Принцип сведения для системы дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН

2006, том 49, №7

МАТЕМАТИКА

УДК 517.9

К.Г.Валеев, С.З.Курбаншоев ПРИНЦИП СВЕДЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АРГУМЕНТОМ

(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 18.10.2005 г.)

Предложено обобщение принципа сведения А.М.Ляпунова [1,2] на случай системы дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом.

Рассматривается система дифференциальных уравнений

^ = АХ (I) + ^(і, X (I), X (I-г,), У (0, У (I -г2)),

М

МУ^ = ВУ(I) + иЕ,(1, X (I), X (I-г,), У (I), У (I-г4)), (1)

аї

(0 <гк < К)

допускающая нулевое решение, т.е.

^ = (1,0,0,0,0) = 0, (к = 1,2).

Спектр матрицы А лежит на мнимой оси, а спектр матрицы В лежит в левой полуплоскости. Для вектор-функций F (I, X, Z, У, V) (к = 1,2) выполнены условия Липшица

\\Fkk, X,, адді) - Ftkk, к, г^Укк < АІІX, - x^|+і2\К - г2||+1, У - у2||+Ц V;-\'2\.

Теорема 1. Существует значение параметра /л0> 0 такое, что при |^|<|^0| существует асиптотическая система уравнений без запаздывания аргумента

^ = А^ (I) + (I, X (I), У (I), У (I)),

М (2) МУ^ = ВУ (I) + ^4(1, X (I), У (I )ц),

любое решение которой удовлетворяет системе уравнений (1). Для любого решения (X(I), У(I)) системы уравнений (1) найдется решение системы уравнений (2) (Xoэ(I),УХ(I)) такое, что

Нш IIX(I) - X,, (II = 0, 1т |У (I) - У, (II = 0-

Система уравнений (2) имеет нулевое решение и устойчивость этого нулевого решения равносильна устойчивости нулевого решения системы уравнений (1).

Доказательство теоремы следует из общих результатов работы [3].

Теорема 2. При |и| < |л0| существует интегральное многообразие вида

Y(t) = jU?(t,X(t),и), Ф(^0,и) = 0, (3)

система уравнений (2) такое, что

||Ф^X,,и)-Ф(КХг,< L|X, -Хг\.

При этом устойчивость нулевого решения систем уравнений (1), (2) равносильна ус-точивости нулевого решения системы уравнений

dX^t^ = AX (t) + vF3 (t, X (t), иФ(t, X (t), и), и)- (4)

dt

Замечание. В первом приближении вектор-функция

Ф(t, X, л) = -B lF2 (t, X, e AT1X, 0,0) + uO(||X|I), а система уравнений (4) примет вид

dX(± = AX(t) + uF (t,X(t),e^4X(t),u&(t,X(t),u),u),e BT^(t,X(t),u). (5)

Пример. Исследуем устойчивость решений системы дифференциальных уравнений с

постоянными коэффициентами

dX() = AX(t) + juCY(t - 4 ), = BY(t) + juDX(t - 4 ),

dt dt

где Re Ay. (A) = 0, Re Ay. (B) < 0. Система уравнений (5) примет вид

dX^t^ = ( A - /и2Ce~Вч B-1De~A44) X(t) . dt

Устойчивость нулевого решения этой системы в первом приближении равносильна устойчивости нулевого решения исходной системы с запаздыванием аргумента.

Российско-Таджикский (Славянский) университет Поступило 10.07.2006 г.

ЛИТЕРАТУРА

5. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. Собр.соч. в 6-ти томах. М.:Л.: Изд-во АН СССР, 1956, т.2, 472 с.

6. Валеев К.Г., Жаутыков О.А. Бесконечные системы дифференциальных уравнений. Алма-Ата: Наука, 1974, 415 с.

7. Валеев К.Г., Кулеско Н.А. - Укр. мат. журн., 1968, т.20, №6, с.739-749

К.Г.Валеев, С.З.^урбоншоев ТАРЗИ ОВАРДАШАВЙ БАРОИ СИСТЕМАИ МУОДИЛА^ОИ ДИФФЕРЕНСИАЛИИ АРГУМЕНТАШОН ДЕРКУНАНДА

Дар мак;ола умумияти тарзи овардашавии А.М.Ляпунов барои системаи муодилах,ои дифференсиалии аргументашон деркунанда пешних,од карда шудааст.

R.G.Valeyev, S.Z.Kurbanshoev PRINCIPLE OF BRINGING FOR THE SYSTEM OF DIFFERENTIALS EQUATIONS WITH LAG ARGUMENTS

It is suggested generaliring the principle of bringing by A.M.Lyapunov for the system of differential equations with lag arguments.