Про дію рухомого навантаження на пружно-пластичну балку Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539.3

Канд. техн. наук А. В. Засовенко

ЗапорЬький нащональний техтчний утверситет, м. Запорiжжя

ПРО Д1Ю РУХОМОГО НАВАНТАЖЕННЯ НА ПРУЖНО-

ПЛАСТИЧНУ БАЛКУ

В роботi розглядаеться дiя рухомого навантаження на шаршрно оперту пружно-плас-тичну балку ктцево1 довжини, що лежить на одностороннш пружнш основi. Задача розв 'я-зуеться чисельно з використанням узагальнення стково-характеристичного методу та терацшного тдходу.

Ключовi слова: рухоме навантаження, пружно-пластична балка, метод лтеаризацн Ньютона-Канторовiча, iтерацiйнuй процес, метод характеристик.

У багатьох випадках, що представляють нау-ковий i прикладний штерес, швидкоста i штен-сивноста навантажень при динамчно! до на еле-менти конструкцш таи, що материал випробовуе значнi необоротнi деформаци, яы звуться плас-тичними.

Останнiм часом з штенсифжащею навантажень на транспорта, з новими технологiями змщнення матерiалiв, i для розв'язку велико! кшькоста iнших техшчних завдань, яш ставить перед нами практика, виникла необхiднiсть по-будови модел1, що поеднала б в соб1 пластичш вигини 1 рухоме навантаження. У ряда нечислен-них ро61т [1, 2] проводилися спроби отримати поддбну модель. У робота [3] для розв'язку з над-звуковою швидыстю по пружно-в'язко-пластич-ному натвпростору також застосовувався метод характеристик, але для квазЫншно! системи ршнянь. Подальшого розвитку ц1 модели не от-римали.

Розглянемо систему з шартрно оперто! пруж-но-пластично! балки на односторонней пружнш основа, яка знаходиться п1д д^ею рухомого навантаження. Ршняння, що описують деформуван-ня пружно-пластично! балки з урахуванням механичного навантаження 1 реакцц основи, дае систему р^внянь [4—6]:

дО + д( х, а) - Я( х, а) = р 5 ^;

дМ _ Т да

--О = рз—;

дх да

„т да дМ *

Е3— =-+ к (М -М,);

дх да

,до

дО

ОБк2(— + а) = -*-+к (О - О,).

дх да

(1)

поперечного перетину балки, к2 — коефшдент зрушення, р — щшьшсть матер^ал^в балок, х — координата, що вимрюеться в1д левого к1нця балки (о < х < Ь), а — час, д(х, а) — мехашчне навантаження, Я( х, а) — реакця основи.

Ршняння (1) справедлива лише в процесс навантаження у пластичней зот. Осюльки для розвитку пластично! течи потребен час, то можна припустити, що зв'язок м1ж напруженням 1 де-формащею у фронта хвил1 повн1стю пружний. А в пружнш зош 1 при розвантажент к* = 0, тобто ршняння (1) приймають вигляд, як для пружно! балки [7].

Як 1 для пружно! балки, слщ доповнити ршнян-ня (1) початковими 1 крайовими умовами, що вщповщають шаршрно опертим кшцям [7]. Так само використовуючи зв'язок з безрозмрними змшними:

Х=х, ~=ъ, V=и, г=ак, М=М, О=

Ь Ь сЬ сЬ БЕЬ БЕ

представимо систему ршнянь (1) в безрозмрно-му вигляд1:

дО дV ~ ~ ~ ~ -¡¿-¡^ = - д(Х,~); дх да

дМ__1_ дЖ =

С? ~дГ = О;

ж - с, аМ = ~

дХ 1 да 1 1

дV 1 дО

=

(2)

Тут Е — модуль пружноста материалу балки (модуль Юнга), О — модуль зрушення, 3 — момент шерци поперечного перетину балки, 5 — площа

С, = 1 -

та

С 2 =

Ок 2

швидкоста роз-

Тут

\(Р V Р

повсюдження хвиль, безрозм^рш функци

© А. В. Засовенко, 2014

~ ~ ~ . ~ ~ ~ и , * Я = М -М8 1 = е - а , а Р1 = к

та

-1

Р2 =

ЬЕ

к — безрозм1рн1 коеф1щенти.

ОкС

Системи диференц1альних р]внянь (1) 1 (2) не е системами диференщальних р]внянь другого порядку. Це пояснюеться тим, що як шукат

величини вони м1стять момент М або М , по величин якого встановлюватиметься критерш переходу МГР в пластичну зону [6].

Враховуемо навантаження з гнтенсивтстю т , що рухаеться з постшною швидюстю С0 1 р]вно-мрно розподшено по д1лянц1 5 (АХ < 8 << 1):

~(Х, 7) =

>- ~ 5 ~ 5П т, ^е[Со/ -Со* + -]

о о

о, Хг[Со?-Со~+2]

(3)

~ ~ Я2 ~ ~

я) = -2-[1 + «я«($)]$,

(4)

Тут ¿2 — безрозм1рний коефшдент залежний ввд

жорсткост1 основи, а V — безрозшрт нормальн1 перемщення, а функщя

1 V > о;

¡¡я« = ■ о $ = о;

-1 V < о.

Алгоритм чисельного розв'язку задач1 засно-ваний на 1терац1йному метод1. Якщо розглядати контактний тиск як додаткове навантаження, його значення на (к +1) -му кроц1 гтерацшного про-цесу розв'язання нелшшно! задач1 можна визна-чити по ввдомих прогинаннях к -1 1тераци. В межах кроку за часом спочатку задаеться реакц1я

основи Я(Х, *) равною нулю 1 розраховуеться система (2). В результата на тих дшянках, де вели-

чини контактного тиску будуть негативт, прий-мемо 1х р]вними нулю 1 проведемо перерахунок значень тиску на вох останнх дшянках, викори-стовуючи для цього вщповщт р]вняння (2). Якщо на деяких д1лянках контактний тиск знову буде негативний, то знову приймемо його р]вними нулю. Перех1д на наступних крок за часом зд1йснюеться лише тодд, коли р1зниця величин контактного тиску на вих дшянках, що вщповь дають двом послвдовним наближенням по модулю, не перевищуе допустимого значення.

Стввщношення (4) представляе собою контактний тиск у виглядд суми лшшно! 1 нелшшно! функци. Виддлимо нелшшну складову у виглядд:

¡¡япМ—— = —2 V = — 2 2 1 1 2

(5)

Застосуемо тепер для лшеаризацц метод Нью-тона-Канторов1ча [8], зпдно якому контактний

тиск на (к +1) -й гтераци:

При складнш динашчнш взаемоди зв'язок м1ж елементами конструкци мае обмежену м1цн1сть, так що в процеш 1х деформаци можливе утворення зон вддриву одного елементу конст-руЩИ в1д шшого.

Одним з найбшьш важливих аспектв розв'язання таких задач е лшеаризащя системи диференщальних р]внянь. Нелшшшсть до р]внянь

р]вноваги (2) вноситься членом Я(Х,~), який вддповддае контактному тиску, 1 визначаеться нормальними перемщеннями конструкци в межах зони контакту:

я

(к+1)

(Х, 7) =

Я^1 Я

Я2 Я(к+»$(к)

2

Я2 $(к)$(к)

а/Й2

^ 2

Я V™$(к)

(6)

Зддйснюючи зворотний перехдд, отримаемо

~(к+п,, ~ Р2й(к+1) ,~(к)ч Я2$(к+1) (7) я(к+1)(Х, *) = —-+ ¡¡я« (\~(к))^—_-. (7)

2

2

Розв'язання системи (2) будуеться чисельно на основ1 с1тково-характеристичного методу [6, 7]. Для одноматтноста розв'язку 1 застосування обчислювально1 технжи, в зонах пружнж дефор-мацш або розвантаження, використовуеться та ж сгтка характеристик, що 1 в зон пластично1 деформаци, вважаючи при цьому к * = о , тобто для

(2) Р1 = Р2 = о. Це мае значення у раз1 кшцевих балок, де мае м1сце вщдзеркалення хвиль в1д кшщв балки 1 взаемне проникнення падаючих 1 вддображених хвиль.

При розрахунках задавалися наступн1 значення початкових параметр]в:

А~ = о,оо5; т = 5; у = о; Р1 = о,375;

Р2 = 7,157; Я2 = 165;

5 = о,о5; Со = о,5; МГР = о,ооо2.

Результати обчислень у вигляд1 розпод1лу момент]в, що вигинають, представлеш на рис. 1

+

2

2

2

1727-0219 Вестник двигателестроения № 1/2014

- 45 -

для моментов часу: 71 = 0,5 ; ~2 = 1; 73 = 1,5 ;

~4 = 2 . При поршнянт отриманих моментш, що вигинають, з результатами для пружно! балки на односторонней пружнш основа (рис. 2), видно ктотт вщмшносп. А саме, не тшьки максимально амплпуди моменту, що вигинае, зросли на два

порядки, але також самl моменти, що вигинають, для пружно-пластично! балки, мають шший характер розподлу.

На рис. 3 приведений графж, для безрозм^р-них величин довжини 1 часу, з вщшченими на ньому зонами пластично! деформаци (темним кольором).

Рис. 1. Розподш моменту, що вигинае, для пружно-пластично! балки на основа, п1д д^ею рухомого навантаження

Рис. 2. Розподш моменту, що вигинае, в пружнш балщ з односторонньою основою

о <Г5Г^

Рис. 3. Зони пластично! деформаци для пружно-пластично! балки на основа пщ д^ею рухомого навантаження

Як видно з графика, зони пластично! деформаци розташоваш поблизу м1сця прикладення навантаження, а також залежать в1д швидкост1 його руху 1 вщдзеркалення фронтв хвиль в1д кшщв балки. При досягненш навантаженням

к1нця балки (~4 = 2 при Со = о,5), до пластично! деформаци схильна практично вся балка, за ви-нятком кшщв з шарн1рним закршленням.

Узагальнення с1тково-характеристичного методу та гтерацшного п1дходу дозволяе розгляда-ти задач1 для пружно-пластичних матер1ал1в з р1зними крайовими умовами, навантаженнями 1 моделями розрахунку без змши розрахунково! схеми, чисельно досл1джувати хвильов1 процеси, викликат нестац1онарним рухом навантаження, та виявляти зони пластично! деформаци.

Анал1з результата розрахунку показав, що при заданш д^ на елементи конструкцш з пружно-пластичного матер1алу, врахування пластичних складових не тшьки кiлькiсно, але 1 як1сно зм1нюе характер динамичного процесу. Для конструкцш, що зазнали пластичну деформащю на б1льш1й частит, гостро ставиться питання про можлив1сть !х подальшо! експлуатаци.

Список лггератури

1. Блейх Г. Движение со сверхсейсмической скоростью ступенчатой нагрузки по поверхности упругопластического полупространства / Блейх Г., Мэтьюз А.// Сб. переводов «Механика». - М. : Мир, 1968. - № 1.

2. Быковцев Г. О распространении волн в уп-руго-вязкопластической среде / Г. Быковцев, Н. Вервейко // «МТТ». - 1966.- № 4.

3. Быковцев Г. Применение метода характеристик к решению задачи о движении ступенчатой нагрузки / Г. Быковцев, Н. Вервейко, Н. Зиновьев // Распространение упругих и упруго-пластических волн : материалы V Всесоюзного симпозиума. - Алма-Ата : Наука, КазССР, 1973. - 364 с.

4. Гольдсмит В. Удар. Теория и физические свойства соударяемых тел / В. Гольдсмит - М., 1965. - 488 с.

5. Норейко С. С. Вибрация пролетных строений балочных железнодорожных мостов при высоких скоростях движения / С. С. Норейко // Труды Ленингр. ин-та инженеров жел.-дор. Транспорта. - 1961. - № 178.

6. Мастиновский Ю .В. Нестационарное деформирование упруго-вязкопластической балки / Ю. В. Мастиновский, А. В. Засовенко // Вестник двигателестроения - Запор1жжя. -2008. - № 1. - С. 147-150.

7. Засовенко А. В. Контактное деформирование двух балок конечной длины / А. В. Засовенко, Ю. В. Мастиновский //Нов1 матер1али 1 технологи в металурги та машинобудуванш. -2005. - № 2. - С. 40-42.

8. Корн Г. Справочник по математике : для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн. - М. : Наука, 1973. - 831 с.

Поступила в редакцию 26.05.2014

Засовенко А.В. О действии подвижной нагрузки на упруго-пластическую балку

В работе рассматривается действие подвижной нагрузки на шарнирно опирающуюся упругопластическую балку конечной длины, которая лежит на одностороннем упругом основании. Задача решается численно при помощи обобщения сеточно-характеристичес-кого метода и итерационного подхода.

Ключевые слова: подвижная нагрузка, упруго-пластическая балка, метод линеаризации Ньютона-Канторовича, итерационный процесс, метод характеристик.

Zasovenko A. The action of live load on plasto-elastic beam

The paper analyzes the effect of live load on the hinged finite length plasto-elastic beam, which lies on a single-sided elastic foundation. The problem is solved numerically using the generalization of grid-based and iteration approaches.

Key words: live load, plasto-elastic beam, the method of linearization of the Newton-Kantorovich, iterative process, method of characteristics.

ISSN 1727-0219 Вестник двигателестроения № 1/2014

- 47 -