Проектирование конструкции крыла из условия максимизации эффективности элеронов Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том XV 1984

№ 2

УДК 629.735.33.025.1

ПРОЕКТИРОВАНИЕ КОНСТРУКЦИИ КРЫЛА ИЗ УСЛОВИЯ МАКСИМИЗАЦИИ ЭФФЕКТИВНОСТИ

ЭЛЕРОНОВ

А. В. Шаранюк, Ю. Ф. Яремчук

Рассматривается задача определения влияния изменения жесткости элементов конструкции крыла на эффективность элеронов. Градиент целевой функции — эффективности элерона — определяется путем применения метода множителей Лагранжа. В качестве примера рассмотрено решение задачи оптимизации конструкции крыла малого удлинения, для которой вычислен градиент эффективности элерона по жесткостным параметрам крыла при неизменной полной массе материала конструкции и ограничениях на толщины изотропных и ортотропных панелей и жесткости балок.

1. Решение задач оптимизации жесткостных характеристик конструктивно-силовой схемы крыла связано, как правило, с расчетом градиента целевого функционала по жесткостным параметрам крыла. Определение градиента представляет собой, во-первых, этап решения задачи оптимизации. Во-вторых, компоненты градиента сами по себе представляют интерес при проектировании конструкции крыла, так как они дают сведения о влиянии изменения жесткости элементов конструкции на значение целевого функционала.

Среди работ в этом направлении, нацеленных на расчет реальных конструкций современных самолетов, следует отметить работу [1]. В этой работе получено явное выражение для градиента критической скорости флаттера через известные матрицы системы уравнений аэроупругости. Постановка комплексной задачи оптимизации веса самолета при ограничениях по прочности и аэро-упругим характеристикам конструкции рассмотрена в работе [2], где градиент вычисляется прямым методом на основе решения ряда прямых задач. В работе [3] также на основе прямого метода расчета исследуется влияние изменения жесткостных параметров конструкции крыла на эффективность элерона. Отметим работы [4] и [5], в которых решение задачи оптимизации для упрощенных моделей крыльев строится с использованием необходимых условий экстремума.

2. При решении задач оптимизации конструкций крыльев современных самолетов, содержащих порядка ста основных силовых элементов типа панелей обшивки, балок и пружин, экономия расчетного времени является одним из существенных факторов. С учетом этого обстоятельства использование явных выражений градиента целевого функционала оказывается более экономным по сравнению с прямым методом расчета.

В настоящей работе в качестве целевого функционала рассматривается относительная характеристика управляемости по крену— эффективность элерона £д

где шх — установившаяся угловая скорость движения крена,

8 — относительный угол отклонения элерона, отсчитываемый от поверхности крыла.

Индексы „упр" и „ж" обозначают, что величина относится к „упругой" или „абсолютно жесткой" конструкции.

Величина (1) связана с характеристикой статической эффективности элерона £ст равенством

6д = 5сг/* (2)

где

^ст = ( ^*)упр/( ^лг)ж ,

й={тшгх)^„п1(п1тгх) —относительная характеристика демпфирования,

' X У“Р ^ X 'Ж

т&х, т*х ~ производные коэффициента аэродинамическо-

’ * го момента крена по 8 и соответственно.

Уравнение (2) является следствием уравнения установившегося движения крена самолета

тх 8 + т“■* = 0. (3)

Рассматривая величину £д как функцию параметров жесткости, можно поставить задачу выбора этих параметров с целью максимизации эффективности £д. Так как угол отклонения элерона в статических задачах можно считать произвольным, но фиксированным, требование максимизации ?д эквивалентно требованию максимизации (—<ях). Знак „ — “ перед о>х объясняется тем, что отклонение элерона на положительный угол вызывает вращение самолета с отрицательной угловой скоростью.

Целью настоящей работы является расчет градиента эффективности элеронов по жесткостным параметрам и решение задачи

оптимизации конструкции крыла. Вычислительной основой расчета градиента эффективности в работе является „метод многочленов" [6] с соответствующим комплексом программ расчета на ЭВМ.

Рассмотрим установившееся изолированное движение крена самолета, не сопровождающееся движением рыскания и скольжения. В рамках „метода многочленов" такое движение (см. [6]) описывается следующей системой уравнений:

(-

0 0 0 0 В12 В\г

0 С?22 0 + 1/х 0 В22 В2а

0 0 Сзз 0 В%2 В 33

и 1 и, и,

и

Л.

21

£>

31

где С<;-, Вц и Оц — блоки соответственно матриц б и 5 конструктивной и аэродинамической жесткости и матрицы аэродинамического демпфирования £>; 1/—плотность воздуха (х=1) или скорость потока воздуха (х = 2); их, и2, иъ — обобщенные координаты относительно принятой системы степенных координатных функций; их = Ьч — размерный угол крена (Ь — характерный линейный размер); 02 — вектор обобщенных координат, представляющий собой коэффициенты разложения упругой поверхности прогибов конструкции в ряд по заданной системе координатных функций; С/3 = = /г80 — вектор относительных углов отклонения органов управления, вектор & определяет дифференцированность отклонения управляющих поверхностей, угол 80 определяет амплитуду отклонения; ®х= — постоянная размерная угловая скорость крена.

Система уравнений (4) естественным образом разбивается на три системы уравнений. Первая система представляет собой записанное в других обозначениях уравнение (3). Вторая система — уравнения упругого равновесия конструкции. Последняя система— уравнения равновесия органов управления, упруго закрепленных на крыле. Как отмечено выше, углы отклонения органов управления считаются фиксированными, поэтому при решении поставленной задачи последнюю систему уравнений можно вообще не учитывать. Таким образом, вместо системы уравнений (4) будем рассматривать систему

Vх В

12

022 +I/'- в

22

УОп

УВ21

и,

= - к*

в13 к

В 23 к

6л.

(5)

Вычислим градиент <вх по жесткостным параметрам конструкции крыла при условии (5). В качестве параметров задачи выбраны толщины изотропных и ортотропных панелей, жесткости балок, работающих на изгиб и кручение, и жесткости пружин на растяжение и поворот. Обозначая эти параметры буквой матрицу жесткости 022 можно представить в следующем виде:

(6)

1=1

где С?22 — матрица жесткости элемента конструкции, которому соответствует значение параметра жесткости = 1 (г'= 1, 2, ... , п). Запишем функционал Лагранжа

ф=—

Vх В

12

022 + У'В:

22

УОп

"уБ21

+ V7*

в 13к

*0- (7)

Вектор (ф^фз)1 представляет собой вектор множителей Лагранжа: „т“—операция транспонирования. Приравнивая нулю частные производные функционала (7), получим систему уравнений для определения множителей Лагранжа

(8)

\гви УО п

^22 “Ь У &22 уо, і

и выражение для компонент вектора градиента [см. (6)]

:Ф2С^2 я).

д«>х

ди:

(9)

Итак, если известны матрицы то градиент шх определяется двумя векторами:

и2 — решением системы (5), где величину §0 можно выбрать произвольной; ф2 — решением системы (8).

Если задать величины изменения жесткостных параметров конструкции крыла Дмг, можно приближенно подсчитать величину изменения угловой скорости крена по формуле

Д(ох ж ^ фїО‘и£/гДИі,

г = 1

(10)

тем самым оценить влияние на эффективность элерона вариаций жесткостных параметров крыла.

3. Рассмотрим следующую задачу оптимизации:

шах [— сож],

1-1

(11)

г= 1, ■ • • , П,

где а,., 6г — заданные числа, — постоянные коэффициенты при жесткостных параметрах в выражении для веса крыла т. е. задачу максимизации эффективности элеронов при заданном весе крыла и ограничениях на жесткостные параметры.

Для задачи (11) составим расширенный функционал Лагранжа [7]:

'и)л:+

Vх Вх 2 @22 + V В22

УИ

11

1/0,

21

вхъы

В 2з А

+ р 2 щъ - № + 2 “И («*- «/) + 2 “а/(^1 - «/). (!2)

\(=1 / /=1 1=1

где со,,- и ш2 г — множители Лагранжа, выбор значения которых обусловливает выполнение ограничений типа неравенств.

Приравнивая нулю частные производные функционала Ь по всем переменным задачи, получим следующую систему уравнений необходимых условий оптимальности:

— систему уравнений (5);

— систему уравнений (8);

— уравнения для определения управляющих параметров задачи

'1*2 бю и2 + № + он ; — 0)^ = 0, (13)

о)1 ,(и, — а,) = 0, (14)

(о21 (Ьь — и,) — 0 (1=1,..., п), (15)

(16)

1=1

Представление функционала Лагранжа в виде (12) позволяет формальным дифференцированием получить условия теоремы Куна—Таккера [8], в том числе условия (14), (15). Теперь решение задачи (11) свелось к решению системы нелинейных уравнений (13)—(16). Необходимо удостовериться, однако, что в оптимальной точке задачи множители Лагранжа «)2г и <о|(. фактически удовлетворяют соотношениям

«?,><), 0)2 г>0. (17)

Пусть в общем случае ограничения на параметры управления заданы в виде

/гг (и) > О, I = 1, . . . , т. (18)

До выхода на границу £-го ограничения, как обычно, = О [см. (14), (15)]. Следовательно, выполнение неравенств (17) необходимо обеспечить на границе области для тех ограничений ЛА(«), которые становятся активными. Используя лемму Фаркаша [9], можно показать, что условия (17) будут выполнены при движении к границе изнутри допустимой области, если вариации управлений Ьи будут удовлетворять условию

8«т§га<ЗАй>0 (19)

для тех индексов к, которые соответствуют активным ограничениям. При построении итеративной схемы решения задачи (11) с использованием явного выражения для градиента (9) выбор улучшающей вариации с учетом (19) всегда обеспечивает выполнение условий (17).

4. В качестве примера рассмотрена задача оптимизации конструкции крыла малого удлинения, содержащая 27 изотропных панелей (рис. 1), 3 ортотроиные панели (на рис. 1 и 3 представлены заштрихованными) и 26 балок (рис. 2 и 4), работающих на изгиб. Все элементы конструкции крыла перенумерованы.

s

о-

Рис.

>i

В исходном варианте крыла величина £д = 0,536, а <•>* = =—7,8 рад/с. Были заданы ограничения на массы балок и панелей 0,7 т01 •< 2,7 т01, которые учитывают ограничения по

статической прочности, конструктивные ограничения (т01 — массы соответствующих элементов в исходной конструкции крыла). Зависимость между распределенной массой и распределенной жесткостью балок предполагалась фиксированной.

В результате решения задачи (11) при неизменной полной массе материал конструкции перераспределился в крыле так, что величина эффективности Ед возросла до 0,778, а угловая скорость шх стала равна —11,3 рад/с. На рис. 1 верхняя цифра на каждой панели соответствует исходной массе панели, а нижняя—-полученной в результате решения задачи оптимизации. На рис. 2 приняты аналогичные обозначения для каждой балки.

На рис. 3 и 4 приведены значения компонентов градиента для панелей и балок рассматриваемого крыла. Видно, что эффективность элерона зависит от толщин панелей сильнее, чем от жесткости балок.

В заключение следует отметить, что решение задачи оптимизации проводилось без изменения жесткости пружин, которые оказывают существенное влияние на величину эффективности и распределение материала в конструкции крыла. Их влияние приближенно можно оценить по формуле (10).

Авторы выражают благодарность С. А. Костромину за полезное обсуждение полученных результатов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Буньков В. Г. Расчет оптимальных флаттерных характеристик методом градиента. — Труды ЦАГИ, 1969, вып. 1166.

2. Б ир юк В. И. О задаче оптимального проектирования конструкции крыла из условий прочности и аэроупругости. — Ученые записки ЦАГИ, 1972, т. III, № 2.

3. Я р е м ч у к Ю. Ф. Исследование влияния параметров жесткости конструкции самолета на характеристики эффективности его органов управления. — Труды ЦАГИ, 1977, выи. 1831.

4. Бирюк В. И., Ш а р а н ю к А. В., Я рем чу к Ю. Ф. Оптимизация конструкции стреловидного крыла из условия эффективности элеронов.—Ученые записки ЦАГИ, 1981, т. XII, № 4.

5. Сейранян А. П. Оптимизация веса крыла при ограничениях по статической аэроупругости.—Изв. АН СССР, МТТ, 1978, № 4.

6. Б у н ь к о в В. Г. Особенности свободной схемы летательного аппарата при решении задач аэроупругости. — Труды ЦАГИ,

1969, вып. 1166.

7. Шало в В. М. Вариационный принцип в теории игр в задачах оптимального управления. — Труды МИАН, т. 134, 1975.

8. М о и с е е в Н. Н., И в а н и л о в Ю. П., С т о л я р о в а Е. М. Методы оптимизации. — М.: Наука, 1978.

9. Ф и а к к о А., М а к-К о р м а к Г. Нелинейное программирование. Методы последовательной безусловной минимизации. — М.:

Мир, 1972.

Рукопись поступила 30/1Х 1982 г.