CC BY
63
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2017, том 60, №7-8_
МАТЕМАТИКА
УДК 517.9
С.З.Курбаншоев, Н.С.Якубов* МЕТОД УСРЕДНЕНИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Российско-Таджикский (Славянский) университет, Таджикский технический университет им.академика М.С.Осими
(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан ККурбоновым 12.02.2016 г.)
Л-, >с
В статье рассматривается метод усреднения для линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и доказывается их сходимость и ограниченность по норме
max
(/,£)|| ^ 1. При использовании замены переменных методом усреднения с правой частью,
енных м
зависящей периодически от времени, они преобразуются в систему дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, определяющий асимптотическое поведение решений исходной системы при ^ ^ю.
щии асимптотическое пов одические коэффициенты,
Ключевые слова: метод усреднения, периодические коэффициенты, дифференциальное уравнение, равномерная сходимость.
Методы усреднения были разработаны в работах И.Ньютона, Л.Эйлера, К.Гаусса, Л.Лагранжа
и др. Развитие и обоснование метода усреднения проводили Н.М.Крылов Н.Н.Боголюбов, Ю.А.Митропольский [1], создавшие школу математиков по асимптотическим методам. Величина < f (t) >, определяющаяся по формуле
называется средним значением функции y = f (t), t e (—го, . Например, для показательной функции f (t) = e (а Ф 0) имеем:
' >=< ea(t—T
равенство будет верно лишь в случае, когда < еа >= 0 . и периодическая функция f(t) (f (t + 2ж) = f (t)) определяется тригонометрическим
а
рядом: f (t) = — + ^ (ак cos kt + bk sin kt), то < f (t) >=—.
2 k 2
Поэтому для операции усреднения используется аналитическая формула
at ^ J а(t—T) ^ —ат ,, at ^
< е >=< е ' >= е < е >
Адрес для корреспонденции: Курбаншоев Сафарали Завкибекович. 734025, Республика Таджикистан, г. Душанбе, ул. Мирзо Турсунзаде, 30, Российско-Таджикиский (Славянский) университет. Е-mail: ksz_48@hotmail. com
2л
< / С) >=~ 1 / С^ . 2л О
В более общем случае для почти периодической функции, представленной рядом Фурье
/(^ = ^ ак соб^и^ — ак); w0 = 0; ~мк Ф 0 (к Ф 0), операция усреднения записывается в известном 4
к
виде
Рассматривается система линейных дифференциальны фициентами
f(t) >= lim-L f f(t)dt.
-- J О
[альных уравнений с периодическими коэф-
где s — малый параметр.
Вводим замену переменных
dX = sA(t)X, A(t + 2ж) = A(t), (1)
¿У ^ Лг
Х = г + 8¥х (0 Г + е-ф2 (0 Г + • • • + у¥п (0 Г + ■■■, (2)
которая преобразует систему уравнений (1) в систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
равнений (1) в систему
<¥к(t) >=
(3)
Предположим, что матрицы ///,. (/), (к = 1,2,3,...) периодичны с нулевым средним значением
2л
Вводим также операцию интегрирования с усреднением
{A(t)}=/(A(z)— < A(z) '
ния с уср ния с уср
/V > /Q. '
Если разложим матрицу A(t) в
>) dz — < f( A(z)— < A(z) >) dz > .
• 0
к=—о
в ряд Фурье Л(?) = ^ Лкек , то получим равенство
{Л($ )}= X Л^ 1-4
к=-о>, кФ0 V '4
Пусть ||Л(?)|| - норма матрицы Л^), согласованная с нормой вектора. При этом получим
оценки
||< Л(г) >|| = тах||Л(0|| . (3а)
о
Непосредственное интегрирование показывает, что операция интегрирования с усреднением представится в интегральной форме
2л
Поэтому справедливо равенство
1 ¿л
{Л(*)} = — | (л-т)Л(*- т)йт.
I {Л(*)} || < ^{(Л- т)шах||Л(г) |таХ1 Л(*) ||
Исследуем сходимость рядов в формулах (2) и (3). Обознач:
еу/х (0 Г + е >2 (0^ +''' + е>„ № Ч~Г= еД + + • • ■ + + • • ■ = еВ(е]
,в)У преобразует систему уравне: """
Тогда замена переменных X = У + ем(1,еУУ преобразует систему уравнений (1) к виду -= вБ(в)У . Исключая вектор X , приходим
0э
всем членам
Б(е) =< Л(*) > +£ < Л(гМ(*в) > . Из уравнения (4) получаем уравнение
в Мв+ (Е + ^ е) ) £Б(£) = Л) (Е + вМ*,в) ). (4)
Применяя операцию усреднения ко всем членам уравнении (4), получим
; уравнения (4) получаем ура1 ^^ = -е¥Ц, в)Б(в) + (Л(*)- < Л(*) >) + в (Л(* М, в)- < Л(* М, в) >) . о уравнения с усреднением и исключ в) = Л)} + в {Л(*)м(*, в)} - в {и>, в)} < Л(0 > -в2 {м(*, в)} < Л(*М, в) >
Решение этого уравнения находим методом последовательных приближений
Ы
Интегрируя это уравнения с усреднением и исключая матрицу Б(в) , приходим к уравнению
для матрицы м(', в) . Решение этого урав
-вМ,в)}< Л(*) > -в'
в)=л )}+вЛ мпв)}-
-в{<//(/, £)} < ДО > -в2 {¥п(/, в)} < А«)¥п(/, е) > (п = 0,1,2,...).
¥(ие) - 0. (5)
Имеют место следующие теоремы. Теорема 1. Если выполнено неравенство
шах||вЛ(* )|| (6)
* 2л
то последовательности матриц Ц/п+1 (X, £ ) (п = О,1,2,...) ограничены по норме
тах||е\ (?,е)|| < 1. (7)
Из неравенств (3 а), (3б) и уравнения (5) получим неравенство
л 2 *
|| ещт+1 (X, е) || < Л тах | |е Л(г )|| 1 + 2 Ц тах |\щ(г, е)|| + (
При выполнении неравенства тах |\еЛ^)|| < —— будет выполняться неравенство (7).
тах | |е\(Г,е)|| )2 ]< 1
будет выполняться неравенство (7).
последовательность матриц щ (¿,е) , опре
Теорема 2. Если выполнено неравенство (6), то последовательность матриц щп (¿,е) , определяемых уравнением (5), равномерно сходится.
Доказательство. Из уравнения (5) находим уравнение
\п+1 (X, е) - \(Х, е) = е {Л(Х) (\ (X, е) - ¥п_ х (X, е))} --е {\п (X, е) - \п-1 (X, е)} < Л(Х) > -е2 {\ (X, е) - щп_ 1 (X, е) х< Л(Х)\п&е) >+е2 {\
п-1 (X, е)} < Л(Х) (\п-1(/,е)(1,е))
е . В силу неравенств
Введём обозначение уп = тах\п (?,е) ~\п_е)^. В силу неравенства (3б) и (7) находим оценку уп+1 < 2л шах || А( Г )|| • уп (п = 1,2,...).
При выполнении неравенства (6) последовательность уп стремится к нулю и мажорируется членами убывающей геометрической прогрессии со знаменателем q = 2л тах|| Л(?)||. Это доказывает
справедливость теоремы
Из теоремы 2 следует, что при выполнен енства (6) матрицы е), В(е) аналитич-
ны относительно е и разлагаются в равномерно геся относительно X степенные ряды по сте-
пеням е
•У _
е) = ^"у,,,,, (X), В(е) = , (X).
Асимптотическое поведение решений системы (1) при X ^<х> при условии (6) определяется решениями системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
ешениями с
dY
= еБ(еУ.
dX
Аналогичные результаты при других предположениях были получены в работе [2].
Поступило 28.02.2017 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Митропольский Ю.А. Метод усреднения в нелинейной механике. - Киев: Наукова. думка, 1971, 440 с.
2. Валеев К.Г., Курбаншоев С.З. Построение интегральных многообразий. - Душанбе: Дониш, 2006, 512 с.
£
ПИ ДАВРЙ
Тоцикистон, и академик М.Осими
С.ЗДурбоншоев, Н.С.Якубов
УСУЛИ КИМАТИ МИЁНА БАРОИ МУОДИЛА^ОИ ДИФФЕРЕНСИАЛИИ
ХАТТЙ БО КОЭФФИСИЕНТИ ДАВРЙ
Донишгохи (Славянин) Россияю * Донишгохи техникии Тоцикистон ба
Дар макола муайян кардани усули кимати миёна барои муодиладои дифференсиалии хаттй бо коэффисиенти даврй дида баромада шуда наздикшаванда ва маддуд будани ондо бо
нормаи max|\syn (t,£)|| < 1 исбот карда шудааст. Дангоми истифодаи ивази тагйирёбанда бо
усули кимати миёна бо тарафи рост, ки даврй буда аз вакт вобастааст, ба системаи муодиладои дифференсиалй бо коэффитсиентдои доимй оварда мешавад. Далли система дангоми t рафтори асимптотикй дорад. Калимахои калиди: усули цимати миёна, коэффитсе муодиладои диффересиали,
мунтазам наздикшаванда.
S.Z.Kurbanshoev, N.S.Yak
THE AVERAGING METHOD FOR LINEAR DIFFERENTIAL EQUATIONS
WITH PERIODIC COEFFICIENTS
Russian-Tajik (Slavonic) University, M.Osimi Tajik Technical University
The article discusses a method of averaging for linear differential equations with periodic coefficients and their convergence and limited to the norm max|\syn (t,£)|| < 1 are proved. When using the
change of variables by averaging the right side depending periodically on time, transformed into a system of differential equations with constant coefficients, which determines the asymptotic behavior of the solutions of the original system with t .
Key words: averaging method, periodic coefficients, differential equation, the uniform convergence.
