Продольные и крутильные колебания стержневых систем с древовидной или кольцевой структурой Текст научной статьи по специальности «Физика»

624.042.8

А. С. РАСПОПОВ (ДИИТ)

ПРОДОЛЬНЫЕ И КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ С ДРЕВОВИДНОЙ ИЛИ КОЛЬЦЕВОЙ СТРУКТУРОЙ

Для дослщження поздовжшх та крутильних коливань стержневих конструкцш з деревовидною або кольцевою структурою застосовуються методи, яш основанi на теори графiв i автоматiв. Показана висока ефек-тивнiсть топологiчного аналiзу графiв, що являють цi системи, складеш таблицi переходiв для визначення кодiв граничних параметрiв стержнiв, приведена методика складання частотних рiвнянь у векторно-матричнiй формi.

Для исследования продольных и крутильных колебаний стержневых конструкций с древовидной или кольцевой структурой применяются методы, основанные на теории графов и автоматов. Показана высокая эффективность топологического анализа графов, представляющих такие системы, составлены таблицы переходов для определения кодов граничных параметров стержней, приведена методика составления частотных уравнений в векторно-матричной форме.

The methods based on the theory of graphs and automatic machines are applied to research of longitudinal and rotational vibrations of rod constructions with tree or ring structure. High efficiency of the topological analysis of the graphs representing such systems is shown, the tables of transition for determination of codes of boundary parameters of rods are made, the technique of drawing up frequency equations in the vector-matrix form is presented.

Рассмотренные в работе [1] однородные стержневые системы представляют один из возможных вариантов разветвленной структуры, встречающейся в практических приложениях [2-4]. Более общим случаем является стержневая система, состоящая из начальной ветви (ствола) в виде цепочки последовательно соединенных стержней и одной или нескольких дополнительных ветвей, параллельных начальной (рис. 1). Отличительной особенностью такой схемы является то, что каждая ветвь прикреплена лишь к одному сечению стволового стержня и на другом конце может иметь свои граничные условия. Согласно теории графов и автоматов, такую структуру можно определить

термином «дерево» [4-6]. Примерами могут служить разветвленные конструкции типа распределенного машинного оборудования, трубопроводные системы и др. Исследования колебаний таких систем являются актуальными.

Цель работы состоит в применении топологических и автоматных методов к расчету продольных и крутильных колебаний стержневых систем с древовидной или кольцевой структурой.

Обозначим через р, п число участков по

длине ствола и ветви, г, ] — текущие номера участков (i =1, 2, ..., p ; ]=1, 2, ..., n).

Рис. 1. Стержневая система с древовидной структурой

Представим данную стержневую систему в виде связного графа Ох, множество вершин

которого включает подмножества НП, КП каждого стержня (рис. 2).

Рассмотрим возможные состояния подграфов 1Ох и 20 , образованных в результате рас-

сечения связей между параметрами ик, ио и

qk , в графе Ох (двойная пунктирная линия

на рис. 2). Связи между подграфами 1Ох и 2Ох

будем относить к внешним связям, рассечение которых создает по две дополнительные вершины, принимающие состояния 0 или 1. Учи-

тывая логические условия и ограничения [7] ми топологическими схемами, на которых по-для связанных вершин графа Ох, представим казаны только вершины и ребра стыкующихся

состояния I, II подграфов и 20 отдельны-

аналогов-стержней (рис. 3).

Рис. 2. Граф стержневой системы Ох

Рис. 3. Состояния подграфов 10 и 20

Далее алгоритм построения уравнений частот будет аналогичным, как и для простых одномерных систем. Таблица переходов автомата А1 будет содержать некоторые особенности только для сечения, в котором прикреплена соответствующая ветвь системы. Поэтому в таб-

лице переходов 1 достаточно показать булевы функции лишь для НП, КП стволовых стержней к , к +1 и стержней ветви 1, 2. Как обычно [7], в табл. 1 сопрягаемые параметры обозначены одинаковыми буквенными символами.

Таблица 1

Таблица переходов автомата А1

I II

к к +1 1 2 к к +1 1 2

НП К - а 1 с - 0 1 с

С - Ь 0 - 1 0

КП К а - с - 0 - с -

С Ь - ё - 1 - ё -

Уравнение частот согласно [7] представляется в форме ортогональности двух векторов с характеристиками стволовых стержней 1, 2, ..., р и стержней ветви 1, 2, ..., п где

V ( Ч ( Ч ) = о,

(1)

v(g) = ||vi vn ||; v(g)

(2)

Пользуясь соотношениями кодов табл. 1, несложно составить выражения для элементов vI, уп при состояниях I, II подграфа 1Ох и элементов у', Уд при тех же состояниях подграфа 2Gx (символом ' помечены параметры участков ветви).

p -1

p-1

Vi = V ПMV ; Vii = ViVk+i П MxiVp ;

i=2

i=k+2

к-1

= v1ПMxÁ . (3)

i=2

Векторы У1, +1 определяются кодами 10 НП 1-го стержня (рис. 2) и 01 НП стержня к +1 (рис. 3б) матрицы Мх [7]

V1 = cos X1 -а1 X1 sin A.J ;

V+1 =

ак+1x к+1

sin X к+1 cos X к+1

. (4)

В свою очередь, векторы , V в соответствии с кодами 10 и 01 КП стержней р и к примут вид

vp =

-а p Xp sin Xp cos X p

; V =

cos X,

1

а к X к

-sin X к

. (5)

v' = vflm/'„ ; v'i = V* ПM/'„ . (6) j=2 j=2

В состоянии I начало 1-го стержня ветви имеет код 10, а в состоянии II - 01 (рис. 3). Соответствующие векторы

V' = I Icos X1 -а^1 sin X1II;

V* =

1 t sin X1 cos X1

а^

. (7)

Вектор-столбец V' определяется кодом КП n -го стержня 10

V' =

-а ' X' sin X'

п п п

cos X '

(8)

Для элементов v' и vд матрицы-столбца V ( 2Gx ) можно записать

Матрицы второго порядка Мх1, М^ соответствуют матрице Мх [7] с характеристиками

промежуточных участков по стволу и ветви.

Рассмотрим теперь дискретно-континуальную систему, отдельные подсистемы которой могут быть прикреплены к начальной ветви в нескольких ее сечениях (рис. 4). Такие системы имеют кольцевую структуру и отличаются от предыдущего случая тем, что каждая ветвь прикреплена, по крайней мере, к двум участкам стволового стержня [3, 4]. Примерами могут служить длинномерные грузы, расположенные на одном или нескольких транспортных средствах или на опорах, лежащих на балочной конструкции, отсек двигателя с турбиной или тяжелое оборудование, упруго скрепленное по торцам с корпусом и др.

V

V

Рис. 4. Стержневая система с кольцевой структурой

Характерные элементы графа данной стержневой системы Ох изображены на рис. 5.

Рассечение внешних связей в графе Ох образует четыре состояния подграфов 1Ох, 2Ох,

которые представлены на рис. 6.

Как и в предыдущем случае в таблице переходов отобразим состояния подавтоматов толь-

ко для сечений, в которых прикреплена ветвь системы (табл. 2)

Векторы V ( 1Ох ) и V ( 2Gx ) , входящие в

уравнение частот (1) будут уже содержать по четыре компоненты в соответствии с количеством состояний автомата А2

г ('Gx)

= vi vii viii viv ;

V () = {v' vn v'ii viv} . (9)

Несложно заметить, что выражения для vi и vn будут тождественными (3), а для viii , viv в соответствии с состояниями III, IV подграфа 1Gx можно записать

"iii

= VП; V3 = Vh+1 П MJP. (10)

i=2

p-1

параметров а и X, относящихся к различным участкам. Точно так же векторы Ук и Ук определяются выражением (5).

Элементы V', матрицы V (2Gx) имеют

вид (6), а V''', v'[у отличаются только вектором п -го участка с кодом КП 01

-ш = Шм/«; ^у = V*пм/п, (12)

j =2

j=2

i=h+ 2

где

h-1

+1П MV

(11)

v: =

i=k + 2

Векторы Vk+1 и Vh+1 содержат одинаковые функциональные элементы (4), за исключением

cos А'

an АП

-sin А'

Рис. 5. Граф G для системы с кольцевой структурой

(13)

а)состояние I

06 | о

сш

*+1 h

2>i 15

90 09

о <

i я

т

h+1

¿0

в) состояние III

Об

ш

о о

Ь-1 h Л "Л Ъ1 об | | А | 90 19 90

I п

б) состояние II о о

р г

н—н

Ж h

li П ¿о 09 91 09

I и

ЕШ

А+1 60

г) состояние IV

о 0 [ТТЛ

о о

Рис. 6. Состояния подграфов 1Gx, 2Gx

1

Таблица 2

Таблица переходов автомата А2

5у I II

ху к к +1 к к +1 1 п к к +1 к к +1 1 п

НП К - а - с 1 - - 0 - с 0 -

С - Ь - 0 - - 1 - 1 -

КП К а - с - - 1 0 - с - - 1

С Ь - - - 0 1 - - - 0

5у III IV

ху к к +1 к к +1 1 п к к +1 к к +1 1 п

НП К - а - 0 1 - - 0 - 0 0 -

С - Ь - 1 0 - - 1 - 1 1 -

КП К а - 0 - - 0 0 - 0 - - 0

С Ь - 1 - - 1 1 - 1 - - 1

Полученные в [1] зависимости для стержней, имеющих сосредоточенные включения I, II типов, позволяют достаточно просто вводить дополнительные внешние упругие связи или точечные включения в жесткость и интенсивность массы. К примеру, для неоднородного стержня ветви с сингулярной податливостью необходимо вместо матрицы Мх. подставить

матрицу М'х. [1]. При этом, если положить

Е¥. ^ да, получим частный случай ветвления

(рис. 7) в виде дискретной системы масс т.,

соединенных упругими связями (цепочки осцилляторов). Тогда необходимо для матрицы М'. использовать выражение М'к [1].

Рис. 7. Стержень с упруго присоединенной цепочкой масс

Если число внешних связей между двумя ветвями равно 5 , то количество элементов в

матрицах V ( 1Ох ) и V ( 2Ох ) , зависящее от числа состояний подграфов 1Ох и 2Ох, будет составлять 25 .

Для общего случая стержневой системы с разветвленной структурой, состоящей из нескольких ветвей т , соединенных в одном или нескольких сечениях с начальной ветвью или

друг с другом, алгоритм расчета остается без изменений. Вначале производится рассечение внешних связей и определяются состояния подграфов 1Ох, 2Ох, ..., тОх. Уравнение частот строится в форме ортогональности векторов / \т— / ч

V (Ч )П Мх/ (тОх ) = 0,

г=2

где векторы V (1Ох ) и V ( тОх )

(14)

состоят из эле-

ментов, описывающих состояния крайних ветвей 1 и т , а матрица Мхг промежуточной г - й

ветви определяется количеством связей между г -1 и г +1 ветвями и состояниями подграфа гОх. При этом каждый элемент матрицы будет

состоять из выражений, аналогичных (10)-(12).

В целом, когда имеются сосредоточенные включения различных типов, можно получить ассоциированные матрицы, пользуясь принципом наложения. При этом уравнения частот, которые описывают ту или иную систему, представляются в форме ортогональности векторов. Для более сложных случаев необходимо составлять таблицы переходов по аналогии [7].

В дальнейших исследованиях предполагается рассмотреть совместные колебания пространственных стержневых систем с учетом различных факторов.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Распопов, А. С. Колебания регулярных балочных конструкций с непрерывно-дискретными параметрами / А. С. Распопов, О. О. Рубан, С. А. Чернышенко // Техшчна мехашка (1н-т

техн. мех. НАН Украши i НК Украши). -2008. - Вип. 1. - Д., 2008. - С. 131-139.

2. Kondou, T. Free vibration analysis of a tree structure by the transfer influence coefficient method. 1st report. Formulation for a two-dimensional tree structure / T. Kondou, A. Sueoka, Yu. Yasuda, D. H. Moon // Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. C. -1991. - 57, № 536. - C. 1091-1098.

3. Григорьев, Е. Т. Продольные совместные колебания стержня и систем масс / Е. Т. Григорьев, Н. Б. Тульчинская / АН УССР. Ин-т техн. мех-ки. - К.: Наук. думка, 1991. - 156 с.

4. Ильин, М. М. Метод начальных параметров (МНП) для продольных (крутильных) колебаний стержневых систем / М. М. Ильин,

Ю. С. Саратов // Сб. науч. ст. МГТУ им. Н. Баумана. - М.: Изд-во МГТУ, 2003. - С. 114-120.

5. Оре, О. Теория графов / Пер. с англ. / О. Оре. -М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1980. - 336 с.

6. Гилл, А. Введение в теорию конечных автоматов / А. Гилл. - М.: Наука, 1966. - 272 с.

7. Распопов, А. С. Конечно-автоматное моделирование пространственных колебаний стержневых и балочных конструкций / А. С. Распопов // Вестник Днепропетр. нац. ун-та жел.-дор. трансп. им. акад. В. Лазаряна. - 2007. -Вып. 19. - Д.: Изд-во ДНУЖТ, 2007. -С. 125-133.

Поступила в редколлегию 07.07.2008.