Принципы построения алгоритмов компрессии сигналов на основе дельта-преобразований второго порядка в условиях априорно неопределённых возмущений по амплитуде Текст научной статьи по специальности «Математика»

6. Zigel Y. Cohen A. On the Optimal Distortion Measure for ECG Compression. EMBEC99. Vienna, Nov. 1999 P. 1618-1619.

К.А. Бай, А.С. Шульга

ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ АЛГОРИТМОВ КОМПРЕССИИ СИГНАЛОВ НА ОСНОВЕ ДЕЛЬТА-ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА В УСЛОВИЯХ АПРИОРНО НЕОПРЕДЕЛЁННЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ ПО

АМПЛИТУДЕ

Одним из эффективных решений при компрессии биомедицинских сигналов является использование метода дельта-преобразований второго порядка с гарантированной высокой точностью [1].

Компрессия в алгоритмах, основанных на дельта-преобразованиях второго порядка, осуществляется посредством построения аппроксимирующей функции, проходящей в окрестностях отсчётов исходного сигнала. Сжатие достигается за счёт того, что хранение данных, необходимых для восстановления аппроксимирующей функции требует меньших объёмов памяти, чем исходный сигнал.

В настоящее время разработан ряд алгоритмов компрессии на основе дельтапреобразований второго порядка [1]. Алгоритмы можно разделить на две группы: адаптивные и неадаптивные. На практике неадаптивные алгоритмы не дают высоких показателей сжатия в случае с биомедицинскими сигналами. Адаптивные алгоритмы способны изменять свои внутренние параметры на основе анализа предыстории (предшествующего поведения) сигнала. Эта особенность позволяет повысить эффективность компрессии. В данной статье приведены некоторые теоретические основы, необходимые для синтеза эффективного адаптивного алгоритма компрессии биомедицинских сигналов на основе дельта-преобразований второго порядка.

Особенности построения аппроксимирующей функции

Процесс сжатия на основе дельта-преобразований второго порядка происходит поотсчётно. Рассмотрим более подробно этот процесс между двумя смежными отсчётами исходного сигнала. Система уравнений, описывающая состояние аппроксимирующей функции для текущего шага аппроксимации, имеет вид

.У; = а- А;

у , = у , _1 + а- V^ А , , (1)

^ а-

Уг = У, -1 + У■-1 ■ ^

где У ■ - вторая производная в у-точке аппроксимирующей функции на рассмат-

А у •

риваемом интервале; 1 - квант модуляции на •-шаге аппроксимации рассматри-

ваемого интервала; у ■, у ■ _1 - первые производные в текущей и предыдущей точках аппроксимирующей функции на рассматриваемом интервале; yt - шаг дискретизации аппроксимирующей функции; у ■, у ■ _1 - значения аппроксимирующей функции в текущей и предыдущей точках; п - коэффициент учащения аппроксимирующей функции.

Метод оптимизации построения аппроксимирующей функции (АФ) посредством её поворота в сторону наилучшего значения схематически изображён на рис.1.

Рис.1. Поведение аппроксимирующей функции при нескольких итерациях

аппроксимации

Основной идеей этого метода является модификация первой производной начального отсчёта аппроксимирующей функции таким образом, чтобы коэффициент учащения был минимальным. В качестве способа модификации первой производной можно выбрать перерасчёт первой производной на основании разности абсцисс (/+1)-точки, полученной обычным способом (1), и исходной /-точки аппроксимирующей функции.

(2) У = У/+1 - У/

At

Аналогичным путём в целях получения оптимальной первой производной можно проводить несколько поворотов аппроксимирующей функции.

Примечание: здесь и далее для удобства представления номер итерации, после которой получено рассматриваемое значение, будет указываться слева сверху соответствующей переменной в круглых скобках.

В [5] приведены формулы расчёта значения количества поворотов аппроксимирующей функции и законы, показывающие соотношение количества поворотов и коэффициента учащения:

т = 2 (У/+1 - У1) 1 у / ^Vt 1

т =----------2------2---------2---Т ,

а• Vt п а •Vt п

где т - количество поворотов или обратно:

- у / ■Vt

п =-----------------------------2--------------------.

т^а^ Vt

Используя адаптацию на основе метода поворотов аппроксимирующей функции, можно получить уравнение, описывающее очередной отсчёт упакованного сигнала:

(т)

т^а^ Vt

2

2

ТАк+2 • Ё1

Х\

(2)

у к=1 I=1 V к=1 //

Проанализировав динамику отклонения упакованного сигнала относительно исходного и принимая условие, что погрешность по амплитуде не должна превосходить некоторую заданную величину, можно получить следующее примерное соотношение, позволяющее аналитически оценить требуемое количество поворотов аппроксимирующей функции, находящейся в данном состоянии, приводящее к успешной компрессии очередной точки [5].

т = 1й1

г.

-1 + ¥г - У/ - У/ АУ 1 Егг у

(3)

где - ошибка модуляции на предыдущем шаге; Ш() - оператор выделения

целой части действительного числа.

Используя (3) и законы соотношения между количеством поворотов и коэффициентом учащения, можно вычислить оптимальное значение п.

Экспериментальные исследования показали, что п принимает небольшие значения, что и требуется для эффективной компрессии на основе дельтапреобразований второго порядка.

Дерево значений аппроксимирующей функции

Одним из вариантов синтеза алгоритма компрессии является построение дерева значений поиска оптимальной аппроксимирующей функции (рис. 1).

Рис.1. Дерево значений аппроксимирующей функции

Дерево позволяет оценить множество возможных значений аппроксимирующей функции после нескольких шагов её построения. Количество шагов соответствует коэффициенту учащения.

В нижнем уровне дерева, который представляет множество значений аппроксимирующей функции, можно выделить область, которая попадает в окрестности модулируемой точки. Размеры окрестности характеризуются порогом допустимой точности. Если в эту окрестность попало несколько возможных вариантов аппроксимирующей функции, то выбирается вариант, при котором первая производная наиболее оптимальна для дальнейшей упаковки согласно оценке предыстории (приводит к минимальному коэффициенту учащения п для следующего отсчёта). Аппроксимирующая функция для каждого отсчёта может быть представлена системой уравнений:

a =

Уi-2 - У

г-1

a• At2

At

= Err

да =

Y-1 - У гЕ (и,.-1,А г-1)

•At

(4)

да = int(m) +1

Уг - Уг-

Е (n, А) =

At

Err

n2

f n n f к

ZA к + 2 ZlZA i

Vк=1 к=1 V I=1 /у

где п - коэффициент учащения аппроксимирующей функции; т - количество поворотов аппроксимирующей функции; Е(п, А) - сумма дельта-битов; а - величина кванта модуляции; At - шаг дискретизации исходного сигнала; у;-2, у-1 -первые производные в текущей и предыдущей точках аппроксимирующей функции на рассматриваемом интервале; у, у-1 - значения аппроксимирующей

функции в текущей и предыдущей точках.

Здесь адаптируются и величина кванта модуляции а и количество поворотов аппроксимирующей функции т, причём:

• а зависит от разности амплитуд смежных отсчётов;

• т зависит от угла поворота первой производной.

Эта система уравнений позволяет аналитически рассчитать оптимальные значения для основных параметров аппроксимирующей функции, таких как коэффициент учащения, величину кванта модуляции, шаг дискретизации и количество поворотов аппроксимирующей функции.

Построение дерева значений аппроксимирующей функции

В алгоритме, который строится на основе дерева вариантов (см. рис.2), расчёт аппроксимирующей функции производится на основе уравнения (1):

(да)

Уг +1 = Уг + уг ' At + ™ - Е3

Ез =

Err

n

(

1

A n + 2- n - к + 2 |A к

Л

к=1

(5)

Примем обозначение:

A1 = Уг + Уг • At • (6)

Очевидно, для всех ветвей дерева A1 = const.

Тогда уравнение (6) можно записать в виде

(m) Уг+1 = A1 + да • Ез. (7)

Учитывая принятое (7) и условие (6), можно сформулировать матрицу возможных значений аппроксимирующей функции в крайней точке модулируемого ин-

тервала [, ^.+1].

((да) Уг+1 )= Л, + да-(Ез).

2

Одно из значений матрицы будет принято как отсчёт аппроксимирующей функции.

Будем считать, что модулируемый отсчёт Yi+1 находится в рамках области значений аппроксимирующей функции, то есть

A1 + m • E3 є [y-+1 - Err, Y+1 + Err ] .

Обозначим предельные значения дельта-битов:

Откуда

|A1 + m • E3 = Y+1 - Err I A, + m • E3+ = Y+, + Err

E_ = Y+1 - Err - A

E3+ =

m Y + , + Err - A,

(В)

- i+1

m

Обозначим константное слагаемое:

A2 = Y+1 - A1 .

Тогда система (В) примет вид

E- = A2 ~ Err 3 да

E+ = A2 + Err 3 да

Очевидно, что допустимым вариантом фрагмента аппроксимирующей функции будет вариант, сумма дельта-битов которого удовлетворяет условию:

E- е [e-- ; E-+ ].

Что в более полном виде описывается условием

A2 - Err A2 + Err

E3 е

да да

Этот критерий позволяет ускорить синтез аппроксимирующей функции в процессе спуска по дереву вариантов.

Представленные выкладки позволяют синтезировать алгоритм аналитического построения аппроксимирующей функции, что является решением основного вопроса синтеза алгоритма эффективной компрессии.

Пример адаптивного алгоритма компрессии биомедицинских сигналов на основе дельта-преобразований второго порядка

Исходные данные:

• определен сигнал X = {(Yэ, fо )> *1 (Yn, *n )};

• значение требуемой точности Err;

• начальное значение аппроксимирующей функции у0;

• начальное значение первой производной аппроксимирующей функции у0;

• шаг дискретизации исходного сигнала At;

• допустимая погрешность модуляции Err.

Алгоритм.

1. Регистрируем первые 3 отсчёта.

2. В рассмотрение берётся очередной отсчёт исходного сигнала; рассматривается интервал [, ti+1 ]; первая производная в этом отсчёте вычислена на предыдущем шагу (или является исходными данными).

3. Из предыстории упакованного сигнала вычисляются основные параметры аппроксимирующей функции:

• т - количество поворотов;

• п - коэффициент учащения;

• а - величина кванта модуляции.

4. Строится аппроксимирующая функция:

a. Оценивается Е 3 и Е3+, для этого рассматриваются «знакопостоянные» последовательности дельта-битов, рассчитывается размах аппроксимирующей функции, равный [т1п; утаХ ].

b. Если не выполняется условие У.+1 £ [ут1п; утах ], то модулируемая точка

кодируется автономно и осуществляется переход к пункту 5, иначе продолжается обработка и начинается спуск по всем уровням дерева вариантов (производится позиционирование на верхнем уровне дерева).

c. В рассмотрение берётся очередной уровень дерева, и рассматриваются интервалы по двум веткам, учитывая имеющиеся на данный момент сохранённые дельта-биты верхних уровней

• Первый интервал: \save Д,00,...0; шуеД,01,...1];

• Второй интервал: [шуеД,10,...0; шуеД,П,...1];

± Выбирается интервал, в который попала модулируемая точка Ум , и сохраняется первый из двух прогнозируемых дельта-битов.

е. Если ещё не достигнут нижний уровень дерева, то осуществляется переход на очередной нижний уровень дерева и выполняется последовательность действий начиная с пункта с.

5. Согласно результатам построения аппроксимирующей функции, сохраняется массив дельта-бит или регистрируется автономно кодируемый отсчёт.

6. Если не конец сигнала, то переход к пункту 2.

7. Выход.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Кравченко П.П. Основы теории оптимизированных дельта-преобразований второго порядка. Цифровое управление, сжатие и параллельная обработка информации. - Таганрог: Изд-во ТРТУ, 1997.

2. Бай К.А. Разработка алгоритмов компрессии биомедицинских сигналов с использованием дельта-преобразований второго порядка. - Таганрог, 2003.

А.А. Скоморохов, Е.С. Захаров

ПОЛИСОМНОГРАФИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ И ЗАДАЧА АВТОМАТИЗИРОВАННОГО ПОСТРОЕНИЯ ГИПНОГРАММЫ

Сомнологическое исследование проводится с целью изучения сна, выявления его патологии, выбора методов лечения нарушений сна и сопутствующих синдромов. Обработка исследований требует использования стандартизованного и физиологически обоснованного алгоритма выделения различных функциональных