CC BY
32
Если система векторов а,, ..., а(), Ь,, ..., Ь^, АВ линейно зависима, то в линейной комбинации с^а, + ... + а ар + р,Ь, + ...+ РД + уАВ = 0 коэффициенту либо равен нулю и плоскости параллельны с какой-то степенью параллельности (теорема 2), либо не равен нулю и плоскости пересекаются (теорема 1). В обоих случаях I и Г не являются скрещивающимися плоскостями. Теорема 3 для прямых линий в трехмерном пространстве доказана в [ 1 ].
По теореме 3 можно определить минимальную размерность плоскости, проходящей через I и Г. Рассмотрим плоскость Д(А; а,,..., ар1 Ь,,..., Ь , АВ) в определителе которой используется, упомянутая в теоремах, система векторов. Для любой точки М этой плос-костиимеемАМ=а,а1 + ... + схрар + р,Ь, + ...+ Р,,Ь + +- уАВ. При Р] = у = 0 получим все точки плоскости I, при а( = 0, у = 1 получим все точки плоскости Г, т.е. плоскость Д проходит через £ и Г. Так как система векторов, входящая в определитель плоскости Д, линейно независима, то размерность плоскости Д равна р + q + 1. Плоскость Д — это плоскость минимальной размерности. Действительно, любая плоскость, проходящая через 1иГ, содержит все пары точек этих плоскостей, и ее направляющее пространство будет содержать все векторы, входящие в определитель Д. Значит, размерность этой плоскости не меньше чем размерность Д. Можно записать зт!п = р+ q + + 1.
Если плоскости I и Г к-параллельны, то размерность плоскости Д(А; а,, ..,, ар, Ь,.....Ъ , АВ) станет
меньше. Вектор т*0 (теорема 2) и среди коэффициентов р. (] = 1..... q) есть не равный нулю (Рк# 0).
Согласно теореме о введении вектора в базис [3], вектор т можно ввести в базис Ь,, ..., Ь вместо вектора Ьк, так как Рк* 0. Вектор ш является линейной комбинацией векторов а...... а и, значит, может быть удален
из определителя плоскости Д. Размерность зт|11 уменьшится на единицу. Если векторы, входящие в определитель Д, после этого линейно зависимы, то так же, как вектор т введем вектор ш, и т.д. до тех пор, пока векторы в определителе плоскости Д не станут линейно независимы. Пусть таким способом были убраны ¿векторов. Эти векторыш,,..., т(|линейно независи-
мы, так как входят в базис У^ и принадлежат не только V , но и Ур. Пространство У(1, натянутое на эти векторы, состоитизвекторовобщихдляУ иУ(1,т.е.У(| = Ур пУ . Векторы т,, ...,т1] — базисУ,. Получим= р + ц + + 1 - с1 = р + - к) + 1.
Если плоскости X и Г пересекаются (теорема 1), то вектор АВ ф 0 является линейной комбинацией векторов базисов Ур и V . Поэтому вектор АВ может быть сразу удален из определителя плоскости Д(А;
а,.....ар1 Ь,, ..., Ь , АВ). Если оставшиеся после этого
векторы линейно независимы, то плоскости пересекаются в одной точке, например, точке М (теорема 1). Общих направлений у плоскостей нет. Если оставшиеся в определителе векторы линейно зависимы, то поступаем так же, как в предыдущем случае. Пусть из определителя плоскости Д удалены г векторов из числаЬ^ = 1.....q)1 после чего остались линейно независимые векторы. Тогда зт.п = р + д + 1 — 1— г = = р + д — г. Число г — это не только размерность Уг= = V п V,, но и размерность плоскости, заданной точкой Миг линейно независимыми векторами. Эта плоскость есть плоскость пересечения £ и Г, так как каждая ее точка принадлежит этим плоскостям.
Библиографический список
1. Болтянский В.Г. Элементарная геометрия. — М.: Просвещение, 1985. - 320с.
2. Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. Линейная алгебра и многомер-наягеометрия. — М.: Наука, 1970. — С. 528.
3. Куликов Л.К. Базисы векторного пространства //Прикл. Геометр1яташж. графжа. - К.: КНУБА, 2000. - Вип.67. - С. 140 - 142.
4. Первикова В.Н. Основы многомерной начертательной геометрии (конспект лекций для слушателей ФПК). — М,: МАИ, 1976 - С. 35.
КУЛИКОВ Леонид Константинович, кандидат технических наук, доцент кафедры начертательной геометрии, инженерной и компьютерной графики.
УДК «21.318 в. К. ФЕДОРОВ
Омский государственный технический университет
ПРИНЦИП УСТОЙЧИВОГО НЕРАВНОВЕСИЯ И ГИПОТЕЗА ВОЗНИКНОВЕНИЯ И РАЗВИТИЯ ВСЕЛЕННОЙ_
В статье освещены результаты наблюдений, проведенных космическим зондом Microwave Anisotropy РгоЫе (MAP) и проведен анализ полученных им данных.
После полуторагодичных наблюдений, проведенных космическим зондом Microwave Anisotropy РгоЫе (MAP) и анализа полученных им данных, в середине февраля 2004 г. были опубликованы результаты, сведенные в новую карту MAP Вселенной. На карте MAP изображено распределение температуры остаточного
реликтового космического излучения во всем пространстве Вселенной. О на ответила на ряд досихпорспор-ных вопросов, жизненно важных для понимания истории и структуры видимой части Вселенной. Даже краткое перечисление этих результатов позволяет понять, какой огромный шаг сделан в науке о Вселенной.
Окончательно выяснено, что возраст Вселенной 13,7 миллиарда лет. Эта цифра помогает точно определить и одну из важнейших космических констант, так называемую постоянную Хаббла, которая показывает скорость расширения нашей Вселенной. Она составляет 71 километр в секунду на каждый мега-парсек расстояния (парсек - это 3,26 световых лет). Иными словами, границы участка диаметром в один мегапарсек каждую секунду расширяются на 71 километр.
Окончательно установлено также, что пространство Вселенной геометрически плоское. Будь оно искривленным как целое, оно бы действовало наподобие гигантской линзы, увеличивая или уменьшая видимые размеры различных участков Вселенной. Доказано также, что масса Вселенной состоит на 4 процента из массы обычного вещества, на 23 процента -из так называемого темного вещества, природа которого до сих пор неизвестна (ясно лишь, что это необычное вещество, так как оно не способно излучать свет) и на оставшиеся 73 процента - из так называемой темной энергии тоже неизвестной природы; это энергия какого-то загадочного поля, из-за распирающего действия которого Вселенная расширяется не равномерно или замедленное ускоренно.
Наконец, доказано, что Вселенная родилась в результате Большого Взрыва, за которым почти немедленно последовал период чудовищно быстрого расширения (инфляции), в результате которого она в основном и достигла нынешних огромных размеров, а спустя примерно 200 миллионов лет после окончания инфляции во Вселенной появился свет от первичных звезд.
Трудно переоценить эти результаты. Они ставят всю космологию на надежный эмпирический фундамент, позволяя ей отныне не барахтаться в тине нескончаемых споров и противоречивых теорий (был Большой Взрыв или нет, была инфляция или не была, плоско или искривлено наше пространство, существует «темное вещество» или это результат неприменимости ньютоновых законов к галактикам, как утверждал, например, израильский ученый А. Миль-гром, когда возникли первые звезды, и так далее). Отныне карта MAP станет пробным оселком любых новых теоретических гипотез - тех, что не согласуется с ее выводами, можно будет сразу отбросить.
Около двадцати лет назад с помощью исследовательского спутника КОБЕ была составлена первая пространственная карта Вселенной. Данные КОБЕ были огромным шагом вперед в изучении процесса рождения Вселенной, но, к сожалению, эта карта не давала возможности изучить тончайшие детали раннего строения Вселенной, потому что приборы этого зонда не обладали достаточной чувствительностью. Поэтому многие вопросы оставались спорными, что и позволило ученым выдвигать конкурирующие гипотезы. Чувствительность приборов зонда MAP, оснащенного двумя полутораметровыми телескопами и наблюдавшего Космос в идеальной пустоте на расстоянии полумиллиона километров от Земли, была в 20 раз выше, что и позволило разглядеть многие важнейшие особенности пространственного распределения остаточного излучения.
На карте КОБЕ были видны участки, отличающиеся по температуре примерно на 25-10~ь градусов Кельвина. Карта МАП позволила, как бы приблизиться к этим участкам и увидеть, что они состоят из еще более мелких участков, температуры которых различаются на2-2,510"ь градусов Кельвина. Поме-ре такого приближения эти вариации то нарастают,
то спадают, образуя на диаграмме пики и провалы. Такие пики указывают, что соответствующие комки первичной материи разрастались или коллапсиро-вали по-разному, причем характер этих процессов был различен в зависимости оттого, состоял данный комок из обычного или темного вещества. Так было вычислено содержание этих двух видов вещества в нынешней Вселенной.
Попутно оказалось, что размеры самих неодно-родностей примерно одинаковы, а значит, Вселенная не увеличивает одни из них и не уменьшает другие, что должно было быть в изогнутом, как линза, пространстве, и, следовательно, пространство Вселенной является плоским. Это, в свою очередь, подкрепляет инфляционную гипотезу. Но окончательный вывод в пользу теории инфляции дали данные о поляризации остаточного излучения. Электромагнитная волна называется поляризованной, когда стрелка, указывающая направление ее электрического поля, имеет одно определенное направление (или это направление меняется по кругу). Инфляционная теория предсказывает, что степень поляризации должна быть больше в тех участках карты MAP, где вариации меньше, а конкурентные теории предсказывают обратное. Оказалось, что реальное положение дел соответствует предсказаниям теории инфляции. С помощью тех же данных по поляризации остаточного реликтового излучения в различных микроучастках карты удалось вычислить и момент появления первых звезд или черных дыр во Вселенной - 200 миллионов лет после ее рождения. Раньше полагали, что это произошло через 500 миллионов лет после Большого Взрыва.
Разумеется, все эти выводы, как, кстати, и заключение о возрасте Вселенной, не были просто «прочитаны» по карте MAP. Исследователи с помощью компьютеров построили десятки тысяч моделей рождения и развития Вселенной, последовательно сверяя предсказания каждой такой модели с данными наблюдений, сведенных в карту MAP. Поэтому за их выводами стоит такой массив доказательств, который трудно поколебать. Иными словами, карта MAP подводит фундаментальную базу под дальнейшее изучение Вселенной.
Некоторые результаты, полученные при анализе данных зонда MAP, ставят перед наукой новые, неожиданные вопросы и уже подсказывают новые направления исследований.
Так, ведущие американские космологи А. Штейн-хардт и Б. Острайкер в своем комментарии к карте MAP обращают внимание на два загадочных обстоятельства. Во-первых, на этой карте как будто бы проглядывает неодинаковость излучения, приходящего с разных направлений Вселенной; во-вторых, предварительный анализ данных этой карты как будто бы позволяет сделать определенный вывод о характере таинственного поля темной энергии. Попробуем пояснить оба эти замечания. Первое из них сводится, в конечном счете, к тому, что в определенном направлении Вселенной спектр волн, рассеянных на первичных флуктуациях плотности, не таков, как в других направлениях. Грубо говоря, он содержит волны не всех возможных длин, как это должно было быть в бесконечном пространстве, а обрывается на некоторой максимальной длине. Наглядной иллюстрацией сказанного была бы колеблющаяся струна конечной длины. На испускающей звуковые волны струне могут, как известно, укладываться лишь такие волны, длина которых точно равна длине самой струны или точно меньше ее вдвое, или вчетверо ее мень-
ше и так далее. Волны, длины которых больше, чем длина струны, попросту на ней не уместятся, и в спектре звуков, испускаемых этой струной, таких волн не окажется.
Эта особенность карты MAP, означает, что эта неодинаковость остаточного реликтового излучения, приходящего с разных сторон может быть вызвана тем, что в том направлении, где наблюдаются волны лишь до определенной максимальной длины, наша Вселенная имеет конечные размеры, как имеет их описанная выше колеблющаяся струна.
Вторая загадка карты MAP связана с вопросом о природе так называемой темной энергии. Это понятие появилось в нынешней космологии, в результате последовательного развития идей А. Эйнштейна. Сразу же по завершении своей теории тяготения в 1916 году А. Эйнштейн попытался применить ее выводы к Вселенной как к целому. Оказалось, что уравнения его теории допускают простое и изящное решение в виде статичной и однородной сферической Вселенной, но лишь в том случае, если насильственно дополнить их неким членом, некой космологической постоянной, которую он обозначил греческой буквой X.
Физический смысл этой постоянной был очевиден сразу. Поскольку взаимное притяжение частиц вещества друг к другу должно стягивать Вселенную в точку, сферическая модель будет статичной лишь только в том случае, если поле тяготения будет противодействовать равная ей и противоположная по направлению' сила расширения. Статичная модель А.Эйнштейна продержалась недолго, потому что уже несколько лет спустя петербургский математик А. Фридман показал, что уравнения теории тяготения Эйнштейна допускают и другой класс решений, которые описывают расширяющуюся или сжимающуюся Вселенную, а вскоре наблюдения американского ученого Э. Хаббла подтвердили, что она вместе с ее пространством действительно расширяется.
Какое-то время казалось, что это расширение является следствием Первичного Большого взрыва и что Вселенная, в конце концов, снова начнет сжиматься, закончив свою жизнь схлопыванием (коллапсом) всех атомов и элементарных частиц в одну безразмерную точку с бесконечной плотностью и температурой. Затем выяснилось, что вещества во Вселенной -даже с учетом темного вещества - слишком мало, чтобы заставить ее вновь сжиматься (данные карты MAP это, кстати, подтвердили), и возобладало представление, что она будет расширяться до бесконечности.
Наконец, совсем недавно, при изучении сверхновых звезд, было обнаружено, что Вселенная не просто расширяется, а делает это ускоренно, как будто в ней существует какое-то невидимое распирающее поле, не могущее быть уравновешенным наличным полем тяготения. Энергия этого поля получила название темной, и, постулировав его существование, космология как бы описала круг и вернулась к ранее отброшенной эйнштейновой космологической постоянной.
Известно, однако, что такие возвращения, как правило, происходят на новом уровне понимания, и в этот раз космология вернулась к расширяющему полю с пониманием того, что оно может быть не только статичным, в духе предположения А. Эйнштейна, но и переменным во времени и в пространстве.
Так вот, вторая особенность, подмеченная на карте MAP, состоит в том, что ее данные как будто бы лучше согласуются с предположением, что темная энергия может меняться со временем и иметь раз-
личные значения в разных участках пространства. Обе эти возможности приводят к далеко идущим выводам.
Переменность расширяющего поля в пространстве может означать, что Вселенная расширяется не вполне равномерно и возникает необходимость более точного и детального экспериментального изучения скорости ее расширения по всем направлениям.
Автор предпринимает попытку согласования качественной модели возникновения и развития Вселенной и экспериментальных результатов, основываясь на Принципе устойчивого неравновесия Вселенной, Материи, Разума.
Кратко изложим основные характерные черты Принципа устойчивого неравновесия.
Максимальная работа, которая может быть извлечена при некоторых заданных условиях из стремящейся к равновесию системы есть мера ее свободной энергии и из второго закона термодинамики следует, что равновесие наступит при таком состоянии, в котором свободная энергия системы не может умень-. шаться и, следовательно, имеет наименьшее значение.
Все развивающиеся и только развивающиеся системы никогда не достигают равновесия потому, что постоянно исполняют за счет своей свободной энергии работу против равновесия, требуемого законами физики при существующих внешних условиях. Подобный общий принцип, который ведет во всяком отдельном случае к верным заключениям, не противоречащим фактам, и ставится поэтому всегда во главу всякого исследования, называется Принципом. Так, например, говорят «принцип Даламбера», «принцип Гамильтона», «принцип сохранения энергии» и т. д.
Мы обозначим этот принцип как Принцип Устойчивого Неравновесия развивающихся систем. Это обозначение ясно выражает смысл Принципа и характерные с точки зрения термодинамики признаки развивающихся систем. Так же, как устойчивое равновесие неразвивающихся систем характеризуется тем, что, будучи нарушено, оно всегда наступает вновь, так и у развивающихся систем неравновесное состояние сохраняется постоянно и обладает всеми признаками устойчивости. Наш Принцип выражает также в краткой форме характерное свойство развивающихся систем, так как мы не знаем ни одной неразвивающейся системы, у которой неравновесное, состояние обладало признаками устойчивости.
Наш Принцип показывает, что развивающаяся система при изменении окружающей среды будет производить такую работу, которая направлена против равновесия ожидаемого приданной измененной среде и при неизмененных условиях функционирования системы.
Между двумя принципами — установленным в 19 веке для неразвивающихся систем принципом Ле-Шагелье и установленным для развивающихся систем Принципом — имеется, таким образом, внешнее сходство, заключающееся в том, что оба они содержат общее указание, в каком направлении будет происходить движение, т. е. изменение состояния системы при каком-либо изменении состояния окружающей среды. Кроме того, оба принципа говорят, что изменение состояния системы направлено, в некотором смысле, против изменения состояния окружающей среды.
Физический смысл в обоих случаях, однако, совершенно различный и не имеет друг к другу никакого отношения. Несмотря на то, что между этими двумя
принципами имеется внешняя аналогия и некоторое сходство поведение развивающихся систем при некоторых изменениях состояния окружающей среды нельзя выводить непосредственно из принципа ЛеШ ателье.
Эта ошибочная аналогия влечет за собой нежелательные последствия, так как она физически неправильна и приводит к ошибочным, не соответствующим фактам, заключениям. Чтобы это понять, надо иметь в виду следующее: принцип Ле-Шателье относится к системам, находящимся в равновесии, и изменение состояния, то есть движение системы, которую требует принцип при изменении окружающей среды, ведет именно к ожидаемому при данной окружающей среде равновесию, иначе говоря, принцип указывает, при каком именно направлении движения и при данной новой окружающей среде наступит равновесие.
Принцип устойчивого неравновесия относится к системам, не находящимся в равновесии, и изменение состояния, иначе движения системы, которую Принцип требует при изменении окружающей среды, состоит в работе против ожидаемого при данной окружающей среде равновесия, следовательно, именно против того изменения, которого следовало бы ожидать по принципу Ле-Шателье.
Вселенная, Материя, Разум для своего развития, а это их общее свойство, обязаны постоянно находиться в устойчивом неравновесии. Итак, все, что развивается, обязано находиться в неравновесном состоянии, иначе не будет никакого развития.
Гипотеза автора заключается в том, что для Вселенной галактическое и межгалактическое пространство является сплошной, упругой и активной средой.
В самом деле, структура физического Пространства как некоторой среды, называемой физическим вакуумом, обладает реальными, неравными нулю физическими характеристиками - диэлектрической проницаемостью еа и магнитной проницаемостью ц0. Других характеристик физический вакуум не имеет.
Факт существования реальных физических параметров у физического вакуума является доказательством существования материальной среды у физического Пространства. Физическое Пространство -это материальная среда при отсутствии вещества и излучения, которая обладает структурой и энергией. Тот факт, что е0 * 0 и ц0 * 0 указывает на то, что физический вакуум электрически и магнитно поляризуем. Свойство поляризуемости предполагает наличие у физического вакуума внутренних сил электрической и магнитной упругости. Наличие же сил упругости в материальной среде, в свою очередь, предопределяет собой существование у этой среды внутренней дискретной структуры, причем внутренние упругие силы дискретной структуры физического вакуума являются электрическими и магнитными по своей природе. Итак, логика размышлений приводит к заключению, что физический вакуум представляет собой активную среду, где, как в резонаторе, происходит развитие Вселенной и ее комплементарных составляющих — Материи и Разума.
С другой стороны, мы говорим о вакууме в каком-либо объеме, если длина свободного пробега частиц больше, чем линейный размер этого объема.
Пусть в лаборатории есть объем с радиусом в 100 сантиметров и концентрация частиц в нем 10'° на 1см3, что соответствует лабораторному вакууму в одну миллиардную часть давления земной атмо-I сферы.
В этом случае длина свободного пробега составляет
1
п<т
где п - концентрация частиц, равная Ю10 частиц на 1см3,
а - сечение столкновения частиц, ст= 10 15см2.
Отсюда Ь = -
1
■ 10 см.
10-10
Такая длина свободного пробега в 1000 раз больше радиуса нашего объема. Это хороший вакуум.
Что же делается в галактической и межгалактической среде?
Средняя концентрация частиц (протонов) в галактике составляет 1 протон на 1 см3, а сечение столкновения частиц остается равным ст = 10"' 5см2.
Тогда длина свободного пробега в галактическом
т 1
пространстве составляет Ь=-
110
= 10 см или
1015 3-101В
= 3.3 10 4 парсека.
Но толщина газового диска Галактики составляет 200 и более парсек. Следовательно, свободный пробег частицы (протона) много меньше линейного размера Галактической области, в которой происходит эволюция Галактики.
Поэтому здесь мы имеем дело со сплошной упругой средой, к которой применимы законы молекулярной физики и газовой динамики. К тому же эта среда обладает запасом энергии. Следовательно, галактическое пространство — это сплошная, упругая и активная среда. То же самое, но еще с большим основанием, относится к межгалактической среде. Какое бы расширение Вселенной не происходило, галактическая и межгалактическая среда остается сплошной, упругой и активной средой.
Тогда ключевой проблемой в исследовании процессов самоорганизации устойчивых структур, таких как звезды, галактики и скопления галактик в активной межгалактической среде, является отыскание механизмов локализации тепла.
Как известно, существенную роль в подобных средах играют диссипативные процессы, размывающие любую возникающую неоднородность. Поэтому теоретически полагалось немыслимым образование чего-либо устойчивого, способного существовать в течение достаточно длительного промежутка времени, несмотря на неоспоримый факт существования во Вселенной звезд, галактик и скоплений галактик. Однако последние исследования в этой области показали, что в некоторых случаях малое возмущение вместо того, чтобы загаситься за счет действия диссипативных процессов, неимоверно разрастается, захватывая обширные области пространства.
Представьте себе сплошную активную среду, т.е. среду, обладающую источниками и стоками энергии. Такая среда однородна и в некоем смысле совершенна. Но через некоторое время именно из-за своей активности и нелинейного характера источников и стоков энергии (приход и расход энергии или вещества обязательно должны описываться с помощью нелинейных дифференциальных уравнений), в ней начинают возникать динамические структуры определенной конфигурации. Непрерывная однородная среда самоорганизуется, распадается на дискретные структуры, и при этом обнаруживаются механизмы самоорганизации, останавливающие разрушитель-
ное действие диффузионных процессов, а кроме того следует подчеркнуть, что источники и стоки энергии находятся в каждой точке этой среды, т.е. каждая точка среды излучает и поглощает энергию.
Далее, возникшие структуры развиваются в режиме с обострением. Это означает, что за конечное время параметр, характеризующий состояние структуры — температура — должен достигнуть бесконечной величины. Однако в реальном Мире подобное произойти не может, и объясняется это тем, что вблизи точки обострения структура теряет устойчивость, и в действие опять вступают малые флуктуации, теперь способствующие уже распаду структуры.
Таким образом, устойчивое неравновесие как бы пронизывает мироздание сверху донизу, обеспечивая на разных уровнях разный ход событий.
В одном случае, когда среда однородна, неустойчивость к малым флуктуациям ведет к образованию сложных структур, в другом — к их разрушению. Причем физическим обеспечением неустойчивости выступает всегда присутствующий на микроуровне хаос. Хаос порождает порядок, причем такой порядок, который выражается еще и в том, что возникать могут не какие угодно структуры, а лишь их определенный набор, задаваемый собственными функциями среды. Последние описывают идеальные формы реально возможных образований и являются странными аттракторами, к которым только и может эволюционировать рассматриваемая устойчивая структура.
Странный аттрактор — это именно область в фазовом пространстве, а не все пространство в целом. И это не точка в пространстве, символизирующая стационарное состояние равновесия устойчивой структуры, и не замкнутая кривая, описывающая режим устойчивых колебаний, а область, внутри которой по ограниченному спектру состояний блуждает с определенной вероятностью реальное состояние устойчивой структуры. Поскольку же такая область ограничена (а значит, в какой-то степени предсказуема) и поскольку возможны отнюдь не какие угодно состояния, постольку имеет смысл говорить о наличии здесь элементов детерминизма. Несмотря на то что мы переходим в сферу вероятностного поведения объекта, вероятность в данном случае не как угодно произвольна — что говорит о необходимости сохранения представлений о детерминизме (пусть и модифицированных). Иными словами, здесь надо четко указать, в каком смысле детерминизм исчез. Детерминизм, утверждающий, что состояния исследуемого объекта будут строго находиться в данной области фазового пространства, — такой детерминизм остался.
Тем не менее понятие странного аттрактора явилось сокрушающим для многих классических представлений, привнося в мир макромасштабных устойчивых структур дух неопределенности, присутствующий в квантовой механике. Раньше, в классических подходах, малые возмущения просто не рассматривались. Однако оказалось, что малые возмущения и флуктуация на микроуровне влияют на макромас-штабное поведение устойчивой структуры. Конечно же, такого рода влияния действенны отнюдь не всегда, но лишь в определенных условиях. Примером таких условий может быть наличие положительных обратных связей в системе.
Еще более разрушительным для классических представлений является утверждение В.И. Арнольда 0 существовании комет, поведение которых носит стохастический характер и определяется странным
аттрактором, т.е. оно неустойчиво настолько, что их траекторию нельзя предсказать. И это действительно крайне важный тезис: на макроуровне имеют место явления, принципиально не укладывающиеся в рамки жесткого детерминизма. Но это не означает, что детерминизм в принципе неверен и должен быть полностью отброшен. Вообще, по-видимому, любые повороты и перевороты в мышлении не могут сопровождаться полным отбрасыванием каких-либо представлений, присутствовавших в прошлом: что-то сохраняется, что-то оставляется вне поля зрения, а что-то перетолковывается, и именно перетолковывание, переинтерпретация наработанного материала в русле новых теоретических представлений (которые, кстати, могут иметь своим источником ранее отброшенные концепции) составляют суть концептуальных сдвигов, позволяющих говорить о переходе от одного уровня понимания к другому.
В отличие от классической термодинамики, где имелся лишь один конечный пункт эволюционирования — термодинамическое равновесие, в рассматриваемом теоретическом представлении возможно множество путей развития, но опять же: не какое угодно их число, а строго определенное. И в этом плане хотелось бы сделать замечание о неединственности путей развития, их строгой количественной заданное™, а следовательно, если вернуться к предыдущим нашим рассуждениям, к некой предопределенности или детерминированности, несущей с собой своеобразные правила запрета и налагающей весьма жесткие ограничения на способы существования природных устойчивых структур. Те структуры, которые в силу обстоятельств оказались на запрещенном пути эволюционирования, либо распадутся, погибнут, либо перейдут на допустимый путь и будут двигаться по направлению к соответствующему аттрактору. Саморазвитие и усложнение среды происходит за счет уничтожения запрещенных, нежизнеспособных форм. При этом следует отметить, что в моменты перехода от одного пути к другому — в точках бифуркации — также решающую роль играют малые возмущения, в этих точках также проявляется неустойчивость и нестабильность.
Таким образом, мы видим, сколь сложным путем включается устойчивое неравновесие в современное понимание природы, не отменяя при этом некоторых элементов детерминизма, — детерминизма, вступающего в нетривиальные отношения со свободой выбора.
Иными словами, введенное таким образом представление об устойчивом неравновесии, подразумевающее, помимо всего прочего, многовариантность путей развития природных устойчивых структур, позволяет говорить о внутренних тенденциях, присущих тому или иному фрагменту реальности, о наличии в последнем некоего внутреннего плана развития.
Признание подобных тенденций ведет к переосмыслению также и отношения к Миру. В этом случае окончательно разрушается образ Творца, направляющего движение каждого атома по заданной траектории. Достаточно лишь возбудить действие внутренних тенденций, и Природа сама построит необходимую структуру. Нужно только знать потенциальные возможности данной природной среды и способы их стимуляции. На Разум возлагается ответственность за выбор того или иного пути развития, Разум, зная механизмы самоорганизации, может сознательно ввести в определенную точку среды соответствующую флуктуацию и тем самым направить развитие в необходимую сторону. Но направить, опять же, не
куда угодно, а в соответствии с потенциальными возможностями самой среды. Свобода выбора есть, но сам выбор ограничен возможностями устойчивой структуры, поскольку устойчивая структура является не пассивным, инертным материалом, а обладает, если угодно, собственной «свободой».
Действительно, согласно нашим представлениям, все сложные структуры в Мире должны находиться в устойчивом неравновесии и их развитие может носить, например, колебательный характер. В одном режиме они локализуют и удерживают хаос в определенной форме и границах, а в другом — вблизи момента обострения — само это удержание посредством положительной обратной связи способствует действию хаоса, что влечет за собой статистическое поведение устойчивой структуры.
Библиографический список
1. Пригожин И.Р. Философия нестабильности. // Вопросы философии. 1991. №6. С. 46-57.
2. Федоров В.К. Концепция устойчивого неравновесия. Версия сотворения материи и разума. Омск, Изд-воОмГТУ. 2003. С. 150
3. Визгин В.П. Развитие взаимосвязи принципов инвариантности с законами сохранения в классической физике. М. Наука. 1972. С. 240.
ФЕДОРОВ Владимир Кузьмич, доктор технических наук, профессор кафедры электроники и электроснабжения промышленных предприятий.
УДК А. А. КОЛОКОЛОВ
Н. А. КОСАРЕВ Н. А. РУБАНОВА
Омский государственный университет
Омский государственный университет путей сообщения
ИССЛЕДОВАНИЕ
ДЕКОМПОЗИЦИОННЫХ АЛГОРИТМОВ С ОТСЕЧЕНИЯМИ БЕНДЕРСА ДЛЯ РЕШЕНИЯ
НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ РАЗМЕЩЕНИЯ
Исследуются отсечения Бендерса, используемые в декомпозиционных алгоритмах решения простейшей задачи размещения (ПЗР) и задачи о р-медиане на минимум. Показана зависимость глубины отсечений от выбора оптимальных значений двойственных оценок, используемых при построении отсечений. Предложены семейства задач, для которых получены оценки числа итераций рассматриваемых алгоритмов.
Работа выполнена при поддержке гранта РГНФ 04 02 00238а.
Введение
Метод декомпозиции Бендерса является известным подходом к решению многих задач дискретной оптимизации, на основе которого разработано значительное число алгоритмов [2-10]. Однако в теоретическом плане он пока недостаточно изучен. В [2] введено понятие глубины отсечений, с помощью которого удобно анализировать эффективность рассматриваемых декомпозиционных алгоритмов. Для задачи о р-медиане на максимум нами установлено, что глубина отсечений существенным образом зависит от выбора оптимальных значений двойственных оценок, используемых при их построении. Представлены семейства задач, для которых найдены оценки числа итераций некоторых декомпозиционных алгоритмов [2,4,8,9].
Данная работа является продолжением указанных исследований для простейшей задачи размещения и задачи о р-медиане на минимум, которые широко применяются в экономике, планировании и дру-
гих областях [3]. Предложены семейства задач, для которых получены оценки числа итераций ряда декомпозиционных алгоритмов. Показано, что глубина отсечений может изменяться от 1 до С' для задачи о р-медиане и от 1 до 2""' для ПЗР.
1. Схема декомпозиции
Простейшая задача размещения может быть сформулирована следующим образом. Даны пункты предполагаемого размещения предприятий /= {1,.,.,л} и множество клиентов J= {1,...,ш}, каждый из которых обязательно должен быть обслужен. Известны затраты с° на размещение предприятия в ¡-м пункте, / е /, а также затраты с0 на обслуживание ;-го клиента предприятием, расположенным в 1-м пункте, ¡е IljeJ. Требуется разместить предприятия в пунктах производства и прикрепить к ним клиентов так, чтобы суммарные затраты были минимальными.
Введем переменные задачи z. и х ц , /е Пусть = 1, если предприятие в 1-м пункте входит в число
