К вариационной формулировке задач линейной и нелинейной вязкоупругости Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вычислительные технологии

Том 8, № 3, 2003

К ВАРИАЦИОННОЙ ФОРМУЛИРОВКЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОЙ И НЕЛИНЕЙНОЙ ВЯЗКОУПРУГОСТИ

А. А. Светашков Томский политехнический университет, Россия. e-mail: [email protected]

The variational approach to a solution of boundary value problems of the linear and nonlinear viscoelasticity theory (on the example of the main quasilinear theory) is considered.

Введение

Как известно [1, 2], вариационная формулировка задачи теории упругости опирается на доказательство положительной определенности оператора краевой задачи. Для вяз-коупругих тел доказательство положительной определенности оператора, по-видимому, отсутствует, несмотря на значительное количество публикаций, посвященных вариационной формулировке [3 - 5].

В настоящей работе приведены преобразования произведения тензора напряжения и тензора деформации к положительно определенному виду, из которого следуют условие эллиптичности квадратичной формы, выполнение неравенства Корна и, как следствие, положительная определенность оператора краевой задачи теории вязкоупругости.

Рассмотрены два варианта формулировки линейной задачи: по деформациям (перемещениям) и по скоростям деформаций. Приведены оценки погрешностей приближенных решений линейных задач с эффективными по времени модулями, которые могут быть получены как первое приближение некоторого итерационного процесса. Дано доказательство положительной определенности оператора краевой задачи главной квазилинейной теории. Приведен численный пример.

1. Вывод условия эллиптичности

Для задач теории упругости условие эллиптичности имеет вид [1,2]

£ij > a£ij£ij, i,j = 1, 2, 3, a = const > 0, (1)

где aij, £ij — тензоры напряжений и деформаций. В [2] показано, что (1) имеет место для вязкоупругих материалов "твердого типа"для моментов времени t = 0, t = то. Покажем, что (1) справедливо для всех t £ [0, то]. Предварительно рассмотрим преобразование

© А. А. Светашков, 2003.

свертки IV = Охз£] вязкоупругих напряжений и деформаций, задав физический закон для анизотропного тела в виде

а] (1) = С]Ы £к1, £] (г) =

(2)

с1зы£к1 = у щы(г - т)(кы(т), зцы^кг = у (г - т)(аы(т), г,3,к,1 = 1, 2, 3, (3)

о о

кг]ы,(г) = щик1(г) = в-кщ (г), п]к1(г) = п^к1(г) = пкщ (г) ■

Здесь щ]кг(г), пцкг(г) — тензоры функций релаксации и ползучести. Преобразуем левую часть (1), используя известное тождество

аг] £г]

г г

J а^+ ! £](а^ = ш + Ф, 1,3 = 1, 2, 3. оо

(4)

Первый интеграл представляет потенциальную энергию деформаций, второй — потенциальную энергию напряжений. Последние приводятся к положительно определенному виду с помощью преобразований [3]

Ф

1

г г

ац (£гу = 2 J у (8 - Т )(£ц (т )(£к1 (в),

оо г г

£з= 1Цпм(> - Т)Ь*№»(>). ык.' = 123

оо

где функции памяти симметрично продолжены в область г < 0: п]кг(г) = п]кг(-г), Вг]кг(г) = В] кг (-г). Отсюда, в частности, следует положительная определенность заданной таким способом свертки а]£]. Однако для формулировки вариационной задачи необходимо явное представление свертки IV = а] £] в положительно определенном виде через напряжения или деформации.

Запишем тождественное преобразование для IV, отбросив для краткости индексы:

Iv = j Е(г - т)(£(т) о

т г

/ (£(в) + (£(в)

о

11 + 12■

Преобразуем 11, используя формулу Дирихле:

г г г г

11 = J(£(т) JЕ(г - в)(£(в), I = 11 +12 = J(£(т) J[Я(г - т) + Е(г - в^ф).

о т о т

Рассмотрим интеграл

г т

I = у (£(т- т) + Е(г - в)](£(в),

оо

г

г

г

о

г

о

г

т

г г

I + I' = у - т) + КЦ - в)}<£(т(5) о о

Преобразуем I', применяя формулу Дирихле для второго слагаемого:

г т г г

I' = J К(г - т)<к(т) J <к(в) + ! <£(т) IКЦ - т)<£(в).

0 0 0 т

В итоге получаем I = I', тогда, учитывая (5) и возвращаясь к индексным обозначениям, запишем окончательное выражение

г г

Оц {г)£ц (г) = ^JJ [КуЫ^ - т) + КуЫ^ - в)}<£, (т )«£Ы (в), г], к, I =1, 2, 3. (6) о о

Очевидно эквивалентное представление через напряжения и функции ползучести

г г

чт,ю = -2ц[щиц-т) + п«и«-^ым = 1,23 (7)

оо

Отсюда вследствие симметрии по т, в ядер в подынтегральных выражениях (6) и (7) следует, что Iv является положительно определенной. Воспользуемся свойством функций релаксации

Кг,к() > К,Ы М > 0 <г,],к,1 = 1, 2, 3 > .

Подставляя последнее в (6), получаем

аг, (г)£г,(г) > (г), С > 0, г,], к, I = 1, 2, 3.

Таким образом, справедливость (1) доказана.

2. Условие положительной определенности оператора линейной вязкоупругости

Рассмотрим симметричную квадратичную форму, составленную на основе IV:

&(и, V) = -[аг, (и)£г, (ч)+ а г, (ч)£г, (и)}, г,] = 1, 2, 3. (8)

Введем Ь2(У) — гильбертово пространство со скалярным произведением и нормой

(и ^ь2(У) = uvdy, ||и|||2(У) = (и и)ь2{У). (9)

V

Уравнения равновесия в перемещениях имеют вид

(С,к1Пк,1),, +рГг = 0, г,],к,1 = 1, 2, 3, (10)

где Fi — компоненты вектора объемных сил, р — плотность. Граничные условия

«г|гх = uaij(u)nj|г2 = Si0, i,j = 1, 2, 3. (11)

Здесь u0, S0 — заданные на Г, Г2 перемещения и усилия, Г! U Г2 = Г, где Г — граничная поверхность тела с объемом V; ni — направляющие косинусы нормали к Г2. Определим оператор линейной вязкоупругости

(Au, v)^) = J W(u, v)dV. (12)

Симметрия A следует из (8). Для доказательства положительной определенности оператора A используем неравенство Корна [1]

/г Bu - du ■

£ij£ijdV > К dV, K = const > 0, i,j = 1, 2, 3. (13)

V V j j

Учтем доказанное условие эллиптичности (1), тогда получим (Au, u)L2(v) = J W(u, u)dV = j aij(u)£j(u)dV >

V V

> С J £ij (u)Sij (u)dV > CK ^ duj-djdV, i,j = 1, 2, 3.

V V j j

С учетом неравенства Фридрихса [1], согласно которому

С / ШШ^ >»U»Í2(V, ij = 1,2-3

jj V

получаем окончательно

ск

(Аи, и)ЫУ) > с2\\и\\12(у), С2 = ~с- ■

В силу симметрии и положительной определенности оператора А справедлива теорема о минимуме функционала

Ф(и)^У Ш(и, и)(У - Ь(и), (14)

У

Ь(и) = ! Б0и^ рРи^У, I = 1, 2, 3■

Г2 у

Покажем, что условие равенства нулю вариации функционала (14) дает уравнение равновесия (10) и граничные условия в напряжениях (11). Производя варьирование, запишем

6ф = I (агз(и)б£гз + £](и)8агз)У - ^ в05иа - ^ рГг5игУ = 0, 1,3 = 1, 2, 3. (15)

У Г2 У

В вариационном уравнении (15) можно объединить коэффициенты при двух независимых вариациях: бегз (или бщ) и богз, тогда в силу произвола последних будет справедливо

I агз (п)бегз V - У р^бщУ - ^ 5°ёпа = 0. (16)

V V Г2

Равенство нулю коэффициентов при вариациях богз дает тривиальное решение ец = 0. Применяя к вариационному уравнению (16) теорему Остроградского — Гаусса, получим требуемый результат.

Доказательство положительной определенности оператора А для различных типов граничных условий может быть рассмотрено по аналогии с [1].

3. Эффективные по времени модули

В силу доказанной положительной определенности свертки напряжений и деформаций можно рассмотреть задачу об определении условий энергетической близости функционалов \¥, Щ:

\¥ = оцец, Щ = о0ец, г.. =1, 2, 3. (17)

Рассмотрим для простоты случай изотропии, задав определяющие уравнения в виде

огз (1) = л*вбгз + 20* егз, (18)

Ц) = \(1)вбгз + 2дЦ)егз. (19)

Здесь Л*, О* — вязкоупругие операторы релаксации, аналогичные по структуре (2) функциям памяти Я1(1), д(Ь) — неизвестные функции времени. Заметим, что правые части (18), (19) содержат тождественные значения вязкоупругих деформаций в = егзбгз и егз, левые части (18), (19) — различные значения соответствующих откликов огз(I) и оЗ(¿).

В соответствии с вышесказанным существуют такие константы М > т > 0, что выполняются неравенства

тЩ < Iv < МЩ.

Константы можно найти из решения задач

т = шт \¥(егз), М = тах \¥(егз). (20)

)=1 М'о^з ) = 1

Для определения М, т составим функционал

Щ1(егз) = ЦТ (егз) - №о(е*з)

и потребуем бШ1 = 0:

б^1 = (огз - цо0)бегз + егзб(огз - ) = 0, г,] = 1, 2, 3. Равенство нулю коэффициентов при вариациях бегз дает необходимые условия экстремума

огз - ^о<0з = 0 < г,.] = 1, 2, 3 >

и определяет две независимые функции — £гг = £ (г = 1, 2, 3) и £гз = е (г = ]), которые дают условия стационарности функционала \¥(£гз) по направлению \у0(£^) = 1. В итоге получаем

(К* - /к(г))£ = 0, (21)

22 (с* - /д(1))е =о, К * = л* + 3 с*, К (г) = Х(г) + 3 д(г).

К уравнениям (21) необходимо присоединить условие нормировки

9к(г)£2(г) + 12д(г)е2(г) = 1.

Поскольку два уравнения (21) не могут выполняться одновременно, полагая поочередно £ = 0, е = 0, получим

/1 = К *£/(к(г)е), 9к(г)£2(г) = 1, (22)

/2 = С*е/(д(г)е), 12д(1)е2(1) = 1.

Поскольку условия максимальной энергетической близости Iv и \¥0 имеют место при /1 = /2 = 1, запишем выражения для к(Ь),д(Ь):

к(г) = К *£/£, к(г)£2(г) = 1, (23)

д(1) = С*е/е, д(1)е2(1) = 1. (24)

В системе (23), (24) введены нормирующие числовые множители: £ = 3£, е' = \[у2е (штрихи отброшены). Модули к(Ь),д(Ь), определяемые (23), (24), получены несколько другим способом в [6] и названы оптимальными эффективными модулями (ОЭМ) линейно-вязкоупругого тела.

4. Оценки приближенных решений с оптимальными модулями

Обратимся к эквивалентной вариационной формулировке линейной задачи [3, 5], для которой также рассмотрим доказательство положительной определенности оператора краевой задачи. Введем скалярное произведение и соответствующую норму

(и, ^(п) = У и^П, ||и|||2(П) = (и, и)ь2(П), п = V х 10,Т]. п

Здесь Т — граница временного интервала, на котором ищется решение. Определим симметричный оператор А1 с помощью скалярного произведения

(Ли, V) = 2! [<7г3(и)£гз(ч) + агз(ч)£гз(и)]П, г,3 = 1, 2, 3. (25)

п

Воспользуемся неравенством [6]

т т

/ агз (г)£гЗ (г)<И > / дгЗк1 {Ь)£гЗ (¿)£ы (¿)<и, г,3,к,1 = 1, 2, 3, (26)

о

о

дгзк1(^) = С*зк1к = Кгзы (t),

где к = к(Ь) — функция Хевисайда. Так как интегралы правой и левой частей последнего неравенства положительно определенные, интегрируя (26) по V, запишем

(А1 и, и) = J огз(и)егз(и)^ >J дгзкг(¿)егз(и)еы(и)П > п п

> дгзы(ж) j егз (и)еы(и)П = 2 дгзкг (ж) j егз (и)еы (и)У, п V

г.,к,1 = 1, 2, 3.

Принимая во внимание неравенство (13) и неравенство Фридрихса, получаем из последнего доказательство утверждения положительной определенности оператора А1 . Вариационное уравнение [3]

огз(и)бегз^= рЪбщп+ БОбще, г. = 1,2,3, (27)

дает обобщенное решение краевой задачи линейной вязкоупругости, определяемое (10), (11) при заданных на Е1 граничных условиях в перемещениях. Здесь Е = Г х [0,Т], еа = Га х [0,Т], а = 1, 2. Кроме того, в силу положительной определенности и симметрии оператора А1 справедлива теорема о минимуме функционала

ф1(и)= огз(и)егз(и)^ - рРгЩп - 50ще,

г, . = 1, 2, 3.

Для оценки погрешности приближенных решений с ОЭМ, определяемых (23), (24), рассмотрим неравенства, связывающие удельные потенциальные энергии деформаций формоизменения, соответствующие определяющим уравнениям (18), (19), в которых д(Ь) = д°Рь(1) — оптимальный эффективный модуль сдвига:

т т т

т I д°РЧФгз (г)ёг3 (Ь)сИ < ^ ег3О*ег3¿1 < М ^ дор\1)егз (1)ег] (1)^, (28)

О 0 0

М > т > 0, г. = 1, 2, 3. В силу (26) левое неравенство в (28) будет выполнено и подавно, если

т т

т!д°Р\1)ег3(1^(1)(И < ^д(1)е%](1)е%](1)<И, г,. = 1, 2, 3. 00

Отсюда находим

т < тт(д(*)/д°Р'(*)), д(^) = О*к. (29)

п

п

£

1

п

п

£

1

Правое неравенство в (28) справедливо, если

M > max(g^/gopt(t)), g= д(ж). te[o,T ]

(30)

Аналогично можно рассмотреть оценки для объемных составляющих удельных потенциальных энергий.

В силу того что функции до^(г), д(г) заданы и положительны на интервале г е [0,Т], вычисление т, М по (29), (30) не вызывает затруднений.

Приближенные решения с ОЭМ можно рассматривать в качестве первого приближения итерационной процедуры для вариационного уравнения (27):

4(un+l)e%1 (v)Q = [Ж(un) - вагз(un)]eij(v)Q + в

pFiViq + I

(31)

n = 0,1,...; i,j = 1, 2, 3, в = const > 0.

Итерационный процесс (31) является сходящимся, последовательность приближений, получаемых с помощью (31), оценивается как [5]

un+1 - u*|| < qn ||u0 - u*||o, q

M - m M + m

где и* — точное решение (27), а т и М входят в оценки, которые могут быть получены интегрированием по V неравенств (28):

т||и||2 < ||и||2 < М||и||2. (32)

Здесь нормы, входящие в (32), образованы следующими скалярными произведениями:

(и, у)о = Ц [4(и)ёгз(ч) + (ч)ег](и)]^ п

(и'= 2 [аи(и)е^ + (и)]П' = 1 2'3'

u

(u, u)o, ||u||2 = (u, u),

а неравенства (32) можно рассматривать как условия эквивалентности соответствующих норм.

5. Оператор нелинейной вязкоупругости

Физические уравнения главной квазилинейной теории вязкоупругости [7] имеют вид

агз (г) = а*в8гз + 20*егз — г*(<р(еп)ец). (33)

Здесь в^ = ец — /3; Г* — интегральный оператор, описывающий нелинейную релаксацию; Л*, О* по-прежнему определены (18). Функция нелинейности удовлетворяет условию [7]

0 < ^(вп) < <р(вп) + 2end— < 1,

den

S2

S2

S2

1

S2

2

0

еп егз егз, . 1, *2, 3-

Зададим оператор краевой задачи с определяющими уравнениями (33) в виде (25) и рассмотрим для него доказательство положительной определенности. Используем неравенство [6]

т т

I ог3 (г)егз (г)сН >1 о° (^(г) ¿г, г. = 1, 2, 3, (35)

00

о°з = Щвбгз + Шегз - Ч>(е«Ь(г)егз, д(г) = 0*к, 7(г) = г*к, к(г) = к*к,

22

к * = л* + - о*, к(г) = \(г) + - д(г).

Пусть эффективные модули д(г), 7(г) связаны неравенством 2д(г) > 7(г) > 0. В силу положительной определенности интеграла правой части (35) и неравенств (34) получаем

т т т

/ о° егз¿г > / [2д(г) - -у(Фгзегз<г + к(г)вв<И >

т т

> (2дх - гух) У егз егз + к^ вв<И = 2дх - 7х)вгз егз + 2, к^в2. (36)

00

Интегрируя по объему V неравенство (35) и учитывая (36), получим

(А1и, и) = у огз(и)ёг3(и)п > С^ ег]егзV + С^ в2У, (37)

п V V

С1 = 2(2д,х - Чю), С2 = 2кж, г. = 1, 2, 3.

К неравенству (37) можно теперь применить неравенства Корна и Фридрихса, из чего следует положительная определенность оператора А1 с физическими уравнениями (33).

0

0

0

6. Численный пример

В качестве примера числового расчета с оптимальными эффективными модулями рассмотрим задачу о нагружении вязкоупругого полупространства нагрузкой р(г), распределенной по кругу радиуса а. Выражения упругих усилий 5 и перемещений V задаются выражениями [7]

9 =__3и° = { 3 \ = 20°

3па2 2 + , паОо \ 2(2 + )) , 3К°'

Здесь 0°, К0 — упругомгновенные модули.

Значения д°рЬ(г), к°рЬ(г) рассчитывались как решения интегральных уравнений (23), (24), затем определялась функция

ш°р4 (г) = 2д°р\г)/3к°р\г).

0.9 Ш---------

0 6 12 18 24 30 36 оо

мин

Рис. 1. Напряженно-деформированное состояние вязкоупругого полупространства от нагрузки р = распределенной по кругу г = а. Кривые изменения во времени усилий: Б(£), 5ор<; (£) — точное решение и расчет с оптимальными модулями; V(£), Vор1(^) — аналитические и рассчитанные с ОЭМ перемещения.

0.35

0.05 -----

0 15 6 15 36 00

t, мин

Рис. 2. Сравнение расчетов усилий с ОЭМ и эффективными модулями.

Далее в выражениях для Б, V производим замену: и0 ^ ио^(г), С0 ^ до^(г). Операторы сдвиговой и объемной релаксации задаются в виде

G*x = Go(l - ЛЭв)x, K*x = Ko(l - Л1Эв1 )x, Э1 x = / e-l(t-T)x(r)dr.

Параметры материальных функций сдвиговой и объемной релаксации задавались следующим образом: в = 0.01 мин-1, Л = 0.051 мин-1, = 0.5 мин-1, А1 = 2.5 мин-1 (случай преобладания скорости объемной релаксации на порядок). Упругомгновенные характеристики 00 = 40 кг/см2, К0 = 133.3 кг/см2.

На рис. 1 приведены кривые изменения усилий и перемещений. На рис. 2 представлены точное Б (г) и приближенное БорЬ(г), Бь(г), Бс(г) решения для другого варианта задания параметров материальных функций: в = 1.5 мин-1, Л = 4.5 мин-1, в1 = 0.025 мин-1, Л1 = 0.065 мин-1 (случай преобладания сдвиговой скорости релаксации над объемной). Числовые значения усилий Б^(г) и Бс(г) соответствуют приближенным значениям, полученным использованием расчетов с эффективными модулями лагранжевого и кастилья-ного типов, вычисляемым по формулам

дь(1) = 0*11, дс(1) = (С*-1Н)-1,

и по аналогичным формулам для объемных модулей. Из сравнения различных приближенных решений видно, что расчет с оптимальными эффективными модулями более близок к аналитическому решению, это связано с выполнением неравенств для любых г:

дь(г) < дор\г) < дс(г).

t

0

Выводы

1. Доказано выполнение условия эллиптичности для линейно-вязкоупругих тел.

2. Доказаны условия положительной определенности для двух типов операторов линейной вязкоупругости, для которых показана справедливость соответствующих вариационных формулировок и выполнения условий теоремы о минимуме функционала.

3. Получены оценки погрешности для приближенных решений задач линейной вязко-упругости, которые могут быть построены с помощью найденных выражений для эффективных по времени модулей.

4. На примере главной квазилинейной теории вязкоупругости рассмотрено доказательство положительной определенности оператора краевой задачи.

5. Приведен численный пример.

Автор выражает благодарность профессору С.В. Шешенину за обсуждение некоторых вопросов, связанных с проблематикой статьи.

Список литературы

[1] РЕКТОРИС К. Вариационные методы в математической физике и технике. М.: Мир, 1985. 590 с.

[2] Дюво Г., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука, 1980. 384 с.

[3] РАБОТНОВ Ю. И. Элементы наследственной механики твердых тел. М.: Наука, 1977. 383 с.

[4] Победря Б. Е. Математическая теория нелинейной вязкоупругости // Упругость и неупругость. М.: МГУ, 1973. Вып. 3. С. 95-173.

[5] Победря Б. Е. Механика композиционных материалов. М.: МГУ, 1984. 336 с.

[6] Светашков А. А. Эффективные по времени модули и интегральные неравенства для задач нелинейной вязкоупругости // Вычисл. технологии. 2002. Т. 7, № 3. С. 60-71.

[7] Ильюшин А. А., Победря Б. Е. Основы математической теории термовязкоупруго-сти. М.: Наука, 1970. 280 с.

Поступила в редакцию 7 июля 2002 г.