CC BY
15
Жильцов Е.В., Хомяков С.В.
О СХОДИМОСТИ ИТЕРАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ КОМПРОМИССНО-РАВНОВЕСНОГО ЦЕНООБРАЗОВАНИЯ НА ТОВАРНЫХ РЫНКАХ*
В ряду концепций системного ценообразования, учитывающих межотраслевую структуру национальной экономики, особое место занимает концепция компромиссно-равновесных цен, опирающаяся на интере-сополагающий принцип анализа и моделирования стоимостных отношений [1, 2]. Компромиссно-равновесные цены замечательны тем, что при них конфликтные интересы экономических агентов в результате взаимного компромисса оказываются согласованными в смысле конкурентоспособного предложения и платежеспособного спроса. Кроме того, система компромиссно-равновесных цен отличается тем, что она является социально-сбалансированной и может рассматриваться в качестве системы эталонных цен национальной экономики.
Модели компромиссно-равновесного ценообразования органично сочетают в себе идеи компромиссного и межотраслевого анализа. Важной особенностью моделей компромиссно-равновесных цен является их нелинейность, которая при численном расчете системы цен учитывается построением итерационных процессов. Исследование сходимости таких итерационных процессов позволяет получить критерий сходимости и вместе с этим условие существования неподвижной точки в компромиссно-равновесных экономических системах.
1. Моделирование компромиссно-равновесного механизма ценообразования в системе взаимосвязанных товарных рынков
Будем рассматривать экономическую систему, включающую п взаимосвязанных товарных рынков. Модель рыночного компромисса на рынке 7-го товара имеет вид (7 = 1,2,...,п ) [1, 2].
Р* = arg max
Р
V Р
Б'
Л
Р; - С; (Р)
(1)
* Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 10-06-00448-а).
7 * =
7 Р *
)
(2)
где Б 7 — сумма денежных средств на
рынке 7-го товара; Б' = м/ = МёТ] — минимально необходимая прибыль на капитал / , задействованный в -й отрасли, при норме рентабельности капитала М и
п
капиталоемкости &7 ; с 7 = £ йцР1 + —
/=1
себестоимость единицы -й продукции; а7 — затраты в натуральных единицах /-го
продукта на единицу 7-го продукта; и 7 —
удельные затраты труда на единицу 7-го
р *
продукта, — компромиссно-
*
равновесная цена, — компромиссно-
равновесный объем купли-продажи.
Далее будем предполагать, что процессы приобретения предметов труда, производства и реализации продукции осуществляются в рамках одного и того же периода времени. В этом случае себестои-
п
мость С} =Х а7Р1 + определяется
/=1
при текущих ценах Р* [2].
Тогда, решая задачу оптимизации (1), получим следующую модель компромиссно-равновесных цен (7 = 1,2,...,п )
(р*рЧЁЖ=С](Р*)-^, (3)
V / 7~> п' Л }\ !, Г~
Р = С
1 } }
Б] - Б.'А ^ '1
7
Б
где Ф7 =—7—-, А7 = 1 - а7 — коэффици-
]
ент Кардаша.
Из формулы (3) можно получить наглядную структуру компромиссно-равновесной цены (7 = 1,2,...,п )
^=¿7* +^+р*^ ,
/=1
где р- - — эндогенно формируемая
прибыль в цене, ф - — доля прибыли в
цене [1, 2].
При компромиссном равновесии предполагается, что реализуется априори известный равновесный объем купли-
продажи
У
]
У
0
0
mm
У, У-).
где У- — максимально возможный по производственным мощностям объем предложения на --ом товарном рынке, У- — объем насыщения спроса на -ом товарном рынке. Тогда необходимые денежные средства на рынке -го товара ищутся в виде
& - {р- )= р- У- . С учетом фиксированного У0 , из формулы (2) можно выразить ко -
эффициент Кардаша следующим образом (- = 1,2,...,п ) [1, 2]
ф
= 4
1 + .
1 + -
4с
О
*-2
(4)
Нелинейность процесса компромиссно-равновесного ценообразования, описываемого формулами (3) и (4), обусловлена
тем, что параметры с - и ф- сами зависят
от вектора цен Р .
Вычислительную проблему, связан-
р*
ную с тем, что при расчете цен - параметры с и ф определяются при тех же ценах, можно учесть следующим образом: себестоимость с -, а следовательно, и ко -
эффициент Кардаша ф рассчитывать в
ценах предыдущего периода Р . Тогда для
исчисления системы компромиссно-равновесных цен по модели (2) можно организовать следующий итерационный процесс (- = 1,2,...,п )
1°. с?) ((к) ^а-Р^ + s J 1=1
2°. фГ ())
1 + „ 1 +
4с
(к)
V --
3°.Р
р -(к+1) (р - (к) )= с (к) (р -(к) )_
(6) (7)
По сути, итерационный алгоритм (5)-(7) формализует метод простых итераций (последовательных приближений) для определения системы компромиссно-равновесных цен. С точки зрения математической экономики, сходимость итерационного процесса (5)-(7) определяет существование в экономической системе неподвижной точки, играющей большое значение для моделей экономического равновесия [3, 4, 5], в том числе и для моделей компромиссно-равновесного ценообразования. В таких моделях вопрос о существовании экономического равновесия сводится к вопросу отыскания неподвижных точек. При анализе условий существования неподвижной точки в нелинейной модели (3) наибольший интерес представляет установление области значений начальных цен р ( ),
начиная с которых с помощью итеративного механизма (5)-(7) можно прийти к ком -
р*
промиссно-равновесным ценам .
2. Исследование сходимости итерационного процесса и условий существования неподвижной точки на основе принципа сжимающих отображений
Вопрос о сходимости итерационного процесса (5)-(7) для исчисления системы компромиссно-равновесных цен можно сформулировать в виде вопроса о существовании и единственности неподвижной точки отображения некоторого пространства в себя. Одним из простейших и в то же время наиболее важных критериев существования и единственности неподвижной точки является принцип сжимающих отображений. Согласно принципу сжимающих отображений, всякое сжимающее отображение имеет одну и только одну неподвижную точку [6, 7, 8].
Для того чтобы воспользоваться принципом сжимающих отображений, преобразуем формулу (3) путем подстановки в
нее выражений для с- и ф- . В результате
получим нелинейное отображение вида (j = 1,2,...,n )
Pj = F(pj) = 7
(8)
Введем в рассмотрение метрическое пространство с метрикой
рю(Р', P") = max
1< j < n
P' - P"
jj
р , р"
е . Отображение Р пространства Д^, в себя имеет неподвижную точку,
если Р (р ) = р . Для того чтобы отображение Р было сжимающим, достаточно выполнения условия |Р | < 1 [6, 7, 8].
Теорема 1 (достаточное условие сходимости итерационного процесса компромиссно-равновесного ценообразования).
Пусть имеется итерационный процесс вида (- = 1,2,...,п )
(9)
: = 1,2,.... v '
Pj(k+1) = т1д J + 4£a,jP(k) + 4s j +Jjj I , k = 1,2.
Тогда для существования неподвижной точки р достаточно, чтобы процесс
(9) начинался со значения р(0), удовлетворяющего условию (- = 1,2,. ., п )
Ж] Ау , ( - а„)2
< ■
ygj А у + 4 £ ар^ + 4s j a jj
-. (Ю)
1=1
Доказательство. Конкретизируем достаточное условие сжимаемости для нелинейного отображения (8) (- = 1,2,...,п )
( I-п--Л
FPj =■
^gjАj + Iix/i + 4sj ^^gjАj
А j + 4£aIJpI + 4Sj
г Л
= a,
1 +
Hg,А
J J
Hg, А j + 4 £ a,Pl + 4s
1=1
u^ , j
Условие
Р 1< 1
будет иметь вид
(- = 1,2,...,п )
1 +
Ж,А
j j
Mgj А, + 4 £ ajP + 4s
i=1
i 1
Исходя из того, что параметры модели неотрицательные величины, последнее неравенство после преобразований запишется в виде (- = 1,2,...,п )
(1 - а л )
Hg,А
j j
<-
Hgj А j + 4 £ a, Pi + 4s,
_J
a
1=1
Теорема доказана.
Следовательно, на основе соотношения (8) можно организовать сходящийся итерационный процесс, начиная с некото-
р (0)
рого вектора начальных цен р , удовле-творяющего условию (10).
Примечание. На первый взгляд может показаться, что условие сходимости получено для отдельно взятого --го товарного рынка и не учитывает взаимосвязь всех товарных рынков. Однако на самом деле итерационный процесс компромиссно-равновесного ценообразования строится таким образом, что цены на отдельных товарных рынках оказываются взаимосвязан-
п
ными через параметры с- = X а1-р + ^-
I=1
[2]. Поэтому критерий сходимости для итерационного процесса (9) в обобщенном виде можно записать так:
max
1< J < n
(
\
1 +
Hgj А
j j
Hgj А, + 4 £ ajP,(0) + 4s,
i=1
< 1.
Таким образом, показано, что для существования неподвижной точки отображения (8) в виде вектора компромиссно-
равновесных цен р достаточно, чтобы в начальном состоянии параметры экономической системы удовлетворяли условию (10).
2
1
<
a
1=1
a
a
3. Содержательный и экономико-математический анализ условия существования компромиссно-равновесных цен
Помимо математического содержания критерия сходимости, при выполнении которого итерационный процесс сходится к неподвижной точке, особый интерес представляет его экономическая интерпретация, позволяющая выявить соотношение между отдельными параметрами модели.
Выполняя равносильные элементарные преобразования, условие сходимости (10) можно привести к виду (7 = 1,2,...,п)
2a/J < 1 - j
(И)
где д/ ф j 0 — доля прибыли в цене для j-й
отрасли в начальном состоянии; а 77 — величина внутриотраслевого оборота в 7-й отрасли.
Если умножить обе части неравенства (11) на ), то получим (7 = 1,2,...,п )
2 pPJJ
Ф(0) < j
a Р(0) ajjPj -(12)
Тогда экономическая интерпретация условия (12) может быть следующей: для сходимости итерационного процесса компромиссно-равновесного ценообразования (9) и существования неподвижной точки достаточно, чтобы в начальном состоянии половина прибыли в цене 7-й отрасли была меньше разности между ценой и внутриотраслевыми затратами в этой же отрасли.
Углубленный экономико-
математический анализ критерия сходимости (11) дается в следующей теореме.
Теорема 2 (об экономическом содержании критерия сходимости).
Для сходимости итерационного процесса (9) достаточно, чтобы выполнялось одно из следующих условий (7 = 1,2,...,п ):
1) 2
< X hij + 4i;
j=1 j &
2) 2
2W
m
< X a
i =1 i & j
+ s,
Доказательство.
1) На основе балансовых соотношений модели межотраслевого баланса (МОБ), условие сходимости (11) можно интерпретировать с позиции производства и распределения продукции как в ее материально-вещественной, так и в стоимостной форме.
Рассматривая во взаимосвязи I и II квадранты таблицы МОБ, отражающие материальный баланс, имеем (- = 1,2,...,п) [9]
п
Х = X х7 + У-,
7=1
п хи V ■
1 = X—+—,
7=1 х- х-
1 = + Чг,
7=1
где — коэффициенты распределения,
показывающие долю продукции -й отрасли, направляемой на производственное потребление в 7-ю отрасль; Ч- — доля конечной продукции, произведенной в -й отрасли.
Тогда, при условии, что - = а-- [9], из (11) получим (- = 1,2,...,п)
<X hy + qi - hii, 2 j=1
< Xhj + qt . 2 j =1
j=1 j
(13)
Отсюда следует, что, согласно (13), для сходимости итерационного процесса (9) достаточно, чтобы для начального состояния экономической системы половина доли прибыли в компромиссно-равновесной цене i-й отрасли была меньше доли продукции этой же отрасли, направляемой на производство в другие отрасли и на конечное потребление.
2) Учитывая взаимосвязь I и III квадрантов таблицы МОБ, отражающих баланс затрат, имеем (j = 1,2,...,n ) [9]
n
xj =X xj + zj, i =1
п хи 2 7
1 =Х ^ + ,
=1 х 7
х
1 = X ~7 + г7,
-=1
где а 7 — затраты -го продукта на единицу 7-го продукта в стоимостном выражении; г7 — доля добавленной стоимости, создаваемой в 7-й отрасли.
Выделяя в структуре добавленной стоимости затраты на оплату труда и прибыль, последнее выражение примет вид
(7 = 1,2,...,п )
п
1 =Х + $7 + т7,
-=1
где $7 — доля затрат на оплату труда в 7-й
отрасли, т7 — доля прибыли в цене на продукцию 7-й отрасли.
Тогда при условии, что а77 = а77 [9], из (11) получим (7 = 1,2,...,п )
2Л/-7 <Ха7 + + т7 - а7 ,
=1
-(0) - т7 <Х а7 + .
=1 7
(14)
Следовательно, согласно (14), для сходимости итерационного процесса (9) достаточно, чтобы величина разности между половиной доли прибыли в компромиссно-равновесной цене и долей прибыли в цене, заложенной в исходный МОБ, для 7-й отрасли была меньше доли суммарных производственных затрат этой же отрасли с исключенными внутриотраслевыми затратами. По сути, левая часть критерия сходимости (14) отражает стоимостную разба-лансированность экономической системы в начальном состоянии по отношению к компромиссно-равновесному состоянию. Теорема доказана.
Отметим, что в теореме 2 критерий сходимости был представлен в двух формах, что позволило его интерпретировать с разных сторон. В частности, с помощью математических преобразований критерию сходимости удалось придать оригинальное
содержательное значение как разбаланси-рованности экономической системы в начальном состоянии по отношению к компромиссно-равновесному состоянию.
В то же время, из условия (11) видно,
.(0)
что от соотношения параметров д/—7 и
а 77 зависит принципиальная возможность
получения системы компромиссно-равновесных цен. В следующей теореме сформулирован качественный признак сходимости, основанный на структурном виде матрицы коэффициентов прямых затрат
А = Ь}.
Теорема 3 (о качественном признаке сходимости).
Для заведомой сходимости итерационного процесса (9) достаточно, чтобы выполнялось условие ^ (а77 ) < 0,5 .
Доказательство. Для наглядности доказательства представим критерий сходимости (11) в виде области сходимости на
графике в координатах 7
На рис. 1 показана область сходимости, задаваемая условием
—7 ) < 2(1 — а77 ) и ограничением
0 < — 7 ) <1. Из рис. 1 видно, что при 0 < а77 < 0,5 значение коэффициента
-(0) 0 <-(0) < ! 7 лежит в пределах 0 7 1 , а
V
следовательно, и 0 < ( ^ < 1. При 0,5 - а77 < 1
область сходимости сужается и 0 < д/—(0) < 2(1 — а77 ) (коэффици-
ент д^- ( ^ попадает в область «ограниченного» компромисса). Другими словами, в интервале 0 < а 77 < 0,5 на коэффициент
V
т(0)
7 не накладываются дополнительные ограничения сверху, кроме требования
V
- 7 ) < 1. Теорема доказана.
Рис. 1. Область сходимости Следствие 1. Если матрица прямых затрат
А = к}
такова, что выполняется сходимость
то
условие max (a,, ) < 0,5
1< J <n
итерационного процесса (9) не зависит от
P (0)
вектора начальных цен P .
Следствие 2. В области сходимости находятся такие значения параметров
4
Ф f, a
jj
, при которых саморегулируе-
мый конфликтно-компромиссный рыночный механизм может привести экономическую систему к единственной неподвижной точке в виде вектора компромиссно-
равновесных цен р .
Таким образом, в данной статье рассмотрен модельный инструментарий компромиссно-равновесного ценообразования и построен численный алгоритм для определения системы компромиссно-равновес-
ных цен. В ходе исследования условий существования неподвижной точки доказана теорема о сходимости и проведен качественный анализ критерия сходимости. Представление критерия сходимости в виде области сходимости позволило установить, что отрасли, у которых коэффициент прямых затрат ап > 0,5, попадают в область
«ограниченного» компромисса. Последнее означает, что цены на товарную продукцию --й отрасли определяются в большей степени внутрипроизводственными затратами этой же отрасли нежели затратами предметов труда других отраслей. Поэтому повышение специализации отраслей и ослабление межотраслевых связей может привести к невозможности достижения компромиссно-равновесного состояния во всей системе отраслевых рынков.
