CC BY
27Библиографический список
1. Selberg A. On the zeros of Riemann's zeta-function // Skr. Norske Vid. Akad. Oslo. 1942. Vol. 10.
2. Карацуба А. А. О нулях функции Z(s) на коротких промежутках критической прямой // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1984. T. 48, № 3.
3. Карацуба А. А. Распределение нулей функции Z(1/2 + it) // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1984. Т. 48, № 6.
4. Карацуба А. А. О количестве нулей дзета-функции Римана, лежащих на почти всех коротких промежутках критической прямой // Изв. РАН. Сер. матем. 1992. Т. 56, № 2.
5. Киселева Л. В. О количестве нулей функции Z(s) на "почти всех" коротких промежутках критической прямой // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1988. Т. 52, вып. 3.
О ПОСТРОЕНИИ НОРМАЛИЗАТОРА
КОНЕЧНО ПОРОЖДЕННОЙ ПОДГРУППЫ
_ ___ __ _ _ _ «_» _ _ «_»
В ГРУППЕ КОКСТЕРА С ДРЕВЕСНОЙ СТРУКТУРОЙ1
И. В. Добрынина (г. Тула) E-mail: [email protected]
Пусть G - конечно порожденная группа Кокстера с копредставлением G = (а\,... ,an; (a^aj)mij = 1,i, j = 1,n), где mj - элементы симметрической матрицы Кокстера: Vi, j £ 1,n, тц = 1, mj > 2, i = j.
Если группе G соответствует конечный дерево-граф Г такой, что вершинам графа Г соответствуют образующие ai; i = 1, n, а всякому ребру e, соединяющему вершины с образующими а^ и aj, соответствует соотношение (a^aj)mij = 1, то мы имеем группу Кокстера с древесной структурой.
Группы Кокстера с древесной структурой введены В. Н. Безверхним [1] в 2003 году, алгоритмические проблемы в них рассматривались В. Н. Безверхним и О. В. Инченко.
Группу Кокстера с древесной структурой G можно представить как древесное произведение двупорожденных групп Кокстера, объединенных по циклическим подгруппам. При этом от графа Г группы G перейдем к графу Г следующим образом: вершинам графа Г поставим в соответствие группы Кокстера на двух образующих Gj = (a^ ,aj; a2 = aj = 1, (a»aj)mij = 1) и Gjk = (aj,ak; a2 = a| = 1, (ajak)mjk = 1), а
Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ (проект № 15-41-03222 р_центр_а).
всякому ребру е, соединяющему вершины, соответствующие О^ и -циклическую подгруппу (aj; а2 = 1).
Под проблемой вхождения будем понимать проблему нахождения алгоритма, позволяющего для данной конечной системы элементов М группы О определить, принадлежит ли произвольно выбранный элемент группы О подгруппе, порожденной множеством М.
Теорема 1. [2] Пусть группа О = (ПП=1 *О5;теЮх,... ,ге1Оп, ) = Uji) есть древесное произведение групп, объединенных по изоморфным подгруппам иу < О, и Uji < Gj с помощью фиксированного набора изоморфизмов {ф^} : ^(иу) = Uji. Тогда если подгруппы и^ и Uji обладают условием максимальности и в сомножителях разрешимы 1) проблема вхождения; 2) проблема пересечения классов смежности любой конечно порожденной подгруппы Н < О, с подгруппой Uij < О,-;, 3) существует алгоритм, выписывающий образующие пересечения любой конечно порожденной подгруппы Н < О, с подгруппой Uij < О,, то в группе О разрешима проблема вхождения.
Следствие. В группе Кокстера с древесной структурой разрешима проблема вхождения.
Теорема 2. [3] Пересечение двух конечно порожденных подгрупп группы Кокстера с древесной структурой конечно порождено и существует алгоритм, выписывающий образующие данного пересечения.
Будем говорить, что в группе О разрешима проблема пересечения конечного числа классов смежности конечно порожденных подгрупп, если для любых конечно порожденных подгрупп Н1,..., Н группы О и любых слов ,ш1,... ,,ш8 € О существует алгоритм, позволяющий установить, пусто или нет пересечение и)1Н1 П ... П ,ш3Н3.
Теорема 3. [4] В группах Кокстера с древесной структурой разрешима проблема пересечения конечного числа классов смежности конечно порожденных подгрупп.
Теорема 4. В группах Кокстера с древесной структурой нормализатор всякой конечно порожденной подгруппы конечно порожден.
Теорема 5. Существует алгоритм, выписывающий образующие нормализатора конечно порожденной подгруппы группы Кокстера с древесной структурой.
Библиографический список
1. Безверхний В. Н. О группах Артина, Кокстера с древесной структурой // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и их приложения: тез. докл. V Междунар. конф. Тула, 2003.
2. Безверхний В. Н. Решение проблемы вхождения в классе HNN-групп // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп : меж-вуз. сб. науч. тр. Тула, 1981.
3. Безверхний В. Н., Инченко О. В. Проблема пересечения конечно порожденных подгрупп в группах Кокстера с древесной структурой // Известия ТулГУ. Естественные науки. 2009. № 2.
4. Инченко О. В. Разрешимость проблемы пересечения классов смежности конечно порожденных подгрупп группы Кокстера с древесной структурой // Вестник ТулГУ. Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. 2010. № 1.
ОБ УРАВНЕНИЯХ И НЕРАВЕНСТВАХ В СЛОВАХ И ДЛИНАХ
В. Г. Дурнев, О. В. Зеткина, А. И. Зеткина (г. Ярославль)
E-mail: [email protected]
Обозначим через Пт свободную полугруппу с пустым словом в качестве нейтрального элемента ранга m со свободными образующими а\, ..., am (вместо ai и а2 будем, как обычно, писать а и b соответственно), а через X = {x1,..., xn,...} - алфавит неизвестных.
Г. С. Маканин [1] построил алгоритм, позволяющий для произвольной системы уравнений в словах
k
& wt = пг, (1)
¿=i
где wi и ui (i = 1,... ,k) - слова в алфавите {а1,... am} U X, определить, имеет ли она решение в полугруппе Пт.
В настоящее время остается открытым известный уже почти полвека вопрос об алгоритмической разрешимости проблемы совместности для систем уравнений в словах и длинах, т.е. систем вида
k
& wi = ui & & |xi| = Ixj|. (2)
i=1 {i,j}£ A
Системы вида (2) с дополнительными условиями рассматривались, например, в работах [2-4].
