CC BY
32
МАТЕМАТИЧНЕ ТА КОМП'ЮТЕРНЕ МОДЕЛЮВАННЯ
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ И КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
MATHEMATICAL AND COMPUTER MODELLING
УДК 519.65
H. i. Б1ла, H. О. Нечипоренко, Л. О. Бондаренко
ПРО РЕГУЛЯРИЗАЦ1Ю ЧИСЕЛЬНОГО ДИФЕРЕНЩЮВАННЯ
Наводиться алгоритмы, що дають найкраще за порядком наближення пох1дноЧ таблично з аданоЧ функцп. Ви-користання класичних метод1в кваз1р1шення та нев'язки зводить задачу чисельного диференщювання до розв'язан-ня задач лтшного програмування з1 спещальною структурою матриц обмежень, що дозволяе значно зменшити об'ем обчислень.
постановка задач!
Розглянемо задачу обчислення пох1дно! функци f(t), що задана своши значеннями fk на р1вном1рнш с1тщ {tk}N= Значення fk в1дом1 з похибкою 8, тобто мають м1сце нер1вност1
|fk - f(tk)|<8, k = 1, N.
(1)
Необхщно обчислити значения похщно! /'(Ь) у вуз-
лах итки {} ^ = 1.
В1домо [1], що задача чисельного диференщювання функцш, значення яких можливо мати лише з якою-небудь похибкою, е некоректною, тому потребуе додат-ково'1' шформацп та спещальних алгоритм1в для и ре© Б1ла Н. I., Нечипоренко Н. О., Бондаренко Л. О., 2008
гуляр1зацп. Якщо значення 8 вщомо, маемо можли-в1сть регуляр1зувати задачу за методом нев'язки. Якщо ж значення 8 не вщомо, але е можлив1сть отримати ощнки зверху друго' похщно! типу
f( tk + 1) - 2 f(tk) + f(tk -1)
(tk + 1 - tk) k = 2, 3,..., N - 1,
< Ln
(2)
використовуемо метод кваз1р1шень. Використання цих метод1в до задач1 чисельного диференщювання у се-редньоквадратичнш норм1 наведено в [1] та [2]. В да-нш робот наводяться алгоритми, що використовують норму простору /ш, що бувае важливим для деяких практичних задач. Особливосп алгоритм1в дозволили створити комп'ютерш програми, що розв'язують задачу с заданими характеристиками якост1 [3].
метод нев'язки
До значень функцп /к, к = 1, Ы, для яких викону-еться нер1внсть (1)1 та вщомо значення похибки 8, за-
Н. I. Быа, Н. О. Нечипоренко, Л. О. Бондаренко: ПРО РЕГУЛЯРИЗАЦ1Ю ЧИСЕЛЬНОГО ДИФЕРЕНЦ1ЮВАННЯ
стосуемо алгоритм, що згладжуе ц! значения та базу-еться на метод! нев'язки. Значения (), к = 1, N об-числюються за р!зницевою формулою з використанням згладжених значень. Вектор Г = {¡'1, ¡2, •••, fN} згла-джених значень функц!'' е р!шенням тако'1' екстремаль-но'1' задача
Ш1П
¡к 2 <
Шах Ук -1 -2 ¡к+¡к+1
к < N - 1' 1
при обмеженнях
¡к - ¡к| <8 , к = 1, N.
(3)
(4)
Задача (3)-(4) може бути зведена до вир!шення та-ко' задач! л!н!йного програмування:
шах %N +1
при обмеженнях
(5)
зменшуеться, однак, б!льш! похибки перерахунку оберне-но! матриц! при зам!н! рядк!в та стовпц!в призводять до значних в!дхилень у р!шенн!. В цьому сенс! метод посл!-довних покращань набагато точн!ше.
Матрицю обмежень (7) немае необх!дност! збер!гати в пам'ят! комп'ютера, необх!дн! значення елемент!в матриц! обчислюються за допомогою виклику необх!д-но1 функц!''.
Шсля того, як знайдено вектор X = {х^^2, ...,х^1} -розв'язок задач! (5)-(7), згладжен! значення функц!'' ¡к обчислюються за формулою
¡к = ¡к + Хк - 8, к = ^,
при цьому
1 < к < N - 2
шах ¡к + 2 - 2¡к + 1 + ¡к\ = ХN + 1.
^ - 1
Значення пох!дно! (Ь) у вузлах {^}к = 2 обчислю-еться за одн!ею з р!зницевих формул
хк - 2хк + 1 + хк + 2 + ХN + 1 - -Вк, - хк + 2хк + 1 - хк + 2 + ХN + 1 - Вк,
к = 1, N - 2,
0 < хк < 28, к = 1, N,
^ +
1 - 0,
(6)
(7)
де Вк = ¡к - 2к + 1 + ¡к + 2, к = 1 N - 2; хк = ¡к - ¡к + 8, к = 1, N.
Задача (5)-(7) вир!шуеться методом посл!довного покращення [4]. За начальне наближення беремо вектор хк = 0, к = 1, N; ХN + 1 = шах|В^, тобто на пер-
шому кроц! буде лише одне активне обмеження. На кожному наступному кроц! число активних обмежень (а, значить, ! активних зм!нних) зб!льшуеться на оди-ницю. На 5-му кроц! метода посл!довних покращань необх!дно розв'язувати дв! системи алгебра'чних р!в-нянь порядку 5. Обмеження (5) враховуються алгорит-м!чно, до активних входять лише обмеження з системи нер!вностей (4). Тому матриця системи алгебра'чних р!внянь мае таку структуру (при в!дпов!дному впоряд-куванн! рядк!в ! стовпц!в системи): перш! 5 - 1 рядок мають кожен не б!льше 3 ненульових елемент!в, а ос-танн!й рядок складаеться з 5 одиниць. Враховуючи вказану особлив!сть матриц!, можливо розв'язувати систему л!н!йних алгебра'чних р!внянь з! значною еко-ном!ею пам'ят! та числа операц!й. Розрахунки показали, що при розв'язанн! системи число ненульових еле-мент!в зб!льшуеться менш, н!ж у два рази.
Для розв'язання задач! л!н!йного програмування (5)-(7) можливо також використовувати метод посл!довного покращання з перерахунком обернено' матриц!. В цьому раз! к!льк!сть операц!й на кожному кроц!, безперечно,
Г (Ч) =
Г (Ч) =
¡к+1-¡к Ьк + 1 - Ьк ¡к + 1 - ¡к - 1 Ьк + 1 - Ьк -1
Якщо в!дома оц!нка друго'' пох!дно! ¿2, то маемо таку оц!нку похибки обчислення пох!дно!:
шах
к
Г (Ч )-
¡к + 1 - ¡к
Ьк + 1 - Ьк
< шах
к
Г (ч) -
f(Ч +1) - f (Ч)
Ьк + 1 - Ьк
¡( Ьк +1) - ¡( Ч) ¡к +1 - ¡к
Ьк + 1 - Ьк ¡к + 1 - /'
Ьк + 1 - Ьк
Ьк + 1 - Ьк
< ¿тД1 + 4б " ^ М,
де М = шах( Ьк + 1 - Ьк).
к
Ясно, що перед розв'язанням задач!, якщо N досить велике, належить зб!льшити крок с!тки ДЬ, зменшуючи тим самим число N.
Проведен! розрахунки з використанням наведеного алгоритму показали його ефективн!сть.
Якщо про функц!ю в!дома деяка як!сна !нформац!я, а саме, !нтервали, на яких функц!я зростае чи спадае, та (або) !нтервали опуклост! функцп, то використання ц!е! !нформац!1 дозволить значно покращати як!сть апроксимац!'' пох!дно!. У цьому випадку до нер!вно-стей (4) додамо так!:
(-1) Т + 1 - ¡к)-0, к = 1, N - 1, { = 1, т, (8)
+
+
(-1 )'(fk + 1 - 2fk + fk -1 )> 0, k = 2, N - 1,
j = 1, m^
(9)
тут ¡i та nj можуть приймати значения 1 або 2 в залеж-ност1 вщ зростання або спадания функцп при t = tk i в за-лежноси вщ виду опуклоси функцп вiдповiдно. m -юльюсть iнтервалiв монотонностi функцi'i, mj юль-кiсть iнтервалiв монотонностi поxiдноi' функцп.
Замша змшних Xk = fk - fk + 6 зводить задачу (3), (4), (8), (9) до задачi лiнiйного програмування (5) при обмеженнях (6), (7) та
Одержуемо задачу лшшного програмування:
lN + 1
при обмеженнях
xk - 2xk + 1 + xk + 2 > Bk , k = 1 N - 2, - xk + XN + 1 > 0, xk + XN + 1 > 0, xN +1 > 0, k = TTN.
(14)
-xk + 2xk + 1 - xk + 2 = Bk , k = 1 N - 2,
(15)
- xk + xk + 1 >(-1) k = 1 N - 1,
i = 1, m,
xk - 2xk + 1 + xk + 2 >(-1) jBk, k = 1, N - 2,
j = 1, m1,
(10)
(11)
де dk = fk - fk + 1.
Розв'язання останньо'' задачi лiнiйного програмування може бути здшснено так же, як i задачi (5)-(7). Матрицi алгебра'чних систем зберiгають свою структуру. В цьому випадку трохи збтьшуеться кiлькiсть кро-юв методу послiдовного покращання та порядок систем алгебра'чних рiвнянь на останшх кроках.
метод кваз1р1шень
Нехай для значень функцп виконуеться нерiвнiсть (2) та константа ¿2 вщома. До заданих значень функцп fk, k = 1, N, застосуемо алгоритм, який оснований на методi квазiрiшень [2], що згладжуе значення функцп у вузлах. Значення похщно'' пiсля цього обчис-люються за рiзницевими формулами. Вектор F = = {Л> f2> •••> fN} згладжених значень функцп е ршен-ням тако'' екстремально'' задачi
min max If - fk|
fk 1 < k < Nk 1
(12)
при обмеженнях
\fk - 2fk + 1 + fk + 2 < ¿2 , k = 1, 2,..., N - 2.
(13)
Введемо такi позначення:
fk- fk = xk, 1 mkaxNlxk = xN + 1,
Bk = fk - 2fk + 1 + fk + 2, + 2 B+ = - ¿2h +^
Bk = - ¿2h
-Bk.
Для того, щоб знайти початкове наближення, що за-довольняе обмеженням (15), необxiдно виршити до-помiжну задачу лiнiйного програмування. Задаемо xk = 0, k = 1, N, та видшяемо iндекси j, для яких B+ > 0, та iндекси ', для яких B- > 0. Розв'язуемо задачу
minj £ (B+ + (xj - 2xj + 1 + xj + 2)) + ^ j
+ £(B~i - (x' - 2x' + 1 + x' + 2))J
i J
при виконаннi решти обмежень.
Розв'язання наведених задач, здшснюеться методом послiдовного покращання з перерахунком обернено'' матрицi. Зважаючи на розрщжешсть матрицi обмежень, одержуемо алгоритм, що мае на порядок менше юльюсть операцiй, нiж повна задача лшшного програ-мування.
Аналопчно ставляться та розв'язуються задачу що враховують обмеження на монотоншсть та опуклiсть функцп.
висновки
Як показали розрахунки, наведен алгоритми е до-сить ефективними. Методи нев'язки та квазiрiшень яв-ляються оптимальними за порядком точносп, та для кожного з них мае мшце рiвномiрна збiжнiсть обчисле-но'' поxiдноi' до точно'' при 6 ^ 0.
перел1к посилань
1. Морозов В. А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. - М.: Наука. гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. - 240 с.
2. Гребенников А. И. Метод сплайнов и решение некорректных задач теории приближений. - М.: Изд-во МГУ, 1983. - 208 с.
3. Сергиенко И. В., Задирака В. К., Бабич М. А. и др. Компьютерные технологии решения задач прикладной и вычислительной математики с заданными значениями характеристик качества // Кибернетика и системный анализ. - 2006. - № 5. - С. 33-41.
А. H. Довбня, С. Г. Удовенко, А. А. Шамраев: ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛИ МАГНИТНОГО СПЕКТРОМЕТРА ПО ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМ ДАННЫМ
4. Булавский В. А., Звягина Р. А., Яковлева М. А. Численные методы линейного программирования. - М.: Наука, 1977. - 368 с.
Над!йшла 20.11.2007 П!сля доробки 25.03.2008
Приводятся оптимальные по порядку алгоритмы приближения производной таблично заданной функции. Использование классических методов квазирешения и невязки сводит задачу численного дифференцирования к решению задач линейного программирования со специальной
cmpyêmypoû Mampuu,u oгpaнuцeнuû, Komopax noçeoëxem 3Ha%umeëbH0 yMeHbmumb oôheM eunucneHuû.
The algorithms of the approximation the derivative of the function given by table are given. Classic methods quasi-solution and discrepancy are used to numerical differentiation and lead the task to linear programming problems with special structure of distraction matrix, what allow us to decrease greatly computational complexity.
УДК 621.365.036
А. Н. Довбня, С. Г. Удовенко, А. А. Шамраев
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛИ МАГНИТНОГО СПЕКТРОМЕТРА ПО ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМ ДАННЫМ
Разработан специализированный контроллер для цифрового управления магнитным спектрометром. По результатам активного эксперимента рассчитаны параметры модели анализирующего магнита, которая стала основой для синтеза адаптивного регулятора.
введение
Одной из важных задач в технике линейных ускорителей является измерение энергетического спектра ускоренных частиц. Наиболее точным является метод измерений с использованием анализирующего магнита, устанавливаемого на выходе линейного ускорителя. Точность измерений определяется качеством системы управления магнитом, эффективность которой в значительной мере зависит от качества используемых при ее построении математических моделей, которые, с одной стороны, должны наиболее полно отражать свойства исследуемых объектов, а с другой быть удобными для реализации алгоритмов управления. Отсутствие полной информации об условиях функционирования объектов, а также об их динамических характеристиках и характере действующих помех обусловливают необходимость применения при управлении такими объектами адаптивного и робастного подходов, допускающих возможность использования при синтезе регуляторов упрощенных (в частности, линейных) моделей.
К основным методам построения математических моделей технических объектов можно отнести: эмпирический, который основывается на статистической обработке реальных данных, полученных в процессе функционирования объекта; аналитический, основанный на применении законов физики и химии; комбинированный, который объединяет рациональное планирование эксперимента, статистическую обработку экспери-
© Довбня А. Н., Удовенко С. Г., Шамраев А. А., 2008
ментальных данных и основные физико-химические закономерности; автоматическое построение математической модели с помощью цифрового вычислителя, подключенного к объекту через датчики и преобразователи.
В данной работе рассматривается решение задачи динамической идентификации анализирующего магнита с применением специализированного контроллера в комплексе с персональной ЭВМ для автоматизированного измерения энергетического спектра пучка ускоренных электронов на выходе линейного ускорителя ЛУ-40.
постановка задачи
В общем случае задача построения математической модели объекта состоит в выборе ее структуры и оценке ее параметров таким образом, чтобы при использовании критерия минимума некоторой функции разности расчетных и экспериментальных данных соблюдалось условие близости модели исследуемому процессу.
В соответствии с априорными данными об анализирующем магните как объекте управления, он был классифицирован как одномерный объект с самовыравниванием, наиболее эффективным методом определения параметров модели которого является активный эксперимент. Для получения передаточной функции по результатам эксперимента целесообразно использовать модифицированный метод площадей Симою [1].
схема проведения эксперимента
На рис. 1 приведена часть схемы цифрового управления магнитным спектрометром, использованная для
