Продуктивность и сходимость в моделях компромиссно-равновесного ценообразования Текст научной статьи по специальности «Математика»

Е.В. Жильцов, С.В. Хомяков

ПРОДУКТИВНОСТЬ И СХОДИМОСТЬ В МОДЕЛЯХ КОМПРОМИССНО-РАВНОВЕСНОГО ЦЕНООБРАЗОВАНИЯ

Аннотация

В рамках концепции компромиссного анализа экономики представлено исследование свойств компромиссной продуктивности и компромиссно-продуктивной сходимости для моделей компромиссно-равновесного ценообразования в системе товарных рынков.

Annotation

In the framework of compromise economic analysis the research of properties of compromise productivity and compromise-productive convergence for models of compromise-equilibrium pricing in the system of the commodity markets is presented.

Ключевые слова

Система компромиссно-равновесных цен, компромиссная продуктивность, компромиссно-продуктивная сходимость.

Key words

System of compromise-equilibrium prices, compromise productivity, compromise-productive convergence.

Введение

Концепция компромиссного анализа рыночной экономики впервые была предложена и разработана В. А. Кар-дашем. Ключевая идея этой концепции состоит в том, что конфликтные интересы субъектов экономики согласуются на основе саморегулируемого конфликтнокомпромиссного рыночного механизма [1]. Такой нетрадиционный подход к анализу экономических систем обладает конструктивностью и в сопряжении с методами межотраслевого анализа по-

зволяет строить и исследовать производственно-рыночные модели на уровне национальной экономики. В рамках концепции компромиссного анализа экономики построены модели системного ценообразования, органично сочетающие в себе идеи компромиссного подхода и методологию межотраслевого баланса (МОБ) [1].

Как известно, основным свойством модели межотраслевых зависимостей цен, построенной на основе модели МОБ, является свойство продуктивно-

2010 № 1

Вестник Ростовского государственного экономического университета (РИНХ)

сти, означающее технологическую сбалансированность экономической системы. Отражение в модели компромиссно-равновесных цен, наряду с технологическими взаимосвязями МОБ, еще и интересов субъектов рынка, склонных к рыночному компромиссу, существенно расширяет традиционное понятие продуктивности и позволяет говорить о «компромиссной» продуктивности. Нелинейность модели и итерационные процедуры определения системы цен придают понятию продуктивности нестационарный характер и приводят к выявлению условий «компромисснопродуктивной» сходимости.

1. Компромиссная продуктивность в моделях

компромиссно-равновесных

цен

Рассматривается экономическая система, включающая п взаимосвязанных товарных рынков. Модель компромиссно-равновесного ценообразования на рынке у-го товара имеет вид

(у = 1,2,._ п ) [1]:

Р* = а^ тах

О,

в

\

V Р

Р

с

(Р )

(1)

где

в

]

сумма денежных

средств на рынке у-го товара;

В у = цЗу = ¡Л£ ^у - минимально

необходимая прибыль на капитал З у ,

задействованный в у-й отрасли, при норме рентабельности капитала Ц и

капиталоемкости

£/■;

п

сІ (Р) = ^ ауРі + sj - себестоимость

/=1

единицы І-й продукции; аі - коэффициенты прямых затрат в натуральных единицах /-го продукта на единицу і-го продукта, составляющие матрицу прямых затрат А = }; ^ - удельные

затраты труда на единицу і-го продукта;

Р = (Рі, р2Р„ ) -

вектор-строка

цен на товарных рынках; Р* - компромиссно-равновесная цена на рынке у-го товара.

Возможны два подхода к моделированию процессов компромиссноравновесного ценообразования. В случае замкнутого по стоимости производственного цикла [2], когда процессы приобретения предметов труда, производства и реализации продукции осуществляются в рамках одного и того же периода, решение задачи (1) дает следующее выражение для компромиссноравновесной цены ( у = 1,2,... , п ):

=сі Р>)ГТГ ’ 1 ~4фі

где

ф і

ві(і аіі)

(2)

в

в А і в

- коэффициент Кардаша.

В условиях компромиссного равновесия предполагается, что на рынке у-го товара реализуется априори известный равновесный объем купли-

продажи У у = У у , а необходимые денежные средства определяются как

При этом коэффициент

0

в

р уи

і і

Кардаша становится центральной характеристикой компромиссного равновесия и отражает соотношение между минимальной нормативной прибылью производителя и денежными средствами потребителя в условиях компромиссного равновесия. Компромиссно*

равновесный коэффициент фу выражается через удельные показатели условий производства продукции товарного рынка, независимо от объемных показа-

0

телей

уї

О і, О',

і , и (при замкнутом

по стоимости производственном цикле) представляется в виде [1]:

ф‘/(Р ) = 4

1 +

V

1 +

Л

А

(3)

Ч^у у

Подставив в (2) выражение для су, получим следующую систему нелинейных уравнений относительно неизвестных цен Р (у = 1,2,..., п ):

1 \ ф*^' (р ))Рі — X аііРі = 8і •

і=1

V- (4)

или

Переписав последнюю систему в векторно-матричном виде, имеем:

Р *(я — а)= б ,

Р * = б (я — а)-1,

где

я = diag{ — ^/ф~}= Е — Ф ;

ф = ^ }

рица из коэффициентов ^фу при заданных значениях вектора цен Р, Е -единичная матрица.

Если обозначить через

к = я—а матрицу рыночных компромиссов, то систему (4) можно записать в векторно-матричном виде:

- диагональная мат-

Р* = БК(5)

где

Б = (

82,•••,Бп) - вектор-

с

строка

Р * = (р1* , Р2*;

компонентами

і ’

Рп*) -

■’-1 п

вектор-строка

компромиссно-равновесных цен.

Модель Кардаша (5) является моделью ценообразования в экономической системе с межотраслевой структурой и обладает эндогенным механизмом формирования прибыли в цене [1].

С учетом нелинейности системы соотношений (3) и (5) для этой модели

можно организовать следующий итерационный процесс исчисления системы компромиссно-равновесных цен [2]

(у = 1,2,..., п ):

1°.

(к)

С і 2°.

(р *( к > )=ХаР

аі;Р, *( к) + б і;

і=1

ф

'А(к+1)

) )=

4

1 +

4с

(к)

\—2

1+-

^А і

Р*(к+1) Р*(к) )= Б • К ~1 (ф*Л(к+1) Р*(к)))

3°.

Известно, что на основе модели МОБ также строилась модель межотраслевых зависимостей цен вида:

Р = г(Е — А), (6)

где г = (г1, г2гп ) - вектор-

строка экзогенно заданных добавленных

стоимостей, Р = (Рь Р2,..., Рп ) - вектор-строка равновесных цен.

Вопрос о неотрицательности вектора цен Р в модели (6) связан с неотрицательной обратимостью матрицы

Леонтьева Е — А или с продуктивностью матрицы А и глубоко изучен в теории модели МОБ.

Матрица рыночных компромиссов К = Я — А является в некоторой степени аналогом матрицы Леонтьева, и для существования неотрицательного

вектора компромиссных цен Р необходимо ее исследование на неотрицательную обратимость. Рассмотрим

структуру матрицы К :

К = Я — А = Е — Аф;

Аф = diag {фу }+ А = Ф + А .

Отсюда следует, что неотрица-

тельная обратимость матрицы К связана с компромиссной продуктивностью

матрицы Аф [3].

Определение 1. Модель (5) обладает компромиссной продуктивностью (компромиссно-продуктивна), ес-

Аф

что

ли существует такая матрица ^ф.

для любого Б > 0 существует единственный вектор

Р*= Б (е — Аф)-1 > 0.

Понятие компромиссной продуктивности матрицы Аф означает не

только технологическую сбалансированность, как в модели межотраслевых зависимостей цен и в модели МОБ, но и одновременно определяет компромиссную стоимостную сбалансированность интересов в экономической системе.

Согласно теореме Фробениуса-Перрона, для неотрицательной обратимости матрицы К, с учетом ее структуры и свойств, при продуктивности исходной модели МОБ с матрицей прямых затрат А , необходимо и достаточно [3], чтобы максимальное собственное

число матрицы Аф (фробениусово собственное число) было меньше единицы

( ^Аф < 1). Помимо этого общего признака, представляет интерес установление качественного свойства продуктивности, которое сформулировано в следующей лемме.

Лемма 1 (необходимый признак компромиссной продуктивности).

При компромиссной продуктивности модели (5) необходимо выполнение условий Тф7+у

У = 1,2,..., п.

Доказательство. Пусть модель (5) компромиссно-продуктивна, то есть

К-1 =(е — Аф)—1 > 0

и

Р = БК> 0 (при Б > 0). Согласно теореме Фробениуса-Перрона, с

учетом свойств матрицы Аф [3], это

равносильно выполнению условия

^Аф < 1. Значение собственного числа

/Л*

^Аф зависит, в частности, от диагональных элементов матрицы Аф. При выполнении условия ¿*Аф < 1 , с учетом

фУ > 0 , аУ > 0 , с необходимостью выполняется, что все диагональные элементы матрицы Аф удовлетворяют

условиям у + ауу < 1. Лемма доказана.

Примечание. Учитывая нестационарный характер продуктивности в модели (5), необходимый признак компромиссной продуктивности запишется

в виде ^¡ф(у ) + ауу < 1, у = 1,2,...:> п ,

к - номер итерации процесса нахождения системы цен, к = 1,2,....

В случае незамкнутого по стоимости производственного цикла [2], когда процессы приобретения предметов труда и производства продукции относятся к разным периодам, решение задачи (1) будет иметь вид

(У = и,..., п ):

ф В

1—ф ф=в"»

Подставив в (7) выражение для су, получим (У = 1,2,..., п ):

Р* = Су (Р

РУ1—-Т7))=Х

i =1

у + Ну;

Р *(е — ф)= АтР + Б;

Р (е — ф) = С; или

Р * = С (е — ф)—1.

Последнее соотношение можно записать через матрицу Я в виде:

Р*= СЯ-1, (8)

где С = (С1, С2,..., Сп) - вектор-

строка себестоимостей с компонентами с

У.

При незамкнутом по стоимости производственном цикле компромиссно-равновесный коэффициент Кардаша

примет вид (у = 1,2,..., п ):

ф* (Р) = 4

1 +

V

1+

4с, (Р)

,—2

_Т___

Цgу

.(9)

С использованием соотношений (8) и (9) итерационный процесс для определения системы компромиссно-

равновесных цен по модели (8) будет

иметь вид (у = 1,2,..., п ):

1°.

с

(к)

(р *( к) )=^Га,Р- *( к) + ^

i=1

2°.

ф

*(к+1)

р7' )=

4

1 +

11

1 +

Цg 7

л—2

3°.

Р7(к+1) (Р*(к) )= С (с,) (Р"(к) ))• Я,—1 (,+1))

В модели рыночного компромисса решение задачи (1) для каждого из товарных рынков существует при непустом множестве допустимых сделок, когда О, > О,, что соответствует соотношению ф, < 1. Тогда все элементы

диагональной матрицы Я положительны, так как ^ф, < 1 (у = 1,2,..., п ).

Следуя допущениям о существовании рыночного компромисса, получаем, что вектор компромиссно-равновесных цен модели (8) будет всегда неотрицателен при заданной системе затрат предметов труда, технологически сбалансированной в предыдущем цикле производства.

Таким образом, показано, что «компромиссная» продуктивность в модели Кардаша является обобщением и расширением традиционного понятия «технологической» продуктивности в межотраслевых моделях леонтьевского типа. Причем это обобщение связано в первую очередь с введением в модель МОБ элементов рыночного механизма [1].

2.Компромиссно-продуктивная сходимость в моделях компромиссноравновесных цен

Одной из важных особенностей моделей (5) и (8) является их нелинейность, которая при численной реализации учитывается построением итерационных процессов. В работе [4] для итерационных процессов определения системы цен по моделям (5) и (8) представлен общий критерий сходимости в виде

неравенств (У = 1,2,..., п ):

^ < 1 — аУУ. (10)

(10)

В соответствии с условиями сходимости, если для исходных начальных Р(0)

цен Р и вычисленного на их основе

коэффициента фу ^ выполняется (10),

то нелинейное отображение для расчета цен является сжимающим и итерационный процесс сходится. Для сходящегося процесса с учетом нестационарности продуктивности получен следующий достаточный признак.

Лемма 2 (достаточный признак

компромиссной продуктивности в сходящемся процессе). При сходящемся итерационном процессе определения системы цен для модели (5), если модель компромиссно-продуктивна на первой и второй итерации, то она обладает компромиссной продуктивностью и на остальных итерации при

к = 3,4,....

Доказательство. Предположим, что выполняется условие (10) и итерационный процесс сходится к системе цен с характеристикой компромиссного

да

равновесия ф у . Пусть на первой и второй итерации сходящегося процесса (при к = 1,2 ) модель (5) компромиссно-продуктивна. Тогда фробениусовы

собственные числа матриц Аф для первой и второй итерации меньше единицы

(А**1» < 1, А*<2) < 1). фф Так как отображение является сжимающим, то справедливо

к = 2,3,4,

. Поскольку итерационные приближения носят колебательный характер [2], то выполняется:

тах 1^/7, ,^71 > ^у ,

к = 3,4,.... (11)

Согласно теореме Фробениуса-Перрона о свойствах фробениусова соб-

А* ~

ственного числа ЛАф , с учетом свойств

неотрицательности и неразложимости

матрицы Аф [3], оно возрастает при

возрастании любого элемента матрицы

Аф, в которой по итерациям меняются

ф(к) С

только Ч'у . С учетом этого и соотношения (11) для собственных чисел следующих итераций выполняется

к = 3,4,.... Это означает, что на остальных итерациях (при к = 3,4,...) модель (5) является компромисснопродуктивной. Лемма доказана.

Согласно необходимому признаку компромиссной продуктивности модели (5), имеем (У = 1,2,..., п ,

к = 1,2,3...):

77 <1 — ауу. (12)

Из формул (10) и (12) видно, что условие сходимости шире и включает в себя условие компромиссной продуктивности. Таким образом, с учетом леммы 2 можно утверждать, что для компромиссно-продуктивной на первой и второй итерации системы итерационный процесс ценообразования сходится к единственной системе компромиссноравновесных цен.

Определение 2. Итерационный процесс определения системы цен для модели (5) обладает компромисснопродуктивной сходимостью, если он сходится, и на всех итерациях модель (5) является компромисснопродуктивной, то есть

Р*(к > = Б (е — Афк) )—1 > 0, к = 1,2,3...

(при Б > 0).

В случае, если на какой-либо итерации модель (5) не обладает компромиссной продуктивностью, то итерационный процесс останавливается из-за выхода расчетных цен в отрицательную зону.

Теорема 1 (о компромисснопродуктивной сходимости).

Итерационный процесс определения системы цен для модели (5) обладает компромиссно-продуктивной сходимостью тогда и только тогда, когда на первой и второй итерации сходящегося итерационного процесса модель (5) оказывается компромиссно-продуктивной.

Доказательство. Необходи-

мость. Для наглядности доказательства на рис. 1 представлены в схематическом виде области компромиссной продук-

тивности и сходимости. Колебательный характер итерационных приближений для модели (5) установлен в работе [2].

ф =1

Итерации

1 — область компромиссной продуктивности,

2 — область бескомпромиссной продуктивности,

3 — область сходимости.

0

Рис. 1. Области сходимости и компромиссной продуктивности модели (5)

Пусть итерационный процесс для модели (5) обладает компромисснопродуктивной сходимостью. Это означает, что на каждой итерации

к = 1,2,3... система цен Р(к) и коэффициенты д/ф ^ такие, что согласно

Лемме 1 для модели (5) выполняется необходимый признак компромиссной продуктивности

д/У + ауу < 1 У = 1,2,..., п,

к = 1,2,3.... По определению компромиссно-продуктивной сходимости, модель (5) компромиссно-продуктивна на всех итерациях, в том числе на первой и второй итерации. Для этих итераций тоже выполняется необходимый при-

знак.

Достаточность. Пусть итерационный процесс для модели (5) является компромиссно-продуктивным на первой и второй итерации. При этом выполняется необходимый признак

а/7 + ауу <!. д/У + а7 < 1

Так как процесс является сходящимся, то согласно Лемме 2, при этих условиях модель (5) компромиссно-продуктивна на всех остальных итерациях. При этом выполняется

д/фУ) + ауу < 1 7 = ^..^ п ,

к = 1,2,3.... Согласно определению, итерационный процесс для модели (5) обладает компромиссно-продуктивной сходимостью. Теорема доказана.

Условие существования непустого множества допустимых решений модели (1) является условием реализуемости рыночного компромисса ( В і > О'і , ф і < 1). Из него следует,

что для каждой итерации ( к = 1,2,3...)

должно выполняться (І = 1,2,..., п )

д/7 < 1 (13)

Из формул (10) и (13) следует, что условие реализуемости рыночного компромисса, при котором существуют решения модели (1) и (8), включает в себя условие сходимости.

Теорема 2 (о реализуемости

0 Итерации

1 — область реализуемости компромисса,

2 — область отсутствия решений модели рыночного компромисса,

3 — область сходимости

компромисса в сходящемся процессе).

Для сходящегося итерационного процесса определения системы цен по модели (8) на всех итерациях рыночный компромисс реализуется независимо от исходной системы цен.

Доказательство. Для наглядности доказательства на рис. 2 представлены в схематическом виде области реализуемости рыночного компромисса и сходимости. Монотонный характер итерационных приближений для модели (8), показанный на рис. 2, установлен в работе [2].

Рис. 2. Области сходимости и реализуемости рыночного компромисса для модели (8)

Пусть модель (8) удовлетворяет условию сходимости (10) и итерационный процесс для модели (8) сходится. Рассмотрим предельные свойства коэф-

фициента /ф

Ііт Лф* =

Р^0 -1

І :

2

1 +

< 1;

48,

1 +

Ііт л/ф* = 0.

5 V ^

Р

Следовательно, с учетом монотонности зависимости 7) , при неотрицательных изменениях цен, какова бы ни была система цен Р > 0, зна-

чения коэффициента д/ф, будут удовлетворять условиям реализуемости

$

рыночного компромисса (13). Так как на каждой итерации к будет выполняться

фУ) < 1

Фу ^ 1, то в ходе итерационного процесса для модели (8) рыночный компромисс всегда будет реализуем. Теорема доказана.

Примечание. Для модели (8) система компромиссно-равновесных

цен может быть итеративно рассчитана

из любой системы начальных цен Р(0).

В заключение отметим, что именно нелинейность моделей компромиссно-равновесных цен требует рассмотрения во взаимосвязи условий сходимости итерационного процесса и существования неотрицательного вектора

цен Р(к) на каждой итерации. Важность этого вопроса особенно возрастает при анализе траекторий движения системы цен к состоянию компромиссного равновесия.

Заключение

Таким образом, в данной статье проведен углубленный анализ свойств компромиссной продуктивности нелинейных моделей компромиссноравновесных цен. Новизна полученных результатов состоит в том, что впервые показана и исследована взаимосвязь между компромиссной продуктивностью модели Кардаша и сходимостью итерационного процесса для расчета компромиссно-равновесных цен. Доказанные в статье утверждения имеют не только теоретический характер, но и могут быть использованы как качественные признаки при практической реализации моделей компромиссноравновесных цен.

Библиографический список

1.Кардаш В.А. Конфликты и компромиссы в рыночной экономике. - М.: Наука, 2006. - 248 с.

2.Хомяков С.В., Жильцов Е.В. Методические особенности определения систе-

мы компромиссно-равновесных цен // Математическое моделирование и информационные технологии / Юж.-Рос. гос. техн. ун-т (НПИ). - Новочеркасск: Ред. журн. «Изв. вузов. Электромеханика», 2010. - С. 107-125.

3.Хомяков С.В. Моделирование воспроизводственных процессов в равновесных многоотраслевых экономических системах. Дис... канд. экон. наук. - Ростов-на-Дону, 2003. - 193 с.

4.Жильцов Е.В., Хомяков С.В. Качественный анализ сходимости итерационного процесса компромиссноравновесного ценообразования // Студенческая научная весна - 2008: Материалы межрег. науч.-техн. конф. студентов, аспирантов и молодых ученых ЮФО / Юж.-Рос. гос. техн. ун-т (НПИ). - Новочеркасск: ЛИК, 2008. - С. 395397.

Bibliographic list

1.Kardash V. A. Conflicts and compromises in the market economy. - Moscow: Nauka, 2006. - 248 p.

2.Khomyakov S.V., Zhiltsov E.V. Methodical features of determination of system of the compromise-equilibrium prices // Mathematical modelling and information technologies / SRSTU (NPI). - Novocherkassk: Magazine edition «News of high schools. Electromecanics», 2010. - P. 107125.

3.Khomyakov S.V. Modelling reproductive processes in equilibrium diversified economic systems. The dissertation of a Cand. Econ. Sci. - Rostov-on-Don, 2003. -193 p.

4.Zhiltsov E.V., Khomyakov S.V. The qualitative analysis of convergence of iterative process of compromise-equilibrium pricing // Student's scientific spring -2008: Materials of inter-regional scientific and technical conference of students, postgraduate students and young scientists SFD / SRSTU (NPI). - Novocherkassk: LIK, 2008, - P. 395-397.