловых перемещениях. Число таких уравнений равно числу узловых перемещений или, иными словами, числу степеней свободы N дискретной модели. Из уравнения (14) получаем соответствующие выражения для матриц жесткостей, рассеяния энергии, масс и нагрузочных членов.
Уравнения (14) записаны в форме скалярных произведений, характерных для соболевских пространств и эквивалентны исходной дифференциальной задаче в слабом смысле. Поэтому для сходимости вариационного метода достаточно полноты системы аппроксимирующих функций в выбранных функциональных пространствах. Доказанные теоремы о сходимости, оценки точности решений сохраняют силу и в данном случае [8]. Вариационные принципы теории оболочек в тензорном виде даны в работе [9]. Однако отсутствие соотношения (8) затрудняет программирование и последующую отладку программы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.Санкин 10. Н. Проекционные методы в весовых пространствах Соболева и задачи динамики вязкоупругого тела с распределенными параметрами // Математические методы и модели в прикладных задачах науки и техники. Труды международной конф. «Континуальные алгебраические логики». - Ульяновск: УлГТУ, 2002. - С. 66-69.
2.Санкин Ю. Н. Динамические характеристики вязко-упругих систем с распределенными параметрами. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1977. - 309 с.
3.Санкин Ю. Ы. Смешанные вариационные методы в динамике вязкоупругого тела с распределенными параметрами // Учен. зап. УлГУ. Сер. Фундаментальные проблемы математики и механики. Вып.1(5). - Ульяновск: УлГУ, 1998. - С. 124132.
4.Reissner F. On Some Variational Theorems in Elasticity// Problem in Continuum Mechanics. Philadelphia: SIAM. 1961. - P. 370-381.
5.Prager W. Variational Principles of Linear Elastostatics for Discontinuous Displacements, Strains, and Stresses// Recent Progress in Applied Mechanics. The Folkey Odquist Vol. Stockholm: Almquist and Wiksell, 1967. - P. 463-474.
6.Санкин Ю. И., Пирожков С. JI. Метод конечных элементов в динамике электрических сетей с распределенными параметрами // Электротехника. - 2001. -№7. - С. 54-58.
7.Санкин Ю. Н., Трифанов А. Е. Осесимметричные колебания оболочек вращения при внезапном нагружении// ПММ. - 2002. - Т.66, Вып. 4. - С. 607-615.
8.Temam R. Infinite-Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics. Springer. 1997.-648 p.
9.Абовский H. IT, Андреев H. П., Деруга А. П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек. - М.:Наука, 1978. - 287 с.
Санкин Юрий Николаевич, действительный член академии инженерных наук РФ, доктор технических наук, профессор кафедры «Теоретическая и прикладная механика» Ульяновского государственного технического университета, окончил физико-механический факультет Ленинградского политехнического института. Имеет монографии и статьи в области механики сшюшных сред, теории колебаний и устойчивости движения, e-mai.1: [email protected]
Трифанов Андрей Евгеньевич, аспирант кафедры «Теоретическая и прикладная механика» Ульяновского государственного технического универ-ситета, окончил механико-математический факультет Ульяновского госу-дарственного университета, имеет статьи в области динамики оболочек.
