Структура пространственных матриц для комбинированных колебаний многомерных стержневых систем Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 624.042.8

А. С. РАСПОПОВ (ДИИТ)

СТРУКТУРА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ МАТРИЦ ДЛЯ КОМБИНИРОВАННЫХ КОЛЕБАНИЙ МНОГОМЕРНЫХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ

Розглядаеться динашка багатокомпонентних стрижневих систем з використанням теори графiв та автомата. Показано, що структурний склад таких моделей можна задавати за допомогою просторових матриць на основi дослвдження топологiчних властивостей графа системи. В кожному випадку аналiзуеться можли-вiсть реалiзацil послщовно! схеми шляхом сполучень мiж собою типових лопчних елементiв.

Рассматривается динамика многокомпонентных стержневых систем с использованием теории графов и автоматов. Показано, что структурный состав таких моделей можно задавать с помощью пространственных матриц на основе исследования топологических свойств графа системы. В каждом случае анализируется возможность реализации последовательностной схемы путем соединений между собой типовых логических элементов.

Dynamics of multicomponent rod systems with use of the theory of graphs and automatic machines is considered. It is shown that the structure of such models can be set by means of spatial matrices on the basis of research of topological properties of a system graph. In each case the possibility of realisation of the consecutive scheme by connections among themselves of typical logic elements is analyzed.

Согласно существующей классификации [1], к двумерным стержневым системам относятся системы перекрестных балок, стержневых плит, плоских рам и т. д., к трехмерным -рамные пространственные каркасы, стержневые оболочки, пространственные фермы и другие подобные им конструкции. Такие системы находят широкое применение в мосто- и судостроении, промышленном и гражданском строительстве. Однако вопросам динамического расчета пространственных разветвленных конструкций посвящено сравнительно мало научной литературы, что объясняется сложностью задачи и гораздо большими трудностями ее решения, чем для одномерных стержневых систем.

Обстоятельные обзоры применяемых методов расчета перекрестно-стержневых систем даны в работах [1, 2]. По существу, эти методы являются развитием известных методов динамического расчета одномерных конструкций с присущими им достоинствами и недостатками, которые особенно отчетливо проявляются при расчетах свободных и вынужденных колебаний пространственных стержневых систем.

Применение топологических и автоматных методов [3, 5] допускает точное математическое описание совместных колебаний пространственных стержневых систем, практически не меняя при этом основные алгоритмы расчета, принятые для одномерных конструкций. Такой подход позволяет также осущест-

вить декомпозицию графов на компоненты по видам колебаний с последующим переходом от характеристических функций простых систем к общему матричному уравнению действительной соединенной системы.

Целью исследования является получение пространственных ассоциированных матриц для описания состояний многокомпонентных стержневых систем с использованием теории графов и автоматов.

Простые стержневые системы (рис. 1) можно рассматривать как составные части более крупных систем в виде пересекающихся балок или пространственных рамных каркасов. Для построения ассоциированных матриц, описывающих колебания каждой такой части, необходимо рассмотреть все возможные состояния аналогов-стержней, входящих в простые системы, из которых затем формируются блоки, подсистемы и система в целом.

Вначале исследуем возможные состояния автомата Лг 1, представленного графом Ог [3], при подаче входных последовательностей длиной I для НП стержня 11 и КП стержня 12. Длина последовательности I равна числу символов в последовательности [4] и, в данном случае, формируется из набора кодов на множестве {0, 0, 1, 1}, характеризующих изгиб-ные колебания стержня.

Следовательно, в таблице переходов Лг (табл. 1 [3]) изменения коснутся только кодов

НП, КП стержней 11, 12 при тех же состояниях кодами граничных параметров представлены в I, II подграфов 1 Ог, 2 Ог. Соотношения между табл- 1-

Рис. 1. Системы из двух и трех ортогональных балок Таблица переходов Лг 1

Таблица 1

Sv I II

11 12 21 22 11 12 21 22

НП К a bj a b 0 1 0 f aJ bj 0 b 0 1 e f

С cJ dJ c d 0 1 g 1 CJ d1 c 1 0 1 g h

КП К a b a2 b2 0 f 0 1 0 b a2 b2 e f 0 1

С c d C2 d2 g 1 0 1 c 1 c2 d2 g h 0 1

Тогда совокупность характеристических функций автомата Лг1 можно выразить двумерной (квадратной) матрицей Ог шестого порядка с кодами НП, КП, аналогичными матрице Мг [5] для обычного участка балки

П z =

V (G )v (2Gz ).

(1)

Значения матриц v21, v22 и v'1, v\2 [3] в соответствии с кодами табл. 1 для вектора V(2Gz) остаются без изменений.

Матрицы Vjj, v12 будут квадратными матрицами шестого порядка с элементами и кодами табл. 2 [5], характеризующими возможные состояния стержней 11, 12 в состоянии I подграфа 1 Gz

0011 0101 0 110

V11 = MzU; V12 = Mz12. (2)

Соответственно, выражения vj. , v.'2 определяются кодами НП, КП стержней 11, 12, реализующимися в состоянии II подграфа JGz . Матрица Vj'j = M'z11 имеет размеры 6x2 и соответствует первым двум столбцам матрицы Mz [5] с кодами 0011 и 0101.

Возможные сочетания кодов НП стержня 12 - 0101 и 0011 (табл. 1). Тогда матрица v.'2 = M'zJ2 размерами 2x6 определяется двумя

строками матрицы Mz

1001

10 10

1 1 0 0

0101

MZ12 =—

0011

lj3

z1

3 AzJ

(EJyj) X

G

1 &Bzj -L с X z.

lj3 1 12 1

EJy\h^zj EJyjX 2J

-H

i i i i i i i i i

zJ I

X

■C,

zJ

l2

-1_F

2 zJ

| EJyjXzJ

! EJ„X

EJyjX zJ

I —

I

I

____J___

I I

C

z J I I I I

yJ" zJ

l1

(3)

Таким образом, ассоциированная матрица Ог для стержневой системы (рис. 1а) примет вид

0г = МгПМгПУг21^22 + КиК^'г21^22 . (4)

Аналогично формируется ассоциированная матрица Пу для изгибных колебаний пересекающихся балок в плоскости ху

О у =

V (Ч) (Ч),

где матрицы V (Чг) и V (2Чг) представить в форме

V(Чу) = |^ ^||; I7(2Чу)

(5)

также можно

. (6)

Выражения для уи, у12 будут тождественны матрице Му (табл. 2 [5]) с характеристиками стержней 11, 12

(7)

УП = Му11 ; У12 = Му12.

Элементы матриц у'п ,

12

зависят от со-

стояний НП, КП стержней 11, 12 подграфа Чу,

находящегося в состоянии II и определяются двумя столбцами матрицы Му с кодами 0011 и

1010 для и двумя строками той же матрицы Му с кодами 1010 и 0011 для у'2.

Элементы векторов у21, у22 выразим булевыми функциями

у21 =| |0101/0011 0101/1010||;

или функциями Прагера

/3 А

2 Лу 2

Ы„ 2 А

Б

у2

г 2 у 2

1010/0101 0011/0101

Бу 2 / 3 А

12Лу 2

(8)

Ег 2Ау2

(9)

В этом случае всю систему, представляемую автоматом Лг 2, можно описать трехмерной

(кубической) матрицей шестого порядка О, ,

пг,, = а,

12 3 |Ц

, ( i', ,2, iз = 1, 2, ..., 6 ). (11)

На рис. 2 схематично обозначены направления изменения индексов и угловые элементы кубической матрицы п -го порядка.

Значения у'21, У22 аналогичны выражениям (2), (3) из [3]. В окончательном виде для ассоциированной матрицы 0у запишем

0у = My''My'2V2'V22 + М'уПМ'уПУ2Аг . (10)

Вновь обратимся к конструкции на рис. 1а и проведем анализ изменения состояний автомата Лг 2 при изменении состояний входных переменных НП стержня 21 или КП стержня 22.

Рис. 2. Обозначения элементов кубической матрицы п -го порядка

Характерным для кубических матриц является то, что действия над ними производятся по тем же правилам, как и для двумерных матриц с добавлением последовательных переносов еще по одному направлению [6]. Так, для матрицы (11) все шесть сечений ориентации i' при фиксированном значении индекса , = 1, 2, ..., 6 будут обычными двумерными матрицами 6-го

порядка °6,й (iз =1,

2, ..., 6).

В таблице переходов 1 возможность перестановки кодов КП стержня 22 выразим буквенными символами е2 /2 g2 Н2. Число перестановок кодов из двух произвольных и двух фиксированных параметров равно шести. Последовательный перебор этих кодов в порядке 0011, 0101, ..., 1100 позволяет сформировать элементы матриц-столбцов у22 и у'22 в выражении (4).

Несложно заметить, что поочередное изменение кодов начальных параметров стержня 22

в состоянии I (табл. 1) подграфа 2Ог будет отвечать изменению двух последних функций столбцов матрицы М г [5]

6

22 =

0011

V = V0011 = у22 у 22

Е^у 2 2

V = V1100 22 22

(у2 ) ^

1100 Е1 А

^ у 2л г 2

-с.

0101

___? • • • ?

0011

/2

2

Е

г 2

0101

0011

(12)

о2м, = мгПмг^2УГ + м;пм,12 v21v^22

(14)

(15)

или, в другой форме,

О2,* =|М,1^М„2 \м'гпм:

г12

V к0101 21 22

V' I?'0101 21 22

(16)

О2.. = а, - ■ а2 . .

ЧЬЬ 1г2г3 I 2ЬЬ

6цц

(17)

О. ■ ■ = а.. ..

6

1^34 ||1 2

(18)

В состоянии I подграфа С, коды НП, КП стержня 21 формируют функции строк, соответствующие вектору v21 и первым двум элементам матрицы М, с кодами КП 0011 и 0101

0011 0101

V = V1100

Е1у 2А , 2 Л, 2

V = V и°

а в состоянии II - полному набору матричных функций столбцов матрицы Мг

V = V,ооп • V,0101- • V'110С1 (13)

^2 = '22 • '22 • • '22 • (13)

Поэтому для двумерной матрицы О, 3, образованной сечением ориентации . = 1, можно записать

0,23 = Мг„Мг^2/202011 +

При 1 = 2 получим

0011

/2Сг 2

((у2) А

/2 0101

/3 Л

12 Л, 2

1100'

Е1 А3

^ у 2Л г 2

0011

• (19)

Во втором состоянии подграфа 2С, получим строки матрицы М, с последовательным изменением кодов НП стержня 21, соответствующие матрице v21

V = V '"00 • V,1010 •

1 '11 , ' П1

V,

/0011

Аналогично получаем выражения для остальных матриц при . = 3, ...,6.

Пользуясь двумерными сечениями [6], выразим кубическую матрицу О.!. 3 в виде таблицы, в которой сечения отделяются вертикальными линиями

21 21 21 21 (20) Таким образом, для совокупности элементов двумерной матрицы О.... (. , /2, /3, /4 = 1,

2, ..., 6), образованной двукратным сечением ориентации (. /2) при фиксированных значениях индексов . ?2, можно записать

О,:,, = М^М^1/^011 +

мм^г^1 • (21)

При . = 2, ?2 = 1 приходим к выражению для О21. , которое запишем в форме (16)

О2

= |М,пМг12 ! м;„м; 1

V 1010т?0011

V21__'_2_2__

V '1010x7 '0011 К21 К22

• (22)

где стрелки обозначают направления возрастания порядковых номеров индексов . , /2, .3.

Следующим шагом является построение пространственной г -мерной матрицы О.. . .

(г = 4) шестого порядка, получающейся в результате подачи входных символов е1 /1 g1 Ь1

на множестве {0,0,1,1} для НП стержня 21

(табл. 1)

Далее несложно получить остальные выражения для двумерных матриц при различных сочетаниях . /2 (/1,/2 = 1, 2,..., 6) с изменением элементов векторов в правой части (22). Например, при значениях индексов . , /2 = 6 получим

О

66 г3 г.

= |М,1^М,12 ¡М'цМ'^

V0011V1100 !.21__Угг__

V '0011V' 1100 К21 К22

. (23)

Аналогично (17), представим двумерные сечения пространственной матрицы О. у. в виде квадратной таблицы с выделением двумерных

/

4

/

2

сечении вертикальными и горизонтальными линиями

«11,Уз «12,Уз «16,У3

а21М3 «22,У3 «26,Уз

«61,Уз «62Мз «66,Уз

-(¡л)

Сз)

Другие двумерные простые сечения также можно представить в форме (24) для матрицы О, 3 . с фиксированными значениями индек-

Кроме этого, следуя [6] для г -мерной про-странственнои матрицы возможно получение

(п!)г 2 двумерных трансверсальных сечений,

состоящих из п трансверсальных строк, каждая пара которых не принадлежит одному и тому же простому сечению.

Пространственные матрицы О, 3 и О,...

для изгибных колебаний пересекающихся балок в плоскости ху также можно представить в форме (11), (18) с последующим выделением двумерных сечений (17), (24).

Для построения ассоциированной матрицы Оф г, описывающей совместные изгибно-

крутильные колебания системы пересекающихся балок, необходимо воспользоваться таблицей переходов автомата АТ (табл. 1 [7]) с возможными состояниями промежуточного блока плоской рамы (рис. 2, 3 [7]). Количество возможных состояний граничных параметров подсистемы определяется входными последовательностями длиной I = 6 для НП стержня 11 и КП стержня 12. Характеристические функции автомата АТ1 в соответствии с кодами табл. 1 [7] можно представить ассоциированной матрицей Оф г восьмого порядка

О =

ф г

Мп ¡М12

М 21 М 22

(25)

где подматрицы М^ определяются выражениями (15)-(21) [7].

Подобным образом, для исследования состояний автомата АЫ, учитывающего совместные изгибно-продольные колебания пересекающихся балок, следует воспользоваться таблицей переходов АЫ, аналогичной табл. 1 [7], и набором матричных функций (23)-(28) [7], из которых формируются подматрицы М(25)

для ассоциированной матрицы О^ .

(24)

Последовательный перебор граничных условий НП стержня 21 и КП стержня 22 позволяет перейти к трех- и четырехмерным матрицам восьмого порядка Офг. и Оф2 . . В отличие

Ч121з Ч.НЧ

от элементов пространственных матриц, характеризующих совместные изгибные колебания стержневой системы, элементы матриц Оф 2 будут содержать упорядоченные произведения матричных функций Мф и М2 [5, 7]. Алгоритм

хУ .2.

построения пространственных матриц О О»,. будет аналогичным.

г1г2г3г4

Для построения уравнений частот в ортогональной форме трехмерной стержневой системы необходимо разделить ее плоскими сечениями на подсистемы, в которых какие-либо две балки всегда окажутся в плоскости сечения, а третья будет перпендикулярна этой плоскости. Как уже отмечалось [3], изгибные колебания балок в образованной ими плоскости будут вызывать крутильные, а из этой плоскости -продольные колебания ортогональной для них балки. Поэтому достаточно построить ассоциированные матрицы для одной какой-либо подсистемы, которые будут действительны также для описания других аналогичных подсистем.

Например, при изгибных колебаниях стержней 11, 12 и 21, 22 в плоскости ху стержни 31, 32 (рис. 1б) будут испытывать крутильные колебания. В этом случае подграфы системы могут находиться только в двух состояниях I, II (рис. 9 [3]). Соответственно, таблица переходов 2 автомата АЯТХ при условии подачи входных последовательностей длиной I = 4 на НП, КП изгибаемых стержней примет следующий вид (см. табл. 2).

Учитывая только «входы» НП стержня 11 и КП стержня 12 получим двумерную матрицу Оф ,„ шестого порядка в следующей форме

ф у2

Офуг = V('ОТ)у (2ОТу (3ОТ),

или в развернутом виде

Оф У2 =1

0

(26)

(27)

Несложно заметить, что элементы матриц, входящих в выражение (27) в соответствии с кодами табл. 2 приводятся к элементам ассоциированной матрицы Оу (10) с последовательным их умножением на матрицы ю31ю32 и

сов ?3 ?4.

0

ra3i®32 [3], характеризующие крутильные колебания стержней 31 и 32.

Цр yZ = My11My12 V21V22®31®32 +

+M'y11M>2lV'22^'32 . (28)

Таблица 2

Таблица переходов автомата ART1

Sv I

11 12 21 22 31 32 11 12 21 22 31 32

НП К a1 b a b e1 f1 e 0 0 к a1 b a 0 e1 f1 e f 0 0

С c1 d1 c d §1 h 1 h 1 l C1 d1 1 d §1 h § h 1 1

КП К a b a2 b2 e 0 e2 f2 к 0 a 0 a2 b2 e f e2 f2 0 0

С c d C2 d2 1 h §2 h2 l 1 1 d C2 d2 § h §2 h2 1 1

Соответственно, для ассоциированной матрицы О^, описывающей изгибные колебания

балок 1-го и 2-го направлений из плоскости ху и продольные колебания балки направления 3 (рис. 1б), можно записать

О хуг = М Л1М Л2^2?22и31и32 +

+М'11М' 12^2«31«32. (29) Далее, построение пространственных матриц О*.. и О^ . будет точно таким же, как и

А г1г2г3 . 2. 4

пространственных матриц и (11),

(18). Отличие заключается лишь в дополнительных множителях и31и32 и и3и32 в выражениях для двумерных матриц (14), (15), (21) и др., образованных соответствующими сечениями ориентации.

Такую же аналогию можно провести между

пространственными матрицами , и

Qy. . , Qy. .. с учетом дополнительных множи-

Ы-). 7 .1 .2.3.4 J

В общем случае, для трехмерной стержневой системы можно составить г -мерную пространственную матрицу (г = 5 , 6) с индексами . , ?2, ..., /6, где ?5, /6 = 1, 2 .

Как видим, число измерений г пространственной матрицы О зависит от числа «входов» автомата А, описывающего колебания стержневой системы, а ее порядок п - от числа перестановок кодов соответствующих входных переменных. Каждое сечение ориентации ассо-

циированной пространственной матрицы кодируется точно так же, как и матрица обычного участка балки.

Таким образом, с помощью кодированных ассоциированных матриц характеристические уравнения получаются как в общем функциональном, так и в цифровом виде. В отличие от простых конструкций, ассоциированные матрицы относятся не к отдельным стержням, а к отдельным блокам или подблокам системы. Элементами матриц для структуры более высокого уровня будут аналогичные одномерным системам произведения матриц для других «вложенных» структур. Степень «вложенности» матриц определяется количеством входных последовательностей из наборов состояний граничных параметров в сечениях системы. На самом низком уровне элементами ассоциированных матриц являются функции Прагера для стержня.

Задачей последующего исследования является вывод уравнения состояния сложной системы по уравнениям отдельных ее частей, полученных с помощью обыкновенных (одномерных, двумерных) и пространственных ассоциированных матриц.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Галишникова, В. В. Регулярные стержневые системы. Теория и методы расчета [Текст] / В. В. Галишникова, В. А. Игнатьев / Волгогр. гос. архит.-строит. ун-т. - Волгоград: ВолгГАСУ, 2006. - 552 с.

2. Nayfeh, A. H. Dynamic characteristics of large repetitive framelike structures [Текст] /

телей ю31ю32 и ю31ю32.

A. H. Nayfeh, M. S. Hartle // Trans. ASME: J. Appl. Mech. - 1984. - 51, N 3. - P. 510-518.

3. Распопов, А. С. Применение топологических методов к расчету пространственных колебаний двух- и трехмерных стержневых систем [Текст] / А. С. Распопов // Вестник Днепроп. нац. ун-та жел.-дор. трансп. им. акад. В. Лазаряна. -2008. - Вып. 22. - Д.: Изд-во ДНУЖТ, 2008. -С. 117-124.

4. Гилл, А. Введение в теорию автоматов [Текст] / А. Гилл. - М.: Наука, 1966. - 272 с.

5. Распопов, А. С. Конечно-автоматное моделирование пространственных колебаний стержневых и балочных конструкций [Текст] / А. С. Распопов // Вестник Днепроп. нац. ун-та жел.-дор. трансп. им. акад. В. Лазаряна. -

2007. - Вып. 19. - Д.: Изд-во ДНУЖТ, 2007. -С. 125-133.

6. Соколов, Н. П. Пространственные матрицы и их приложения [Текст] / Н. П. Соколов. - М.: Гос. издат. физ.-мат. лит., 1960. - 300 с.

7. Распопов, А. С. Применение конечных автоматов к расчету пространственных колебаний рамных мостов [Текст] / А. С. Распопов // Баштовi споруди: матерiали, конструкцп, технологи // Вкник Донбасько! нац. акад. будiвн. та архь тект. - Вип. 2007-6 (68). - Макивка, 2007. -С. 73-79.

Поступила в редколлегию 26.08.2008.