CC BY
42
ОЙщетехнические и социальные проблемы
УДК 656.2.022.846
К. К. Ким, А. В. Корнух
ПРОДОЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ ЭКИПАЖА НА МАГНИТНОМ ПОДВЕСЕ
Рассмотрена одна из частных задач о продольной устойчивости движения экипажа на магнитном подвесе с линейным синхронным двигателем при нерегулировании и регулировании напряжения статорной обмотки по углу нагрузки и его производной по времени. Показано, что при регулировании по углу нагрузки область устойчивой работы уменьшается, а при регулировании напряжения пропорционально производной угла нагрузки критический угол становится больше
Р
линейный синхронный двигатель (ЛСД), угол нагрузки, устойчивость в «малом», критерий Гурвица.
Введение
При произвольно быстрых изменениях обобщённых координат экипажа на магнитном подвесе с использованием линейного синхронного двигателя (ЛСД), когда необходимо сравнивать эффекты, обусловленные производными этих координат по времени, для описания движения экипажа наряду с уравнением движения твёрдого тела должны привлекаться уравнения Кирхгофа. Совокупность указанных уравнений будем называть общим уравнением движения ЛСД. В d-, q-координатах эти уравнения выглядят следующим образом:
2
= const;
(1)
dt
= 0;
= 0;
J
ISSN 1815-588 X. Известия ПГУПС
2008/2
Общетехнические и социальные проблемы
142
У
Р
w-1 +—e x,
t
где Ю - частота напряжения статора; т - полюсное деление;
e x - возмущение продольной координаты центра инерции экипажа.
Первые два уравнения отражают баланс напряжений статорной обмотки, третье уравнение характеризует режим работы системы возбуждения; два последних уравнения описывают электромагнитные процессы в d-, ^-обмотках, эквивалентирующих экран.
Уравнение движения центра инерции экипажа запишем в инерциальной системе координат xyz, движущейся со скоростью: Р
vx =—w; где vx - скорость бегущего магнитного поля статорной x t обмотки;
m0 d У Fx • C\ S V 1
dt2
m0 - d 2s= F - F(0);
dt= У У 5
m0 d 2e= Fz Г\ О V 1
dt2
►
J
(2)
где m - масса экипажа;
F(0) J7(°) /7(0)
F(0)
У :
(0)
F: - силы сопротивления и силы, создаваемые системами
подвеса и направления.
Рассмотрим одну из частных задач об устойчивости движения ЛСД. Будем полагать, что возмущенное состояние ЛСД характеризуется отсутствием вращения экипажа, а также отсутствием поступательных движений в направлениях у и z ex = ey =0. Таким образом, в
рассматриваемом случае имеет место возмущение единственной пространственной координаты ex. Для этого рассмотрим задачу об
устойчивости движения в “малом” при наличии и отсутствии регулирования напряжения путевой структуры.
1 Линеаризованные уравнения нерегулируемого ЛСД
ISSN 1815-588 X. Известия ПГУПС
2008/2
Общетехнические и социальные проблемы
Имея в виду е= — (yu +----------0), где 0 - угол нагрузки, и
t 2
полагая, yu = const, перепишем уравнения (1) и (2), рассматривая их как систему с одной (механической) степенью свободы:
тт ■ d Y d / d 0Л
U=r 4d+~dT - (w-d} ;
U = r •iq + dYq--(w-—)•y; q q dt dt
3
У f =T ' M ' id + Lf ' If + mfd ' i3d = c0nst;
Гэ • hd +
d Y
э d
dt d Y
= 0
r • i +-
э э9 dt
э q
= 0;
0 t d 0 3 pr /. . . .v
-m ---M • If • lq +(iэd • ^q - iэq ’ ^ )
p dt 2 t L
Л
F 0
2
(3)
где гэ - активное сопротивление статорной обмотки и экрана; у -потокосцепление; If - ампер-витки возбуждения, Lf - собственная
индуктивность системы возбуждения, М - взаимная индуктивность между статорной обмоткой и системой возбуждения при совпадении их магнитных осей; mfd - взаимная индуктивность между системой
возбуждения и d-обмоткой экрана.
Величины L, Lf, Lэ, M, m, mfd используются в следующих формулах:
Vd =L • id + M • If + m • к;
V q =L • iq + m • in;
V d =m • 'd + к • ^ + md ■ If;
3 . , .
V 3q =2 m • l, + L, • 1Щ ,
>
J
(4)
где L - собственная индуктивность фазы статорной обмотки, обусловленная потоком всех трех фаз; m - взаимная индуктивность между путевой структурой и экраном; Lэ - собственная индуктивность экрана;
ISSN 1815-588 X. Известия ПГУПС
2008/2
Общетехнические и социальные проблемы
144
тэ^ -взаимная индуктивность между d-обмоткой экрана и системой возбуждения.
В уравнениях (3) неизвестными являются токи iq и id путевой структуры, ток Iy возбуждения (соленоида), токи id и i экрана и угол 0
между векторами ЭДС возбуждения и напряжения путевой структуры. Угол 0 определяет положение экипажа относительно бегущего поля путевой структуры и является той единственной пространственной координатой, о которой говорилось выше.
Допустим, что напряжения путевой структуры составляют симметричную систему прямой последовательности, поэтому
ud = -Um ■ sine; Uq = Um ■ cos9.
Параметры r и x = ©L имеют один и тот же порядок. Поэтому коэффициент затухания путевой структуры оказывается весьма существенным. Это даёт возможность при рассмотрении устойчивости системы пренебрегать переходными процессами в статорной обмотке.
Таким образом, при линеаризации системы (3) из первых двух уравнений этой системы будут исключены члены, представляющие
d Y d . d Y q. de Т
производные: -----. ----. ---. Тогда, учитывая, что в невозмущенном
dt dt dt
состоянии токи в экране отсутствуют, получим:
r ■Aid ~W'L ■ Aiq ~w‘m ■ Ai,q + Um ' C0S e0 0.
r ■ Aiq +w ■ L ■ Aid +w ■ M ■ AIf +w ■ m ■ Aid + Um ■ sineo ■ Ae= 0;
2 M' Aid + Lf ' Af + mfd ' A=d 0
4 T dAid 3 dAi
гэ ■ Ai + L ----—+ -m---------
э эq э dt 2 dt
d
d AI
+ m
f
fd
dt
= 0:
d Ai 3 d Aiq
r ■ Ai + L -------—
э эq э dt 2
+-----m
dt
= 0;
m
— d2e 3 p
+ -■ — [M ■ (If 0 ■ Aiq +iq 0 ■ AIf ) +
p dt2 2 —
+m ('q0 ■ Ai,d -id0 ■ A= )] AFc“,
(5)
J
здесь невозмущённые значения переменных снабжены индексом 0, а возмущения - значком A.
ISSN 1815-588 X. Известия ПГУПС
2008/2
Общетехнические и социальные проблемы
i
d 0
= 2 1 2 [(X ' C0S q0 - Г ■ Sin q0)' Um - X ' Em0,
r + X
i 0 = ~2~ 2 [(X ■ sin q0 + r ■ C0s q0 )■ Um - r ■ E
r + X
m 0
где x = roL; Em0 = wMIf 0 .
Обозначим путевую структуру, обмотку возбуждения и экран соответственно индексами 1, 2, 3. Тогда коэффициенты рассеяния системы из двух обмоток:
S12 = 1
S13 = 1
S23 1
3 д Л-2
—M
2
L ■ L
f
3 2
—m 2__
L ■ L
3
—m
2
fd
к ■ h
В связи с этим s23 = 0, т. е
Л
>
J
(6)
1 =
m
fd
L ^ Lf
(7)
тогда s= s13, т. е. при соблюдении условий (6) и (7) экранирование обмотки возбуждения является идеальным (AIf = 0), если гэ = 0. Покажем это. Если гэ = 0 и DIf = 0, то из четвертого уравнения системы (5) следует:
3
2
M + mfd 'А= °;
-m■Aid + L, ■&=, о.
Г
Отсюда имеем:
M
m ■ m
\
fd
L
Aid=°
2
ISSN 1815-588 X. Известия ПГУПС
2008/2
Общетехнические и социальные проблемы
146
Так как Дь Ф 0, то
(
M -
m • m
fd
L
= 0.
(8)
э 0
Очевидно, что это равенство согласуется с уравнениями (6) и (7). В самом деле, определив из выражений (6) и (7) величины m и mfd и
подставив их в (8), получим тождество:
L
f
L
f
= 0
L v L
э V э
Таким образом, s23 = 0 является необходимым и достаточным
условием идеального экранирования обмотки возбуждения, если гэ = 0.
Далее будем считать выполненными условия (6) и (7). Тогда характеристическое уравнение, соответствующее системе (3), можно привести к виду:
.3 , „ „2
а3 • p + а2 • p + а1 • p + a0 = 0. Входящие сюда коэффициенты
0 t т
а = m — • r • L
p
r2 + (x •s)2 r2 + x2 •s
s1= s:
a2 = m
(9)
(10)
(11)
p
ai =
3 p r- L- LU
21 (r2 + x2-s)(r2 + x2)
{(1-s) •(r2 +x •s) • Um +[(2- s-1) •r2 +(x •s)2 ] • Em
X
x cos 00 -
r Г
3 p
x
2
(2-s) • x 2 -s + r 2 _!• Em0 • Sin 00 } ;
r2 • L • U
(12)
a0 =-----
2 t (r + x • s)(r + x )
{(1 -s) • (x • sin 00 + r • cos 00)2 • Um +
(2 •: -1) • r2 + x2 •:
Em0 'C0S 00---
x
(2 - s) • x2 + r2 ] • Em0 • Sin 00} .(13)
2 Линеаризованные уравнения регулируемого ЛСД
Допустим, что фазные напряжения на выходе путевой структуры составляют:
иа = Um • cos(w • t + yU) + UD • sin(w • t + yU - 0 + Уд);
ISSN 1815-588 X. Известия ПГУПС
2008/2
ОбЩетехнические и социальные проблемы
ua =Um • cos(w • t + yU -120) + UA • sin(w • t + yU -0 + yA -120); ua =Um • cos(w • t + yU +120) + UA • sin(w • t + yU -0 + yA +120).
Тогда в представлении (d, q) имеем:
Ud =-Um -sin 0 + U A 'cos Уа; l
Uq = Um •cos0 + UA-sinуд. J (14)
Здесь UA - напряжение, обеспечивающее регулирование системы. Это некоторая функция, отражающая закон регулирования. Так, возможны следующие представления:
Ud= Kq (0-0О) + K0 —;
dt
Ud= k, (i - i0)+k; , (15)
dt
где I - среднеквадратичный ток путевой структуры.
Рассмотрим устойчивость движения при регулировании напряжения путевой структуры по углу 0 и его производной. Как и в случае нерегулируемой системы, пренебрежём переходными процессами в цепи путевой структуры. Кроме того, будем считать выполненными условия (6) и (7).
С точки зрения линеаризованных уравнений регулируемая система отличается от нерегулируемой только конструкцией выражений для возмущения напряжения. В случае регулирования по углу 0 и его производной имеем следующие соотношения для возмущений напряжения:
Au= ( Um COs 0О + Kd ) - A0 + K
, d A0 dt
Kd = K0-cos Уа; Kd = K0 -cos Уа;
Duq (-Um • sin00 + Kq)• A0 + Kq ;
Kq = K0 sinУа; K = K0 sinУа.
(16)
(17)
Характеристическое уравнение, соответствующее уравнениям возмущенного движения, имеет тот же порядок, что и в случае нерегулируемой системы:
a3 • p3 + a2 • p2 + a1 • p + a0 = 0. (18)
ISSN 1815-588 X. Известия ПГУПС
2008/2
Общетехнические и социальные проблемы
148
Здесь
a3 = m
о t r +(x-a)
~'r3 -L3 -
p
2 . 2 r + x - a
(19)
0 t 2 3 P
a2 = m — - гэ +---------
r-L-L-U
r2 + (x - a)2
x
p 2 t (r2 + x2-a)2(r2 + x2) 1L
-0 -a)-(r-K'M + x-K<,) ' Um •(x - sin 9o + r- cos 0,,) ]-К' о R2-a-1)-r2 + x2
x£mo + Ko- - (2-a)-x2 +r2 -Emo] + (1 -a)(x-a-KM-r-К[„
xL J
r- (2 - a-1)- x2 + r2 - Um - sin 90 - x- [(2- a-1)- r2 - x2 - a
xUm 'C0S 90 + 2- x-r 2 - Em 0 ]} i
-a x
)
x
(20)
ISSN 1815-588 X. Известия ПГУПС
2008/2
Общетехнические и социальные проблемы
a
3 p
r • L • L • U
э э m
{ r2 + (x•s)2][(1 -s)• (x• sin0O + r• cos0O)
2 t (r2 + x2 • s)2 (r2 + x2)
Um [r •(cosqo — Kdо) + x(sin0o - Kqо)] + [(2•s-1) •r2 + x2 s
X
X
r Г
XEm 0 4COs 0O - Kd 0)-(2-S) x + r ^ Em 0 ’ (sin 0O - Kq 0) + (1 -s) X
xL J -1
2'
X
•U X
m
3 p
2 t
X
r2 L •U
э m
0)
[ x • s(cos 00 - Kd 0) - r (sin 00 - Kq 0) ]{r •[ (1 - 2 ^s) • x 2 - r r
X sin 00 + x •[(2 -s) • r2 + x2 •s • Um • cos 00 - 2 • x • r2 • Em0 ]}
{(1 -s) •(r • K'd 0 + x •K^ •(x •sin 00 + r •cos 00) •Um +
(2-s)• X2 + r2]• Em0, (21) {(1 - s) • (x • sin00 + r • cos00) • Um • [r(cos 00 - Kd0) +
(r2 + x2 • s)(r2 + x2)
(2 • s -1) • r2 + x2 • s
+Kd 0 •
E______K'
' ^0 ' Aq0 '
x
3 p
r2 •LU
э m
21 (r + x -s)(r + x ) r x
XEm0 • (cos00 - Kd0)} .
В уравнениях (20)-(22) обозначены:
+x • (sin 00 -Kq0)]-r [(2-s) • x2 + r2] • Em0 • (sm00- K^,)+[(2 • s-l) • r2 + x2 • s_
X
K K K'
k — /v d. K —____i. • k ' — /v d • к ' — q
Ad0 _ TT ■> Aq0 _ U 5 Ad0 ~ TT 5 Aq0 _
m
(22) k :
U_
U
U_
3 Критерии устойчивости и некоторые оценки
В соответствии с уравнениями (9) и (18) имеем следующие критерии Гурвица:
D0 — a0 > 0; D1 — a1 > 0; D2
a1 a0
a3 a2
> °; D3 —
a1 a0 0
a3 a2 a1
0 0 a3
> 0
Отсюда для нерегулируемой системы с учетом выражений (10)—(13) получим:
(1 -s) • (x•sin00 + r •cos00)2 U — (2-s) • x2 + r‘
x
E0 •sin00 +
ISSN 1815-588 X. Известия ПГУПС
2008/2
Общетехнические и социальные проблемы
150
+
(2-а-1)-г2 + х2 а
- E0 - cos 0О > 0;
(23)
(1 - а)(г2 + х2 - а) -U + (2 -а -1) -г2 + (х - а)2
E0 - cos 0О
(2 -а) - х2а + г2
- E0 - sin 0О > 0;
х
х - а - cos 00 - г - sin 00 > 0;
(24)
(25)
(2 - а) -г2 + х2 - а
- U - cos 00 - г (2 - а -1) - х2 - а + г2
х1-
-2-г2 -E0 > 0.
- U - sin 00 -
(26)
Если система регулируемая и регулирование производится только по углу 0, так что в выражениях (20) и (21) K'do = K'qo = 0, то критерии устойчивости получаются следующее:
(1 -а)-(х-sin00 + г-cos00)-U[г-(cos00 -Kd0) + х-(sin00
г
---X
х
X
E0X
(2-а)-х + г -E0-(sin00 -Kq0) + (2-а-1)-г + х -а
X(cos 00- Kd 0) > 0; (27)
(1 -а) - U -{(cos 00 - Kd 0) (г2 + х2 - а) - cos 00 + (1 -а) - г - х - sin 0О] +
+(sin 00 - Kq 0) - (г2 + х2 - а) - sin 00 - (1 -а) - г - х - cos 00 ]} +
+E
(cos 00 - Kd0 )(2 а - 1) -г2 + (х -а)2
-U X
г
x cos 00---
х
(2-а)-х2 -а + г2 (sin00-Kq0)
> 0
х -а- (cos 00 - Kd 0) - г - (sin 00 - Kq 0) > 0
(2 - а) - г2 + х2 - а
U- cos 0 —
(2 - а -1) - х2 + г2
U - sin 0f
х
- 2 - г2 - E > 0.
(28)
(29)
(30)
Исследуем приведённые критерии устойчивости. Для этого пренебрежём сначала активным сопротивлением путевой структуры. Тогда из неравенств (23)-(30) следует:
ISSN 1815-588 X. Известия ПГУПС
2008/2
Общетехнические и социальные проблемы
для нерегулируемой системы
(1 - s) • U • sin2 0О + s • E0 • cos 0O > 0; (23а)
(1 - s) • U + s • E0 • cos 0O > 0; (24а)
cos 0O > 0; (25а)
для регулируемой системы (Kd0,Kqo Ф 0,Kq= 0),
(1 -s) • U • sin00 • (sin00 - Kq0) + E0 - s- (cos00 - Kd0) > 0; (26а)
(1 -s) •U •(1 - Kq0 •sin00 - Kd0 •cos 00) + E0 • s •(cos 00 - Kd > 0; d
cos 00 - Kd0 > 0; (28a)
cos 00 > 0. (29a)
Обычно напряжение U путевой структуры ЭДС E0 возбуждения -величины одного порядка, а коэффициент рассеяния о меньше единицы. Поэтому из условий (23а) и (25а) наиболее сильным является (25а). Это означает, что устойчивость нерегулируемой системы при r = 0 определяется условием (25а). Таким образом, критический угол 0°,
который представляет границу области устойчивости, равен
p
2
Если
r Ф 0, то из (23)-(26) следует, что 00 < —. Расчётные исследования
2
показали, что происходит уменьшение области устойчивости, причем это уменьшение тем значительнее, чем больше г. Указанное отрицательное влияние активного сопротивления r на устойчивость системы связано, по-видимому, с явлением самораскачивания. На устойчивость системы оказывает влияние коэффициент о. При низких коэффициентах о происходит существенное расширение области неустойчивости. Следовательно, можно считать, что линейный синхронный двигатель из-за больших полей рассеяния (большой воздушный зазор) будет более устойчив, чем обычная синхронная машина.
Рассмотрим теперь условия (26а)-(29а). Прежде всего заметим, что коэффициенты регулирования Kd0, Kq0 должны быть отрицательными.
при r = 0 и Kd0,Kq0 < 0, как это следует из (26а)-(29а), устойчивость системы определяется условием (29а). Следовательно, имеем такой же
критический угол 0
<
0
p
2
что и в случае нерегулируемой системы. При
ISSN 1815-588 X. Известия ПГУПС
2008/2
Общетехнические и социальные проблемы
152
r Ф 0 критический угол, в общем, уменьшается. Это особенно сильно
X
проявляется при больших значениях r (— < 2). Расчёты показали, что
r
регулирование только по углу 0 без его производных не даёт желаемого эффекта, скорее напротив, области устойчивости уменьшаются. Правда, могут быть исключения. Так, при относительно низких коэффициентах о рассеяния и значительных коэффициентах K0 регулирования возможно расширение области устойчивости по сравнению со случаем нерегулируемой системы.
Чтобы выяснить роль производных по углу 0 в устойчивости системы, рассмотрим критерии устойчивости при регулировании напряжения путевой структуры по углу 0 и его первой производной. Полагая в (18)-
(21) r = 0, придадим этим критериям следующий вид:
(1 -s) • U - sin0о • (sin0о - Kqо) + E0 s- (cos0o - Kdo) > 0; (30)
L -
(1 - s) - U • (1 - Kq0 - sinq0 - Kd0 - cos00) + E0 - s - (cos00 - Kd0)
r
s
(1 -s) - U - Kq 0 - sin 00 + E« -s-Kd
d 0
> 0:
(31)
Зл/2р L . L - U
t
X
[(1 - s) - U(-Kd0 cos 00 - Kq0 - sin 00) - E0 - s - Kd'
X
X
L, [(1 - s) - U - (1 - Kq0- sm 00 - Kd0- cos 0(,) + E,- s- (cos 00 - KM) -
- s [(1 - s) - U - Kq0 - sin 00 + E(, - s - Kd0 ]} W2 s ’
m°--r2 {L_t -(1 -s)- U
P
X
X cos 00- (cos 00 - Kd 0) - r^[ (1
s
s) - U - Kq 0
sin 00 + E0
s
Kd 0 ]}> 0.(32)
В неравенствах (30)-(32) положим Kd0 = Kq0 = 0. Кроме того,
коэффициенты Kdo, K^o при производной угла будем считать отрицательными. При этих условиях, как это видно из соотношений (30)-
(32), возможна устойчивая работа системы при углах 0, больших Критический угол 00 удовлетворяет соотношению:
P
(1 - s) - U - sin2 00 + s - E0 - cos 00 = 0,
ISSN 1815-588 X. Известия ПГУПС
2008/2
Общетехнические и социальные проблемы
что следует из (30) при Kd0 = Kq0 = 0. То обстоятельство, что
критический угол 0° непосредственно не зависит от коэффициентов
K'do, K'qo, не должно служить поводом для смущения. Дело в том, что при
регулировании по производной угла критерий (29), которым определялась устойчивость системы в условиях регулирования по углу без его производной, теряет прежнюю роль, вследствие чего наиболее сильным становится критерий (30). Заметим, что соотношения (28), (29) и соответствующее им обоим условие (32) следуют из одного и того же критерия Гурвица D2 > 0. (Для рассматриваемой системы критерии D2 > 0
p
и D3 > 0 равносильны.) Таким образом, устойчивость системы при 0 < —
обусловлена исключительно регулированием напряжения путевой структуры по первой производной угла 0. Как указывалось ранее, пропорциональное регулирование по углу 0 не приводит, в общем, к расширению области устойчивости.
Заключение
1. Регулирование напряжения по углу 0 приводит к уменьшению области устойчивости. Но в случае малых потоков рассеяния и больших коэффициентов регулирования возможно расширение области устойчивости по сравнению со случаем нерегулируемой системы.
d 0
2. При регулировании напряжения статорной обмотки по -------
dt
p
критический угол становится больше —.
УДК 625.144.5
В. М. Лафта, А. М. Соколов
АНАЛИЗ ПРОЧНОСТИ ПУТЕВЫХ МАШИН С УЧЕТОМ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ УСЛОВИЙ ИХ ЭКСПЛУАТАЦИИ
Статья посвящена вопросам, связанным с развитием методов анализа прочности путевых машин, условия эксплуатации которых недостаточно
ISSN 1815-588 X. Известия ПГУПС
2008/2
