Оптимизация конструкции стреловидного крыла из условия эффективности элеронов Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Т о м XII 198 1

№ 4

УДК 629.735.33.025.1

ОПТИМИЗАЦИЯ КОНСТРУКЦИИ СТРЕЛОВИДНОГО КРЫЛА ИЗ УСЛОВИЯ ЭФФЕКТИВНОСТИ ЭЛЕРОНОВ

В. И. Бирюк, А. В. Шаранюк, Ю. Ф. Яремчук

Рассматривается задача максимизации эффективности элеронов стреловидного крыла большого удлинения заданного веса посредством оптимизации распределения жесткостных характеристик. Крыло моделируется балкой. Учитываются ограничения на жесткостные характеристики, обусловленные требованиями прочности, ресурса и т. д.

Одним из существенных требований, обуславливающих выбор оптимального распределения жесткостных характеристик крыла, является требование обеспечения эффективности органов поперечного управления (элеронов).

В ряде работ [1—4] исследовалось влияние жесткостных характеристик крыла на эффективность элеронов. В работах [1] и [2] используется предварительная дискретизация конструкции и градиент целевого функционала вычисляется прямым методом. В работах [3] и [4] получены необходимые условия оптимальности, но рассмотрены упрощенные модели крыльев, не отражающие истинной картины поведения конструкции.

На рис. 1 представлена схема крыла большого удлинения, с углом стреловидности х- Запишем систему уравнений, описывающих поведение конструкции в потоке:

(EJW")" = qb (с; (I) Да + с; Ь) + - [qb2 (xFi - Х0_ ж) Су Да +

+ qb* (xFj-x0 ж) Су 3];

(GJp 0')' = — cos2l[qb2(xFi — х0 ж) С; Да + qb* (xF> - х0. ж) С®,о];

W' sinX = в cos у. — Да; W (0) = W' (0) = 0 (0) = 0;

EJ(l) W" (I) = [EJ(l) W" (/)]' = [GJp (I) 0' (/)] = 0

Здесь IV (?) и 0 (?) — соответственно функции прогибов и углов поворота сечений балки, перпендикулярных оси жесткости, Да (?) — угол атаки сечения крыла по направлению потока. С* (?), С°у (?) — заданные распределенные характеристики, соответственно производная коэффициента подъемной силы по углу атаки Да и по углу отклонения элерона В, заданных в поточных сечениях, (?)', Хр^ (I), хо ж'(?) ~ относительное расстояние фокуса крыла, фокуса элерона и оси жесткости от передней кромки крыла по направлению потока, Ъ — хорда крыла, (/ — скоростной напор, £./(?) и GJp(%) — жесткости крыла на изгиб и кручение. Предположим, что £7 и GJp связаны линейным соотношением

£7(?) = Ф(?)0^(?), (2)

а функционал веса можно представить следующим образом:

I

(3)

О

где ф (?) — некоторая заданная, зависящая от параметров конкретного крыла функция.

Для тонкостенных конструкций ЕЗ = °п , где Ьк — ширина кессона,

Л,— эффективная высота сечения, Вп — толщина панели, Е — модуль упругости. Поэтому функцию ф(?) в (3) можно представить, например, в виде

ф (€).= .

£Ла (?)

Для стреловидного крыла большого удлинения, моделируемого балкой) эффективность элерона есть

,11 I

С\ т ей + | С* Да 6? </? | С“ Да Ь\ ей

г 0 0 II 0 /,ч

*Х-— I “Ч" 1 ■ (4)

| <* ЪЫ ей

о о

Задача формулируется следующим образом: определить распределение £./

вдоль размаха крыла, соответствующее максимальной эффективности элерона ?^, при условиях: определяемых соотношениями (1), изопериметрическое условие

V — Уо, (5)

где Уо заданный вес силовой конструкции крыла; ограничение на распределение жесткостей

Я/(?)-£/„ (£)><), ; (6)

где Е]0 — заданная функция, определяемая из условий прочности, ресурса, живучести, флаттера и т. д.

Так как при отклонении элерона вниз (см. рис. 1) интеграл ^С

у Да й? ей

в выражении (4) отрицателен, то задачу максимизации ?х можно заменить задачей максимизации функционала

1 • I

| С“ Да й? ей (7)

о

(в (4) Су и 6 считаются фиксированными).

Введем обозначения:

аГ=С“й?; .

• ь = с;ь сов х + № (хр, -*0. ж) с; 1 со§Х81п х;

ей

с = Су дЬ2 (Xр у — х0 ж) СОБ 1 БІП х;

I соз X + — [(^2 — д:0 ж) Су ЬдЬ2] соэх эшх; Л

ё = -(хр-х,0-ж) с; ?г>2; і = дЬ (хр2—х0 Ж)С°8;

— СОБХ

р = 9“—^ 11

этх ’

1

9 =

БІП X

Тогда систему уравнений (1) перепишем следующим образом:

(ЕМ")" = Ь Да + сДа' + 5; \

(бУр 6') = /-Да + (8)

К7' = р0 — ^ Да. і

После ввода новых переменных уравнения (8) представляются в виде системы уравнений первого порядка:

1Г' = ./V;

ЛГ =_2_ :

£У

= г;

— г'=б"Да + й+ с /г

цЕ]

М

И-

О ;

Да'

(?' =_____ ,

Ф EJ

М' — еДа + g; qEJ 1/ Ф V/^

Если ввести дополнительную функцию <й, то неравенство (6) преобразуется в равенство

£/-£/0-“3 = 0- (10)

Следуя методам вариационного исчисления, составим гамильтониан [5]:

I

(9)

Н -

ИМ] +

+ Х5

м Ф EJ

/{

О 4

+ Х6 (ёДа + ё) + Х7 |^1_ (р-М- С?)] + (X! ф£У + р.2 (£У-£./о-«2)] Л, (11)

где Хг и множители Лагранжа.

Приравнивая нулю первую вариацию гамильтониана (11), получим:

— сопряженную систему уравнений

= 0;

Х-1 — 0; ^2 — Х1

Х~ — Хо ———- — X*

£./

Х4 — Х3 — 0;

Х6 — Хг

. 1

4 £/

Х; = 0;

1 + Х7 —

qEJ

= 0;

+ -

0;

\

і

Рис. 2

Рис. З

Рис. 4

с соответствующими краевыми условиями:

МО=0; Х3(/) = 0; Х3(0) = 0;

Х4(0) = 0; Х5(/) = 0; Х9 (0) = 0;

Х7 (0 = 0;

— необходимые условия оптимальности

цЕ.Р

— 27» = 0,

которые можно переписать в виде

(14>

(№" — рЪ') А4 = [лф — Т. 2^» = О,

учитывая, что Q = EJW" и М = GJpf^';

— условия Эрдмана — Вейерштрасса

(15)

Х+=Х“ 5 = 1, . . . 7, (Н')+ = (Я')_

(16)

в точке выхода на ограничение.

Для решения поставленной задачи составлена программа расчета на ЭВМ. Использован принцип модульности при учете тех или иных ограничений. Результаты решения примера представлены на рис. 2—4. На рис. 2 кривые 1 и 2 дают распределение Е1 (г), (г = |//— длина крыла), соответствующее ограничению, и оптимальное распределение. Видно, что при г >0,8 и г < 0,25 оптимальное распределение выходит на ограничение. На этом же рисунке кривая 3 соответствует оптимальному распределению жесткости, полученному без ограничения (6).

Приращение эффективности элерона при переходе от исходного реального распределения жесткости крыла к оптимальному, с сохранением исходного, веса, равно ~ 20%.

На рис. 3 и 4 представлены соответственно графики прогиба и приращения угла атаки сечений крыла. Кривые / получены для исходной конструкции.. Кривые 2 соответствуют оптимальному распределению жесткости.

В заключение следует отметить, что из анализа гамильтониана задачи ясно, что аналогичным способом, используя полученный градиент гамильтониана, можно решить задачу о минимуме веса крыла с заданным значением эффективности элерона.

1 Бирюк В. И. О задаче оптимального проектирования конструкции крыла из условий прочности в аэроупругости. „Ученые записки НАГИ”, т. III, № 2, 1972.

2. Я р е м ч у к Ю. Ф. Исследование влияния параметров жесткости конструкции самолета на характеристики эффективности его органов управления. Труды ЦАГИ, вып. 1831, 1977.

3. Арутюнов Ю. А., Сейранян А. П. Оптимизация жесткостных характеристик крыла с применением принципа максимума. „Ученые записки ЦАГИ“, т. I, № 5, 1979.

4. Сейранян А. П. Оптимизация веса крыла при ограничениях по статической аэроупругости, МТТ, М., 1978.

5. Троицкий В. А. Оптимальные процессы колебаний механических систем. М., .Машиностроение", 1976.

ЛИТЕРАТУРА

Рукопись поступила 13\111 1980 г.