Проблема пересечения классов смежности конечно порожденных подгрупп в группе Кокстера с древесной структурой Текст научной статьи по специальности «Математика»

7. Anderson R. D., Klee V. L. Convex functions and upper semi-continuous collections // Duke Math.J. 1952. Vol. 190, № 2.

8. Иванов А. Ю. Решение проблемы Борсука для некоторых множеств с нерегулярной границей // Тр. ИПММ. 2011. Т. 23.

9. Иванов А. Ю. Об R-аналоге проблемы Борсука // Украшський матем. вюник. 2012. Т. 9, № 3.

10. Иванов А. Ю. Аналог проблемы Борсука на банаховых пространствах // Украшський матем. вюник. 2013. Т. 10, № 1.

11. Иванов А. Ю. Новые достаточные условия принадлежности множества классу Борсука // Тр. ИПММ. 2012. Т. 25.

12. Kahn J., Kalai G. A counterexample to Borsuk's conjecture // Bull. Amer. Math. Soc.(New Ser.) 1993. Vol. 29, № 1.

ПРОБЛЕМА ПЕРЕСЕЧЕНИЯ КЛАССОВ СМЕЖНОСТИ КОНЕЧНО ПОРОЖДЕННЫХ ПОДГРУПП

В ГРУППЕ КОКСТЕРА С ДРЕВЕСНОЙ СТРУКТУРОЙ

О. В. Инченко (г. Тула) E-mail: [email protected]

Класс конечно определенных групп Кокстера был введен в 1934 г. Х. С. М. Кокстером. В 2003 г. В. Н. Безверхним был выделен класс конечно порожденных групп Кокстера с древесной структурой [1].

Конечно порожденная группа Кокстера с древесной структурой имеет копредставление

С = (аь ...ап; (аг) , (ага3)те 1,п,г = ]),

где Шу - число, соответствующее симметрической матрице Кокстера, причем, при г = ], Шу = ш^, Шу > 2. Если Шу = то, то между а^ и ау соотношения нет. Группе С соответствует конечный связный дерево-граф Г такой, что если вершинам некоторого ребра е графа Г соответствуют образующие а^ и ау , то ребру е соответствует соотношение вида (а^ау)= 1.

С другой стороны группу С можно представить как древесное произведение двупорожденных групп Кокстера, объединенных по конечным циклическим подгруппам

/ п

С = \ П ; те1Сг, ..,те1С8; ^(Цу) = Цу

При этом от графа Г группы С перейдем к графу Г следующим образом: вершинам некоторого ребра е графа Г поставим в соответствие группы Кокстера на двух образующих Сji = {а^(aj)2, («¿)2, (а^а^т°г) и Сгк = {аг,ак; (а)2, (ак)2, (агак)тк), а ребру е - циклическую подгруппу {аг; (аг)2).

Проблема пересечения классов смежности состоит в том, что необходимо выяснить существует ли алгоритм, позволяющий для любых конечно порожденных подгрупп Н\,Н2,..,Нп группы С и любых слов Wl, w2, .., wn € С установить пусто или нет пересечение ГШ\Н\ П w2H2 П .. П WnHn.

Рассмотрим свободное произведение С двупорожденных групп Кокстера Сji = ^, аг; а2, а2, ^аг)щ') и Сгк = (аг, ак; а2, а2к, (аа)т<к) объединенных по циклической подгруппе (а^ а2}: С = Сji * Сi2 [2-4].

{«»;«2)

Теорема 1. [5] В группе С разрешима проблема пересечения классов смежности двух конечно порожденных подгрупп.

Целью работы является обобщение полученного результата на конечное число конечно порожденных подгрупп группы С, а затем доказательство разрешимости данной проблемы в группе Кокстера с древесной структурой С.

При доказательстве основного результата используем метод математической индукции по количеству сомножителей в свободном произведении с объединением.

Теорема 2. В группе С разрешима проблема пересечения классов смежности конечно порожденных подгрупп.

Представим конечно порожденную группу Кокстера с древесной структурой С в виде свободного произведения двух сомножителей, объединенных по конечной циклической подгруппе следующим образом: рассмотрим древесное произведение в — 1 сомножителей, которому соответствует связный дерево-граф Т8—\, Т8—\ С Т. Группу, соответствующую графу Т3—х обозначим через С8—\. Пусть в-ый сомножитель - подгруппа Сху соответствует вершине дерева - графа Т, которая связана с графом Т3—х ребром е^. При этом ребру е соответствует циклическая подгруппа второго порядка (ах; аХ). Так группа С представлена как свободное произведение двух подгрупп - С8—\ и Сху, объединенных по циклической подгруппе порядка два (ах; аХ), то есть С = С8—\ * Сху.

{ах;ах)

Теорема 3. В конечно порожденной группе Кокстера с древесной структурой разрешима проблема пересечения классов смежности конечно порожденных подгрупп.

При доказательстве использован метод специального множества и метод типов, введенный В. Н. Безверхним и использованный им при исследовании разрешимости различных алгоритмических проблем в свободных конструкциях групп.

Библиографический список

1. Безверхний В. Н. О группах Артина, Кокстера с древесной структурой // Алгебра и теория чисел: Современные проблемы и приложения: тез. докладов V Международной конференции. Тула, 2003.

2. Безверхний В. Н. Решение проблемы вхождения в классе HNN -групп // Алгебраические проблемы теории групп и полугрупп. Тула, 1981.

3. Безверхний В. Н. О пересечении подгрупп в HNN-группах // Фундаментальная и прикладная математика. 1998. Т. 4, № 1.

4. Безверхний В. Н., Инченко О. В. Проблема пересечения конечно порожденных подгрупп в группах Кокстера с древесной структурой // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2009. Вып. 2.

5. Инченко О. В. Разрешимость проблемы пересечения классов смежности конечно порожденных подгрупп группы Кокстера с древесной структурой // Вестник ТулГУ. Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. 2010. Вып. 1.

СУЩЕСТВОВАНИЕ НЕТРИВИАЛЬНЫХ

ПСЕВДОХАРАКТЕРОВ НА АНОМАЛЬНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЯХ ЛОКАЛЬНО ИНДИКАБЕЛЬНЫХ ГРУПП Д. З. Каган (г. Москва) E-mail: [email protected]

Пусть G — произвольная группа. Квазихарактером на группе G называется функция из группы G в пространство действительных чисел R, для которой выполняется неравенство f (xy) — f (x) — f (y) < e для любых x, y E G и некоторого положительного числа e > 0. Псевдохарактером называется квазихарактер, для которого ^>(xn) = ntp(x) для